Metode računanja". Prezentacija za sat "Neodređeni integral. Računske metode „Prezentacijsko predavanje 7 antiderivativni i neodređeni integral

GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" Neodređeni integral. Metode proračuna

Eudoks Knidski c. 408 - cca. 355. pr e. Integralni račun pojavio se tijekom antičkog razdoblja razvoja matematičke znanosti i započeo je metodom iscrpljivanja, koju su razvili matematičari Drevna grčka, a bio je skup pravila koje je razvio Eudoks iz Knida. Prema tim pravilima izračunavane su površine i volumeni

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Simbol ∫ uveo je Leibniz (1675). Ovaj znak je varijacija latinskog slova S (prvo slovo riječi summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton i Leibniz neovisno su otkrili činjenicu poznatu kao Newton-Leibnizova formula.

Augustin Louis Cauchy (1789. - 1857.) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. 1897.) Rad Cauchyja i Weierstrassa sažeo je stoljetni razvoj integralnog računa.

U razvoju integralnog računa sudjelovali su ruski matematičari: M.V. Ostrogradsky (1801. - 1862.) V.Ya. Bunyakovsky (1804. - 1889.) P.L. Čebišev (1821. - 1894.)

NEODREĐENI INTEGRAL Neodređeni integral neprekidne funkcije f(x) na intervalu (a; b) je bilo koja njena antiderivativna funkcija. Gdje je C proizvoljna konstanta (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Podudaranje. Pronađite jednu opći oblik primitivno, što odgovara zadanu funkciju. tgx +S

Integralna svojstva

Integralna svojstva

Osnovne metode integracije Tablični. 2. Redukcija na tabličnu transformaciju integranda u zbroj ili razliku. 3.Integracija pomoću promjene varijable (supstitucija). 4. Integracija po dijelovima.

Pronađite antiderivate za funkcije: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) = 3-2x

Je li istina da: a) c) b) d)

Primjer 1. Integral zbroja izraza jednak je zbroju integrali ovih izraza Iz predznaka integrala može se izvaditi konstantni faktor

Primjer 2. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:

Primjer 3. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:

Primjer 4 . Provjerite rješenje Zapišite rješenje: Uvedite novu varijablu i izrazite razlike:

Primjer 5. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:

C Pretraživanje domaće zadaće neodređeni integral Provjerite rješenje Razina “A” (za “3”) Razina “B” (po “4”) Razina “C” (po “5”)

Zadatak Uspostavite podudarnost. Pronađite takav opći oblik antiderivata koji odgovara zadanoj funkciji.

slajd 1

slajd 2

Povijesni podaci Integralni račun proizašao je iz potrebe za stvaranjem opće metode Pronalaženja područja, volumena i težišta. U svom embrionalnom obliku, ovu metodu je koristio Arhimed. Sustavno se razvija u 17. stoljeću u djelima Cavalierija, Torricellija, Fermama i Pascala. I. Barrow je 1659. uspostavio vezu između problema nalaženja područja i problema nalaženja tangente. Newton i Leib-Nitz su 70-ih godina 17. stoljeća ovu vezu skrenuli sa spomenutih posebnih geometrijskih problema. Tako je uspostavljena veza između integralnog i diferencijalnog računa. Tu vezu su Newton, Leibniz i njihovi učenici koristili za razvoj tehnike integracije. Integracijske metode dosegle su svoje današnje stanje uglavnom u djelima L. Eulera. Radovi M.V. Ostrogradsko-Go i P.L. Chebysheva dovršili su razvoj ovih metoda.

slajd 3

Pojam integrala. Neka je pravac MN zadan jednadžbom I trebamo pronaći površinu F krivolinijskog trapeza aABb. Podijelimo segment ab na n dijelova (jednakih ili nejednakih) i konstruirajmo stepenastu figuru prikazanu šrafiranjem na slici 1. Njegova površina, njegova površina je jednaka (1) Ako uvedemo oznaku Tada će formula (1) uzeti oblik (3) Željeno područje je granica zbroja (3) za beskonačno veliki n. Leibniz je uveo oznaku za ovu granicu (4) U kojoj je (kurziv s) početno slovo riječi summa (zbroj), E izraz označava tipičan oblik pojedinih pojmova. Leibniz je izraz počeo zvati integral – od latinske riječi integralis – integral. J. B. Fourier je poboljšao Leibnizovu notaciju, dajući joj oblik Ovdje su eksplicitno naznačene početne i konačne vrijednosti x.

slajd 4

Odnos integracije i diferencijacije. Razmotrimo konstantu i b varijablu. Tada će integral biti funkcija od b . Diferencijal ove funkcije je

slajd 5

primitivna funkcija. Neka je funkcija derivacija funkcije, T.S. Postoji diferencijal funkcije: tada se funkcija naziva antiderivativna za funkciju

slajd 6

Primjer pronalaženja antiderivata. Funkcija je antiderivat iz T.S. Postoji razlika funkcije Funkcija je antiderivat funkcije

Slajd 7

Neodređeni integral. Neodređeni integral zadanog izraza Najopćenitiji oblik njegove antiderivativne funkcije naziva se. Označava se neodređeni integral izraza Izraz se naziva podintegralni izraz, funkcija se naziva podintegralna funkcija, varijabla x je varijabla integracije. Pronalaženje neodređenog integrala zadane funkcije naziva se integracija. Anoshina O.V.

Glavna literatura

1. Shipachev V.S. viša matematika. Osnovni kolegij: udžbenik i
radionica za prvostupnike [Svjedodžba Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije] / V. S.
Šipačev; izd. A. N. Tikhonova. - 8. izd., prerađeno. i dodatni Moskva: Yurayt, 2015. - 447 str.
2. V. S. Shipachev, Viša matematika. Cijeli tečaj: udžbenik
za akad. Bachelor's degree [Certificate of UMO] / V. S. Shipachev; izd. ALI.
N. Tikhonova. - 4. izd., vlč. i dodatni - Moskva: Jurajt, 2015. - 608
s
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. viša matematika
u vježbama i zadacima. [Tekst] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Koževnikov. U 2 sata - M .: postdiplomske studije, 2007. - 304+415c.

Izvještavanje

1.
Test. Izvedeno u skladu sa:
Zadaci i smjernice za obavljanje kontrolnih poslova
u disciplini "PRIMIJENJENA MATEMATIKA", Jekaterinburg, FGAOU
VO „Ruska državna strukovna pedagoška
Sveučilište“, 2016. - 30-te.
Opcija kontrolni rad odaberite po zadnjoj znamenki
knjiga rekorda.
2.
Ispit

Neodređeni integral, njegova svojstva i izračun Antiderivativni i neodređeni integral

Definicija. Poziva se funkcija F x
antiderivativna funkcija f x definirana na
neki interval ako je F x f x za
svaki x iz ovog intervala.
Na primjer, funkcija cos x je
primitivni funkcije grijeha x , budući da
cos x sin x .

Očito, ako je F x antiderivat
funkcije f x , tada je i F x C , gdje je C neka konstanta
antiderivativna funkcija f x .
Ako je F x neki antiderivat
funkcija f x , zatim bilo koja funkcija oblika
F x F x C je također
antiderivativna funkcija f x i bilo koja
primitiv se može predstaviti u ovom obliku.

Definicija. Ukupnost svega
antiderivacije funkcije f x ,
definirana na nekima
između se zove
neodređeni integral od
funkcije f x na ovom intervalu i
označeno s f x dx .

Ako je F x neki antiderivat funkcije
f x , tada pišu f x dx F x C , iako
ispravnije bi bilo napisati f x dx F x C .
Mi ćemo, po ustaljenoj tradiciji, pisati
f x dx F x C .
Dakle, isti simbol
f x dx će označavati kao cjelinu
skup antiderivata funkcije fx,
i bilo koji element ovog skupa.

Integralna svojstva

Derivat neodređenog integrala je
integrand, i njegov diferencijal prema integrandu. Stvarno:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Integralna svojstva

3. Neodređeni integral od
diferencijal kontinuirano (x)
diferencibilna funkcija jednaka je samoj sebi
ovu funkciju do konstante:
d (x) (x) dx (x) C,
budući da je (x) antiderivat od (x).

Integralna svojstva

4. Ako funkcije f1 x i f 2 x imaju
antiderivata, onda funkcija f1 x f 2 x
također ima antideritiv, i
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
U a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
grijeh x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Tablica neodređenih integrala

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
x
12. 2 2 arktan C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C ..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Svojstva diferencijala

Prilikom integracije prikladan je za korištenje
svojstva: 1
1. dx d (sjekira)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Primjeri

Primjer. Izračunaj cos 5xdx .
Odluka. U tablici integrala nalazimo
cos xdx sin x C .
Pretvorimo ovaj integral u tablični,
iskorištavajući činjenicu da je d ax adx .
Zatim:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Primjeri

Primjer. Izračunaj x
3x x 1 dx.
Odluka. Budući da je pod predznakom integrala
je onda zbroj četiri člana
proširiti integral kao zbroj četiri
integrali:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Neovisnost o vrsti varijable

Prilikom izračunavanja integrala, to je prikladno
koristite sljedeća svojstva
integrali:
Ako je f x dx F x C , tada
f x b dx F x b C .
Ako je f x dx F x C , tada
1
f ax b dx F ax b C .
a

Primjer

Izračunaj
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Metode integracije Integracija po dijelovima

Ova metoda temelji se na formuli udv uv vdu.
Metodom integracije po dijelovima uzimaju se sljedeći integrali:
a) x n sin xdx, gdje je n 1,2...k;
b) x n e x dx , gdje je n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , gdje je n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , gdje je n 0, 1, 2,... k .
Prilikom izračunavanja integrala a) i b) unesite
n 1
oznaka: x n u , zatim du nx dx , i, na primjer
sin xdx dv , zatim v cos x .
Prilikom izračunavanja integrala c), d) označimo za u funkciju
arctgx , ln x , a za dv uzimaju x n dx .

Primjeri

Primjer. Izračunajte x cos xdx .
Odluka.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Primjeri

Primjer. Izračunati
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
u x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
u x
C.
=
2
2
2
2 2

Varijabilna metoda zamjene

Neka je potrebno pronaći f x dx , i
izravno pokupiti primitiv
za f x ne možemo, ali to znamo
ona postoji. Često se nalazi
antiderivativ uvođenjem nove varijable,
prema formuli
f x dx f t t dt , gdje je x t i t novi
varijabla

Integracija funkcija koje sadrže kvadratni trinom

Razmotrimo integral
axb
dx ,
x px q
koji sadrži kvadratni trinom u
nazivnik integranda
izrazi. Uzima se i takav integral
metoda promjene varijabli,
prethodno identificiran u
nazivnik je pun kvadrat.
2

Primjer

Izračunati
dx
.
x4x5
Odluka. Transformirajmo x 2 4 x 5 ,
2
odabir punog kvadrata prema formuli a b 2 a 2 2ab b 2 .
Tada dobivamo:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Primjer

Pronaći
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Određeni integral, njegova glavna svojstva. Newton-Leibnizova formula. Primjene određenog integrala.

Koncept određenog integrala vodi do
problem pronalaženja površine krivulje
trapez.
Neka je zadan neki interval
kontinuirana funkcija y f (x) 0
Zadatak:
Nacrtajte njegov graf i pronađite F područje figure,
omeđen ovom krivuljom, dvije ravne crte x = a i x
= b, a odozdo - segment osi apscise između točaka
x = a i x = b.

Lik aABb se zove
krivolinijski trapez

Definicija

b
f(x)dx
Pod određenim integralom
a
od zadane kontinuirane funkcije f(x) nadalje
ovaj segment se razumije
odgovarajući prirast
primitivno, tj
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Brojevi a i b su granice integracije,
je interval integracije.

Pravilo:

Definitivni integral jednak je razlici
vrijednosti antiderivativnog integranda
funkcije za gornje i donje granice
integracija.
Uvođenje oznake za razliku
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Newton-Leibnizova formula.

Osnovna svojstva određenog integrala.

1) Vrijednost određenog integrala ne ovisi o
notacija integracijske varijable, t.j.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
gdje su x i t bilo koja slova.
2) Određeni integral s istim
vani
integracija je nula
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a

3) Prilikom preuređivanja granica integracije
određeni integral obrće svoj predznak
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(svojstvo aditivnosti)
4) Ako se interval podijeli na konačan broj
parcijalni intervali, zatim određeni integral,
preuzeta preko intervala jednaka je zbroju definiranih
integrali uzeti po svim njegovim parcijalnim intervalima.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Može se izvaditi konstantni množitelj
za predznak određenog integrala.
6) Definitivni integral algebarskog
zbroji konačnog broja kontinuiranih
funkcije jednaka je istoj algebarskoj
zbroj određenih integrala ovih
funkcije.

3. Promjena varijable u određenom integralu.

3. Zamjena varijable u određenom
sastavni.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
gdje
za t[; ] , funkcije (t) i (t) su kontinuirane na;
5
Primjer:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Nepravilni integrali.

Nepravilni integrali.
Definicija. Neka je funkcija f(x) definirana na
beskonačni interval , gdje je b< + . Если
postojati
b
lim
f(x)dx,
b
a
tada se ova granica naziva nepravilnim
integral funkcije f(x) na intervalu
}