Kako se zove graf harmonijskih oscilacija. Harmonične vibracije. Maksimalne vrijednosti brzine i ubrzanja

Kada čitate ovaj odjeljak, imajte to na umu fluktuacije različite fizičke prirode opisuju se s jedinstvenog matematičkog stajališta. Ovdje je potrebno jasno razumjeti takve koncepte kao što su harmonijska oscilacija, faza, razlika faza, amplituda, frekvencija, period oscilacije.

Mora se imati na umu da u svakom stvarnom oscilatornom sustavu postoje otpori medija, t.j. oscilacije će biti prigušene. Za karakterizaciju prigušenja oscilacija uveden je koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja.

Ako se vibracije stvaraju pod djelovanjem vanjske, periodično promjenjive sile, tada se takve vibracije nazivaju prisilnim. Bit će nezaustavljivi. Amplituda prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile. Kada se frekvencija prisilnih titranja približi frekvenciji vlastitih oscilacija, amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Taj se fenomen naziva rezonancija.

Okrećući se proučavanju elektromagnetskih valova, morate to jasno razumjetielektromagnetski valje elektromagnetno polje koje se širi u svemiru. Najjednostavniji sustav emitiranja Elektromagnetski valovi, je električni dipol. Ako dipol vrši harmonijske oscilacije, tada zrači monokromatski val.

Tablica formule: Oscilacije i valovi

Fizikalni zakoni, formule, varijable	Formule oscilacija i valova
Jednadžba harmonične vibracije: gdje je x pomak (odstupanje) oscilirajuće vrijednosti od ravnotežnog položaja; A - amplituda; ω - kružna (ciklička) frekvencija; α - početna faza; (ωt+α) - faza.
Odnos između perioda i kružne frekvencije:
Frekvencija:
Odnos kružne frekvencije i frekvencije:
Razdoblja prirodnih oscilacija 1) opružno njihalo: gdje je k krutost opruge; 2) matematičko njihalo: gdje je l duljina njihala, g - ubrzanje slobodan pad; 3) oscilatorni krug: gdje je L induktivnost kruga, C je kapacitet kondenzatora.
Frekvencija prirodnih vibracija:
Zbrajanje oscilacija iste frekvencije i smjera: 1) amplituda rezultirajuće oscilacije gdje su A 1 i A 2 amplitude oscilacija komponenti, α 1 i α 2 - početna faza komponenti oscilacija; 2) početna faza rezultirajuće oscilacije
Jednadžba prigušenih oscilacija: e \u003d 2,71 ... - baza prirodnih logaritama.
Amplituda prigušenih oscilacija: gdje je A 0 - amplituda u početnom trenutku; β - faktor prigušenja;
Faktor prigušenja: oscilirajuće tijelo gdje je r koeficijent otpora medija, m - tjelesna težina; oscilatorni krug gdje je R aktivni otpor, L je induktivitet kruga.
Učestalost prigušenih oscilacija ω:
Razdoblje prigušenih oscilacija T:
Logaritamski dekrement prigušenja:

>> Harmonične vibracije

§ 22 HARMONIČKE OSCILACIJE

Znajući u kakvoj su vezi akceleracija i koordinata tijela koje oscilira, moguće je, na temelju matematičke analize, pronaći ovisnost koordinate o vremenu.

Ubrzanje je druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Trenutačna brzina točke, kao što znate iz kolegija matematike, derivacija je koordinate točke u odnosu na vrijeme. Ubrzanje točke je derivacija njezine brzine s obzirom na vrijeme, ili druga derivacija koordinate s obzirom na vrijeme. Stoga se jednadžba (3.4) može napisati na sljedeći način:

gdje je x " je druga derivacija koordinate s obzirom na vrijeme. Prema jednadžbi (3.11), tijekom slobodnih oscilacija, x koordinata se mijenja s vremenom tako da je druga vremenska derivacija koordinate izravno proporcionalna samoj koordinati i suprotna joj po predznaku.

Iz kolegija matematike je poznato da su druge derivacije sinusa i kosinusa u svom argumentu proporcionalne samim funkcijama, uzetim s suprotnim predznakom. U matematičkoj analizi dokazano je da nijedna druga funkcija nema ovo svojstvo. Sve to nam omogućuje da s razlogom tvrdimo da se koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja s vremenom prema zakonu sinusa ili pasina. Slika 3.6 prikazuje promjenu koordinate točke tijekom vremena prema kosinusnom zakonu.

Periodične promjene fizička veličina ovisno o vremenu, koje se događa prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmonijske oscilacije.

Amplituda oscilacije. Amplituda harmonijskih oscilacija je modul najvećeg pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.

Amplituda može imati različite vrijednosti ovisno o tome koliko smo pomaknuli tijelo iz ravnotežnog položaja u početnom trenutku vremena ili o tome kolika je brzina dojavljena tijelu. Amplituda je određena početnim uvjetima, odnosno energijom koja se daje tijelu. Ali maksimalne vrijednosti modula sinusa i kosinusnog modula jednake su jedan. Stoga se rješenje jednadžbe (3.11) ne može izraziti jednostavno sinusom ili kosinusom. Trebao bi imati oblik umnožaka amplitude titranja x m na sinus ili kosinus.

Rješenje jednadžbe koja opisuje slobodne oscilacije. Rješenje jednadžbe (3.11) zapisujemo u sljedećem obliku:

a druga izvodnica će biti:

Dobili smo jednadžbu (3.11). Stoga je funkcija (3.12) rješenje izvorne jednadžbe (3.11). Rješenje ove jednadžbe također će biti funkcija

Prema (3.14), graf ovisnosti koordinate tijela o vremenu je kosinusni val (vidi sliku 3.6).

Period i frekvencija harmonijskih oscilacija. Tijekom vibracija, pokreti tijela se povremeno ponavljaju. Vremenski interval T tijekom kojeg sustav izvodi jedan puni ciklus titranje se naziva periodom titranja.

Poznavajući period, može se odrediti frekvencija oscilacija, odnosno broj oscilacija u jedinici vremena, na primjer, u sekundi. Ako se jedna oscilacija dogodi u vremenu T, tada je broj oscilacija u sekundi

U Međunarodnom sustavu jedinica (SI) frekvencija titranja jednaka je jedinici ako se jedna oscilacija dogodi u sekundi. Jedinica frekvencije naziva se herc (skraćeno: Hz) u čast njemačkog fizičara G. Hertza.

Broj oscilacija u 2 s je:

Vrijednost - ciklička, ili kružna, frekvencija oscilacija. Ako je u jednadžbi (3.14) vrijeme t jednako jednoj periodi, tada je T = 2. Dakle, ako je u vrijeme t = 0 x = x m, tada u vrijeme t = T x = x m, tj. kroz period vremena jednakog jednom periodu, oscilacije se ponavljaju.

Frekvencija slobodnih oscilacija nalazi se prirodnom frekvencijom oscilatornog sustava 1.

Ovisnost frekvencije i perioda slobodnih oscilacija o svojstvima sustava. Prirodna frekvencija vibracija tijela pričvršćenog za oprugu, prema jednadžbi (3.13), jednaka je:

Što je veća, veća je krutost opruge k, a što je manja, veća je tjelesna masa m. To je lako razumjeti: kruta opruga daje tijelu više ubrzanja, brže mijenja brzinu tijela. I što je tijelo masivnije, sporije mijenja brzinu pod utjecajem sile. Period oscilacije je:

Imajući skup opruga različite krutosti i tijela različite mase, lako je iz iskustva provjeriti da formule (3.13) i (3.18) ispravno opisuju prirodu ovisnosti u T o k i m.

Zanimljivo je da period titranja tijela na oprugi i period titranja njihala pri malim kutovima otklona ne ovise o amplitudi titranja.

Modul koeficijenta proporcionalnosti između akceleracije t i pomaka x u jednadžbi (3.10), koja opisuje oscilacije njihala, je, kao i u jednadžbi (3.11), kvadrat cikličke frekvencije. Posljedično, prirodna frekvencija oscilacija matematičkog njihala pri malim kutovima odstupanja niti od vertikale ovisi o duljini njihala i ubrzanju slobodnog pada:

Ovu formulu prvi je dobio i testirao nizozemski znanstvenik G. Huygens, suvremenik I. Newtona. Vrijedi samo za male kutove otklona niti.

1 Često ćemo u nastavku, radi sažetosti, cikličnu frekvenciju nazivati ​​samo frekvencijom. Možete razlikovati cikličku frekvenciju od uobičajene frekvencije notacijom.

Period titranja raste s duljinom njihala. Ne ovisi o masi njihala. To se lako može provjeriti eksperimentiranjem s raznim njihalima. Može se pronaći i ovisnost perioda titranja o ubrzanju slobodnog pada. Što je g manji, period titranja njihala je duži i, posljedično, sat njihala teče sporije. Tako će sat s njihalom u obliku utega na šipki zaostati u danu za gotovo 3 s ako se podigne iz podruma na gornji kat Moskovskog sveučilišta (visina 200 m). A to je samo zbog smanjenja ubrzanja slobodnog pada s visinom.

U praksi se koristi ovisnost perioda titranja njihala o vrijednosti g. Mjerenjem perioda titranja, g se može vrlo precizno odrediti. Ubrzanje slobodnog pada mijenja se od geografska širina. Ali čak i na određenoj geografskoj širini nije svugdje isto. Uostalom, gustoća Zemljina kora nije svugdje isto. U područjima gdje se pojavljuju guste stijene, ubrzanje g je nešto veće. To se uzima u obzir pri traženju minerala.

Dakle, željezna ruda ima povećanu gustoću u usporedbi s konvencionalnim stijenama. Mjerenja ubrzanja gravitacije u blizini Kurska, provedena pod vodstvom akademika A. A. Mihajlova, omogućila su razjasniti lokaciju željezne rude. Najprije su otkriveni magnetskim mjerenjima.

Svojstva mehaničkih vibracija koriste se u uređajima većine elektroničkih vaga. Tijelo koje se vaga postavlja se na platformu ispod koje je ugrađena kruta opruga. Kao rezultat, javljaju se mehaničke vibracije, čija se frekvencija mjeri odgovarajućim senzorom. Mikroprocesor spojen na ovaj senzor pretvara frekvenciju titranja u masu vaganog tijela, budući da ta frekvencija ovisi o masi.

Dobivene formule (3.18) i (3.20) za period titranja pokazuju da period harmonijskih oscilacija ovisi o parametrima sustava (krutost opruge, duljina navoja itd.)

Myakishev G. Ya., Fizika. 11. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; izd. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17. izd., prerađeno. i dodatni - M.: Obrazovanje, 2008. - 399 str.: ilustr.

Potpuni popis tema po razredima, kalendarski plan prema školski kurikulum iz fizike online, video materijal iz fizike za 11. razred download

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir predavanja prezentacija akceleratorske metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća rasprava pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječke i multimediju fotografije, slike grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za znatiželjne cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje pogrešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice raspravni programi Integrirane lekcije

fluktuacije nazivaju se pokreti ili procesi koji su karakterizirani određenim ponavljanjem u vremenu. Oscilatorni procesi su rašireni u prirodi i tehnologiji, na primjer, zamah satnog njihala, promjenjivi struja itd. Kad njihalo oscilira, mijenja se koordinata njegova središta mase, u slučaju izmjenične struje napon i struja u strujnom krugu fluktuiraju. Fizička priroda titranja može biti različita, pa se razlikuju mehaničke, elektromagnetske i dr. Oscilacije, međutim, različiti titrajni procesi opisuju se istim karakteristikama i istim jednadžbama. Iz toga proizlazi izvedivost jedinstven pristup na proučavanje vibracija različite fizičke prirode.

Fluktuacije se nazivaju besplatno, ako su napravljeni samo pod utjecajem unutarnjih sila koje djeluju između elemenata sustava, nakon što se sustav vanjskim silama izvuče iz ravnoteže i prepusti sam sebi. Slobodne vibracije uvijek prigušene oscilacije jer su gubici energije neizbježni u stvarnim sustavima. U idealiziranom slučaju sustava bez gubitka energije, slobodne oscilacije (koje se nastavljaju koliko god želite) nazivaju se vlastiti.

Najjednostavniji tip slobodnih neprigušenih oscilacija su harmonijske oscilacije - fluktuacije kod kojih se fluktuirajuća vrijednost mijenja s vremenom prema sinusnom (kosinusnom) zakonu. Oscilacije koje se susreću u prirodi i tehnologiji često imaju karakter blizak harmonijskom.

Harmonične vibracije su opisane jednadžbom koja se naziva jednadžbom harmonijskih vibracija:

gdje ALI- amplituda kolebanja, maksimalna vrijednost fluktuirajuće vrijednosti x; - kružna (ciklička) frekvencija vlastitih oscilacija; - početna faza titranja u trenutku vremena t= 0; - faza titranja u trenutku vremena t. Faza titranja određuje vrijednost oscilirajuće veličine u danom trenutku. Budući da kosinus varira od +1 do -1, onda x može uzeti vrijednosti od + A prije - ALI.

Vrijeme T, za koji sustav dovrši jednu potpunu oscilaciju, naziva se period oscilacije. Tijekom T faza osciliranja se povećava za 2 π , tj.

Gdje . (14.2)

Recipročna vrijednost perioda osciliranja

tj. broj potpunih oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja. Uspoređujući (14.2) i (14.3) dobivamo

Jedinica za frekvenciju je herc (Hz): 1 Hz je frekvencija na kojoj se jedna potpuna oscilacija odvija u 1 s.

Sustavi u kojima se mogu pojaviti slobodne vibracije nazivaju se oscilatori . Koja svojstva mora imati sustav da bi se u njemu pojavile slobodne oscilacije? Mehanički sustav mora imati položaj stabilne ravnoteže, nakon izlaska koji se pojavljuje vraćanje sile prema ravnoteži. Taj položaj odgovara, kao što je poznato, minimumu potencijalne energije sustava. Razmotrimo nekoliko oscilatornih sustava koji zadovoljavaju navedena svojstva.

Oscilacije koje nastaju pod djelovanjem vanjskih, periodično promjenjivih sila (s periodičnim dovodom energije izvana u oscilatorni sustav)

Energetska transformacija

Opružno njihalo

Ciklična frekvencija i period osciliranja jednaki su, redom:

Materijalna točka pričvršćen za savršeno elastičnu oprugu

Ø prikaz potencijalne i kinetičke energije opružnog njihala na x-koordinati.

Ø kvalitativni grafovi ovisnosti kinetičke i potencijalne energije o vremenu.

Ø Prisilno

Ø Učestalost prisilnih oscilacija jednaka je učestalosti promjena vanjske sile

Ø Ako se Fbc mijenja prema zakonu sinusa ili kosinusa, onda prisilne vibracije bit će harmoničan

Ø Kod samooscilacija nužna je periodična opskrba energijom iz vlastitog izvora unutar oscilatornog sustava

Harmonične oscilacije su oscilacije kod kojih se oscilirajuća vrijednost mijenja s vremenom prema zakonu sinusa ili kosinusa

jednadžbe harmonijskih titranja (zakoni gibanja točaka) imaju oblik

Harmonične vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih se vrijednost osciliranja mijenja s vremenom prema zakonusinus ilikosinus .
Jednadžba harmonične vibracije izgleda kao:

,
gdje - amplituda oscilacije (vrijednost najvećeg odstupanja sustava od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Povremeno mijenjajući kosinusni argument - tzv faza osciliranja . Faza osciliranja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u danom trenutku t. Konstanta φ je vrijednost faze u trenutku t = 0 i naziva se početna faza titranja . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne točke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.
Vremenski interval T nakon kojeg se ponavljaju određena stanja oscilatornog sustava, naziva periodom titranja . kosinus - periodična funkcija s periodom od 2π, dakle, tijekom vremenskog razdoblja T, nakon kojeg će faza titranja dobiti prirast jednak 2π, ponovit će se stanje sustava koji izvodi harmonijske oscilacije. Taj vremenski period T nazivamo periodom harmonijskih oscilacija.
Period harmonijskih oscilacija je : T = 2π/.
Zove se broj oscilacija u jedinici vremena frekvencija titranja ν.
Frekvencija harmonijskih vibracija jednaka je: ν = 1/T. Jedinica frekvencije herc(Hz) - jedna oscilacija u sekundi.
Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku

Grafički se harmonijske oscilacije mogu prikazati kao ovisnost x o t (slika 1.1.A), a metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućuje vizualizaciju svih parametara uključenih u jednadžbu harmonijskih oscilacija. Doista, ako vektor amplitude ALI smještena pod kutom φ prema x-osi (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na os x biti jednaka: x = Acos(φ). Kut φ je početna faza. Ako vektor ALI staviti u rotaciju sa kutna brzina, jednaka kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati po x-osi i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije mijenjat će se tijekom vremena prema Zakon:
.
Dakle, duljina vektora jednaka je amplitudi harmonijskog titranja, smjer vektora u početnom trenutku čini kut s osom x jednak početnoj fazi titranja φ, a promjena kuta smjera s vremenom jednaka je fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan potpuni okret jednako je periodu T harmonijskih titranja. Broj okretaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji titranja ν.