Parcijalne derivacije i diferencijali viših redova.

Uvod.

Kao iu slučaju funkcija jedne varijable, moguće je izračunati diferencijale reda višeg od prvog za funkcije više varijabli.

Štoviše, za složene funkcije diferencijali reda višeg od prvog nemaju nepromjenjiv oblik, a izrazi za njih su glomazniji. U ovom predavanju također ćemo razmotriti geometrijsko značenje totalnog diferencijala funkcije više varijabli, koje se uvodi analogijom s geometrijskim značenjem funkcije jedne realne varijable.

1. Diferenciranje implicitne funkcije.

a) Neka je dana jednadžba koja povezuje dvije varijable x I na. Ako se svi članovi ove jednadžbe prenesu na lijevu stranu, tada će izgledati kao

Jednadžba (1) općenito govoreći, definira jednu ili više funkcija
. Na primjer, jednadžba
definira jednu funkciju
, i jednadžba definira dvije funkcije
I
.

Ako se u razmatranim jednadžbama umjesto na zamijeniti pronađene funkcije, onda će se one pretvoriti u identitete.

Definicija: Svaka kontinuirana funkcija koja pretvara jednadžbu u identitet naziva se implicitna funkcija definirana jednadžbom.

Ne definira svaka jednadžba implicitnu funkciju. Dakle, jednadžba
ne zadovoljava niti jedan par realnih brojeva
te stoga ne definira implicitnu funkciju. Formulirajmo uvjete pod kojima jednadžba definira implicitnu funkciju.

Neka je dana jednadžba (1).

b) Teorem postojanja implicitne funkcije.

Ako funkcija
i njegove parcijalne derivacije
I
su definirane i kontinuirane u nekoj okolini točke
i pri čemu
, A
, tada jednadžba definira točke u ovom susjedstvu
jedina implicitna funkcija, kontinuirana i diferencijabilna u nekom intervalu koji sadrži točku , štoviše
.

Geometrijski, to znači da je u blizini točke krivulja graf kontinuirane i diferencijabilne funkcije.

V) Derivacija implicitne funkcije.

Neka lijeva strana jednadžbe zadovoljava uvjete navedene u teoremu, tada ova jednadžba definira implicitnu funkciju , za koju, u blizini točke, identitet u odnosu na x:
. Zatim
, za bilo koji x iz susjedstva x 0 .

Prema pravilu diferenciranja složene funkcije

i stoga,
.

ili
(2)

Prema ovoj formuli nalazi se derivacija implicitne funkcije (jedna varijabla).

Primjer: x 3 +y 3 -3xy=0

Imamo
x 3 +y 3 -3xy, =3x 2 -3 god =3g 2 -3x

= -
.

Generalizirajmo koncept implicitno definirane funkcije na slučaj funkcije više varijabli.

Jednadžba (3) definira implicitno zadanu funkciju ako je ta funkcija kontinuirana i pretvara jednadžbu u identitet, tj.
(4).

Na sličan način formulirani su uvjeti postojanja i jedinstvenosti implicitno zadane funkcije.

Nađimo I :

= -

= -

Primjer:

2x

2g

= -
; = -
.

2. Parcijalne derivacije viših redova.

Neka funkcija , ima parcijalne derivacije

Ove derivacije su, općenito govoreći, funkcije nezavisnih varijabli x I na.

Parcijalne derivacije parcijalnih derivacija
I
nazivaju se parcijalne derivacije funkcije drugog reda.

Svaka parcijalna derivacija prvog reda i ima dvije parcijalne derivacije. Tako dobivamo četiri parcijalne derivacije drugog reda

1. Derivati
I
nazivaju se mješoviti derivati ​​drugog reda.

2. Postavlja se pitanje ovisi li rezultat diferenciranja funkcije

Iz redoslijeda diferencijacije s obzirom na različite varijable, tj. htjeti

su identički jednaki i .

Teorem je istinit:

Teorema: Ako su derivacije i definirane i kontinuirane do točke M(x, y) i neki iz njegovog susjedstva, onda u ovoj točki

Primjer:

Izvodnice drugog reda mogu se ponovno razlikovati

u čemu je x, kao i na. Dobivamo parcijalne derivacije trećeg reda.

Parcijalna derivacija n-tog reda je parcijalna derivacija od

derivat (n-1) reda.

3. Totalni diferencijali viših redova.

Neka - diferencijabilna funkcija, dakle, postoji nazvat ćemo ga diferencijalom prvog reda.

Neka i budu diferencijabilne funkcije u točki M(x, y),
I
će se tretirati kao konstantni faktori. Zatim
je funkcija 2 varijable x I na, diferencijabilan u točki M(x, y). Njegov diferencijal izgleda ovako:

Diferencijal od diferencijala u točki M(x, y) naziva se diferencijal drugog reda u ovoj točki i označava se
.

A-priorat Greška! Objekt se ne može stvoriti iz kodova polja za uređivanje.=

Greška! Objekt se ne može stvoriti iz kodova polja za uređivanje.=

Diferencijal (n-1)-tog reda naziva se diferencijal n-tog reda funkcije

Izraz za može se simbolički napisati kao

Greška! Objekt se ne može stvoriti iz kodova polja za uređivanje.=
=

Primjer:

4. Tangentna ravnina i normala na plohu.

normalan

tangentna ravnina

Neka su N i N 0 točke zadane plohe. Nacrtajmo ravnu liniju NN 0 . Ravnina koja prolazi točkom N 0 naziva se tangentna ravnina na površinu ako kut između sekante NN 0 i ove ravnine teži nuli kada udaljenost NN 0 teži nuli.

Definicija. normalan na površinu u točki N 0 naziva se pravac koji prolazi kroz točku N 0 okomito na ravninu tangente na ovu površinu.

U nekom trenutku površina ima ili samo jednu tangentnu ravninu ili je uopće nema.

Ako je površina dana jednadžbom z \u003d f (x, y), gdje je f (x, y) funkcija koja se može diferencirati u točki M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u točki N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) postoji i ima jednadžbu:

Jednadžba za normalu na površinu u ovoj točki je:

geometrijski smisao punog diferencijala funkcije dviju varijabli f (x, y) u točki (x 0, y 0) je priraštaj aplike (z-koordinate) tangentne ravnine na površinu tijekom prijelaza iz točke (x 0, y 0) do točke (x 0 +x , y 0 +y).

Kao što vidite, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

Primjer. Nađite jednadžbe tangentne ravnine i normale na površinu

u točki M(1, 1, 1).

Jednadžba tangentne ravnine:

Normalna jednadžba:

Zaključak.

Definicije i zapisi povezani s parcijalnim izvodnicama viših redova ostaju valjani za funkcije koje ovise o tri ili više varijabli. Mogućnost promjene redoslijeda diferencijacija koje se rade također ostaje važeća, pod uvjetom da su derivacije koje se uspoređuju kontinuirane.

Neka je dana funkcija dviju varijabli. Povećajmo argument i ostavimo ga nepromijenjenim. Tada će funkcija dobiti inkrement koji se naziva djelomični inkrement u odnosu na varijablu i označava se:

Slično, fiksiranjem argumenta i davanjem inkrementa argumentu, dobivamo djelomični inkrement funkcije u odnosu na varijablu:

Vrijednost se naziva punim prirastom funkcije u točki.

Definicija 4. Parcijalna derivacija funkcije dviju varijabli s obzirom na jednu od tih varijabli je granica omjera odgovarajućeg parcijalnog prirasta funkcije prema prirastu dane varijable kada potonja teži nuli (ako je ta granica postoji). Parcijalna derivacija se označava kao: ili, ili.

Dakle, po definiciji imamo:

Parcijalne derivacije funkcije računaju se prema istim pravilima i formulama kao funkcija jedne varijable, s tim da se pri diferenciranju po varijabli smatra konstantom, a pri diferenciranju po varijabli konstantno.

Primjer 3. Naći parcijalne derivacije funkcija:

Riješenje. a) Da bismo pronašli, pretpostavljamo konstantnu vrijednost i diferenciramo kao funkciju jedne varijable:

Slično, uz pretpostavku konstantne vrijednosti, nalazimo:

Definicija 5. Ukupni diferencijal funkcije je zbroj umnožaka parcijalnih derivacija te funkcije i priraštaja odgovarajućih nezavisnih varijabli, tj.

S obzirom da se diferencijali nezavisnih varijabli podudaraju s njihovim priraštajima, tj. , formula za ukupni diferencijal može se napisati kao

Primjer 4. Naći totalni diferencijal funkcije.

Riješenje. Budući da, onda formulom totalnog diferencijala nalazimo

Parcijalne derivacije viših redova

Parcijalne derivacije se još nazivaju i parcijalne derivacije prvog reda ili prve parcijalne derivacije.

Definicija 6. Parcijalne derivacije drugog reda funkcije su parcijalne derivacije parcijalnih derivacija prvog reda.

Postoje četiri parcijalne derivacije drugog reda. Oni su označeni na sljedeći način:

Slično se definiraju parcijalne derivacije 3., 4. i viših reda. Na primjer, za funkciju imamo:

Parcijalne derivacije drugog ili višeg reda uzete u odnosu na različite varijable nazivaju se mješovite parcijalne derivacije. Za funkciju, to su derivacije. Imajte na umu da u slučaju kada su mješovite derivacije kontinuirane, tada postoji jednakost.

Primjer 5. Naći parcijalne derivacije drugog reda funkcije

Riješenje. Parcijalne derivacije prvog reda za ovu funkciju nalaze se u primjeru 3:

Diferencirajući i s obzirom na varijable x i y, dobivamo

A. Opet ćemo govoriti samo o funkcijama dviju varijabli (ali razmišljanje vrijedi i za funkcije bilo kojeg broja varijabli).

Neka imamo funkciju

i njegove su parcijalne derivacije. Potonje su očito također funkcije od x i y, pa se stoga također mogu pronaći njihove parcijalne derivacije u odnosu na x iu odnosu na y.

Parcijalna derivacija prema parcijalnoj derivaciji prema zove se parcijalna derivacija drugog reda prema i označava se na sljedeći način:

Slično, definiramo parcijalnu derivaciju drugog reda u odnosu na y:

Parcijalni izvod u odnosu na y parcijalnog izvoda u odnosu na naziva se mješoviti drugi parcijalni izvod u odnosu na i u odnosu na y:

Slično, određujemo drugu parcijalnu derivaciju, uzetu prvo u odnosu na y, a zatim u odnosu na

Može se dokazati da za mnoge funkcije mješovita derivacija ne ovisi o redu diferenciranja, tj.

Nećemo navoditi (zbog složenosti) dokaz ovog važnog svojstva, već ćemo ga pokazati na nekom primjeru.

Neka je, na primjer, dana funkcija

Prvo ga diferencirajte s obzirom na x, a zatim s obzirom na

Sada diferenciramo ovu funkciju prvo s obzirom na y, a zatim s obzirom na

Kao što vidimo, rezultat je isti u oba slučaja.

Ako uzmemo parcijalne derivacije prema i s parcijalnim derivacijama drugog reda, tada ćemo dobiti parcijalne derivacije trećeg reda

Slično određujemo parcijalne derivacije četvrtog, petog reda itd.

b. Baš kao što smo uzeli parcijalne derivacije parcijalnih derivacija, možemo uzeti totalni diferencijal totalnog diferencijala. Rezultat se naziva drugi puni diferencijal i označava se na isti način kao drugi diferencijal funkcije jedne varijable, tj. ovako:

Treći ukupni diferencijal je ukupni diferencijal drugog ukupnog diferencijala, i tako dalje.

c. Pokažimo sada kako se drugi totalni diferencijal izražava kroz parcijalne derivacije drugog reda. Radi općenitosti, pretpostavljamo da y također može ovisiti o nekim drugim varijablama. Označimo radi kratkoće

Da bismo pronašli drugi ukupni diferencijal, moramo uzeti prvi ukupni diferencijal od prvog ukupnog diferencijala. Uz napomenu da se, kao što je prikazano u točki "e" § 3 ovog poglavlja, pravilo za razlikovanje zbroja i umnoška također primjenjuje na ukupni diferencijal, možemo napisati

Budući da su p i q same funkcije dviju varijabli x i y, tada

primijeti da

Zamjenjujući ih u posljednju formulu, nakon otvaranja zagrada, konačno dobivamo

Ako su x i y nezavisne varijable ili linearne funkcije bilo koje druge varijable, tada su njihovi drugi diferencijali jednaki nuli;

a formula (8) je pojednostavljena:

Vidimo da je zakon invarijantnosti primjenjiv na drugi diferencijal samo uz vrlo velika ograničenja: bit će točan samo ako su x i y linearne funkcije drugih varijabli, u svim ostalim slučajevima nije primjenjiv. Razmatrajući formulu (9), vidimo da je vrlo slična formuli za kvadrat zbroja dvaju brojeva. Ova analogija dovela je do ideje da se drugi diferencijal zapiše u sljedećem simboličkom obliku:

1°

1°. Parcijalne derivacije viših redova. Parcijalne derivacije drugog reda funkcije z= f(x, y) nazivaju se parcijalne derivacije njegovih parcijalnih derivacija prvog reda.

Za derivacije drugog reda koristimo oznaku

Slično se definiraju i označavaju parcijalne derivacije reda višeg od drugog.

Ako su parcijalne derivacije koje treba izračunati kontinuirane, tada rezultat višestrukog diferenciranja ne ovisi o redoslijedu diferenciranja.

Primjer. Nađite djelomične derivacije drugog reda funkcije.

Riješenje. Najprije pronađimo parcijalne derivacije prvog reda:

Sada razlikujemo drugi put:

Imajte na umu da se takozvana "mješovita" parcijalna derivacija može pronaći na drugi način, naime: .

2°. Diferencijali višeg reda. diferencijal drugog reda funkcije z=f(x, y) naziva se diferencijal diferencijala (prvog reda) ove funkcije d²z=d(dz).

Slično se definiraju diferencijali funkcije r reda višeg od drugog, na primjer: d³z=d(d²z) i općenito govoreći,.

Ako z=f(x, y), Gdje x i y su nezavisne varijable, tada se diferencijal 2. reda funkcije r izračunava formulom

.

Općenito, simbolička formula

,

koji se formalno širi prema binomnom zakonu.

Ako z \u003d f (x, y), gdje su x i y argumenti su funkcije jedne ili više nezavisnih varijabli, dakle

Ako su x i y nezavisne varijable, d²x =0, d²y =0 i formula (2) postaje identična formuli (1).

Primjer. Nađite ukupne diferencijale 1. i 2. reda funkcije .

Svaki parcijalni izvod (preko x i po g) funkcije dviju varijabli je obična derivacija funkcije jedne varijable s fiksnom vrijednošću druge varijable:

(Gdje g= konst),

(Gdje x= konst).

Stoga se parcijalne derivacije računaju iz formule i pravila za izračunavanje derivacija funkcija jedne varijable, dok drugu varijablu smatramo konstantom (konstantom).

Ako vam za to nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna, već samo rješenje vašeg problema, prijeđite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako vam je teško usredotočiti se na praćenje gdje je konstanta u funkciji, tada možete zamijeniti bilo koji broj u nacrtu rješenja primjera umjesto varijable s fiksnom vrijednošću - tada možete brzo izračunati parcijalnu derivaciju kao običnu izvod funkcije jedne varijable. Potrebno je samo ne zaboraviti vratiti konstantu (varijablu s fiksnom vrijednošću) na njezino mjesto prilikom završetka.

Gore opisano svojstvo parcijalnih derivacija proizlazi iz definicije parcijalnih derivacija koja se nalazi u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali s donjom definicijom, možete otvoriti teoretsku referencu.

Pojam neprekidnosti funkcije z= f(x, g) u točki definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, g) nazivamo kontinuiranim u točki ako

Razlika (2) naziva se ukupnim prirastom funkcije z(dobiva se inkrementiranjem oba argumenta).

Neka funkcija z= f(x, g) i točka

Ako se funkcija promijeni z događa se kada se samo jedan od argumenata promijeni, na primjer, x, s fiksnom vrijednošću drugog argumenta g, tada će se funkcija povećati

nazivamo djelomični prirast funkcije f(x, g) Autor x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata zapravo prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

onda se naziva parcijalna derivacija funkcije f(x, g) argumentom x a označava se jednim od simbola

(4)

Slično se definira djelomični prirast z Po g:

i djelomična derivacija f(x, g) Autor g:

(6)

Primjer 1

Riješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(g fiksni);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksni).

Kao što vidite, nije važno u kojoj je mjeri varijabla fiksna: u ovom slučaju to je samo neki broj koji je faktor (kao u slučaju uobičajene derivacije) s varijablom po kojoj nalazimo parcijalni izvedenica. Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s varijablom u odnosu na koju nalazimo parcijalnu derivaciju, tada ta usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju obične derivacije, nestaje.

Primjer 2 S obzirom na funkciju

Pronađite djelomične derivacije

(po x) i (po y) i izračunajte njihove vrijednosti u točki A (1; 2).

Riješenje. Na fiksnom g derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije snage ( tablica izvoda funkcija jedne varijable):

.

Na fiksnom x derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija eksponencijalne funkcije, a drugi - kao derivacija konstante:

Sada izračunavamo vrijednosti tih parcijalnih derivacija u točki A (1; 2):

Rješenje zadataka s parcijalnim izvodnicama možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3 Pronađite djelomične derivacije funkcija

Riješenje. U jednom koraku nalazimo

(g x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna iu ovom slučaju je faktor pri g).

Rješenje zadataka s parcijalnim izvodnicama možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Slično se definiraju parcijalne derivacije funkcije triju ili više varijabli.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; g; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u naziva se funkcija varijabli x, g, ..., t i označavaju u= f(x, g, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Također se definiraju i izračunavaju parcijalne derivacije funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se samo jedna od nezavisnih varijabli mijenja, dok su ostale fiksne.

Primjer 4 Pronađite djelomične derivacije funkcija

.

Riješenje. g I z fiksno:

x I z fiksno:

x I g fiksno:

Sami pronađite parcijalne derivacije i zatim pogledajte rješenja

Primjer 5

Primjer 6 Naći parcijalne derivacije funkcije.

Isti ima i parcijalni izvod funkcije više varijabli mehaničko značenje kao derivacija funkcije jedne varijable, je brzina kojom se funkcija mijenja u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8 količina protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti kao funkcija

Gdje P- broj putnika, N– broj stanovnika pripadajućih točaka, R– udaljenost između točaka.

Parcijalni izvod funkcije P Po R jednak

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih točaka za isti broj stanovnika u točkama.

Parcijalna derivacija P Po N jednak

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja s istom udaljenosti između točaka.

Rješenje zadataka s parcijalnim izvodnicama možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Umnožak parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbroj parcijalnih diferencijala po svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Za funkciju dviju neovisnih varijabli ukupni diferencijal izražava se jednakošću

(7)

Primjer 9 Pronađite puni diferencijal funkcije

Riješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Funkcija koja ima totalni diferencijal u svakoj točki neke domene naziva se diferencijabilnom u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i zatim pogledajte rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području podrazumijeva njezin kontinuitet u tom području, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uvjet diferencijabilnosti funkcije.

Teorema. Ako funkcija z= f(x, g) ima neprekidne parcijalne derivacije

u danom području, tada je on u tom području diferencijabilan i njegov se diferencijal izražava formulom (7).

Može se pokazati da, kao što je u slučaju funkcije jedne varijable diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal jednak glavni, linearan s obzirom na prirast nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju dviju varijabli ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β infinitezimalni za i .

Parcijalne derivacije viših redova

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, g) su same neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivacije u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalne derivacije viših redova.