Državna proračunska obrazovna ustanova
Gimnazija br.000
Projektantski rad na geometriji.
Osam načina za konstruiranje tangente na kružnicu.
9 biološki i kemijski razred
nadglednik: ,
zamjenik ravnatelja za nastavu,
nastavnik matematike.
Moskva 2012
Uvod
Poglavlje 1. ………………………………………………………………………………4
zaključak (zaključak)
Uvod
Najviša manifestacija duha je um.
Najviša manifestacija uma je geometrija.
Geometrijska ćelija je trokut. On je isti
neiscrpna, poput svemira. Krug je duša geometrije.
Znajte opseg i nećete spoznati samo dušu
geometrije, ali i uzvisi svoju dušu.
Klaudije Ptolemej
Zadatak.
Konstruiraj tangentu na kružnicu sa središtem O i polumjerom R koja prolazi kroz točku A koja leži izvan kružnice
Poglavlje 1.
Konstrukcije tangente na kružnicu koje ne zahtijevaju opravdanje na temelju teorije paralelnih pravaca.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. Za kružnicu (O; r) OB - polumjer. OB AB, dakle, AB je tangenta na temelju tangente.
Slično, AC je tangenta na kružnicu.
Konstrukcija br. 1 temelji se na činjenici da je tangenta kružnice okomita na polumjer povučen u točku tangente.
Za liniju postoji samo jedna dodirna točka s kružnicom.
Kroz zadanu točku na pravcu može se povući samo jedna okomita linija.
Zgrada broj 2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°
5. OB - polumjer, ABO = 90°, dakle, AB - tangenta na osnovu.
6. Slično, u jednakokračnom trokutu AON, AC je tangenta (ACO \u003d 90 °, OS je polumjer)
7. Dakle, AB i AC su tangente
Zgrada br. 3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM =OVA= 90° (kao odgovarajući kutovi u jednakih trokuta), dakle, AB je tangenta na temelju tangente.
4. Slično, AC je tangenta
Zgrada №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Zgrada broj 6.
zgrada:
2. Povucite kroz točku A proizvoljan pravac koji siječe kružnicu (O, r) u točkama M i N.
6. AB i BC su željene tangente.
Dokaz:
1. Budući da su trokuti PQN i PQM upisani u kružnicu, a stranica PQ je promjer kružnice, ovi trokuti su pravokutni trokuti.
2. U trokutu PQL, segmenti PM i QN su visine koje se sijeku u točki K, pa je KL treća visina..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, zatim |AQ| = |AS|ctg β Stoga |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Uspoređujući (1) i (2) dobivamo |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, ili
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
Nakon otvaranja zagrada i pojednostavljenja, nalazim da je |OD|·|OA|=R².
5. Iz relacije |OD|·|OA|=R² slijedi da su |OD|:R=R: |OA|, odnosno trokuti ODB i OBA slični..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90°. Dakle, pravac AB je tražena tangenta, što je trebalo dokazati.
Zgrada broj 6. 
zgrada:
1. Nacrtajte krug (A; |OA|).
2. Pronaći ću otvor kompasa jednak 2R, za koji ću odabrati točku S na kružnici (O; R) i izdvojiti tri luka od kojih svaki ima 60º: SP=PQ=QT=60°. Točke S i T su dijametralno suprotne.
3. Gradim kružnicu (O; ST) koja se siječe w 1 Koji je ovo krug? u točkama M i N.
4. Sada ću izgraditi srednji MO. Da bih to učinio, gradim kružnice (O; OM) i (M; MO), a zatim za točke M i O nalazimo dijametralno suprotne točke U i V na njima.
6. Konačno ću konstruirati kružnicu (K; KM) i (L; LM) koji se sijeku u željenoj točki B - sredini MO.
Dokaz:
Trokuti KMV i UMK su jednakokračni i slični. Stoga, iz činjenice da je KM = 0,5MU, slijedi da je MB = 0,5MK = 0,5R. Dakle, točka B je željena točka kontakta. Slično, možete pronaći kontaktnu točku C.
Poglavlje 3
Konstrukcija tangente na kružnicu na temelju svojstava sekanti, simetrala.
Zgrada br. 7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Zgrada br. 8
zgrada:
1. Konstruiraj kružnicu (A; AP) koja siječe pravac AP u točki D.
2. Konstruirajte kružnicu w na promjeru QD
3. Presjeći ću ga okomicom na pravac AR u točki A i dobiti točke M i N.
Dokaz:
Očito, AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Tada kružnica (A; AM) siječe (O; R) u dodirnim točkama B i C. AB i AC su željene tangente.
Drugi način pronalaženja središta (primjerice, tokaranih proizvoda) - korištenjem posebnog alata, "central finder" - temelji se na svojstvima tzv. tangentne linije. Tangenta na kružnicu je svaka ravna crta koja je, u točki susreta s kružnicom, okomita na polumjer povučen do te točke. Kao pakao. 174 ravno AB, CD i EF- tangente na kružnicu AS. bodova A, C, E nazivaju se "dodirnim točkama". Posebnost tangentne linije je u tome što ima kružnicu od samo jedne opće točke. Doista, ako je tangenta AB(Sl. 175) bila je s kružnicom, pored ove još jedne zajedničke točke, npr. S, onda bismo povezivanjem sa središtem dobili jednakokračni trokut SOA s dva prava kuta SA, a to je, znamo, nemoguće (zašto?).
S linijama koje dodiruju kružnicu susrećemo se vrlo često u praktičnom životu. Uže prebačeno preko bloka zauzima položaj tangentnih linija na kružnicu bloka u njegovim rastegnutim dijelovima. Pojasevi za dizalice (kombinacije više blokova, sl. 176) nalaze se duž linije zajedničkih tangenti na opseg kotača. Prijenosni remeni remenica također zauzimaju položaj zajedničkih tangenti na kružnice remenica "vanjskih" tangenti u tzv. otvoreni prijenos i "unutarnji" - u zatvorenom.
Kako nacrtati tangentu na danu točku izvan kružnice? Drugim riječima: kao kroz točku ALI(dev. 177) nacrtajte ravnu liniju AB do kuta AVO je li bilo ravno? To se radi na sljedeći način. Spojiti ALI centriran O(crtež 178). Ravna linija je podijeljena na pola i oko sredine NA, kao središte, opisati kružnicu s polumjerom U. Drugim riječima, na OA izgraditi krug, kao u promjeru. Točke raskrižja S i D oba kruga su povezana ALI ravne linije: to će biti tangente.
Da bismo to potvrdili, crtamo od središta do točaka S i D pomoćne linije OS i OD. uglovima OSA i ODA su ravne jer su upisane u polukrug. A ovo znači da OS i OD tangente su na kružnicu.
Uzimajući u obzir našu konstrukciju, vidimo, između ostalog, da se iz svake točke izvan kružnice na nju mogu povući dvije tangente. Lako je provjeriti da su obje ove tangente iste duljine, tj AC= OGLAS. Doista, poanta O jednako udaljena od strana ugla ALI; sredstva OA- je jednako dijeljenje, a time i trokuti SLA i OAD su jednaki ( SUS).
Usput smo ustanovili da pravac koji dijeli kut između obje tangente prolazi središtem kružnice. To je osnova za uređaj uređaja za traženje središta tokaranih proizvoda - središnjeg tražila (sl. 179). Sastoji se od dva reda AB i AC, ojačana pod kutom, i treća linija BD, čiji rub BD prepolovi kut između bridova
prva dva retka. Uređaj se nanosi na okrugli proizvod tako da su rubovi ravnala uz njega AB i Sunce u dodiru s opsegom proizvoda. U tom će slučaju bridovi imati samo jednu zajedničku točku s kružnicom, pa rub ravnala mora, prema sada naznačenom svojstvu tangenta, prolaziti kroz središte kružnice. Nakon što ste nacrtali promjer kruga na proizvodu duž ravnala, nanesite središnji tražilo na proizvod u drugom položaju i nacrtajte drugačiji promjer. Željeno središte bit će na sjecištu oba promjera.
Ako trebate povući zajedničku tangentu na dvije kružnice, odnosno povući ravnu liniju koja bi dodirivala dvije kružnice istovremeno, postupite na sljedeći način. U blizini središta jednog kruga, na primjer, oko NA(Sl. 180), opišite pomoćnu kružnicu s polumjerom jednakim razlici polumjera obiju kružnica. Zatim iz točke ALI provesti tangente AC i OGLAS ovom pomoćnom krugu. Od bodova ALI i NA nacrtati ravne linije okomito na AC i OGLAS, dok se ne siječe s danim kružnicama u točkama E, Ž, H i G. ravne linije koje spajaju E s F, G s H, bit će zajedničke tangente na zadane kružnice, budući da su okomite na polumjere AE, CF, AG i D.H..
Uz one dvije tangente koje su upravo nacrtane i koje se nazivaju vanjskim, moguće je nacrtati i dvije druge tangente, smještene kao u vraga. 181 (unutarnje tangente). Da biste izveli ovu konstrukciju, opišite oko središta jednog od ovih krugova - na primjer, oko NA- pomoćna kružnica s polumjerom jednakim zbroju polumjera obiju kružnica. Od točke ALI povući tangente na ovu pomoćnu kružnicu. Čitatelji će moći sami pronaći daljnji tijek izgradnje.
Ponovite pitanja
Što je tangenta? Koliko zajedničkih točaka imaju tangenta i kružnica? Kako nacrtati tangentu na kružnicu kroz točku izvan kružnice? – Koliko se takvih tangenta može povući? – Što je centrifuga? Na čemu se temelji njegov uređaj? Kako nacrtati zajedničku tangentu na dvije kružnice? – Koliko je takvih tangenta?
U ovom poglavlju vratit ćemo se na jednu od glavnih geometrijski oblici- u krug. Dokazat će se različiti teoremi vezani uz kružnice, uključujući teoreme o kružnicama upisanim u trokut, četverokut i kružnice opisane oko tih figura. Osim toga, dokazat će se tri tvrdnje o značajnim točkama trokuta - točku presjeka simetrala trokuta, točku presjeka njegovih visina i točku presjeka okomitih simetrala na stranice trokuta. Prve dvije tvrdnje formulirane su još u 7. razredu, a sada ćemo ih moći dokazati.
Otkrijmo koliko zajedničkih točaka mogu imati ravna crta i kružnica, ovisno o njihovu relativnom položaju. Jasno je da ako pravac prolazi središtem kružnice, tada siječe kružnicu u dvije točke - krajevima promjera koji leže na ovoj liniji.
Neka pravac p ne prolazi središtem O kružnice polumjera r. Nacrtajmo okomicu OH na pravu p i slovom d označimo duljinu te okomice, odnosno udaljenost od središta te kružnice na liniju (slika 211).
Riža. 211
Istražujući međusobnog dogovora ravna crta i kružnica ovisno o omjeru između d i r. Moguća su tri slučaja.
1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора
Prema tome, točke A i B leže na kružnici i stoga su zajedničke točke pravca p i zadane kružnice.
Dokažimo da pravac p i zadana kružnica nemaju drugih zajedničkih točaka. Pretpostavimo da imaju još jednu zajedničku točku C. Tada je medijan OD jednakokračnog trokuta O AC povučen na bazu AC visina tog trokuta, dakle OD ⊥ p. Segmenti OD i OH se ne podudaraju, budući da se središte D segmenta AC ne podudara s točkom H - središtem segmenta AB. Dobili smo da su iz točke O na pravac p povučene dvije okomice (segmenti OH i OD), što je nemoguće.
Tako, ako je udaljenost od središta kružnice do ravne crte manja od polumjera kružnice (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . U ovom slučaju, pravac se naziva sekantom u odnosu na kružnicu.
2) d = r. U ovom slučaju, OH \u003d r, tj. Točka H leži na kružnici i stoga je zajednička točka pravca i kružnice (slika 211.6). Pravac p i kružnica nemaju drugih zajedničkih točaka, budući da je za bilo koju točku M pravca p koja je različita od točke H, OM > OH = r (kosi OM je veći od okomice OH), te je stoga , točka M ne leži na kružnici.
Dakle, ako je udaljenost od središta kružnice do pravca jednaka polumjeru kružnice, tada pravac i kružnica imaju samo jednu zajedničku točku.
3) d > r. U ovom slučaju, OH > r, dakle, za bilo koju točku M, pravac p OM ≥ OH > r (slika 211, c). Prema tome, točka M ne leži na kružnici.
Dakle, ako je udaljenost od središta kružnice do pravca veća od polumjera kružnice, tada pravac i kružnica nemaju zajedničke točke.
Tangenta na kružnicu
Dokazali smo da pravac i kružnica mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke i ne moraju imati nijednu zajedničku točku.
Pravac koji ima samo jednu zajedničku točku s kružnicom naziva se tangenta na kružnicu, a njihova zajednička točka naziva se dodirna točka između pravca i kružnice. Na slici 212, pravac p je tangenta na kružnicu sa središtem O, A je dodirna točka.
Dokažimo teorem o svojstvu tangente na kružnicu.
Teorema
Dokaz
Neka je p tangenta na kružnicu sa središtem O, a A dodirna točka (vidi sliku 212). Dokažimo da je tangenta p okomita na polumjer OA.
Riža. 212
Pretpostavimo da nije. Tada je polumjer OA kos na pravu p. Budući da je okomica povučena iz točke O na pravac p manja od kose OA, udaljenost od središta O kružnice do pravca p manja je od polumjera. Dakle, pravac p i kružnica imaju dvije zajedničke točke. Ali to je u suprotnosti s uvjetom: pravac p je tangentan.
Dakle, pravac p okomit je na polumjer OA. Teorem je dokazan.
Razmotrimo dvije tangente na kružnicu sa središtem O koja prolazi točkom A i dodiruje kružnicu u točkama B i C (slika 213). Segmenti AB i AC će se zvati segmenti tangenti povučeni iz točke A. Imaju sljedeće svojstvo:
Riža. 213
Da bismo dokazali ovu tvrdnju, okrenimo se slici 213. Prema teoremu o svojstvu tangente, kutovi 1 i 2 su pravi, pa su trokuti ABO i ACO pravokutni. Jednaki su jer imaju zajedničku hipotenuzu OA i jednake krate OB i OS. Dakle, AB = AC i ∠3 = ∠4, što je trebalo dokazati.
Dokažimo sada teorem suprotan teoremu o svojstvu tangente (tangentni kriterij).
Teorema
Dokaz
Iz uvjeta teorema proizlazi da je zadani polumjer okomita povučena iz središta kružnice na zadanu liniju. Prema tome, udaljenost od središta kružnice do pravca jednaka je polumjeru, te stoga pravac i kružnica imaju samo jednu zajedničku točku. Ali to također znači da je dana prava tangenta na kružnicu. Teorem je dokazan.
Ovaj se teorem temelji na rješenju zadataka o konstrukciji tangente. Riješimo jedan od ovih problema.
Zadatak
Kroz zadanu točku A kružnice sa središtem O povucite tangentu na ovu kružnicu.
Odluka
Nacrtajmo pravac O A, a zatim konstruirajmo pravac p koji prolazi točkom A okomito na pravac O A. Prema kriteriju tangente, pravac p je željena tangenta.
Zadaci
631. Neka je d udaljenost od središta kružnice polumjera r do pravca p. Koliki je relativni položaj pravca p i kružnice ako je: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?
632. Udaljenost od točke A do središta kružnice manja je od polumjera kružnice. Dokažite da je svaki pravac koji prolazi točkom A sekansa u odnosu na zadanu kružnicu.
633. Dat je kvadrat O ABC, čija je stranica 6 cm, i kružnica sa središtem u točki O polumjera 5 cm. Koji je od pravaca OA, AB, BC i AC sekantan u odnosu na ovu kružnicu?
634. Polumjer OM kružnice sa središtem O dijeli tetivu AB na pola. Dokažite da je tangenta kroz točku M paralelna s tetivom AB.
635. Kroz točku A kružnice povučeni su tangenta i tetiva jednaka polumjeru kružnice. Pronađite kut između njih.
636. Kroz krajeve tetiva AB, jednak polumjeru kružnice, povučene su dvije tangente koje se sijeku u točki C. Nađi kut AC B.
637. Kut između promjera AB i tetive AC je 30°. Kroz točku C povučena je tangenta i siječe pravac AB u točki D. Dokažite da je trokut ACD jednakokračan.
638. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O polumjera r u točki B. Nađi AB ako je OA = 2 cm i r = 1,5 cm.
639. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O polumjera r u točki B. Nađi AB ako je ∠AOB = 60° i r = 12 cm.
640. Dan je kružnica sa središtem O polumjera 4,5 cm i točka A. Kroz točku A povučene su dvije tangente na kružnicu. Nađite kut između njih ako je OA = 9 cm.
641. Odsječci AB i AC su odsječci tangenti na kružnicu sa središtem O povučenom iz točke A. Pronađite kut BAC ako središte segmenta AO leži na kružnici.
642. Na slici 213 OB = 3 cm, CM. = 6 cm. Pronađite AB, AC, ∠3 i ∠4.
643. Pravci AB i AC dodiruju kružnicu sa središtem O u točkama B i C. Nađi BC ako je ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.
644. Pravci MA i MB tangenti su na kružnicu sa središtem O u točkama A i B. Točka C je simetrična točki O u odnosu na točku B. Dokažite da je ∠AMC = 3∠BMC.
645. S krajeva promjera AB zadane kružnice povučene su okomice AA 1 i BB 1 na tangentu koja nije okomita na promjer AB. Dokažite da je dodirna točka središte odsječka A 1 B 1 .
646. U trokutu ABC, kut B je pravi. Dokazati da: a) pravac BC tangenta na kružnicu sa središtem A polumjera AB; b) pravac AB tangenta je na kružnicu sa središtem C polumjera CB; c) pravac AC nije tangent na kružnice sa središtem B i polumjerima B A i BC.
647. Odsječak AN je okomica povučena iz točke A na ravnu koja prolazi središtem O kružnice polumjera 3 cm. Je li pravac AN tangenta na kružnicu ako je: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?
648. Konstruiraj tangentu na kružnicu sa središtem O: a) paralelnu s zadanim pravcem; b) okomito na zadani pravac.
Odgovori na zadatke
Geometrijske konstrukcije
Konstrukcija tangenti na kružnice
Razmotrite problem koji leži u rješenju drugih problema o crtanju tangenti na kružnice.
Neka od točkeALI(slika 1) potrebno je povući tangente na kružnicu sa središtem u točkiO.
Za točnu konstruiranje tangenta potrebno je odrediti točke dodira pravaca na kružnicu. Za ovu točkuALItreba povezati točkomOi podijeliti segmentOApola. Od sredine ovog segmenta - bodoviS, kako opisati krug iz središta, čiji bi promjer trebao biti jednak segmentuOA. bodovaDo1 iDo2 sjecišta kružnica sa središtem u točkiSi centriran u točkiOsu dodirne točke linijaAK1 iAK2 na zadani krug.
Ispravnost rješenja zadatka potvrđuje činjenica da je polumjer kružnice povučene do točke dodira okomit na tangentu kružnice. uglovimau redu1 ALIiu redu2 ALIsu ravni jer se oslanjaju na promjerJSCkrug sa središtem u točkiS.
Riža. jedan.
Kada se konstruiraju tangente na dvije kružnice, razlikuju se tangenteunutarnjeivanjski. Ako se središta zadanih kružnica nalaze na jednoj strani tangente, onda se smatra vanjskim, a ako su središta kružnica na suprotnim stranama tangente, smatra se unutarnjim.
O1 iO2 R1 iR2 . Potrebno je povući vanjske tangente na zadane kružnice.
Za preciznu konstrukciju potrebno je odrediti dodirne točke između linija i zadanih kružnica. Ako polumjeri kružnica sa središtimaO1 iO2 počnite sukcesivno smanjivati za istu vrijednost, tada možete dobiti niz koncentričnih krugova manjih promjera. Štoviše, u svakom slučaju smanjenja polumjera, tangente na manje kružnice bit će paralelne sa željenim. Nakon smanjenja oba polumjera za veličinu manjeg polumjeraR2 krug sa središtemO2 pretvorit će se u točku, a kružnicu sa središtemO1 pretvorit će se u koncentričnu kružnicu polumjeraR3 , jednako razlici polumjeraR1 iR2 .
Koristeći metodu opisanu ranije, od točkeO2 povući vanjske tangente na kružnicu s polumjeromR3 , spoji točkeO1 iO2 , podijeljeno točkomSlinijski segmentO1 O2 na pola i nacrtati polumjerTAKO1 luk čiji će presjek s danom kružnicom odrediti dodirne točke pravacaO2 Do1 iO2 Do2 .
TočkaALI1 iALI2 kontakt željenih linija s većim krugom nalazi se na nastavku linijaO1 Do1 iO1 Do2 . bodovaNA1 iNA2 tangente pravaca s manjim krugom okomite su na bazuO2 odnosno na pomoćne tangenteO2 Do1 iO2 Do2 . Imajući dodirne točke, možete nacrtati željene linijeALI1 NA1 iALI2 NA2 .
Riža. 2.
Neka dva kruga sa središtima u točkamaO1 iO2 (slika 2), s polumjerima, respektivnoR1 iR2 . Potrebno je nacrtati unutarnje tangente na zadane kružnice.
Za određivanje dodirnih točaka pravaca s kružnicama koristimo se argumentima sličnim onima navedenim u rješavanju prethodnog problema. Ako smanjimo polumjerR2 na nulu, zatim krug sa središtemO2 okreni se stvari. Međutim, u ovom slučaju, kako bi se očuvao paralelizam pomoćnih tangenta sa traženim, polumjerR1 treba povećatiR2 i nacrtaj kružnicu s polumjeromR3 , jednak zbroju radijusiR1 iR2 .
Od točkeO2 nacrtati tangente na kružnicu s polumjeromR3 , za koje povezujemo točkiceO1 iO2 , podijeljeno točkomSlinijski segmentO1 O2 na pola i nacrtaj luk kružnice sa središtem u točkiSi radijusTAKO1 . Sjecište luka s kružnicom polumjeraR3 odredit će položaj točakaDo1 iDo2 tangentnost pomoćnih linijaO2 Do1 iO2 Do2 .
TočkaALI1 iALI2 R1 nalazi se na sjecištu ove kružnice sa segmentomO1 Do1 iO1 Do2 . Za definiranje točakaU 1iU 2tangentnost željenih linija s krugom polumjeraR2 slijedi iz točkeO2postaviti okomice na pomoćne linijeO2K1iO2K2sve dok se ne siječe s danom kružnicom. Imajući dodirne točke željenih linija i zadanih kružnica, crtamo linijeA1B1iA2B2.
Riža. 3.
Direktno ( MN) koji ima samo jednu zajedničku točku s kružnicom ( A), Zove se tangens u krug.
Zajednička točka se u ovom slučaju naziva dodirne točke.
Mogućnost postojanja tangens, i, štoviše, povučen kroz bilo koju točku krugovima, kao dodirnu točku, dokazuje se sljedećim teorema.
Neka se to zahtijeva krugovima centriran O tangens kroz točku A. Za ovo, iz točke A, kao iz centra, opišite luk radius AO, i od točke O, kao središte, siječemo ovaj luk u točkama B i S otopina šestara jednaka promjeru zadane kružnice.
Nakon što je tada potrošio akordi OB i OS, spojite točku A s točkama D i E gdje te tetive sijeku zadanu kružnicu. Direktno OGLAS i AE - tangenta na kružnicu O. Dapače, iz konstrukcije je jasno da trokuta AOB i AOC jednakokračan(AO = AB = AC) s bazama OB i OS, jednak promjeru kruga O.
Kao OD i OE su radijusi, dakle D - sredina OB, a E- sredina OS, sredstva OGLAS i AE - medijane povučena na osnovice jednakokračnih trokuta, pa stoga okomita na te osnovice. Ako izravno DA i EA okomito na polumjere OD i OE, onda jesu tangente.
Posljedica.
Dvije tangente povučene iz iste točke na kružnicu jednake su i tvore jednake kutove s pravom koja povezuje ovu točku sa središtem.
Tako AD=AE i ∠ OAD = ∠OAE jer pravokutnih trokuta AOD i AOE imajući zajedničku hipotenuza AO i jednaki noge OD i OE(kao polumjeri) su jednaki. Imajte na umu da ovdje riječ "tangenta" znači stvarni " tangentni segment” od zadane točke do točke dodira.
