Prisilne oscilacije su one koje nastaju u oscilatornom sustavu pod djelovanjem vanjske periodično promjenjive sile. Ova sila, u pravilu, ima dvojaku ulogu: prvo, potresa sustav i daje mu određenu količinu energije; drugo, povremeno nadopunjuje gubitke energije (potrošnja energije) kako bi se prevladale sile otpora i trenja.
Neka se pokretačka snaga mijenja s vremenom u skladu sa zakonom:
Sastavimo jednadžbu gibanja za sustav koji oscilira pod utjecajem takve sile. Pretpostavljamo da na sustav također utječu kvazielastična sila i sila otpora medija (što vrijedi pod pretpostavkom malih oscilacija). Tada će jednadžba gibanja sustava izgledati ovako:
Nakon zamjene, - prirodne frekvencije oscilacija sustava, dobivamo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda:
Iz teorije diferencijalnih jednadžbi poznato je da je opće rješenje nehomogene jednadžbe jednako zbroju općeg rješenja homogene jednadžbe i posebnog rješenja nehomogene jednadžbe.
Opće rješenje homogene jednadžbe je poznato:
Pomoću vektorskog dijagrama možete se uvjeriti da je ova pretpostavka istinita, kao i odrediti vrijednosti "a" i "j".
Amplituda titranja određena je sljedećim izrazom:
Vrijednost “j”, koja je veličina kašnjenja faze prisilne oscilacije od pokretačke sile koja ga je izazvala, također se određuje iz vektorskog dijagrama i iznosi:
Konačno, određeno rješenje nehomogene jednadžbe imat će oblik:
Ova funkcija se zbraja kako bi se dobilo opće rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe koja opisuje ponašanje sustava tijekom prisilnih oscilacija. Pojam (2) ima značajnu ulogu u početnoj fazi procesa, tijekom tzv. uspostavljanja oscilacija (slika 1.). Tijekom vremena, zbog eksponencijalnog faktora, uloga drugog člana (2) sve više opada, te se nakon dovoljno vremena može zanemariti, zadržavajući samo član (1) u rješenju.
Sl. 1.
Dakle, funkcija (1) opisuje stabilne prisilne oscilacije. To su harmonijske oscilacije s frekvencijom jednakom frekvenciji pogonske sile. Amplituda prisilnih oscilacija proporcionalna je amplitudi pogonske sile. Za dati oscilatorni sustav (definiran w 0 i b) amplituda ovisi o frekvenciji pogonske sile. Prisilne oscilacije zaostaju za pogonskom silom u fazi, a količina zaostajanja "j" također ovisi o frekvenciji pogonske sile. Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Tečaj fizike: tutorial za sveučilišta. - 4. izd., vlč. - M.: Više. škola, 2012. - 428 str.
Ovisnost amplitude prisilnih titranja o frekvenciji pogonske sile dovodi do toga da pri određenoj frekvenciji određenoj za dati sustav amplituda titranja doseže svoju maksimalnu vrijednost. Oscilatorni sustav posebno reagira na djelovanje pogonske sile na ovoj frekvenciji. Ta se pojava naziva rezonancija, a odgovarajuća frekvencija naziva se rezonantna frekvencija.
U nizu slučajeva oscilatorni sustav oscilira pod djelovanjem vanjske sile čiji rad povremeno nadoknađuje gubitak energije zbog trenja i drugih otpora. Učestalost takvih titranja ne ovisi o svojstvima samog titrajnog sustava, već o učestalosti promjena periodične sile, pod čijim djelovanjem sustav čini svoje oscilacije. U ovom slučaju imamo posla s prisilnim oscilacijama, odnosno s oscilacijama koje našem sustavu nameću djelovanje vanjskih sila.
Izvori ometajućih sila, a posljedično i prisilnih oscilacija, vrlo su raznoliki.
Zadržimo se na prirodi uznemirujućih sila koje se susreću u prirodi i tehnologiji. Kao što je već spomenuto, električni strojevi, parne ili plinske turbine, brzorotirajući zamašnjaci itd. zbog neuravnoteženosti rotirajućih masa izazivaju oscilacije rotora, podova temelja zgrada itd. Klipni strojevi, koji uključuju motore unutarnje izgaranje a parni strojevi, zbog stalnog povratnog gibanja nekih dijelova (primjerice, klipa), ispušnih plinova ili pare, izvor su periodičkih ometajućih sila.
Obično se sile smetnji povećavaju s povećanjem broja okretaja stroja, pa borba protiv vibracija kod strojeva velike brzine postaje iznimno važna. Često se provodi stvaranjem posebnog elastičnog temelja ili elastičnim ovjesnim uređajem za stroj. Ako je stroj čvrsto pričvršćen na temelj, tada se uznemirujuće sile koje djeluju na stroj gotovo u potpunosti prenose na temelj i dalje kroz tlo na zgradu u kojoj je stroj ugrađen, kao i na obližnje građevine.
Kako bi se smanjio učinak neuravnoteženih sila na podlogu, potrebno je da prirodna frekvencija vibracija stroja na elastičnoj podlozi (podložku) bude znatno niža od frekvencije sila ometanja, određene brojem okretaja stroja. mašina.
Razlog za prisilne oscilacije broda, nagib brodova su valovi koji povremeno rade na plutajućem brodu. Osim kotrljanja broda u cjelini pod djelovanjem vodenih valova, uočavaju se i prisilne oscilacije (vibracije) pojedinih dijelova trupa broda. Razlog takvim vibracijama je neravnoteža glavnog motora plovila koji rotira propeler, kao i pomoćnih mehanizama (pumpe, dinamo itd.). Tijekom rada brodskih mehanizama nastaju sile inercije neuravnoteženih masa čija učestalost ponavljanja ovisi o broju okretaja stroja. Osim toga, prisilne vibracije broda mogu biti uzrokovane povremenim udarom lopatica propelera o trup broda. Sommerfeld A., Mehanika. Í Izhevsk: Istraživački centar "Regularna i kaotična dinamika", 2001. Í̈168 str.
Prisilne vibracije mosta mogu uzrokovati grupa ljudi koji hodaju po njemu u korak. Oscilacije željezničkog mosta mogu nastati pod djelovanjem blizanaca koji spajaju pogonske kotače prolazne parne lokomotive. Razlozi koji uzrokuju prisilne oscilacije željezničkog vozila (električne lokomotive, parne lokomotive ili dizelske lokomotive i vagona) uključuju povremeno ponavljane udare kotača o željezničke čvorove. Prisilne vibracije automobila uzrokovane su opetovanim udarima kotača o neravnine površine ceste. Prisilne oscilacije dizala i podiznih postolja mina nastaju zbog neravnomjernog rada stroja za dizanje, zbog nepravilnog oblika bubnjeva na koje se namotaju užad itd. Naleti vjetra mogu biti uzroci prisilnih vibracija električnih žica, visokih zgrada, jarbola i dimnjaka.
Posebno su zanimljive prisilne vibracije zrakoplova, koje mogu biti uzrokovane raznim razlozima. Ovdje prije svega treba imati na umu vibracije zrakoplova uzrokovane radom propelerske skupine. Zbog neravnoteže koljenastog mehanizma, motora koji rade i rotirajućih propelera javljaju se periodični udari koji podržavaju prisilne oscilacije.
Uz oscilacije uzrokovane djelovanjem vanjskih periodičnih sila o kojima smo gore govorili, u zrakoplovima se bilježe i vanjski utjecaji drugačije prirode. Konkretno, postoje vibracije povezane s lošom racionalizacijom prednjeg dijela zrakoplova. Slabo strujanje oko nadgrađa na krilu ili neravnomjerna povezanost krila s trupom (tijelom) zrakoplova dovodi do stvaranja vrtloga. Vrtlozi zraka, odvajajući se, stvaraju pulsirajući mlaz koji udara u repnu jedinicu i uzrokuje njeno potresanje. Takvo podrhtavanje zrakoplova događa se u određenim uvjetima leta i očituje se u obliku udaraca koji se ne događaju sasvim redovito, nakon 0,5-1 sekunde.
Ova vrsta vibracija, uglavnom zbog vibracija dijelova zrakoplova zbog turbulencije u strujanju oko krila i drugih prednjih dijelova zrakoplova, naziva se "buffing". Fenomen udaranja uzrokovanog zastojima krila posebno je opasan kada je razdoblje udara o repni dio zrakoplova blizu razdoblju slobodnih oscilacija repa ili trupa zrakoplova. U tom se slučaju oscilacije "buffing" naglo povećavaju.
Uočeni su vrlo zanimljivi slučajevi buffinga prilikom ispuštanja trupa s krila zrakoplova. Pojava ljudi na krilu dovela je do stvaranja vrtloga, zbog čega je zrakoplov vibrirao. Još jedan slučaj pojave glancanja perja na zrakoplovu s dva sjedala uzrokovan je činjenicom da je putnik sjedio u stražnjoj kabini, a izbočena glava pridonijela je stvaranju vrtloga u struji zraka. U nedostatku putnika u stražnjoj kabini nisu uočene oscilacije.
Važne su i savojne oscilacije propelera uzrokovane ometajućim silama aerodinamičke prirode. Ove sile nastaju zbog činjenice da propeler tijekom rotacije za svaki okret dvaput prolazi kraj prednjeg ruba krila. Brzine strujanja zraka u neposrednoj blizini krila i na nekoj udaljenosti od njega su različite, pa se stoga aerodinamičke sile koje djeluju na propeler moraju periodično mijenjati dvaput za svaki okretaj propelera. Ova okolnost je razlog pobuđivanja poprečnih oscilacija lopatica propelera.
Gubitak mehaničke energije u bilo kojem oscilatornom sustavu zbog prisutnosti sila trenja je neizbježan, stoga će se oscilacije prigušiti bez "pumpanja" energije izvana. Postoji nekoliko bitno različitih načina za stvaranje oscilatornih sustava neprigušenih oscilacija. Pogledajmo pobliže neprigušene oscilacije pod djelovanjem vanjske periodične sile. Takve oscilacije nazivaju se prisilnim. Nastavimo proučavati gibanje harmonijskog njihala (slika 6.9).
Osim prethodno razmatranih elastičnih sila i viskoznog trenja, na loptu djeluje vanjski uvjerljiv periodična sila koja varira prema harmonijskom zakonu
frekvencija, koja se može razlikovati od prirodne frekvencije njihala ω o. Priroda te sile nam u ovom slučaju nije važna. Takva se sila može stvoriti na razne načine, na primjer, davanjem električnog naboja lopti i stavljanjem u vanjsko izmjenično električno polje. Jednadžba gibanja lopte u predmetnom slučaju ima oblik
Podijelimo ga s masom lopte i koristimo prethodni zapis za parametre sustava. Kao rezultat, dobivamo jednadžba prisilnih vibracija:
gdje f o = F o /m je omjer vrijednosti amplitude vanjske pogonske sile i mase lopte. Opće rješenje jednadžbe (3) prilično je glomazno i, naravno, ovisi o početnim uvjetima. Priroda kretanja lopte, opisana jednadžbom (3), je razumljiva: pod djelovanjem pogonske sile nastaju oscilacije čija će se amplituda povećati. Ovaj prijelazni režim je prilično kompliciran i ovisi o početnim uvjetima. Nakon određenog vremenskog razdoblja uspostavit će se oscilatorni režim, njihova amplituda će se prestati mijenjati. Točno stabilno osciliranje, u mnogim slučajevima je od primarnog interesa. Nećemo razmatrati prijelaz sustava u stabilno stanje, već ćemo se usredotočiti na opis i proučavanje karakteristika ovog režima. S takvom konstatacijom problema nema potrebe postavljati početne uvjete, budući da stacionarni režim koji nas zanima ne ovisi o početnim uvjetima, njegove karakteristike u potpunosti su određene samom jednadžbom. Sličnu situaciju naišli smo i pri proučavanju gibanja tijela pod djelovanjem stalne vanjske sile i sile viskoznog trenja
Nakon nekog vremena tijelo se kreće stalnom ravnomjernom brzinom v = F o /β , što ne ovisi o početnim uvjetima i potpuno je određeno jednadžbom gibanja. Početni uvjeti određuju režim prijelaza u ustaljeno kretanje. Na temelju zdravog razuma razumno je pretpostaviti da će u stacionarnom oscilacijskom modu, lopta oscilirati frekvencijom vanjske pogonske sile. Stoga rješenje jednadžbe (3) treba tražiti u harmonijskoj funkciji s frekvencijom pogonske sile. Najprije rješavamo jednadžbu (3), zanemarujući silu otpora
Pokušajmo pronaći njegovo rješenje u obliku harmonijske funkcije
Da bismo to učinili, izračunavamo ovisnosti brzine i ubrzanja tijela o vremenu, kao derivate zakona gibanja
i zamijenimo njihove vrijednosti u jednadžbu (4)
Sada možete rezati na cosωt. Stoga se ovaj izraz pretvara u pravi identitet u bilo kojem trenutku, pod uvjetom da je uvjet
Tako je opravdana naša pretpostavka o rješenju jednadžbe (4) u obliku (5) : stacionarni oscilacijski mod opisan je funkcijom
Imajte na umu da koeficijent A prema dobivenom izrazu (6) može biti i pozitivan (za ω < ω o) i negativno (za ω > ω o). Promjena predznaka odgovara promjeni faze titranja po π (razlog takve promjene bit će razjašnjen malo kasnije), dakle, amplituda oscilacija je modul ovog koeficijenta |A|. Amplituda stabilnih oscilacija, očekivano, proporcionalna je veličini pokretačke sile. Osim toga, ova amplituda na složen način ovisi o frekvenciji pokretačke sile. Shematski dijagram ove ovisnosti prikazan je na Sl. 6.10
Riža. 6.10 Rezonantna krivulja
Kao što slijedi iz formule (6) i što se jasno vidi na grafikonu, kako se frekvencija pokretačke sile približava prirodnoj frekvenciji sustava, amplituda naglo raste. Razlog za takvo povećanje amplitude je jasan: pokretačka sila "u vremenu" gura loptu, uz potpunu podudarnost frekvencija, stabilno stanje je odsutno - amplituda se povećava do beskonačnosti. Naravno, u praksi je takvo beskonačno povećanje nemoguće uočiti: Kao prvo, to može dovesti do uništenja samog oscilatornog sustava, Drugo, pri velikim amplitudama oscilacija ne mogu se zanemariti sile otpora medija. Oštar porast amplitude prisilnih oscilacija kako se frekvencija pokretačke sile približava prirodnoj frekvenciji oscilacija sustava naziva se fenomen rezonancije. Prijeđimo sada na traženje rješenja jednadžbe prisilnih oscilacija, uzimajući u obzir silu otpora
Naravno, i u ovom slučaju rješenje treba tražiti u obliku harmonijske funkcije s frekvencijom pokretačke sile. Lako je vidjeti da traženje rješenja u obliku (5) u ovom slučaju neće dovesti do uspjeha. Doista, jednadžba (8), za razliku od jednadžbe (4), sadrži brzinu čestice koja je opisana sinusnom funkcijom. Stoga se vremenski dio u jednadžbi (8) neće smanjiti. Stoga rješenje jednadžbe (8) treba prikazati u općem obliku harmonijske funkcije
u kojem su dva parametra A o i φ mora se pronaći pomoću jednadžbe (8). Parametar A o je amplituda prisilnih oscilacija, φ − fazni pomak između promjenjive koordinate i promjenjive pogonske sile. Koristeći trigonometrijsku formulu za kosinus zbroja, funkcija (9) se može prikazati u ekvivalentnom obliku
koji također sadrži dva parametra B=A o cosφ i C = -A o sinφ biti odlučan. Pomoću funkcije (10) zapisujemo eksplicitne izraze za ovisnosti brzine i ubrzanja čestice o vremenu
i zamijeniti u jednadžbu (8):
Prepišimo ovaj izraz kao
Da bi jednakost (13) vrijedila u bilo kojem trenutku , potrebno je da koeficijenti kod kosinusa i sinusa budu jednaki nuli. Na temelju ovog uvjeta dobivamo dvije linearne jednadžbe za određivanje parametara funkcije (10):
Rješenje ovog sustava jednadžbi ima oblik
Na temelju formule (10) određujemo karakteristike prisilnih oscilacija: amplitudu
pomak faze
Kod niskog prigušenja ova ovisnost ima oštar maksimum kada se frekvencija pogonske sile približi ω na prirodnu frekvenciju sustava ω o. Dakle, u ovom slučaju može doći i do rezonancije, pa se konstruirane ovisnosti često nazivaju rezonantna krivulja. Obračunavanje slabog prigušenja pokazuje da se amplituda ne povećava do beskonačnosti, njegova maksimalna vrijednost ovisi o koeficijentu prigušenja - kako se potonji povećava, maksimalna amplituda se brzo smanjuje. Rezultirajuća ovisnost amplitude titranja o frekvenciji pogonske sile (16) sadrži previše neovisnih parametara ( f o , ω o , γ ) kako bi se konstruirala potpuna obitelj rezonancijskih krivulja. Kao iu mnogim slučajevima, ova se ovisnost može značajno pojednostaviti prelaskom na "bezdimenzijske" varijable. Pretvorimo formulu (16) u sljedeći oblik
i označiti
− relativna frekvencija (omjer frekvencije pogonske sile i vlastite frekvencije oscilacija sustava);
− relativna amplituda (omjer amplitude oscilacija i veličine odstupanja A o = f/ω o 2 na nultu frekvenciju);
je bezdimenzijski parametar koji određuje količinu slabljenja. Koristeći ove oznake, funkcija (16) je uvelike pojednostavljena
budući da sadrži samo jedan parametar − δ . Jednoparametarska obitelj rezonancijskih krivulja opisanih funkcijom (16 b) može se konstruirati, posebno lako uz pomoć računala. Rezultat takve konstrukcije prikazan je na sl. 629.
riža. 6.11
Imajte na umu da se prijelaz na "uobičajene" mjerne jedinice može izvesti elementarnom promjenom skale koordinatnih osi. Treba napomenuti da frekvencija pogonske sile, pri kojoj je amplituda prisilnih oscilacija maksimalna, također ovisi o koeficijentu prigušenja, koji se lagano smanjuje s rastom potonjeg. Konačno, ističemo da povećanje koeficijenta prigušenja dovodi do značajnog povećanja širine rezonantne krivulje. Rezultirajući fazni pomak između oscilacija točke i pokretačke sile također ovisi o frekvenciji oscilacija i njihovom koeficijentu prigušenja. Detaljnije ćemo se upoznati s ulogom ovog faznog pomaka pri razmatranju transformacije energije u procesu prisilnih oscilacija.
frekvencija slobodnih neprigušenih titranja poklapa se s vlastitom frekvencijom, frekvencija prigušenih titranja je nešto manja od vlastite frekvencije, a frekvencija prisilnih titranja poklapa se s frekvencijom pokretačke sile, a ne s vlastitom frekvencijom.
Prisilne elektromagnetske oscilacije
prisiljen nazivaju se takve oscilacije koje nastaju u oscilatornom sustavu pod utjecajem vanjskog periodičnog utjecaja.
Sl.6.12. Krug s prisilnim električnim oscilacijama
Razmotrimo procese koji se događaju u električnom oscilatornom krugu ( sl.6.12) spojen na vanjski izvor, čiji EMF varira prema harmonijskom zakonu
,
gdje m je amplituda vanjskog EMF-a,
je ciklička frekvencija EMF-a.
Označiti sa U C napon na kondenzatoru, i i - jačina struje u strujnom kolu. U ovom krugu, osim promjenjivog EMF-a (t) još uvijek postoji EMF samoindukcije L u induktoru.
EMF samoindukcije izravno je proporcionalan brzini promjene jakosti struje u krugu
.
Za izlaz diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija koji nastaju u takvom krugu, koristimo drugo Kirchhoffovo pravilo
.
Napon otpora R naći po Ohmovom zakonu
.
Jačina električne struje jednaka je naboju koji teče u jedinici vremena poprečnim presjekom vodiča
.
Stoga
.
napon U C na kondenzatoru je izravno proporcionalan naboju na pločama kondenzatora
.
EMF samoindukcije može se predstaviti kroz drugi izvod naboja s obzirom na vrijeme
.
Zamjena napona i emfs u Kirchhoffovo drugo pravilo
.
Dijeleći obje strane ovog izraza sa L i raspodjelom pojmova prema stupnju smanjenja reda derivacije dobivamo diferencijalnu jednadžbu drugog reda
.
Uvedimo sljedeću notaciju i dobijemo
je koeficijent prigušenja,
je ciklička frekvencija vlastitih oscilacija kruga.
.
(1)
Jednadžba (1) je heterogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Jednadžbe ovog tipa opisuju ponašanje široke klase oscilatornih sustava (električnih, mehaničkih) pod utjecajem vanjskog periodičnog djelovanja (vanjski EMF ili vanjska sila).
Opće rješenje jednadžbe (1) je zbroj općeg rješenja q 1 homogena diferencijalna jednadžba (2)
(2)
i bilo koje posebno rješenje q 2 heterogena jednadžbe (1)
.
Nekako opće rješenje homogena jednadžba (2) ovisi o vrijednosti koeficijenta prigušenja . Zanima nas slučaj slabog prigušenja << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
gdje B i 0 su konstante zadane početnim uvjetima.
Rješenje (3) opisuje prigušene oscilacije u krugu. Vrijednosti uključene u (3):
je ciklička frekvencija prigušenih oscilacija;
je amplituda prigušenih oscilacija;
je faza prigušenih oscilacija.
Tražimo određeno rješenje jednadžbe (1) u obliku harmonijske oscilacije koja se javlja frekvencijom jednakom frekvenciji vanjski periodični utjecaj - EMF, i zaostajanje u fazi po Od njega
gdje 
je amplituda prisilnih oscilacija, koja ovisi o frekvenciji.
Zamjenjujemo (4) u (1) i dobivamo identitet
Za usporedbu faza oscilacija koristimo se formulama trigonometrijske redukcije
.
Tada će naša jednadžba biti prepisana u obliku
Predstavite fluktuacije na lijevoj strani dobivenog identiteta u obliku vektorski dijagram (riža.6.13)..
Treći član koji odgovara fluktuacijama u kapacitetu S, koji ima fazu (
t
–
) i amplituda 
, predstavljaju horizontalni vektor usmjeren udesno.
Slika 6.13. vektorski dijagram
Prvi član lijeve strane, koji odgovara oscilacijama na induktivitetu L, bit će predstavljen na vektorskom dijagramu vektorom usmjerenim vodoravno ulijevo (njegova amplituda 
).
Drugi član koji odgovara oscilacijama u otporu R, predstavljaju vektor usmjeren okomito prema gore (njegova amplituda 
), jer je njegova faza /2 iza faze prvog člana.
Budući da zbroj triju vibracija lijevo od znaka jednakosti daje harmonijsku vibraciju 
, tada vektorski zbroj na dijagramu (pravokutna dijagonala) prikazuje oscilaciju s amplitudom 
i faza
t, koji je uključen
ispred faze oscilacija trećeg člana.
Iz pravokutnog trokuta, koristeći Pitagorin teorem, možete pronaći amplitudu A( )
(5)
i tg kao omjer suprotne noge i susjedne noge.
.
(6)
Posljedično, rješenje (4), uzimajući u obzir (5) i (6), poprima oblik
.
(7)
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe(1) je zbroj q 1 i q 2
.
(8)
Formula (8) pokazuje da kada se na krug primijeni periodični vanjski EMF, u njemu nastaju oscilacije dviju frekvencija, t.j. neprigušene oscilacije s frekvencijom vanjskog EMF-a
a prigušene oscilacije s frekvencijom 
. Amplituda prigušenih oscilacija 
s vremenom postaje zanemariv, a u krugu ostaju samo prisilne oscilacije čija amplituda ne ovisi o vremenu. Posljedično, stabilne prisilne oscilacije opisane su funkcijom (4). To jest, u strujnom krugu se javljaju prisilne harmonijske oscilacije, s frekvencijom jednakom frekvenciji vanjskog utjecaja, i amplitudom 
, ovisno o ovoj frekvenciji ( riža. 3a) prema zakonu (5). U tom slučaju faza prisilnog titranja zaostaje za
od prisile.
Diferencirajući izraz (4) s obzirom na vrijeme, nalazimo jačinu struje u krugu
gdje 
je amplituda jakosti struje.
Ovaj izraz za snagu struje zapisujemo u obliku
,
(9)
gdje 
–fazni pomak između struje i vanjske emf.
Prema (6) i riža. 2
.
(10)
Iz ove formule slijedi da fazni pomak između struje i vanjske emf ovisi, pri konstantnom otporu R, iz omjera između frekvencije pogonskog EMF-a i vlastitu frekvenciju kruga 0 .
Ako je a < 0 , zatim fazni pomak između struje i vanjskog EMF-a < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Ako je a > 0, dakle > 0. Fluktuacije struje zaostaju za fluktuacijama EMF u fazi za kut .
Ako je a = 0 (rezonantna frekvencija), zatim \u003d 0, tj. jačina struje i EMF osciliraju u istoj fazi.
Rezonancija- ovo je fenomen naglog povećanja amplitude oscilacija kada se frekvencija vanjske, pokretačke sile podudara s prirodnom frekvencijom oscilatornog sustava.
Na rezonanciji = 0 i period osciliranja
.
S obzirom da je koeficijent prigušenja
,
dobivamo izraze za faktor kvalitete pri rezonanciji T = T 0
,
na drugoj strani
.
Amplitude napona na induktivitetu i kapacitivnosti u rezonanciji mogu se izraziti u smislu faktora kvalitete kruga
,
(15)
.
(16)
Iz (15) i (16) se vidi da je pri
=
0, amplituda napona na kondenzatoru i induktivitet u P puta amplituda vanjske emf. Ovo je svojstvo serije RLC petlja se koristi za izolaciju radio signala određene frekvencije 
iz spektra radio frekvencija tijekom restrukturiranja radio prijemnika.
Na praksi RLC sklopovi su spojeni na druge strujne krugove, mjerne instrumente ili uređaje za pojačanje, unoseći dodatno prigušenje u RLC strujni krug. Stoga je stvarna vrijednost faktora kvalitete učitanog RLC krug ispada nižim od faktora kvalitete, procijenjenog formulom
.
Stvarna vrijednost faktora kvalitete može se procijeniti kao
Slika 6.14. Određivanje faktora kvalitete iz rezonantne krivulje
,
gdje je f je širina pojasa u kojoj je amplituda 0,7 maksimalne vrijednosti ( riža. 4).
Napon kondenzatora U C, na aktivni otpor U R a na induktoru U L dostići maksimum na različitim frekvencijama, respektivno
,
,
.
Ako je prigušenje malo 0 >> , onda se sve te frekvencije praktički poklapaju i možemo pretpostaviti da
.
U ovoj lekciji svi će moći proučiti temu „Transformacija energije tijekom oscilatornog gibanja. prigušene vibracije. Prisilne vibracije. U ovoj lekciji razmotrit ćemo kakva se transformacija energije događa tijekom oscilatornog gibanja. Da bismo to učinili, provest ćemo važan eksperiment sa sustavom vodoravnog opružnog njihala. Također ćemo raspravljati o pitanjima vezanim uz prigušene i prisilne oscilacije.
Nastava je posvećena temi "Pretvorba energije tijekom oscilatornog gibanja". Osim toga, razmotrit ćemo pitanje vezano uz prigušene i prisilne oscilacije.
Upoznajmo ovo pitanje sa sljedećim važnim eksperimentom. Na oprugu je pričvršćeno tijelo koje može oscilirati vodoravno. Takav sustav naziva se horizontalno opružno njihalo. U ovom slučaju se učinak gravitacije može zanemariti.
Riža. 1. Horizontalno opružno njihalo
Pretpostavit ćemo da u sustavu sila trenja ne postoje sile otpora. Kada je ovaj sustav u ravnoteži i nema titranja, brzina tijela je 0 i nema deformacije opruge. U ovom slučaju ovo njihalo nema energiju. Ali čim se tijelo pomakne u odnosu na ravnotežnu točku udesno ili ulijevo, u ovom slučaju ćemo obaviti posao komuniciranja energije u ovom oscilatornom sustavu. Što se događa u ovom slučaju? Događa se sljedeće: opruga je deformirana, njezina se duljina mijenja. Proljeću dajemo potencijalnu energiju. Ako sada otpustite opterećenje, nemojte ga držati, tada će se početi kretati prema ravnotežnom položaju, opruga će se početi ispravljati i deformacija opruge će se smanjiti. Brzina tijela će se povećati, a prema zakonu održanja energije potencijalna energija opruge će se pretvoriti u kinetičku energiju gibanja tijela.
Riža. 2. Stupnjevi titranja opružnog njihala
Deformacija∆x opruge određuje se na sljedeći način: ∆x = x 0 - x. Uzimajući u obzir deformaciju, možemo reći da je sva potencijalna energija pohranjena u oprugu: .
Tijekom oscilacija potencijalna energija se neprestano pretvara u kinetičku energiju šipke: .
Na primjer, kada šipka prođe ravnotežnu točku x 0 , deformacija opruge je 0, t.j. ∆x=0, dakle, potencijalna energija opruge je 0 i sva potencijalna energija opruge se pretvorila u kinetičku energiju šipke: E p (u točki B) \u003d E k (u točki A). Ili 
.
Kao rezultat tog kretanja, potencijalna energija se pretvara u kinetičku energiju. Tada na scenu stupa takozvani fenomen inercije. Tijelo koje ima određenu masu po inerciji prelazi točku ravnoteže. Brzina tijela počinje se smanjivati, a deformacija, produljenje opruge se povećava. Može se zaključiti da se kinetička energija tijela smanjuje, a potencijalna energija opruge ponovno počinje rasti. Možemo govoriti o transformaciji kinetičke energije u potencijalnu.
Kada se tijelo konačno zaustavi, brzina tijela će biti jednaka 0, a deformacija opruge će postati maksimalna, u ovom slučaju možemo reći da se sva kinetička energija tijela pretvorila u potencijalnu energiju opruge. . U budućnosti se sve ponavlja ispočetka. Ako je ispunjen jedan uvjet, takav će se proces odvijati kontinuirano. Što je ovo stanje? Ovaj uvjet je odsutnost trenja. Ali sila trenja, sila otpora prisutna je u bilo kojem sustavu. Stoga svakim sljedećim kretanjem njihala nastaju gubici energije. Radi se na prevladavanju sile trenja. Sila trenja prema Coulomb-ovom zakonu - Amontonu: F TP \u003d μ.N.
Govoreći o oscilacijama, uvijek se moramo sjetiti da sila trenja dovodi do činjenice da se postupno sva energija pohranjena u danom oscilatornom sustavu pretvara u unutarnju energiju. Kao rezultat toga, oscilacije prestaju, a nakon što oscilacije prestanu, tada se takve oscilacije nazivaju prigušenim.
prigušene vibracije - oscilacije čija se amplituda smanjuje zbog činjenice da se energija oscilatornog sustava troši na prevladavanje sila otpora i sila trenja.
Riža. 3. Grafikon prigušenih oscilacija
sljedeći pogled fluktuacije, koje ćemo razmotriti, tzv. prisilne vibracije. Prisilne vibracije nazivaju takve vibracije koje nastaju pod djelovanjem periodične, vanjske sile koja djeluje na zadani oscilatorni sustav.
Ako njihalo oscilira, onda da se te oscilacije ne bi zaustavile, svaki put na njihalo mora djelovati vanjska sila. Na primjer, na njihalo djelujemo vlastitom rukom, tjeramo ga da se kreće, guramo ga. Neophodno je djelovati s određenom snagom i nadoknaditi gubitak energije. Dakle, prisilne vibracije su one vibracije koje nastaju pod djelovanjem vanjske pokretačke sile. Frekvencija takvih oscilacija poklopit će se s frekvencijom vanjskog operativna snaga. Kada vanjska sila počne djelovati na njihalo, događa se sljedeće: u početku će oscilacije imati malu amplitudu, ali će se postupno ta amplituda povećavati. A kada amplituda dobije stalnu vrijednost, frekvencija titranja također poprima konstantnu vrijednost, kažu da su takve oscilacije uspostavljene. Ustanovljene su prisilne oscilacije.
uspostavljena prisilne vibracije nadoknaditi gubitak energije upravo zbog rada vanjske pokretačke sile.
Rezonancija
Postoji vrlo važan fenomen koji se prilično često opaža u prirodi i tehnologiji. Taj se fenomen naziva rezonancija. "Rezonancija" je latinska riječ i na ruski se prevodi kao "odgovor". Rezonancija (od lat.resono - "odgovaram") - fenomen povećanja amplitude prisilnih oscilacija sustava, koji nastaje kada se frekvencija vanjskog djelovanja sile približi frekvenciji prirodnog titranja njihala ili ovog oscilatornog sustava .
Ako postoji njihalo koje ima svoju duljinu, masu ili krutost opruge, onda to njihalo ima svoje oscilacije, koje karakterizira frekvencija. Ako na ovo njihalo počne djelovati vanjska pokretačka sila i frekvencija te sile se počne približavati prirodnoj frekvenciji njihala (poklapa se s njom), tada dolazi do oštrog povećanja amplitude titranja. Ovo je fenomen rezonancije.
Kao posljedica takve pojave, oscilacije mogu biti toliko velike da će se tijelo, sam oscilatorni sustav, srušiti. Poznat je slučaj kada je niz vojnika koji je hodao preko mosta, kao posljedica takve pojave, jednostavno srušio most. Još jedan slučaj kada se, kao rezultat kretanja zračnih masa, dovoljno snažnih naleta vjetra, srušio most u Sjedinjenim Državama. Ovo je također fenomen rezonancije. Vibracije mosta, njihove vlastite vibracije, podudarale su se s učestalošću naleta vjetra, vanjske pokretačke sile. Zbog toga se amplituda toliko povećala da se most srušio.
Ovu pojavu pokušavaju uzeti u obzir pri projektiranju struktura i mehanizama. Na primjer, kada se vlak kreće, može se dogoditi sljedeće. Ako se vagon kreće i taj se vagon počne ljuljati u ritmu svog kretanja, tada se amplituda oscilacija može toliko povećati da vagon može iskočiti iz tračnica. Doći će do sudara. Za karakterizaciju ovog fenomena koriste se krivulje koje se nazivaju rezonantnim.
Riža. 4. Rezonantna krivulja. Vrh krivulje - maksimalna amplituda
Naravno, protiv rezonancije se ne bori samo, već se i koristi. Najviše se koristi u akustici. Gdje je gledalište, kazališna dvorana, koncertna dvorana, moramo voditi računa o fenomenu rezonancije.
Popis dodatne literature:
Jeste li upoznati s rezonancijom? // Quantum. - 2003. - Broj 1. - Str. 32-33 Fizika: Mehanika. 10. razred: Proc. za dubinski studij fizike / M.M. Balašov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky i drugi; Ed. G.Ya. Myakishev. - M.: Drfa, 2002. Osnovni udžbenik fizike. Ed. G.S. Landsberg, T. 3. - M., 1974
Prisilne vibracije nazivaju se takve vibracije koje se javljaju u sustavu pod djelovanjem vanjske pogonske sile koja se periodično mijenja, a naziva se pogonska sila.
Priroda (ovisnost o vremenu) pokretačke sile može biti različita. To može biti sila koja se mijenja prema harmonijskom zakonu. Na primjer, zvučni val, čiji je izvor vilica za podešavanje, udara u bubnjić ili membranu mikrofona. Na membranu počinje djelovati harmonično promjenjiva sila tlaka zraka.
Pokretačka sila može biti u obliku udaraca ili kratkih impulsa. Na primjer, odrasla osoba ljulja dijete na ljuljački, povremeno ga gura u trenutku kada ljuljačka dođe u jedan od ekstremnih položaja.
Naš je zadatak otkriti kako oscilatorni sustav reagira na djelovanje pokretačke sile koja se povremeno mijenja.
§ 1. Pokretačka sila mijenja se prema harmonijskom zakonu
F nastavak = - rv x i pokretačka snaga F out \u003d F 0 sin wt.
Drugi Newtonov zakon je napisan kao:
Rješenje jednadžbe (1) traži se u obliku , gdje je rješenje jednadžbe (1), ako nije imalo desnu stranu. Vidi se da se bez desne strane jednadžba pretvara u nama poznatu jednadžbu prigušenih oscilacija čije rješenje već znamo. Za dovoljno dugo vremena slobodne oscilacije koje nastaju u sustavu kada se on iznese iz ravnoteže praktički će izumrijeti, a samo će drugi član ostati u rješenju jednadžbe. Ovo rješenje ćemo potražiti u obliku
Grupirajmo pojmove drugačije:
Ova jednakost mora vrijediti u bilo kojem trenutku t, što je moguće samo ako su koeficijenti na sinusima i kosinusima jednaki nuli.
Dakle, tijelo na koje djeluje pokretačka sila, mijenjajući se po harmonijskom zakonu, čini oscilatorno gibanje frekvencijom pogonske sile.
Proučimo detaljnije pitanje amplitude prisilnih oscilacija:
1 Amplituda stabilnih prisilnih oscilacija ne mijenja se tijekom vremena. (Usporedi s amplitudom slobodnih prigušenih oscilacija).
2 Amplituda prisilnih oscilacija izravno je proporcionalna amplitudi pogonske sile.
3 Amplituda ovisi o trenju u sustavu (A ovisi o d, a faktor prigušenja d, pak, ovisi o koeficijentu otpora r). Što je veće trenje u sustavu, to je manja amplituda prisilnih oscilacija.
4 Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile w. Kako? Proučavamo funkciju A(w).
Kada je w = 0 (na oscilatorni sustav djeluje stalna sila), pomak tijela je nepromijenjen tijekom vremena (mora se imati na umu da se to odnosi na stacionarno stanje, kada su prirodne oscilacije gotovo izumrle).
· Kada je w ® ¥, tada, kao što je lako vidjeti, amplituda A teži nuli.
Očito je da će pri nekoj frekvenciji pokretačke sile amplituda prisilnih oscilacija uzeti najviša vrijednost(za dati d). Fenomen naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija pri određenoj vrijednosti frekvencije pokretačke sile naziva se mehanička rezonancija.
Zanimljivo je da faktor kvalitete oscilatornog sustava u ovom slučaju pokazuje koliko puta rezonantna amplituda premašuje pomak tijela iz ravnotežnog položaja pod djelovanjem konstantne sile F 0 .
Vidimo da i rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda ovise o faktoru prigušenja d. Kako d opada na nulu, rezonantna frekvencija raste i teži frekvenciji vlastitih oscilacija sustava w 0 . U tom slučaju, rezonantna amplituda raste i, pri d = 0, prelazi u beskonačnost. Naravno, u praksi amplituda oscilacija ne može biti beskonačna, budući da sile otpora uvijek djeluju u stvarnim oscilatornim sustavima. Ako sustav ima nisko prigušenje, tada približno možemo pretpostaviti da se rezonancija događa na frekvenciji prirodnih oscilacija:
gdje je u razmatranom slučaju fazni pomak između pogonske sile i pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.
Lako je vidjeti da fazni pomak između sile i pomaka ovisi o trenju u sustavu i frekvenciji vanjske pokretačke sile. Ova ovisnost je prikazana na slici. Vidi se da kod< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitivno.
Poznavajući ovisnost o kutu, može se dobiti ovisnost o frekvenciji pogonske sile.
Pri frekvencijama vanjske sile koje su znatno manje od njezine, pomak neznatno zaostaje za pogonskom silom u fazi. Kako se frekvencija vanjske sile povećava, povećava se i ovo kašnjenje faze. Kod rezonancije (ako je mala), fazni pomak postaje jednak . Kod >> dolazi do fluktuacija pomaka i sile u antifazi. Takva ovisnost može se na prvi pogled činiti čudnom. Da bismo razumjeli ovu činjenicu, okrenimo se energetskim transformacijama u procesu prisilnih oscilacija.
§ 2 Energetske transformacije
Kao što već znamo, amplituda titranja određena je ukupnom energijom oscilatornog sustava. Prethodno je pokazano da amplituda prisilnih oscilacija ostaje nepromijenjena s vremenom. To znači da se ukupna mehanička energija oscilatornog sustava ne mijenja tijekom vremena. Zašto? Uostalom, sustav nije zatvoren! Dvije sile - vanjska sila koja se periodično mijenja i sila otpora - obavljaju rad koji bi trebao promijeniti ukupnu energiju sustava.
Pokušajmo shvatiti u čemu je stvar. Snaga vanjske pokretačke sile može se pronaći na sljedeći način:
Vidimo da je snaga vanjske sile, koja hrani oscilatorni sustav energijom, proporcionalna amplitudi titranja.
Zbog rada sile otpora energija oscilatornog sustava bi se trebala smanjiti, pretvarajući se u unutarnju energiju. Snaga sile otpora:
Očito je snaga sile otpora proporcionalna kvadratu amplitude. Nacrtajmo obje ovisnosti na graf.
Da bi oscilacije bile stabilne (amplituda se ne mijenja tijekom vremena), rad vanjske sile tijekom razdoblja mora nadoknaditi gubitke energije sustava zbog rada sile otpora. Točka presjeka grafova snaga upravo odgovara ovom načinu rada. Zamislite da se iz nekog razloga amplituda prisilnih oscilacija smanjila. To će dovesti do činjenice da će trenutna snaga vanjske sile biti veća od snage gubitaka. To će dovesti do povećanja energije oscilatornog sustava, a amplituda titranja će vratiti svoju prethodnu vrijednost.
Slično, može se vidjeti da će uz slučajni porast amplitude titranja, snaga gubitka premašiti snagu vanjske sile, što će dovesti do smanjenja energije sustava, a posljedično i do smanjenja amplitude .
Vratimo se pitanju faznog pomaka između pomaka i pokretačke sile u rezonanciji. Već smo pokazali da pomak zaostaje, što znači da je sila ispred pomaka za . S druge strane, projekcija brzine u procesu harmonijskih oscilacija uvijek vodi koordinatu za . To znači da pri rezonanciji vanjska pokretačka sila i brzina osciliraju u istoj fazi. Dakle, oni su surežirani u bilo kojem trenutku! Rad vanjske sile je u ovom slučaju uvijek pozitivan. svi ide na dopunu oscilatornog sustava energijom.
§ 3 Nesinusoidno periodično djelovanje
Prisilne oscilacije oscilatora moguće su pod bilo kojim periodičnim vanjskim utjecajem, a ne samo sinusoidnim. U tom slučaju stalne oscilacije, općenito govoreći, neće biti sinusoidne, već će predstavljati periodično kretanje s periodom jednakim razdoblju vanjskog utjecaja.
Vanjski utjecaj može biti, na primjer, uzastopna guranja (sjetite se kako odrasla osoba "ljulja" dijete koje sjedi na ljuljački). Ako se razdoblje vanjskih šokova podudara s razdobljem prirodnih oscilacija, tada u sustavu može doći do rezonancije. U ovom slučaju, oscilacije će biti gotovo sinusne. Energija koja se prenosi na sustav pri svakom guranju nadopunjuje ukupnu energiju sustava izgubljenu zbog trenja. Jasno je da su u ovom slučaju moguće opcije: ako je energija dana tijekom guranja jednaka ili veća od gubitaka trenja za razdoblje, tada će oscilacije ili biti stabilne, ili će se njihova amplituda povećati. To se jasno vidi na faznom dijagramu.
Očito je da je rezonancija moguća i u slučaju kada je period ponavljanja šokova višekratnik perioda prirodnih oscilacija. To je nemoguće sa sinusoidnom prirodom vanjskog utjecaja.
S druge strane, čak i ako se frekvencija udara podudara s prirodnom frekvencijom, rezonancija se možda neće primijetiti. Ako samo gubitak trenja po periodu premašuje energiju koju sustav primi tijekom guranja, tada će se ukupna energija sustava smanjiti i oscilacije će biti prigušene.
§ 4 Parametarska rezonancija
Vanjski utjecaj na oscilatorni sustav može se svesti na periodičnu promjenu parametara samog oscilatornog sustava. Tako pobuđene oscilacije nazivamo parametarskim, a sam mehanizam nazivamo parametarska rezonancija .
Prije svega, pokušajmo odgovoriti na pitanje: je li moguće zanjihati male oscilacije koje već postoje u sustavu povremenom promjenom nekih njegovih parametara na određeni način.
Kao primjer, razmotrite ljuljanje osobe na ljuljački. Savijanjem i ispravljanjem nogu u "potrebnim" trenucima on zapravo mijenja duljinu njihala. U ekstremnim položajima osoba čuči, čime se lagano spušta težište oscilatornog sustava; u srednjem položaju osoba se uspravlja, podižući težište sustava.
Da biste razumjeli zašto se osoba ljulja u isto vrijeme, razmislite o iznimno pojednostavljenom modelu osobe na ljuljački - običnom malom njihalu, odnosno malom utegu na laganoj i dugoj niti. Kako bismo simulirali podizanje i spuštanje težišta, provući ćemo gornji kraj konca kroz malu rupu i povući ćemo konac u onim trenucima kada njihalo prijeđe ravnotežni položaj, te spustiti konac za isti iznos kada njihalo prođe krajnji položaj.
Rad sile zatezanja niti za razdoblje (uzimajući u obzir činjenicu da se teret podiže i spušta dva puta po periodu i da je D l << l):
Imajte na umu da u zagradama nije ništa drugo nego utrostručena energija oscilatornog sustava. Inače, ova vrijednost je pozitivna, dakle, rad sile napetosti (naš rad) je pozitivan, dovodi do povećanja ukupne energije sustava, a time i do njihanja njihala.
Zanimljivo je da relativna promjena energije tijekom određenog razdoblja ne ovisi o tome njiše li njihalo slabo ili snažno. Ovo je vrlo važno, a evo i zašto. Ako se njihalo "ne napumpava" energijom, tada će za svaki period gubiti određeni dio svoje energije zbog sile trenja, a oscilacije će prigušiti. A da bi se raspon oscilacija povećao, potrebno je da stečena energija premašuje energiju izgubljenu za prevladavanje trenja. A ovo je stanje, pokazalo se, isto - i pri maloj amplitudi i pri velikoj.
Na primjer, ako se u jednom periodu energija slobodnih titranja smanji za 6%, tada je da se njihanje njihala dugog 1 m ne bi prigušilo, dovoljno je smanjiti njegovu duljinu za 1 cm u srednjem položaju i povećati to za isti iznos u krajnjem položaju.
Povratak na ljuljačku: kada jednom počnete ljuljati, nema potrebe da čučnite sve dublje – čučnite cijelo vrijeme na isti način i letjet ćete sve više i više!
*** Bože opet!
Kao što smo već rekli, za parametarsko stvaranje oscilacija potrebno je ispuniti uvjet DE > A trenje po periodu.
Nađi rad sile trenja za period
Vidi se da je relativna vrijednost podizanja njihala za njegovo nagomilavanje određena faktorom kvalitete sustava.
§ 5 Značaj rezonancije
Prisilne vibracije i rezonancija imaju široku primjenu u inženjerstvu, posebice u akustici, elektrotehnici i radiotehnici. Rezonancija se, prije svega, koristi kada se iz velikog skupa oscilacija različitih frekvencija žele odabrati oscilacije određene frekvencije. Rezonancija se također koristi u proučavanju vrlo slabih, periodično ponavljajućih veličina.
Međutim, u nekim slučajevima rezonancija je nepoželjna pojava, jer može dovesti do velikih deformacija i uništenja struktura.
§ 6 Primjeri rješavanja problema
1. zadatak Prisilne oscilacije opružnog njihala pod djelovanjem vanjske sinusoidne sile.
Teret mase m = 10 g ovješen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sustav je stavljen u viskozni medij s koeficijentom otpora r = 0,1 kg/s. Usporedite prirodne i rezonantne frekvencije sustava. Odrediti amplitudu oscilacija njihala pri rezonanciji pod djelovanjem sinusoidne sile amplitude F 0 = 20 mN.
Odluka:
1 Prirodna frekvencija titrajnog sustava je frekvencija slobodnih oscilacija u odsutnosti trenja. Prirodna ciklička frekvencija je frekvencija titranja.
2 Rezonantna frekvencija je frekvencija vanjske pokretačke sile pri kojoj se amplituda prisilnih vibracija naglo povećava. Rezonantna ciklička frekvencija je , gdje je koeficijent prigušenja jednak .
Dakle, rezonantna frekvencija je . Lako je vidjeti da je rezonantna frekvencija manja od svoje vlastite! Također se može vidjeti da što je manje trenje u sustavu (r), to je rezonantna frekvencija bliža svojoj.
3 Rezonantna amplituda je
Zadatak 2 Rezonantna amplituda i faktor kvalitete oscilatornog sustava
Teret mase m = 100 g ovješen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sustav je postavljen u viskozni medij s koeficijentom otpora
r = 0,02 kg/s. Odrediti faktor kvalitete oscilatornog sustava i amplitudu oscilacija njihala pri rezonanciji pod djelovanjem sinusoidne sile amplitude F 0 = 10 mN. Pronađite omjer rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod djelovanjem konstantne sile F 0 = 20 mN i usporedite taj omjer s faktorom kvalitete.
Odluka:
1 Faktor kvalitete oscilatornog sustava je , gdje je logaritamski dekrement prigušenja.
Logaritamski dekrement prigušenja je .
Pronalazimo faktor kvalitete oscilatornog sustava.
2 Rezonantna amplituda je
3 Statički pomak pod djelovanjem stalne sile F 0 = 10 mN je .
4 Omjer rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod djelovanjem konstantne sile F 0 jednak je
Lako je vidjeti da se taj omjer podudara s faktorom kvalitete oscilatornog sustava
Zadatak 3 Rezonantne vibracije snopa
Pod utjecajem težine elektromotora, konzolni spremnik, na koji je ugrađen, savio se za . Pri kojem broju okretaja armature motora može postojati opasnost od rezonancije?
Odluka:
1 Tijelo motora i greda na koju je ugrađena doživljavaju povremene udare sa strane rotirajuće armature motora i stoga vrše prisilne oscilacije s frekvencijom udaraca.
Rezonancija će se primijetiti kada se frekvencija ponavljanja udaraca poklopi s prirodnom frekvencijom titranja snopa s motorom. Potrebno je pronaći prirodnu frekvenciju titranja sustava snop-motor.
2 Analog snopa oscilirajućeg sustava - motor može biti vertikalno opružno njihalo, čija je masa jednaka masi motora. Prirodna frekvencija titranja opružnog njihala je . Ali krutost opruge i masa motora nisu poznati! Kako biti?
3 U ravnotežnom položaju opružnog njihala, sila gravitacije tereta uravnotežena je silom elastičnosti opruge
4 Nalazimo rotaciju armature motora, t.j. frekvencija potresa
Zadatak 4 Prisilne oscilacije opružnog njihala pod djelovanjem periodičnih udara.
Uteg mase m = 0,5 kg obješen je na zavojnu oprugu krutosti k = 20 N/m. Logaritamski dekrement prigušenja oscilatornog sustava je . Žele zanjihati uteg kratkim trzajima, djelujući na uteg silom F = 100 mN za vrijeme τ = 0,01 s. Kolika bi trebala biti učestalost ponavljanja udara da bi amplituda girja bila najveća? U kojim trenucima i u kojem smjeru treba gurnuti girja? Do koje će amplitude biti moguće zamahnuti kettlebell na ovaj način?
Odluka:
1 Prisilne vibracije mogu se pojaviti s bilo kojim periodičnim djelovanjem. U ovom slučaju, postojana oscilacija će se pojaviti s brzinom ponavljanja vanjskog djelovanja. Ako se razdoblje vanjskih šokova podudara s frekvencijom prirodnih oscilacija, tada se u sustavu javlja rezonancija - amplituda oscilacija postaje najveća. U našem slučaju, za početak rezonancije, period ponavljanja udara mora se podudarati s periodom oscilacije opružnog njihala.
Logaritamski dekrement prigušenja je mali, stoga je trenje u sustavu malo, a period titranja njihala u viskoznom mediju praktički se poklapa s periodom oscilacije njihala u vakuumu:
2 Očito se smjer udara mora podudarati sa brzinom girja. U ovom slučaju, rad vanjske sile koja nadopunjuje sustav energijom bit će pozitivan. I vibracije će se ljuljati. Energija koju sustav primi tijekom udara
će biti najveće kada opterećenje prijeđe ravnotežni položaj, jer je u tom položaju brzina njihala najveća.
Dakle, sustav će se najbrže zanjihati pod djelovanjem udaraca u smjeru kretanja tereta kada prođe ravnotežni položaj.
3 Amplituda titranja prestaje rasti kada će energija prenesena sustavu tijekom udara biti jednaka gubitku energije zbog trenja tijekom razdoblja: .
Gubitak energije za razdoblje nalazimo kroz faktor kvalitete oscilatornog sustava
gdje je E ukupna energija oscilatornog sustava, koja se može izračunati kao .
Umjesto energije gubitaka zamjenjujemo energiju koju sustav primi tijekom udara:
Maksimalna brzina u procesu titranja jednaka je . Imajući to na umu, dobivamo .
§7 Zadaci za neovisna odluka
Test "Prisilne vibracije"
1 Koje se vibracije nazivaju prisilnim?
A) Oscilacije koje nastaju pod djelovanjem vanjskih periodično promjenjivih sila;
B) Oscilacije koje se javljaju u sustavu nakon vanjskog pritiska;
2 Koja je od sljedećih oscilacija prisilna?
A) Titranje tereta obješenog na oprugu nakon njezina pojedinačnog odstupanja od ravnotežnog položaja;
B) Vibracija difuzora zvučnika tijekom rada prijemnika;
C) Titranje tereta obješenog na oprugu nakon jednog udarca o teret u ravnotežnom položaju;
D) Vibracija tijela elektromotora tijekom njegovog rada;
E) Vibracije bubne opne osobe koja sluša glazbu.
3 Na oscilatorni sustav s prirodnom frekvencijom utječe vanjska pokretačka sila koja se mijenja u skladu sa zakonom. Koeficijent prigušenja u oscilatornom sustavu je . Po kojem se zakonu mijenja koordinata tijela tijekom vremena?
C) Amplituda prisilnih oscilacija ostat će nepromijenjena, budući da će gubici energije sustava uslijed trenja biti nadoknađeni dobitkom energije uslijed rada vanjske pogonske sile.
5 Sustav vrši prisilne oscilacije pod djelovanjem sinusne sile. Navedite svičimbenici o kojima ovisi amplituda tih oscilacija.
A) Od amplitude vanjske pokretačke sile;
B) Prisutnost oscilatornog sustava energije u trenutku početka djelovanja vanjske sile;
C) Parametri samog oscilatornog sustava;
D) Trenje u oscilatornom sustavu;
E) Postojanje prirodnih oscilacija u sustavu u trenutku kada vanjska sila počinje djelovati;
E) Vrijeme uspostavljanja oscilacija;
G) Frekvencije vanjske pokretačke sile.
6 Šipka mase m vrši prisilne harmonijske oscilacije duž horizontalne ravnine s periodom T i amplitudom A. Koeficijent trenja μ. Koliki rad izvrši vanjska pokretačka sila u vremenu jednakom razdoblju T?
A) 4μmgA; B) 2μmgA; C) μmgA; D) 0;
E) Nije moguće dati odgovor, jer nije poznata veličina vanjske pokretačke sile.
7 Dajte točnu tvrdnju
Rezonancija je fenomen...
A) Podudarnost frekvencije vanjske sile s prirodnom frekvencijom titrajnog sustava;
B) Oštar porast amplitude prisilnih oscilacija.
Pod uvjetom se opaža rezonancija
A) Smanjenje trenja u oscilatornom sustavu;
B) Povećanje amplitude vanjske pokretačke sile;
C) Podudarnost frekvencije vanjske sile s prirodnom frekvencijom titrajnog sustava;
D) Kad se frekvencija vanjske sile poklapa s rezonantnom frekvencijom.
8 Fenomen rezonancije može se uočiti u ...
A) U bilo kojem oscilatornom sustavu;
B) U sustavu koji vrši slobodne oscilacije;
C) U samooscilatornom sustavu;
D) U sustavu koji vrši prisilne oscilacije.
9 Na slici je prikazan graf ovisnosti amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile. Rezonancija se javlja na frekvenciji...
10 Tri identična njihala u različitim viskoznim medijima vrše prisilne oscilacije. Na slici su prikazane rezonantne krivulje za ova njihala. Koje od njihala doživljava najveći otpor viskoznog medija tijekom procesa titranja?
A) 1; B) 2; IN 3;
D) Nije moguće dati odgovor, budući da amplituda prisilnih titranja, osim frekvencije vanjske sile, ovisi i o njezinoj amplitudi. Uvjet ništa ne govori o amplitudi vanjske pokretačke sile.
11 Period prirodnih vibracija oscilatornog sustava jednak je T 0 . Koliki može biti period ponavljanja šokova tako da se amplituda oscilacija naglo poveća, odnosno dođe do rezonancije u sustavu?
A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
C) Ljuljačku možete zamahnuti guranjima bilo koje frekvencije.
12 Vaš mlađi brat sjedi na ljuljački, vi ga ljuljate kratkim guranjima. Koliko bi trebalo biti razdoblje naknadnih potresa kako bi se proces odvijao najučinkovitije? Period prirodnih oscilacija zamaha T 0 .
D) Zamah možete zamahnuti guranjima bilo koje frekvencije.
13 Tvoj mali brat sjedi na ljuljački, ti ga ljuljaš kratkim guranjima. U kojem položaju ljuljačke treba napraviti potisak i u kojem smjeru treba napraviti potisak da bi se proces odvijao najučinkovitije?
A) Gurnite u krajnji gornji položaj zamaha u smjeru ravnotežnog položaja;
B) Gurnite u krajnji gornji položaj zamaha u smjeru od ravnotežnog položaja;
B) Gurnite u položaj ravnoteže u smjeru kretanja zamaha;
D) Možete gurati u bilo kojem položaju, ali uvijek u smjeru zamaha.
14 Čini se da se pucanjem iz praćke na most na vrijeme s vlastitim vibracijama i mnogo hitaca, može se snažno uzdrmati, ali malo je vjerojatno da će to uspjeti. Zašto?
A) Masa mosta (njegova inercija) je velika u odnosu na masu "metka" iz praćke, most se neće moći pomaknuti pod utjecajem takvih udaraca;
B) Udarna sila “metka” iz praćke je toliko mala da se most neće moći pomaknuti pod utjecajem takvih udaraca;
C) Energija prenesena na most jednim udarcem je mnogo manja od gubitka energije zbog trenja tijekom razdoblja.
15 Nosite kantu vode. Voda u kanti se njiše i prska van. Što se može učiniti da se to ne dogodi?
A) Mahanje rukom u kojoj se nalazi kanta u skladu s hodanjem;
B) Promijenite brzinu kretanja, ostavljajući duljinu koraka nepromijenjenom;
C) Povremeno se zaustavljajte i pričekajte da se vibracije vode smire;
D) Pazite da se tijekom kretanja ruka s kantom nalazi strogo okomito.
Zadaci
1 Sustav izvodi prigušene oscilacije s frekvencijom od 1000 Hz. Odredite frekvenciju v0 prirodne vibracije, ako je rezonantna frekvencija
2 Odredite koliko je D v rezonantna frekvencija se razlikuje od prirodne frekvencije v0= 1000 Hz oscilatornog sustava karakteriziranog koeficijentom prigušenja d = 400s -1 .
3 Masa od 100 g, obješena na oprugu krutosti 10 N/m, vrši prisilne oscilacije u viskoznom mediju s koeficijentom otpora r = 0,02 kg/s. Odredite faktor prigušenja, rezonantnu frekvenciju i amplitudu. Amplitudna vrijednost pogonske sile je 10 mN.
4 Amplitude prisilnih harmonijskih oscilacija na frekvencijama w 1 = 400 s -1 i w 2 = 600 s -1 međusobno su jednake. Odredite rezonantnu frekvenciju.
Ulazi 5 kamiona zemljana cesta do skladišta žitarica s jedne strane, istovariti i napustiti skladište istom brzinom, ali s druge strane. Koja strana skladišta ima više rupa na cesti od druge? Kako odrediti s koje strane skladišta ulaz, a koji izlaz određuju stanje ceste? Obrazložite svoj odgovor
Vratimo se ponovno na sliku 53. Pomicanjem lopte iz točke O (ravnotežni položaj) u točku B istežemo oprugu. Istodobno radimo na prevladavanju sile njezine elastičnosti, zbog čega opruga dobiva potencijalnu energiju. Ako sada pustimo kuglicu, kako se ona približava točki O, deformacija opruge i potencijalna energija njihala će se smanjiti, dok će se brzina i kinetička energija povećati.
Pretpostavimo da su gubici energije za prevladavanje sila trenja tijekom gibanja njihala zanemarivo mali. Tada se, prema zakonu održanja energije, ukupna mehanička energija njihala (tj. E p + E k) u bilo kojem trenutku može smatrati istom i jednakom potencijalnoj energiji koju smo u početku prenijeli oprugi, rastezanjem to preko duljine segmenta OB. U tom slučaju visak bi mogao oscilirati proizvoljno dugo s konstantnom amplitudom jednakom OB.
To bi bio slučaj da tijekom kretanja nema gubitaka energije.
Ali u stvarnosti uvijek dolazi do gubitka energije. Mehanička energija se troši, na primjer, za obavljanje rada za prevladavanje sila otpora zraka, a pritom prelazi u unutarnju energiju. Amplituda oscilacija postupno se smanjuje, a nakon nekog vremena oscilacije prestaju. Takve oscilacije nazivamo prigušenim (slika 66).
Riža. 66. Grafovi vremenske ovisnosti amplitude slobodnih oscilacija koje se javljaju u vodi i zraku
Što je veća sila otpora kretanju, oscilacije se brže zaustavljaju. Na primjer, u vodi oscilacije opadaju brže nego u zraku (slika 66, a, b).
Do sada smo razmatrali slobodne oscilacije, tj. oscilacije koje nastaju zbog početne rezerve energije.
Slobodne su oscilacije uvijek prigušene, budući da cjelokupna zaliha energije koja je prvobitno dostavljena oscilatornom sustavu na kraju ide na rad na prevladavanje sila trenja i otpora medija (tj. mehanička energija se pretvara u unutarnju energiju). Stoga slobodne vibracije nemaju gotovo nikakvu praktičnu primjenu.
Kako bi oscilacije bile neprigušene, potrebno je nadoknaditi gubitke energije za svaki period oscilacija. To se može učiniti djelovanjem na tijelo koje oscilira s periodično promjenjivom silom. Na primjer, svaki put kada gurate zamah u ritmu njihovih oscilacija, možete osigurati da oscilacije ne blijede.
- Oscilacije koje tijelo stvara pod djelovanjem vanjske periodično promjenjive sile nazivaju se prisilne vibracije.
Vanjska periodično promjenjiva sila koja uzrokuje te oscilacije naziva se uvjerljiva sila.
Ako na ljuljanje u mirovanju počne djelovati pogonska sila koja se povremeno mijenja, tada će se neko vrijeme povećati amplituda prisilnih oscilacija ljuljanja, tj. amplituda svakog sljedećeg titranja bit će veća od prethodne. Povećanje amplitude prestat će kada energija izgubljena zamahom za prevladavanje sile trenja postane jednaka energiji koju su primili izvana (zbog rada pogonske sile).
U većini slučajeva stalna učestalost prisilnih oscilacija se ne uspostavlja odmah, već neko vrijeme nakon njihovog početka.
Kada se amplituda i frekvencija prisilnih oscilacija prestanu mijenjati, kaže se da su oscilacije stale.
Frekvencija ustaljenih prisilnih oscilacija jednaka je frekvenciji pogonske sile.
Prisilne oscilacije mogu napraviti čak i tijela koja nisu oscilatorni sustavi, na primjer, igla šivaćeg stroja, klipovi u motoru s unutarnjim izgaranjem i mnoga druga. Oscilacije takvih tijela također se javljaju s frekvencijom pogonske sile.
Prisilne oscilacije su neprigušene. Pojavljuju se sve dok je pokretačka snaga na snazi.
Pitanja
- Što se može reći o ukupnoj mehaničkoj energiji oscilirajućeg njihala u bilo kojem trenutku, ako pretpostavimo da nema gubitka energije? Po kojem zakonu se to može tvrditi?
- Kako se mijenja amplituda slobodnih oscilacija koje se javljaju u stvarnim uvjetima tijekom vremena? Koji je razlog ove promjene?
- Gdje će se njihanje njihalo brže zaustaviti - u zraku ili u vodi? Zašto? (Inicijalna opskrba energijom je ista u oba slučaja.)
- Mogu li slobodne oscilacije biti neprigušene? Zašto? Što je potrebno učiniti da se oscilacije ne priguše?
- Što se može reći o učestalosti stabilnih prisilnih oscilacija i učestalosti pokretačke sile?
- Mogu li tijela koja nisu oscilatorni sustavi vršiti prisilne oscilacije? Navedite primjere.
- Koliko traju prisilne oscilacije?
Vježba 25
