Metode rješavanja algebarskih jednadžbi viših stupnjeva.
Khabibullina Alfiya Yakubovna ,
profesor matematike najviše kategorije MBOU srednje škole №177
grad Kazan, Počasni učitelj Republike Tatarstan,
kandidat pedagoških znanosti.
Definicija 1. Algebarska jednadžba stupnja n je jednadžba oblika P n (x)=0, gdje je P n (x) polinom stupnja n, tj. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.
Definicija 2. Korijen jednadžba - numerička vrijednost varijable x, koja, kada se zamijeni u ovu jednadžbu, daje istinska jednakost.
Definicija 3. Odlučiti jednadžba znači pronaći sve njezine korijene ili dokazati da ih nema.
ja Metoda rastavljanja polinoma na faktore s naknadnim cijepanjem.
Jednadžba se može faktorizirati i riješiti metodom cijepanja, odnosno rastavljanjem na skup jednadžbi manjih stupnjeva.
Komentar: općenito, pri rješavanju jednadžbe metodom cijepanja ne treba zaboraviti da je umnožak jednak nuli ako, i samo ako, barem jedan od faktora nula dok drugi ostaju smisleni.
Načini faktorizacije polinoma:
1. Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagrada.
2.
Kvadratni trinom može se faktorizirati pomoću ah formule 2
+ in + c \u003d a (x-x 1
)(x-x 2
),
gdje 
0, x 1 i x 2 su korijeni kvadratnog trinoma.
3. Korištenje formule skraćenog množenja :
a n - u n \u003d (a - c) (a n-1 + Cn- 2 a n-2 c + Cn- 3 a n-3 c + ... + C 1 a u n-2 + u n- 1), n 
N.
Potpuni odabir kvadrata. Polinom se može faktorizirati pomoću formule razlike kvadrata, nakon što je prethodno istaknut puni kvadrat zbroja ili razlike izraza.
4. grupiranje(u kombinaciji s izbacivanjem zajedničkog faktora iz zagrada).
5. Koristeći korolar Bezoutovog teorema.
1) ako je jednadžba a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0, a 0 0 s cjelobrojnim koeficijentima ima racionalni korijen x 0 = 
(gdje - nesvodivi razlomak, str 
q 
), tada je p djelitelj slobodnog člana a n , a q je djelitelj vodećeg koeficijenta a 0 .
2) ako je x \u003d x 0 korijen jednadžbe P n (x) \u003d 0, tada je P n (x) \u003d 0 ekvivalentan jednadžbi
(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0, gdje je P n-1 (x) polinom koji se može pronaći dijeljenjem
P n (x) na (x - x 0) “kutu” ili metodom neodređenih koeficijenata.
II . Metoda uvođenja nove varijable (Supstitucija )
Razmotrimo jednadžbu f(x)=g(x). To je ekvivalentno jednadžbi f (x) -g (x) \u003d 0. Označimo razliku f (x) - g (x) \u003d h (p (x)), i 
. Uvedimo promjenu t=p(x) (poziva se funkcija t=p(x). zamjena
). Tada dobivamo jednadžbu h (p (x)) \u003d 0 ili h (t) \u003d 0, rješavajući posljednju jednadžbu, nalazimo t 1, t 2, ... Vraćajući se na zamjenu p (x) \u003d t 1, p (x) \u003d t 2 ,…, nalazimo vrijednosti varijable x.
III Metoda stroge monotonosti.
Teorema. Ako je y = f(x) strogo monoton na P, tada jednadžba f(x) = a (a - const) ima najviše jedan korijen na skupu P. (Funkcija je strogo monotona: ili samo opadajuća ili samo rastuća)
Komentar. Možete koristiti modifikaciju ove metode. Razmotrimo jednadžbu f(x)=g(x). Ako je funkcija y= f(x) monotono opadajuća na P, a funkcija y= g(x) monotono opadajuća na P (ili obrnuto), tada jednadžba f(x)=g(x) ima najviše jedan korijen na skupu P.
IV. Metoda usporedbe skupa vrijednosti oba dijela jednadžbe (metoda procjene)
Teorema Ako za bilo koji x iz skupa P vrijede nejednakosti f(x) 
a i g(x) 
a, tada je jednadžba f(x)=g(x) na skupu R ekvivalentna sustavu 
.
Posljedica: Ako je na skupu P 
ili 
, tada jednadžba f(x)=g(x) nema korijena.
Ova metoda je vrlo učinkovita u rješavanju transcendentalnih jednadžbi
V. Metoda nabrajanja djelitelja ekstremnih koeficijenata
Razmotrimo jednadžbu a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0
Teorema. Ako je x 0 = 
je korijen algebarske jednadžbe stupnja n, a i su cjelobrojni koeficijenti, zatim je p djelitelj slobodnog člana a n, a q je djelitelj vodećeg koeficijenta a 0 . Kada je 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (djelitelj slobodnog člana).
Posljedica Bezoutov teorem: Ako je x 0 korijen algebarske jednadžbe, tada se P n (x) dijeli s (x-x 0) bez ostatka, tj. P n (x) \u003d (x-x 0)Q n-1 (x) .
VI Metoda neodređenih koeficijenata.
Temelji se na sljedećim izjavama:
dva su polinoma identički jednaka ako i samo ako su im koeficijenti jednaki pri istim potencijama x.
bilo koji polinom trećeg stupnja rastavlja se na produkt dva faktora: linearnog i kvadratnog.
bilo koji polinom četvrtog stupnja rastavlja se u produkt dvaju polinoma
drugi stupanj.
VII. Hornerova shema .
Koristeći tablicu koeficijenata prema Hornerovom algoritmu odabirom se pronalaze korijeni jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana.
VIII . Metoda izvedenica.
Teorema. Ako 2 polinoma P(x) i Q(x) imaju identično jednake derivacije, tada postoji C-const takva da je P(x)=Q(x)+C za 
x 
R.
Teorema. Ako a 
(x) i 
(x) su djeljivi sa 
, onda (x) je djeljiv sa 
.
Posljedica: Ako a (x) i (x) dijele se polinomom R(x) , tada (x) je djeljiv sa 
(x), i najveći zajednički djelitelj polinoma (x) i (x) 
ima korijene koji su samo korijeni polinoma (x) s višestrukošću od najmanje 2.
IX . Simetrične recipročne jednadžbe .
Definicija. Jednadžba a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 naziva se simetričan
, ako 
1. Razmotrimo slučaj kada je n paran, n =2k. Ako a 
, tada x = 0 nije korijen jednadžbe, što daje pravo da se jednadžba podijeli na 
0 
+
+
+
=0 Uvedimo promjenu t= 
i, uzimajući u obzir lemu, rješavamo kvadratna jednadžba s obzirom na varijablu t. Povratna zamjena će dati rješenje za varijablu x.
2. Razmotrimo slučaj kada je n neparan, n=2k+1. Zatim 
= -1 je korijen jednadžbe. Podijelite jednadžbu s 
i dobivamo slučaj 1.. Povratna zamjena vam omogućuje pronalaženje vrijednosti x. Imajte na umu da se za m=-1 jednadžba naziva transformacija algebarska jednadžba P n (x)=0 (gdje je P n (x) polinom stupnja n) u jednadžbu oblika f(x)=g(x). Postavite funkcije y=f(x), y=g(x); opisujemo njihova svojstva i crtamo grafove u jednom koordinatnom sustavu. Apscise presječnih točaka bit će korijeni jednadžbe. Provjera se izvodi supstitucijom u izvornu jednadžbu.
Smatrati rješavanje jednadžbi s jednom varijablom većeg stupnja od druge.
Stupanj jednadžbe P(x) = 0 je stupanj polinoma P(x), tj. najveća od potencija njegovih članova s koeficijentom različitim od nule.
Tako, na primjer, jednadžba (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 ima peti stupanj, jer nakon operacija otvaranja zagrada i dovođenja sličnih, dobivamo ekvivalentnu jednadžbu x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 petog stupnja.
Prisjetite se pravila koja će biti potrebna za rješavanje jednadžbi stupnja višeg od drugog.
Izjave o korijenima polinoma i njegovih djelitelja:
1. Polinom nth stupnja ima broj korijena koji ne prelazi broj n, a korijeni višestrukosti m pojavljuju se točno m puta.
2. Polinom neparnog stupnja ima barem jedan realni korijen.
3. Ako je α korijen od R(h), tada je R n (h) = (h – α) · Q n – 1 (x), gdje je Q n – 1 (x) polinom stupnja (n – 1) .
4.
5. Reducirani polinom s cjelobrojnim koeficijentima ne može imati razlomačke racionalne korijene.
6. Za polinom trećeg stupnja
P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d moguća je jedna od dvije stvari: ili se rastavlja na produkt tri binoma
P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), ili se rastavlja na produkt binoma i kvadratnog trinoma P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ ).
7. Bilo koji polinom četvrtog stupnja proširuje se u umnožak dvaju kvadratnih trinoma.
8. Polinom f(x) djeljiv je polinomom g(x) bez ostatka ako postoji polinom q(x) takav da je f(x) = g(x) q(x). Za dijeljenje polinoma primjenjuje se pravilo "dijeljenja uglom".
9. Da bi polinom P(x) bio djeljiv binomom (x – c), potrebno je i dovoljno da broj c bude korijen iz P(x) (Korolar Bezoutovog teorema).
10. Vietin teorem: Ako su x 1, x 2, ..., x n pravi korijeni polinoma
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, tada vrijede jednakosti:
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,
x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.
Rješenje primjera
Primjer 1
Pronađite ostatak nakon dijeljenja P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 s (x - 1/3).
Riješenje.
Prema korolariji Bezoutovog teorema: "Ostatak dijeljenja polinoma s binomom (x - c) jednak je vrijednosti polinoma u c." Nađimo P(1/3) = 0. Dakle, ostatak je 0, a broj 1/3 je korijen polinoma.
Odgovor: R = 0.
Primjer 2
Podijelite "kut" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 s (x + 2). Nađi ostatak i nepotpuni kvocijent. 
Riješenje:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Odgovor: R = 3; kvocijent: 2x 2 - x.
Osnovne metode rješavanja jednadžbi viših stupnjeva
1. Uvođenje nove varijable
Metoda uvođenja nove varijable već je poznata iz primjera bikvadratne jednadžbe. Sastoji se od činjenice da se za rješavanje jednadžbe f (x) \u003d 0 uvodi nova varijabla (supstitucija) t \u003d x n ili t \u003d g (x) i f (x) se izražava kroz t, dobivajući nova jednadžba r (t). Zatim rješavajući jednadžbu r(t), pronađite korijene:
(t 1 , t 2 , …, t n). Nakon toga se dobije skup od n jednadžbi q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n iz kojih se nalaze korijeni izvorne jednadžbe.
Primjer 1
(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
Riješenje:
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.
Zamjena (x 2 + x + 1) = t.
t 2 - 3t + 2 = 0.
t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Obrnuta zamjena:
x 2 + x + 1 = 2 ili x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 ili x 2 + x = 0;
Odgovor: Iz prve jednadžbe: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, iz druge: 0 i -1.
2. Rastavljanje na faktore metodom grupiranja i skraćenih formula množenja
Osnova ove metode također nije nova i sastoji se u grupiranju pojmova na način da svaka grupa sadrži zajednički faktor. Da biste to učinili, ponekad morate koristiti neke umjetne trikove.
Primjer 1
x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.
Riješenje.
Zamislite - 3x 2 = -2x 2 - x 2 i grupirajte:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.
(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.
(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.
x 2 - x + 1 \u003d 0 ili x 2 + x - 3 \u003d 0.
Odgovor: U prvoj jednadžbi nema korijena, iz druge: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.
3. Faktorizacija metodom neodređenih koeficijenata
Bit metode je da se izvorni polinom rastavlja na faktore s nepoznatim koeficijentima. Koristeći svojstvo da su polinomi jednaki ako su im koeficijenti jednaki pri istim potencijama, nalaze se nepoznati koeficijenti proširenja.
Primjer 1
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Riješenje.
Polinom 3. stupnja može se rastaviti na umnožak linearnih i kvadratnih faktora.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.
Rješavanje sustava:
(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,
(a = -1,
(b=3,
(c = 2, tj.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
Korijene jednadžbe (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 lako je pronaći.
Odgovor: -1; -2.
4. Metoda odabira korijena po najvećem i slobodnom koeficijentu
Metoda se temelji na primjeni teorema:
1) Svaki cjelobrojni korijen polinoma s cjelobrojnim koeficijentima je djelitelj slobodnog člana.
2) Da bi nesvodivi razlomak p / q (p je cijeli broj, q je prirodan) bio korijen jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima, potrebno je da je broj p cjelobrojni djelitelj slobodnog člana a 0, a q je prirodni djelitelj najvišeg koeficijenta.
Primjer 1
6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.
Riješenje:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Stoga je p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Pronašavši jedan korijen, na primjer - 2, ostale korijene pronaći ćemo dijeljenjem kutom, metodom neodređenih koeficijenata ili Hornerovom shemom.
Odgovor: -2; 1/2; 1/3.
Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!
stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.
Općenito, jednadžba koja ima stupanj veći od 4 ne može se riješiti u radikalima. Ali ponekad ipak možemo pronaći korijene polinoma s lijeve strane u jednadžbi najvišeg stupnja, ako ga predstavimo kao produkt polinoma u stupnju ne većem od 4. Rješenje takvih jednadžbi temelji se na rastavljanju polinoma na faktore, pa vam savjetujemo da pregledate ovu temu prije proučavanja ovog članka.
Najčešće se radi o jednadžbama viših stupnjeva s cjelobrojnim koeficijentima. U tim slučajevima možemo pokušati pronaći racionalne korijene, a zatim faktorizirati polinom tako da ga možemo pretvoriti u jednadžbu nižeg stupnja, koju će biti lako riješiti. U okviru ovog materijala razmotrit ćemo upravo takve primjere.
Jednadžbe višeg stupnja s cjelobrojnim koeficijentima
Sve jednadžbe oblika a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0, možemo svesti na jednadžbu istog stupnja množenjem obje strane s a n n - 1 i promjenom varijable oblika y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Rezultirajući koeficijenti također će biti cijeli brojevi. Dakle, trebat ćemo riješiti reduciranu jednadžbu n-tog stupnja s cjelobrojnim koeficijentima, koja ima oblik x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Izračunavamo cjelobrojne korijene jednadžbe. Ako jednadžba ima cjelobrojne korijene, trebate ih tražiti među djeliteljima slobodnog člana a 0. Zapišimo ih i jednu po jednu zamijenimo u izvornu jednakost, provjeravajući rezultat. Nakon što smo dobili identitet i pronašli jedan od korijena jednadžbe, možemo ga napisati u obliku x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Ovdje je x 1 korijen jednadžbe, a P n - 1 (x) je kvocijent od x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 podijeljeno s x - x 1 .
Zamijenite preostale djelitelje u P n - 1 (x) = 0 , počevši s x 1 , jer se korijeni mogu ponavljati. Nakon dobivanja identiteta, korijen x 2 se smatra pronađenim, a jednadžba se može napisati kao (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. Ovdje P n - 2 (x ) bit će kvocijent dijeljenja P n - 1 (x) s x - x 2 .
Nastavljamo prebirati po djeliteljima. Pronađite sve korijene cijelog broja i označite njihov broj s m. Nakon toga se izvorna jednadžba može prikazati kao x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Ovdje je P n - m (x) polinom n - m -tog stupnja. Za izračun je prikladno koristiti Hornerovu shemu.
Ako naša izvorna jednadžba ima cjelobrojne koeficijente, ne možemo završiti s razlomačkim korijenima.
Kao rezultat, dobili smo jednadžbu P n - m (x) = 0, čiji se korijeni mogu pronaći na bilo koji prikladan način. Mogu biti iracionalni ili složeni.
Pokažimo dalje konkretan primjer kako se primjenjuje takva shema rješenja.
Primjer 1
Stanje: pronađite rješenje jednadžbe x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Riješenje
Počnimo s pronalaženjem cjelobrojnih korijena.
Imamo presretanje jednako minus tri. Ima djelitelje jednake 1, -1, 3 i -3. Zamijenimo ih u izvornu jednadžbu i vidimo koji će od njih kao rezultat dati identitete.
Za x jednak jedan, dobivamo 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, što znači da će jedan biti korijen ove jednadžbe.
Sada podijelimo polinom x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 s (x - 1) u stupac:
Dakle, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0
Dobili smo identitet, što znači da smo pronašli drugi korijen jednadžbe, jednak - 1.
Polinom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 dijelimo s (x + 1) u stupcu:
Shvaćamo to
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Sljedeći djelitelj zamijenimo u jednadžbu x 2 + x + 3 = 0, počevši od - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Dobivene jednakosti bit će netočne, što znači da jednadžba više nema cjelobrojne korijene.
Preostali korijeni bit će korijeni izraza x 2 + x + 3 .
D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0
Iz ovoga slijedi da ovaj kvadratni trinom nema realne korijene, ali ima kompleksno konjugirane: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Pojasnimo da se umjesto podjele u stupac može koristiti Hornerova shema. To se radi ovako: nakon što smo odredili prvi korijen jednadžbe, popunjavamo tablicu.
U tablici koeficijenata odmah se vide koeficijenti kvocijenta od dijeljenja polinoma, što znači x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
Nakon pronalaska sljedećeg korijena, jednakog - 1, dobivamo sljedeće:
Odgovor: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
Primjer 2
Stanje: riješite jednadžbu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.
Riješenje
Slobodni član ima djelitelje 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.
Provjerimo ih redom:
1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0
Dakle, x = 2 će biti korijen jednadžbe. Podijelite x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 s x - 2 koristeći Hornerovu shemu:
Kao rezultat, dobivamo x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0
Dakle, 2 će opet biti korijen. Podijelite x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 s x - 2:
Kao rezultat, dobivamo (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .
Provjera preostalih djelitelja nema smisla jer je jednakost x 2 + 3 x + 3 = 0 brže i praktičnije riješiti pomoću diskriminante.
Riješimo kvadratnu jednadžbu:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0
Dobivamo kompleksno konjugirani par korijena: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Odgovor: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Primjer 3
Stanje: pronađite prave korijene za jednadžbu x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.
Riješenje
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Izvodimo množenje 2 3 oba dijela jednadžbe:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0
Zamjenjujemo varijable y = 2 x:
2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
Kao rezultat, dobili smo standardnu jednadžbu 4. stupnja, koja se može riješiti prema standardnoj shemi. Provjerimo djelitelje, podijelimo i na kraju dobijemo da ima 2 prava korijena y \u003d - 2, y \u003d 3 i dva kompleksna. Ovdje nećemo predstavljati cijelo rješenje. Na temelju zamjene, stvarni korijeni ove jednadžbe bit će x = y 2 = - 2 2 = - 1 i x = y 2 = 3 2 .
Odgovor: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Jednadžbe čovjek koristi od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. U matematici su jednadžbe viših stupnjeva s cjelobrojnim koeficijentima prilično česte. Da biste riješili ovakvu jednadžbu, potrebno vam je:
Odrediti racionalne korijene jednadžbe;
Faktorirajte polinom koji je na lijevoj strani jednadžbe;
Pronađite korijene jednadžbe.
Pretpostavimo da nam je dana jednadžba sljedeća vrsta:
Pronađimo sve njegove prave korijene. Pomnožite lijevu i desnu stranu jednadžbe s \
Promijenimo varijable \
Tako smo dobili reduciranu jednadžbu četvrtog stupnja koja se rješava prema standardnom algoritmu: provjeravamo djelitelje, provodimo dijeljenje i kao rezultat saznajemo da jednadžba ima dva realna korijena \ i dva kompleksna one. Dobivamo sljedeći odgovor na našu jednadžbu četvrtog stupnja:
Gdje mogu riješiti jednadžbu viših potencija na mreži s rješavačem?
Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https: // site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.
