GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" Neodređeni integral. Metode proračuna
Eudoks Knidski c. 408 - cca. 355. pr e. Integralni račun pojavio se tijekom antičkog razdoblja razvoja matematičke znanosti i započeo je metodom iscrpljivanja, koju su razvili matematičari Drevna grčka, a bio je skup pravila koje je razvio Eudoks iz Knida. Prema tim pravilima izračunavane su površine i volumeni
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Simbol ∫ uveo je Leibniz (1675). Ovaj znak je varijacija latinskog slova S (prvo slovo riječi summa).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton i Leibniz neovisno su otkrili činjenicu poznatu kao Newton-Leibnizova formula.
Augustin Louis Cauchy (1789. - 1857.) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. 1897.) Rad Cauchyja i Weierstrassa sažeo je stoljetni razvoj integralnog računa.
U razvoju integralnog računa sudjelovali su ruski matematičari: M.V. Ostrogradsky (1801. - 1862.) V.Ya. Bunyakovsky (1804. - 1889.) P.L. Čebišev (1821. - 1894.)
NEODREĐENI INTEGRAL Neodređeni integral neprekidne funkcije f(x) na intervalu (a; b) je bilo koja njena antiderivativna funkcija. Gdje je C proizvoljna konstanta (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Podudaranje. Pronađite jednu opći oblik primitivno, što odgovara zadanu funkciju. tgx +S
Integralna svojstva
Integralna svojstva
Osnovne metode integracije Tablični. 2. Redukcija na tabličnu transformaciju integranda u zbroj ili razliku. 3.Integracija pomoću promjene varijable (supstitucija). 4. Integracija po dijelovima.
Pronađite antiderivate za funkcije: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) = 3-2x
Je li istina da: a) c) b) d)
Primjer 1. Integral zbroja izraza jednak je zbroju integrali ovih izraza Iz predznaka integrala može se izvaditi konstantni faktor
Primjer 2. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:
Primjer 3. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:
Primjer 4 . Provjerite rješenje Zapišite rješenje: Uvedite novu varijablu i izrazite razlike:
Primjer 5. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:
C Pretraživanje domaće zadaće neodređeni integral Provjerite rješenje Razina “A” (za “3”) Razina “B” (po “4”) Razina “C” (po “5”)
Zadatak Uspostavite podudarnost. Pronađite takav opći oblik antiderivata koji odgovara zadanoj funkciji.
slajd 1
slajd 2
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/5/4585/389/img1.jpg)
slajd 3
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/5/4585/389/img2.jpg)
slajd 4
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/5/4585/389/img3.jpg)
slajd 5
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/5/4585/389/img4.jpg)
slajd 6
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/5/4585/389/img5.jpg)
Slajd 7
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/5/4585/389/img6.jpg)
Glavna literatura
1. Shipachev V.S. viša matematika. Osnovni kolegij: udžbenik iradionica za prvostupnike [Svjedodžba Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije] / V. S.
Šipačev; izd. A. N. Tikhonova. - 8. izd., prerađeno. i dodatni Moskva: Yurayt, 2015. - 447 str.
2. V. S. Shipachev, Viša matematika. Cijeli tečaj: udžbenik
za akad. Bachelor's degree [Certificate of UMO] / V. S. Shipachev; izd. ALI.
N. Tikhonova. - 4. izd., vlč. i dodatni - Moskva: Jurajt, 2015. - 608
s
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. viša matematika
u vježbama i zadacima. [Tekst] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Koževnikov. U 2 sata - M .: postdiplomske studije, 2007. - 304+415c.
Izvještavanje
1.Test. Izvedeno u skladu sa:
Zadaci i smjernice za obavljanje kontrolnih poslova
u disciplini "PRIMIJENJENA MATEMATIKA", Jekaterinburg, FGAOU
VO „Ruska državna strukovna pedagoška
Sveučilište“, 2016. - 30-te.
Opcija kontrolni rad odaberite po zadnjoj znamenki
knjiga rekorda.
2.
Ispit
Neodređeni integral, njegova svojstva i izračun Antiderivativni i neodređeni integral
Definicija. Poziva se funkcija F xantiderivativna funkcija f x definirana na
neki interval ako je F x f x za
svaki x iz ovog intervala.
Na primjer, funkcija cos x je
primitivni funkcije grijeha x , budući da
cos x sin x . Očito, ako je F x antiderivat
funkcije f x , tada je i F x C , gdje je C neka konstanta
antiderivativna funkcija f x .
Ako je F x neki antiderivat
funkcija f x , zatim bilo koja funkcija oblika
F x F x C je također
antiderivativna funkcija f x i bilo koja
primitiv se može predstaviti u ovom obliku. Definicija. Ukupnost svega
antiderivacije funkcije f x ,
definirana na nekima
između se zove
neodređeni integral od
funkcije f x na ovom intervalu i
označeno s f x dx . Ako je F x neki antiderivat funkcije
f x , tada pišu f x dx F x C , iako
ispravnije bi bilo napisati f x dx F x C .
Mi ćemo, po ustaljenoj tradiciji, pisati
f x dx F x C .
Dakle, isti simbol
f x dx će označavati kao cjelinu
skup antiderivata funkcije fx,
i bilo koji element ovog skupa.
Integralna svojstva
Derivat neodređenog integrala jeintegrand, i njegov diferencijal prema integrandu. Stvarno:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.
Integralna svojstva
3. Neodređeni integral oddiferencijal kontinuirano (x)
diferencibilna funkcija jednaka je samoj sebi
ovu funkciju do konstante:
d (x) (x) dx (x) C,
budući da je (x) antiderivat od (x).
Integralna svojstva
4. Ako funkcije f1 x i f 2 x imajuantiderivata, onda funkcija f1 x f 2 x
također ima antideritiv, i
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .
1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
U a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
grijeh x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
Tablica neodređenih integrala
11.dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
x
12. 2 2 arktan C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C ..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x
Svojstva diferencijala
Prilikom integracije prikladan je za korištenjesvojstva: 1
1. dx d (sjekira)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3
Primjeri
Primjer. Izračunaj cos 5xdx .Odluka. U tablici integrala nalazimo
cos xdx sin x C .
Pretvorimo ovaj integral u tablični,
iskorištavajući činjenicu da je d ax adx .
Zatim:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5
Primjeri
Primjer. Izračunaj x3x x 1 dx.
Odluka. Budući da je pod predznakom integrala
je onda zbroj četiri člana
proširiti integral kao zbroj četiri
integrali:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2
Neovisnost o vrsti varijable
Prilikom izračunavanja integrala, to je prikladnokoristite sljedeća svojstva
integrali:
Ako je f x dx F x C , tada
f x b dx F x b C .
Ako je f x dx F x C , tada
1
f ax b dx F ax b C .
a
Primjer
Izračunaj1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5
Metode integracije Integracija po dijelovima
Ova metoda temelji se na formuli udv uv vdu.Metodom integracije po dijelovima uzimaju se sljedeći integrali:
a) x n sin xdx, gdje je n 1,2...k;
b) x n e x dx , gdje je n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , gdje je n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , gdje je n 0, 1, 2,... k .
Prilikom izračunavanja integrala a) i b) unesite
n 1
oznaka: x n u , zatim du nx dx , i, na primjer
sin xdx dv , zatim v cos x .
Prilikom izračunavanja integrala c), d) označimo za u funkciju
arctgx , ln x , a za dv uzimaju x n dx .
Primjeri
Primjer. Izračunajte x cos xdx .Odluka.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
Primjeri
Primjer. Izračunatix ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
u x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
u x
C.
=
2
2
2
2 2
Varijabilna metoda zamjene
Neka je potrebno pronaći f x dx , iizravno pokupiti primitiv
za f x ne možemo, ali to znamo
ona postoji. Često se nalazi
antiderivativ uvođenjem nove varijable,
prema formuli
f x dx f t t dt , gdje je x t i t novi
varijabla
Integracija funkcija koje sadrže kvadratni trinom
Razmotrimo integralaxb
dx ,
x px q
koji sadrži kvadratni trinom u
nazivnik integranda
izrazi. Uzima se i takav integral
metoda promjene varijabli,
prethodno identificiran u
nazivnik je pun kvadrat.
2
Primjer
Izračunatidx
.
x4x5
Odluka. Transformirajmo x 2 4 x 5 ,
2
odabir punog kvadrata prema formuli a b 2 a 2 2ab b 2 .
Tada dobivamo:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.
Primjer
Pronaći1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
Određeni integral, njegova glavna svojstva. Newton-Leibnizova formula. Primjene određenog integrala.
Koncept određenog integrala vodi doproblem pronalaženja površine krivulje
trapez.
Neka je zadan neki interval
kontinuirana funkcija y f (x) 0
Zadatak:
Nacrtajte njegov graf i pronađite F područje figure,
omeđen ovom krivuljom, dvije ravne crte x = a i x
= b, a odozdo - segment osi apscise između točaka
x = a i x = b. Lik aABb se zove
krivolinijski trapez
Definicija
bf(x)dx
Pod određenim integralom
a
od zadane kontinuirane funkcije f(x) nadalje
ovaj segment se razumije
odgovarajući prirast
primitivno, tj
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Brojevi a i b su granice integracije,
je interval integracije.
Pravilo:
Definitivni integral jednak je razlicivrijednosti antiderivativnog integranda
funkcije za gornje i donje granice
integracija.
Uvođenje oznake za razliku
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Newton-Leibnizova formula.
Osnovna svojstva određenog integrala.
1) Vrijednost određenog integrala ne ovisi onotacija integracijske varijable, t.j.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
gdje su x i t bilo koja slova.
2) Određeni integral s istim
vani
integracija je nula
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a 3) Prilikom preuređivanja granica integracije
određeni integral obrće svoj predznak
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(svojstvo aditivnosti)
4) Ako se interval podijeli na konačan broj
parcijalni intervali, zatim određeni integral,
preuzeta preko intervala jednaka je zbroju definiranih
integrali uzeti po svim njegovim parcijalnim intervalima.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx 5) Može se izvaditi konstantni množitelj
za predznak određenog integrala.
6) Definitivni integral algebarskog
zbroji konačnog broja kontinuiranih
funkcije jednaka je istoj algebarskoj
zbroj određenih integrala ovih
funkcije.
3. Promjena varijable u određenom integralu.
3. Zamjena varijable u određenomsastavni.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
gdje
za t[; ] , funkcije (t) i (t) su kontinuirane na;
5
Primjer:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Nepravilni integrali.
Nepravilni integrali.Definicija. Neka je funkcija f(x) definirana na
beskonačni interval , gdje je b< + . Если
postojati
b
lim
f(x)dx,
b
a
tada se ova granica naziva nepravilnim
integral funkcije f(x) na intervalu
}