Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točku. Jednadžba ravnine koja prolazi kroz danu točku okomito na zadani pravac. Udaljenost do ravnine od točke

U ovom članku ćemo govoriti o tome kako je jednadžba ravnine koja prolazi zadanu točku trodimenzionalni prostor okomit na zadanu liniju. Prvo ćemo analizirati princip pronalaženja jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomitu na zadanu ravnu liniju, nakon čega ćemo detaljno analizirati rješenja karakteristični primjeri i zadatke.

Navigacija po stranici.

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac.

Postavimo si sljedeći zadatak.

Neka je Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru, zadana je točka, pravac a, a potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Prvo, sjetimo se jedne važne činjenice.

Na nastavi geometrije Srednja škola dokazan je teorem: jedna ravnina prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru, okomito na zadanu liniju (dokaz ovog teorema možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10.-11. razred, naveden u popisu literature na kraj članka).

Sada ćemo pokazati kako se nalazi jednadžba ove pojedinačne ravnine koja prolazi kroz danu točku okomitu na zadani pravac.

U uvjetu zadatka zadane su nam koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju ravnina prolazi. Zatim, ako pronađemo koordinate vektora normale ravnine, tada možemo sastaviti traženu jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravnu liniju.

Primjeri sastavljanja jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomitu na zadanu ravnu liniju.

Razmotrimo rješenja nekoliko primjera u kojima se nalazi jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadanu ravnu liniju.

Primjer.

Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku i okomita je na koordinatni pravac Oz.

Riješenje.

Vektor smjera koordinatnog pravca Oz očito je koordinatni vektor . Tada normalni vektor ravnine, čiju jednadžbu trebamo sastaviti, ima koordinate. Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku i ima normalni vektor s koordinatama:
.

Pokažimo drugi način rješavanja ovog problema.

Ravnina okomita na koordinatni pravac Oz definira nepotpunu opću jednadžbu ravnine oblika . Nađimo vrijednosti C i D u kojima ravnina prolazi kroz točku zamjenom koordinata ove točke u jednadžbu: . Dakle, brojevi C i D povezani su relacijom . Uzimajući C=1, dobivamo D=-5. Pronađene C=1 i D=-5 zamjenjujemo u jednadžbu i dobivamo željenu jednadžbu ravnine okomite na pravac Oz i koja prolazi kroz točku . Izgleda kao .

Odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravi .

Riješenje.

Budući da je ravnina čiju jednadžbu trebamo dobiti okomita na pravu , tada se vektor normale ravnine može uzeti kao usmjeravajući vektor zadane ravne. Zatim . Ostaje napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku i ima normalni vektor : . Ovo je željena jednadžba ravnine koja prolazi kroz ishodište okomito na zadanu liniju.

Odgovor:

Primjer.

Dvije točke i dane su u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru. Ravnina prolazi točkom A okomito na pravac AB. Napišite jednadžbu ravnine u segmentima.

Riješenje.

Opća jednadžba ravnine koja prolazi kroz točku i ima vektor normalne ravnine , bit će napisan kao .

Ostaje prijeći na traženu jednadžbu ravnine u segmentima:

.

Odgovor:

Zaključno, napominjemo da postoje zadaci u kojima je potrebno napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine koje se sijeku. U biti, rješenje ovog problema svodi se na sastavljanje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravnu liniju, budući da dvije ravnine koje se sijeku definiraju ravnu liniju. U ovom slučaju, glavna poteškoća je proces pronalaženja koordinata vektora normale ravnine, čiju jednadžbu treba sastaviti.

Dakle, vektor je vektor normale ravnine okomite na pravac a . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku i ima normalan vektor :
.

Ovo je željena jednadžba ravnine koja prolazi kroz danu točku okomito na zadanu ravnu liniju.

Odgovor:

Bibliografija.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za 7.-11. razred obrazovnih ustanova.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. višu matematiku. Prvi svezak: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Razmotrimo ravninu Q u prostoru. Njen položaj je potpuno određen specificiranjem vektora N okomitog na ovu ravninu i neke fiksne točke koja leži u ravnini Q. Vektor N okomit na ravninu Q naziva se vektor normale ove ravnine. Označimo li s A, B i C projekcije vektora normale N, tada

Izvedimo jednadžbu ravnine Q koja prolazi kroz zadanu točku i ima zadani vektor normale. Da biste to učinili, razmotrite vektor koji povezuje točku s proizvoljnom točkom ravnine Q (slika 81).

Za bilo koji položaj točke M na ravnini Q, vektor MXM je okomit na vektor normale N ravnine Q. Prema tome, skalarni produkt Zapišimo skalarni umnožak u terminima projekcija. Budući da , I vektor , Onda

i zbog toga

Pokazali smo da koordinate bilo koje točke Q ravnine zadovoljavaju jednadžbu (4). Lako je vidjeti da koordinate točaka koje ne leže na ravnini Q ne zadovoljavaju ovu jednadžbu (u potonjem slučaju, ). Stoga smo dobili traženu jednadžbu ravnine Q. Jednadžba (4) naziva se jednadžbom ravnine koja prolazi kroz zadanu točku. Prvog je stupnja u odnosu na trenutne koordinate

Dakle, pokazali smo da bilo kojoj ravnini odgovara jednadžba prvog stupnja s obzirom na trenutne koordinate.

Primjer 1. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na vektor.

Riješenje. ovdje . Na temelju formule (4) dobivamo

ili, nakon pojednostavljenja,

Davanjem različitih vrijednosti koeficijentima A, B i C jednadžbe (4), možemo dobiti jednadžbu bilo koje ravnine koja prolazi kroz točku . Skup ravnina koje prolaze kroz danu točku naziva se skup ravnina. Jednadžba (4), u kojoj koeficijenti A, B i C mogu poprimiti bilo koju vrijednost, naziva se jednadžba gomile ravnina.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz tri točke, (slika 82).

Riješenje. Napišimo jednadžbu za hrpu ravnina koje prolaze kroz točku

Ovaj članak daje ideju o tome kako napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na zadanu liniju. Analizirajmo gornji algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac

Neka je u njemu zadan trodimenzionalni prostor i pravokutni koordinatni sustav O x y z. Također su dana točka M 1 (x 1, y 1, z 1), pravac a i ravnina α koja prolazi točkom M 1 okomito na pravu a. Potrebno je zapisati jednadžbu ravnine α.

Prije nego nastavimo rješavati ovaj problem, prisjetimo se teorema geometrije iz programa za 10. - 11. razred, koji glasi:

Definicija 1

Jedna ravnina prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru i okomita je na zadanu liniju.

Sada razmislite kako pronaći jednadžbu ove pojedinačne ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita na zadanu liniju.

Opću jednadžbu ravnine moguće je napisati ako su poznate koordinate točke koja pripada ovoj ravnini, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uvjetom zadatka dane su nam koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina α. Ako odredimo koordinate vektora normale ravnine α, tada ćemo moći napisati željenu jednadžbu.

Normalni vektor ravnine α, budući da je različit od nule i leži na pravcu a, okomito na ravninu α, bit će bilo koji usmjeravajući vektor pravca a. Dakle, problem nalaženja koordinata vektora normale ravnine α pretvara se u problem određivanja koordinata usmjerivača vektora ravne a .

Određivanje koordinata usmjeravajućeg vektora ravne a može se provesti različitim metodama: ovisi o varijanti postavljanja ravne a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u uvjetu problema zadan kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tada će usmjeravajući vektor ravne imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je pravac a predstavljen s dvije točke M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora smjera biti određene kao (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomitu na danu pravu:

Odredite koordinate usmjeravajućeg vektora ravne a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravnine α definiramo kao koordinate usmjeravajućeg vektora ravne a:

n → = (A, B, C) , gdje je A = a x , B = a y , C = a z;

Zapisujemo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima vektor normale n→=(A, B, C) u obliku A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ovo će biti tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru i okomita je na zadani pravac.

Rezultirajuća opća jednadžba ravnine: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 omogućuje dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednadžbe ravnine.

Riješimo neke primjere koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadana je točka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravnina, a ta je ravnina okomita na koordinatni pravac O z.

Riješenje

vektor smjera koordinatnog pravca O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Stoga vektor normale ravnine ima koordinate (0 , 0 , 1) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku M 1 (3, - 4, 5) čiji vektor normale ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odgovor: z - 5 = 0 .

Razmotrite drugi način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravninu koja je okomita na pravac O z dat će nepotpuna opća jednadžba ravnine oblika S z + D = 0 , C ≠ 0 . Definirajmo vrijednosti C i D: one za koje ravnina prolazi kroz danu točku. Zamijenimo koordinate ove točke u jednadžbu C z + D = 0 , dobivamo: C · 5 + D = 0 . Oni. brojevi, C i D su povezani sa - D C = 5 . Uzimajući C \u003d 1, dobivamo D \u003d - 5.

Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijete traženu jednadžbu za ravninu okomitu na pravac O z i koja prolazi kroz točku M 1 (3, - 4, 5) .

Izgledat će ovako: z - 5 = 0.

Odgovor: z - 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita na pravac x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riješenje

Na temelju uvjeta problema može se tvrditi da se vodeći vektor zadane ravne linije može uzeti kao normalni vektor n → dane ravnine. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom O (0, 0, 0) i ima normalni vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednadžbu za ravninu koja prolazi ishodištem okomito na zadani pravac.

Odgovor:- 3x - 7y + 2z = 0

Primjer 4

Zadan pravokutni koordinatni sustav O x y z u trodimenzionalnom prostoru, on sadrži dvije točke A (2 , - 1 , - 2) i B (3 , - 2 , 4) . Ravnina α prolazi točkom A okomito na pravac AB. Potrebno je sastaviti jednadžbu ravnine α u segmentima.

Riješenje

Ravnina α je okomita na pravac A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravnine α. Koordinate ovog vektora određuju se kao razlika između odgovarajućih koordinata točaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednadžba ravnine bit će zapisana u sljedećem obliku:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavljamo željenu jednadžbu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje problemi čiji je zahtjev napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine. Općenito, rješenje ovog problema je napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku okomitu na danu pravu, budući da dvije ravnine koje se sijeku definiraju ravnu liniju.

Primjer 5

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z, u njemu je točka M 1 (2, 0, - 5) . Dane su i jednadžbe dviju ravnina 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0 koje se sijeku duž prave a . Potrebno je sastaviti jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Riješenje

Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora ravne a . Okomit je i na vektor normale n 1 → (3, 2, 0) ravnine n → (1, 0, 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 ravnine x + 2 z - 1 = 0 .

Tada uzimamo usmjeravajući vektor α → pravac a vektorski proizvod vektori n 1 → i n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Dakle, vektor n → = (4, - 6, - 2) bit će vektor normale ravnine okomite na pravac a. Zapisujemo željenu jednadžbu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bismo dobili opću jednadžbu ravnine, analiziramo ravninu koja prolazi kroz zadanu točku.

Neka u svemiru postoje tri koordinatne osi koje su nam već poznate - Vol, Oy i Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravnina će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.

Neka P proizvoljna ravnina u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru koji nije nula.

Ako je poznata neka točka ravnine P i neki vektor normale na njega, tada je ta dva uvjeta ravnina u prostoru potpuno određena(kroz danu točku postoji samo jedna ravnina okomita na dati vektor). Opća jednadžba ravnine će izgledati ovako:

Dakle, postoje uvjeti koji postavljaju jednadžbu ravnine. Da ga dobijem sam jednadžba ravnine, koji ima gornji oblik, uzimamo u avion P proizvoljan točka M s promjenjivim koordinatama x, y, z. Ova točka pripada ravnini samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uvjetu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni proizvod ovih vektora bude jednak nuli, tj.

Vektor je zadan uvjetom. Koordinate vektora nalazimo po formuli :

Sada, koristeći formulu točkastog produkta vektora , skalarni proizvod izražavamo u koordinatnom obliku:

Od točke M(x; y; z) odabire se proizvoljno na ravnini, tada posljednju jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja leži na ravnini P. Za bod N, ne leži na danoj ravnini, , t.j. narušena je jednakost (1).

Primjer 1 Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točku i okomita je na vektor.

Riješenje. Koristimo formulu (1), pogledajte je ponovo:

U ovoj formuli brojevi A , B i C vektorske koordinate i brojeve x0 , y0 i z0 - koordinate točke.

Izračuni su vrlo jednostavni: te brojeve zamjenjujemo u formulu i dobivamo

Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji su bez slova). Proizlaziti:

Pokazalo se da je tražena jednadžba ravnine u ovom primjeru izražena općom jednadžbom prvog stupnja s obzirom na promjenjive koordinate x, y, z proizvoljna točka ravnine.

Dakle, jednadžba oblika

pozvao opća jednadžba ravnine .

Primjer 2 Izgradite u pravokutnom obliku Kartezijanski sustav koordinatnu ravninu zadanu jednadžbom .

Riješenje. Za konstruiranje ravnine potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njezine točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji, na primjer, točke presjeka ravnine s koordinatnim osi.

Kako pronaći ove točke? Pronaći točku presjeka s osi Oz, trebate zamijeniti nule umjesto x i y u jednadžbi danoj u izjavi problema: x = y= 0 . Stoga dobivamo z= 6 . Dakle, zadana ravnina siječe os Oz u točki A(0; 0; 6) .

Na isti način nalazimo točku presjeka ravnine s osi Oy. Na x = z= 0 dobivamo y= −3 , odnosno točka B(0; −3; 0) .

I konačno, nalazimo točku presjeka naše ravnine s osi Vol. Na y = z= 0 dobivamo x= 2 , odnosno točka C(2; 0; 0) . Prema tri točke dobivene u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) gradimo zadanu ravninu.

Razmislite sada posebnim slučajevima opća jednadžba avion. To su slučajevi kada određeni koeficijenti jednadžbe (2) nestanu.

1. Kada D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate točke 0 (0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednadžbu.

2. Kada A= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s osi Vol, budući da je vektor normale ove ravnine okomit na os Vol(njegova projekcija na os Vol jednaka nuli). Slično, kada B= 0 avion os paralelna Oy, i kada C= 0 avion paralelno s osi Oz.

3. Kada A=D= 0 jednadžba definira ravninu koja prolazi kroz os Vol jer je paralelna s osi Vol (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz os Oy, i ravnina kroz os Oz.

4. Kada A=B= 0 jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom ravninom xOy jer je paralelna s osi Vol (A= 0) i Oy (B= 0). Isto tako, ravnina je paralelna s ravninom yOz, a avion - avion xOz.

5. Kada A=B=D= 0 jednadžba (ili z= 0) definira koordinatnu ravninu xOy, budući da je paralelna s ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Slično, jednadžba y= 0 u prostoru definira koordinatnu ravninu xOz, i jednadžba x= 0 - koordinatna ravnina yOz.

Primjer 3 Sastavite jednadžbu ravnine P prolazeći kroz os Oy i točka .

Riješenje. Dakle, ravnina prolazi kroz os Oy. Dakle u njezinoj jednadžbi y= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A i C koristimo se činjenicom da točka pripada ravnini P .

Stoga među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine, koju smo već izveli (). Pogledajmo još jednom koordinate točke:

M0 (2; −4; 3) .

Među njima x = 2 , z= 3 . Zamijenite ih u jednadžbu opći pogled i dobivamo jednadžbu za naš konkretni slučaj:

2A + 3C = 0 .

Odlazimo 2 A na lijevu stranu jednadžbe prenosimo 3 C na desnu stranu i dobiti

A = −1,5C .

Zamjena pronađene vrijednosti A u jednadžbu , dobivamo

ili .

Ovo je jednadžba potrebna u primjeru uvjeta.

Sami riješite problem na jednadžbama ravnine, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Odredite ravninu (ili ravnine ako ih je više od jedne) u odnosu na koordinatne osi ili koordinatne ravnine ako su ravnine zadane jednadžbom .

Rješenja tipičnih problema koji su kontrolni rad- u priručniku "Zadaci na ravnini: paralelizam, okomitost, presjek tri ravnine u jednoj točki" .

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke

Kao što je već spomenuto, nužan i dovoljan uvjet za konstruiranje ravnine, osim jedne točke i vektora normale, su i tri točke koje ne leže na jednoj pravoj liniji.

Neka postoji tri različite točke , I , Ne leži na istoj ravnoj liniji. Budući da ove tri točke ne leže na jednoj ravnoj liniji, vektori i nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka ravnine leži u istoj ravnini s točkama , i ako i samo ako su vektori , i komplanarno, tj. ako i samo ako mješoviti proizvod ovih vektora jednaka nuli.