Modeli opisani sustavima dviju autonomnih diferencijalnih jednadžbi.
fazna ravnina. Fazni portret. izoklina metoda. glavne izokline. Stabilnost u stabilnom stanju. Linearni sustavi. Tipovi ključnih točaka: čvor, sedlo, fokus, središte. Primjer: kemijske reakcije prva narudžba.
Najzanimljiviji rezultati o kvalitativnom modeliranju svojstava bioloških sustava dobiveni su na modelima dviju diferencijalnih jednadžbi, koji omogućuju kvalitativno proučavanje metodom fazna ravnina. Razmotrimo sustav dviju autonomnih običnih diferencijalnih jednadžbi opći pogled
(4.1)
P(x,y), Q(x,y)- kontinuirane funkcije definirane u nekoj domeni G Euklidska ravnina ( x,y ‑ Kartezijanske koordinate) i imaju kontinuirane derivacije reda ne nižeg od prvog u ovoj regiji.
Regija G može biti neograničen ili ograničen. Ako varijable x, y imaju specifično biološko značenje (koncentracije tvari, obilje vrsta), najčešće područje G je pozitivni kvadrant desne poluravnine:
0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .
Koncentracije tvari ili brojnost vrsta također se mogu ograničiti odozgo volumenom posude ili površinom staništa. Tada raspon varijabli ima oblik:
0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .
Varijable x, y promjena u vremenu u skladu sa sustavom jednadžbi (4.1), tako da svakom stanju sustava odgovara par vrijednosti varijabli ( x, y).
|
|
Obrnuto, za svaki par varijabli ( x, y) odgovara određenom stanju sustava.
Razmotrimo ravninu s koordinatnim osi na kojoj su ucrtane vrijednosti varijabli x,y. Svaki bod M ova ravnina odgovara određenom stanju sustava. Takva se ravnina naziva fazna ravnina i prikazuje ukupnost svih stanja sustava. Točka M(x, y) naziva se točka koja prikazuje ili predstavlja.
Neka u početno vrijeme t=t 0 predstavlja koordinate točke M 0 (x(t 0),y(t 0)). U svakom sljedećem trenutku u vremenu t točka prikaza kretat će se u skladu s promjenama vrijednosti varijabli x(t),y(t). Skup točaka M(x(t), y(t)) na faznoj ravni, čiji položaj odgovara stanjima sustava u procesu promjene varijabli tijekom vremena x(t), y(t) prema jednadžbama (4.1), zove se fazna putanja.
Skup faznih putanja za različite početne vrijednosti varijabli daje lako vidljiv "portret" sustava. Zgrada fazni portret omogućuje donošenje zaključaka o prirodi promjena u varijablama x, y bez poznavanja analitičkih rješenja izvornog sustava jednadžbi(4.1).
Za prikaz faznog portreta potrebno je konstruirati vektorsko polje smjerova za putanje sustava u svakoj točki fazne ravnine. Određivanjem prirastaD t>0,dobivamo odgovarajuće inkremente D x i D y iz izraza:
D x=P(x,y)D t,
D y=Q(x,y)D t.
vektorski smjer dy/dx u točki ( x, y) ovisi o predznaku funkcija P(x, y), Q(x, y) a može se dati tablicom:
|
P(x,y)>0,Q(x,y)>0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)>0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)>0 |
|
.(4.2)
Rješenje ove jednadžbe y=y(x, c), ili implicitno F(x,y)=c, gdje s je konstanta integracije, daje obitelj integralnih krivulja jednadžbe (4.2) - fazne putanje sustava (4.1) na ravnini x, y.
Izoklina metoda
Za konstruiranje faznog portreta koristi se izoklina metoda - na faznoj ravnini crtaju se linije koje sijeku integralne krivulje pod jednim određenim kutom. Jednadžbu izoklina lako je dobiti iz (4.2). Stavimo
gdje ALI– određena konstanta. Značenje ALI predstavlja tangentu nagiba tangente na faznu putanju i može uzimati vrijednosti od -¥ na + ¥ . Zamjena umjesto dy/dx u (4.2) količina ALI dobivamo jednadžbu izoklina:
.(4.3)
Jednadžba (4.3) određuje u svakoj točki ravnine jedinu tangentu na odgovarajuću integralnu krivulju, osim točke u kojoj P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , u kojem smjer tangente postaje neodređen, budući da vrijednost derivacije postaje neodređena:
.
Ova točka je presjek svih izoklina - posebna točka. Istodobno nestaje vremenskih derivata varijabli x i y.
Dakle, u singularnoj točki, stope promjene varijabli jednake su nuli. Stoga, singularna točka diferencijalne jednadžbe faznih putanja (4.2) odgovara stacionarno stanje sustava(4.1), a njegove koordinate su stacionarne vrijednosti varijabli x, y.
Od posebnog interesa su glavne izokline:
dy/dx=0, P(x,y)=0 – izoklina horizontalnih tangenti i
dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – izoklina vertikalnih tangenti.
Konstruiranjem glavnih izoklina i pronalaženjem točke njihova presjeka (x,y), čije koordinate zadovoljavaju uvjete:
tako ćemo pronaći točku presjeka svih izoklina fazne ravnine, u kojoj je smjer tangenti na fazne putanje neodređen. Ovo je - singularna točka, što odgovara stacionarno stanje sustava(slika 4.2).
Sustav (4.1) ima onoliko stacionarnih stanja koliko je točaka presjeka glavnih izoklina na faznoj ravnini.
Svaka fazna putanja odgovara skupu gibanja dinamičkog sustava koji prolaze kroz ista stanja i međusobno se razlikuju samo po početku vremenske reference.
 |
|
Ako su uvjeti Cauchyjevog teorema zadovoljeni, onda kroz svaku točku prostora x, y, t prolazi kroz jednu integralnu krivulju. Isto vrijedi, zahvaljujući autonomiji, za fazne putanje: kroz svaku točku fazne ravnine prolazi jedinstvena fazna putanja.
Stabilnost u stabilnom stanju
Neka je sustav u ravnoteži.
Tada se reprezentativna točka nalazi u jednoj od singularnih točaka sustava, u kojoj je, po definiciji:
.
Je li singularna točka stabilna ili ne ovisi o tome odlazi li reprezentativna točka ili ne s malim odstupanjem od stacionarnog stanja. Kako se primjenjuje na sustav dviju jednadžbi, definicija stabilnosti u jezikue, dkako slijedi.
Stanje ravnoteže je stabilno ako za bilo koje dano područje odstupanja od ravnotežnog stanja (e )može se odrediti područje d (e ), koji okružuje stanje ravnoteže i ima svojstvo da nema putanje koja počinje unutar regije d , nikada neće stići do granice e . (slika 4.4)
 |
|
Za veliku klasu sustava - grubi sustavi – čija se priroda ponašanja ne mijenja s malom promjenom vrste jednadžbi, informacije o vrsti ponašanja u blizini stacionarnog stanja mogu se dobiti proučavanjem ne izvornog, već pojednostavljenog linearizirana sustav.
Linearni sustavi.
Razmotrimo sustav od dva linearne jednadžbe:
.(4.4)
Ovdje a, b, c, d- konstante, x, y- Kartezijanske koordinate na faznoj ravnini.
Opće rješenje će se tražiti u obliku:
.(4.5)
Zamijenite ove izraze u (4.4) i smanjite za e l t:
(4.6)
Algebarski sustav jednadžbi (4.6) s nepoznanicama A, B ima rješenje različito od nule samo ako je njegova determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznanica, jednaka nuli:
.
Proširujući ovu determinantu, dobivamo karakterističnu jednadžbu sustava:
.(4.7)
Rješenje ove jednadžbe daje vrijednosti indikatoral 1,2 , pod kojima su moguće vrijednosti različite od nule A i B rješenja jednadžbe (4.6). Ove vrijednosti su
.(4.8)
Ako je radikalni izraz negativan, ondal 1,2 složeni konjugirani brojevi. Pretpostavimo da oba korijena jednadžbe (4.7) imaju realne dijelove različite od nule i da nema višestrukih korijena. Tada se opće rješenje sustava (4.4) može predstaviti kao linearna kombinacija eksponenata s eksponentimal 1 , l 2 :
(4.9)
Za analizu prirode mogućih putanja sustava na faznoj ravnini koristimo se linearna homogena transformacija koordinata,što će dovesti sustav do kanonski oblik:
,(4.10)
što omogućuje prikladniji prikaz na faznoj ravnini u usporedbi s izvornim sustavom (4.4). Uvedimo nove koordinateξ , η prema formulama:
(4.1)
Iz kolegija linearne algebre poznato je da ako realni dijelovi nisu jednaki nulil 1 , l 2 izvorni sustav (4.4) uz pomoć transformacija (4.11) uvijek se može transformirati u kanonski oblik (4.10) i može se proučavati njegovo ponašanje na faznoj ravniξ , η . Razmotrite razne slučajeve koji se ovdje mogu pojaviti.
Korijeni λ 1 , λ 2 – valjani i istog znaka
U ovom slučaju, koeficijenti transformacije su stvarni, krećemo se od realne ravninex,yna realnu ravninu ξ, η. Dijeljenjem druge jednadžbe (4.10) s prvom dobivamo:
.(4.12)
Integrirajući ovu jednadžbu, nalazimo:
Gdje .(4.13)
Složimo se da razumijemo pod λ 2 korijen karakteristične jednadžbe s velikim modulom, koji ne narušava općenitost našeg razmišljanja. Zatim, budući da su u razmatranom slučaju korijeni λ 1 , λ2 – valjani i istog znaka,a>1 , a radi se o integralnim krivuljama paraboličkog tipa.
Sve integralne krivulje (osim osi η , što odgovara ) dodir u ishodištu osi ξ, što je također integralna krivulja jednadžbe (4.11). Polazište koordinata je singularna točka.
Sada ćemo saznati smjer kretanja reprezentativne točke duž faznih putanja. Ako je λ 1, λ 2 negativni su, dakle, kao što se može vidjeti iz jednadžbi (4.10), |ξ|, |η| smanjiti tijekom vremena. Reprezentirajuća točka se približava ishodištu, ali ga nikada ne doseže. Inače bi to bilo u suprotnosti s Cauchyjevom teoremom, koji kaže da samo jedna fazna putanja prolazi kroz svaku točku fazne ravnine.
Takva singularna točka kroz koju prolaze integralne krivulje, baš kao obitelj parabola 
prolazi kroz ishodište, naziva se čvor (sl. 4.5)
Stanje ravnoteže tipa čvora na λ 1, λ 2 < 0 je stabilan prema Lyapunovu, budući da se reprezentativna točka kreće duž svih integralnih krivulja prema ishodištu koordinata. Ovo je stabilan čvor. Ako je λ 1, λ 2 > 0, dakle |ξ|, |η| raste s vremenom i reprezentativna točka se udaljava od ishodišta. U ovom slučaju, singularna točka– nestabilan čvor .
Na faznoj ravnini x, y ostat će opći kvalitativni karakter ponašanja integralnih krivulja, ali se tangente na integralne krivulje neće podudarati s koordinatnim osi. Kut nagiba ovih tangenti odredit će se omjerom koeficijenata α , β , γ , δ u jednadžbama (4.11).
Korijeni λ 1 , λ 2 valjani su i imaju različite predznake.
Pretvori iz koordinate x,y na koordinate ξ, η opet pravi. Jednadžbe za kanonske varijable opet imaju oblik (4.10), ali sada predznaci λ 1, λ 2 drugačiji. Jednadžba fazne putanje ima oblik:
Gdje , (4.14)
Integrirajući (4.14) nalazimo
(4.15)
Ovo je jednadžba definira obitelj krivulja hiperboličkog tipa, gdje su obje koordinatne osi su asimptote (at a=1 imali bismo obitelj jednakokračnih hiperbola). Koordinatne osi su u ovom slučaju također integralne krivulje– to će biti jedine integralne krivulje koje prolaze kroz ishodište. Svakiod kojih se sastoji od tri fazne putanje: dva kretanja prema stanju ravnoteže (ili udaljavanju od stanja ravnoteže) i iz stanja ravnoteže. Sve ostale integralne krivulje– su hiperbole koje ne prolaze kroz ishodište (sl. 4.6) Ova singularna točka se zove "sedlo ». Linije razine u blizini planinskog sedla ponašaju se kao fazne putanje u blizini sedla.
Razmotrimo prirodu gibanja reprezentativne točke duž faznih putanja u blizini ravnotežnog stanja. Neka npr.λ 1 >0, λ 2<0 . Zatim reprezentativna točka postavljena na os ξ , će se udaljiti od ishodišta i postaviti na os η – neograničeno će se približavati ishodištu koordinata, a da ga ne dosegne u konačnom vremenu. Gdje god je reprezentativna točka u početnom trenutku (s izuzetkom singularne točke i točaka na asimptoti η =0), na kraju će se udaljiti od ravnotežnog stanja, čak i ako se na početku kreće duž jedne od integralnih krivulja prema singularnoj točki.
Očito je da singularna točka tipa sedla uvijek je nestabilna . Samo pod posebno odabranim početnim uvjetima na asimptotiη =0 sustav će se približiti stanju ravnoteže. Međutim, to ne proturječi tvrdnji da je sustav nestabilan. Ako računate, da su sva početna stanja sustava na faznoj ravnini jednako vjerojatna, onda je vjerojatnost takvog početnog stanja koje odgovara kretanju u smjeru do singularna točka jednaka je nuli. Stoga će svaki pravi pokret ukloniti sustav iz stanja ravnoteže.Vraćam se na koordinatex,y,dobivamo istu kvalitativnu sliku prirode kretanja trajektorija oko ishodišta.
Granica između razmatranih slučajeva čvora i sedla je slučaj kada jedan od karakterističnih pokazatelja npr λ 1 , nestaje, što se događa kada je determinanta sustava- izraz adbc=0(vidi formulu 4.8 ). U ovom slučaju, koeficijenti desne strane jednadžbe (4.4) međusobno su proporcionalni:
a sustav ima za svoja ravnotežna stanja sve točke pravca:
Preostale integralne krivulje su obitelj paralelnih pravaca s nagibom , duž koje se reprezentativne točke ili približavaju stanju ravnoteže ili se udaljuju od njega, ovisno o predznaku drugog korijena karakteristične jednadžbe λ 2 = a+d.(Sl.4. 7 ) U ovom slučaju koordinate ravnotežnog stanja ovise o početnoj vrijednosti varijabli.
Korijeni λ 1 , λ 2 – komplekskonjugirati
U ovom slučaju, stvarnox i y hoćemo imaju složene konjugate ξ , η (4.10) . Međutim, uvođenjem još jedne međutransformacije moguće je i u ovom slučaju razmatranje svesti na stvarnu linearnu homogenu transformaciju. Stavimo:
(4.16)
gdje a, b, i u, v – stvarne vrijednosti. Može se pokazati da je transformacija izx,y do u, v je, prema našim pretpostavkama, realan, linearan, homogen s determinantom različitom od nule. Zbog jednadžbi(4.10, 4.16) imamo:
gdje
(4.17)
Dijeljenje druge jednadžbe s prvom, dobivamo:
koje je lakše integrirati, ako prijeđemo na polarni koordinatni sustav (r, φ ) . Nakon zamjene dolazimo odakle:
.(4.18)
Dakle, na faznoj ravniniu, vimamo posla s obitelji logaritamskih spirala od kojih svaka imaasimptotska točka u ishodištu.Singularna točka koja je asimptotska točka svih integralnih krivulja koje imaju oblik spirale, ugniježđeni prijateljprijatelj, nazvao usredotočenost ( sl.4.8 ) .
Razmotrimo prirodu kretanja reprezentativne točke duž faznih putanja. Množenje prve od jednadžbi (4.17) sau, a drugi za v i dodajući , dobivamo:
Gdje
Neka bude a 1 < 0 (a 1 = Ponovnoλ ) . Reprezentirajuća točka se tada kontinuirano približava ishodištu ne dostižući ga u konačnom vremenu. To znači da su fazne putanje spirale uvijanja i odgovaraju prigušenim oscilacijama varijable. Ovo je - postojan fokus .
U slučaju stabilnog fokusa, kao iu slučaju stabilnog čvora, nije zadovoljen samo Ljapunovov uvjet, već i stroži zahtjev. Naime, za bilo kakva početna odstupanja, sustav će se na kraju vratiti koliko god želite u ravnotežni položaj. Takva stabilnost, u kojoj početna odstupanja ne samo da se ne povećavaju, već opadaju, težeći nuli, naziva se apsolutna stabilnost .
Ako je u formuli (4.18) a 1 >0 , tada se reprezentativna točka udaljava od ishodišta, a mi imamo posla nestabilan fokus . Prilikom kretanja iz avionau, vna faznu ravninux, yspirale će također ostati spirale, ali će se deformirati.
Razmotrimo sada slučaj kadaa 1
=0
. Fazne putanje na ravniniu, vbit će krugovi 
koji u avionux,yfit elipse:
Dakle, koda 1=0 kroz posebnu točkux= 0,y= 0 niti jedna integralna krivulja ne prolazi. Takva izolirana singularna točka, u blizini koje su integralne krivulje zatvorene krivulje, posebno elipse koje su ugrađene jedna u drugu i zatvaraju singularnu točku, naziva se središte.
Dakle, moguće je šest vrsta ravnoteže, ovisno o prirodi korijena karakteristične jednadžbe (4.7). Pogled na fazne putanje na ravnini x, y za ovih šest slučajeva prikazano je na sl. 4.9.
Riža. 4.9.Vrste faznih portreta u susjedstvu stacionarnog stanja za sustav linearnih jednadžbi (4.4).
Pet tipova ravnotežnih stanja je grubo, njihova se priroda ne mijenja s dovoljno malim promjenama u desnim stranama jednadžbe (4.4). U tom slučaju promjene bi trebale biti male ne samo u desnim stranama, već iu njihovim izvedenicama prvoga reda. Šesto stanje ravnoteže – središte – nije grubo. S malim promjenama parametara desne strane jednadžbe prelazi u stabilno ili nestabilno žarište.
Bifurkacijski dijagram
Uvedemo oznaku:
.
(4.11)
Tada se karakteristična jednadžba može napisati u obliku:
.
(4.12)
Razmotrimo ravninu s pravokutnim kartezijanskim koordinatama s , D i označi na njemu područja koja odgovaraju jednom ili drugom tipu stanja ravnoteže, što je određeno prirodom korijena karakteristične jednadžbe
.(4.13)
Uvjet stabilnosti ravnotežnog stanja bit će prisutnost negativnog realnog dijela yl 1 i l 2 . Neophodan i dovoljan uvjet za to je ispunjenje nejednakostis > 0, D > 0 . Na dijagramu (4.15) ovaj uvjet odgovara točkama koje se nalaze u prvoj četvrtini parametarske ravnine. Jedinstvena točka će biti fokus akol 1 i l 2 kompleks. Ovaj uvjet odgovara onim točkama ravnine za koje , oni. točke između dvije grane paraboles 2 = 4 D. Točke poluosi s = 0, D>0, odgovaraju ravnotežnim stanjima tipa centra. Također,l 1 i l 2 - valjani, ali različiti predznaci, t.j. singularna točka bit će sedlo ako D<0, itd. Kao rezultat, dobivamo particijski dijagram ravnine parametara s, D, u regije koje odgovaraju različitim tipovima ravnotežnih stanja.
Riža. 4.10. Bifurkacijski dijagram
za sustav linearnih jednadžbi 4.4
Ako su koeficijenti linearnog sustava a, b, c, d ovise o nekom parametru, onda kada se ovaj parametar promijeni, vrijednosti će se također promijenitis , D . Prilikom prolaska kroz granice, priroda faznog portreta se kvalitativno mijenja. Stoga se takve granice nazivaju granicama bifurkacije - na suprotnim stranama granice sustav ima dva topološki različita fazna portreta i, sukladno tome, dva različita tipa ponašanja.
Dijagram pokazuje kako se takve promjene mogu dogoditi. Ako izuzmemo posebne slučajeve - ishodište koordinata - onda je lako vidjeti da sedlo može ići u čvor, stabilan ili nestabilan pri prelasku y-osi. Stabilni čvor se može ili premjestiti u sedlo ili stabilan fokus, i tako dalje. Imajte na umu da prijelazi stabilan čvor-stabilan fokus i nestabilan čvor-nestabilan fokus nisu bifurkacijski, budući da se topologija faznog prostora u ovom slučaju ne mijenja. O topologiji faznog prostora i bifurkacijskim prijelazima ćemo detaljnije govoriti u 6. predavanju.
Pod bifurkacijskim prijelazima mijenja se priroda stabilnosti singularne točke. Na primjer, stabilan fokus kroz centar može se pretvoriti u nestabilan fokus. Ova bifurkacija se zove Andronov-Hopf bifurkacija po imenima znanstvenika koji su ga proučavali. S ovom bifurkacijom u nelinearnim sustavima rađa se granični ciklus i sustav postaje samooscilirajući (vidi predavanje 8).
Primjer. Sustav linearnih kemijskih reakcija
tvar x teče izvana konstantnom brzinom, pretvara se u tvar Y i brzinom proporcionalnom koncentraciji tvari Y, vadi se iz reakcijske sfere. Sve su reakcije prvog reda, s izuzetkom dotoka tvari izvana, koji ima nulti red. Shema reakcije izgleda ovako:
(4.14)
a opisuje se sustavom jednadžbi:
(4.15)
Stacionarne koncentracije dobivamo izjednačavanjem desne strane s nulom:
.(4.16)
Razmotrite fazni portret sustava. Podijelimo drugu jednadžbu sustava (4.16) s prvom. dobivamo:
.(4.17)
Jednadžba (4.17) određuje ponašanje varijabli na faznoj ravnini. Konstruirajmo fazni portret ovog sustava. Najprije crtamo glavne izokline na faznoj ravnini. Jednadžba izokline okomitih tangenta:
Jednadžba za izoklinu horizontalnih tangenta:
Singularna točka (stacionarno stanje) leži na sjecištu glavnih izoklina.
Sada odredimo pod kojim kutom koordinatne osi sijeku integralne krivulje.
Ako je a x= 0, zatim .
Dakle, tangenta nagiba tangente na integralne krivulje y=y(x), prelazeći y-os x=0, negativna je u gornjoj poluravnini (sjetite se da su varijable x, y imaju vrijednosti koncentracije, pa nas stoga zanima samo gornji desni kvadrant fazne ravnine). U tom slučaju vrijednost tangente kuta nagiba tangente raste s udaljenosti od ishodišta.
Razmotrite os y= 0. Na sjecištu ove osi integralne krivulje su opisane jednadžbom
Na tangenta nagiba integralnih krivulja koje prelaze os apscise je pozitivna i raste od nule do beskonačnosti s povećanjem x.
Na .
Zatim, s daljnjim povećanjem, tangent nagiba opada u apsolutnoj vrijednosti, ostaje negativan i teži -1 na x ® ¥ . Poznavajući smjer tangenti na integralne krivulje na glavnim izoklinama i na koordinatnim osi, lako je konstruirati cjelokupnu sliku faznih putanja.
 |
|
Priroda stabilnosti singularne točke utvrdit će se metodom Lyapunov. Karakteristična determinanta sustava ima oblik:
.
Proširujući determinantu, dobivamo karakterističnu jednadžbu sustava: , tj. korijeni karakteristične jednadžbe su oba negativna. Stoga je stacionarno stanje sustava stabilan čvor. Istodobno, koncentracija tvari x teži stacionarnom stanju uvijek monotono, koncentracija tvari Y može proći kroz min ili max. Oscilatorni režimi u takvom sustavu su nemogući.
Osnovni pojmovi i definicije:
Nula analitičke funkcije f(z) je točka “a” za koju je f(a)=0.
Nula reda “n” funkcije f(z) je točka “a” ako je samo fn(a)¹0.
Singularna točka "a" naziva se izolirana singularna točka funkcije f(z) ako postoji susjedstvo ove točke u kojoj nema singularnih točaka osim "a".
Izolirane singularne točke su tri vrste: .
1 posebna točka koja se može ukloniti;
3 bitne singularne točke.
Tip singularne točke može se odrediti na temelju ponašanja zadane funkcije u pronađenoj singularnoj točki, kao i iz oblika Laurentovog niza dobivenog za funkciju u susjedstvu pronađene singularne točke.
Određivanje tipa singularne točke ponašanjem funkcije u njoj.
1. Uklonjive singularne točke.
Izolirana singularna točka a funkcije f(z) naziva se uklonjivom ako postoji konačni limit .
2. Poljaci.
Izolirana singularna točka a funkcije f(z) naziva se pol if 
.
3. Značajne singularne točke.
Izolirana singularna točka a funkcije f(z) naziva se bitna singularna točka ako ne postoji ni konačna ni beskonačna.
Između nula i polova funkcije odvija se sljedeća relacija.
Da bi točka a bila pol reda n funkcije f(Z), potrebno je i dovoljno da ta točka bude nula reda n za funkciju .
Ako je n=1 pol se naziva jednostavnim.
Definicija: Izolirana singularna točka jednoznačnog karaktera naziva se:
a) uklonjiv ako je glavni dio raspadanja odsutan;
b) stup ako glavni dio sadrži konačan broj članova;
c) bitno singularna točka ako glavni dio sadrži beskonačan broj članova.
a) Dakle, u susjedstvu uklonjive singularne točke, proširenje ima oblik:
izražava funkciju u svim točkama kružnice |z-a| U središtu z=a, jednakost je netočna, jer funkcija na z=a ima diskontinuitet, a desna strana je kontinuirana. Ako se promijeni vrijednost funkcije u središtu, uzimajući je jednakom vrijednosti desne strane, tada će se praznina eliminirati - otuda i naziv - uklonjiv. b) U blizini pola reda m, proširenje Laurentovog reda ima oblik: c) U susjedstvu jednostavnog stupa Odbici i formule za njihov izračun. Ostatak analitičke funkcije f(z) u izoliranoj singularnoj točki z 0 je kompleksni broj jednak vrijednosti integrala Ostatak funkcije f(z) u izoliranoj singularnoj točki z 0 označava se simbolom Res f(z 0) ili Res (f(z); z 0). Tako, Resf(z0)= Ako u formulu (22.15.1) stavimo n=-1, dobivamo: C-1= ili Res f(z 0)= C -1 , oni. ostatak funkcije f(z) u odnosu na singularnu točku z 0 jednak je koeficijentu prvog člana s negativnim eksponentom u proširenju funkcije f(z) u Laurentov niz. Obračun odbitaka. Redovne ili uklonjive singularne točke. Očito, ako je z=z 0 pravilna ili uklonjiva singularna točka funkcije f(z), tada je Res f(z 0)=0 (u ovim slučajevima nema glavnog dijela u Laurentovom razlaganju, pa je c-1= 0). Pol. Neka je točka z 0 jednostavan pol funkcije f(z). Tada Laurentov red za funkciju f(z) u susjedstvu točke z 0 ima oblik: Odavde Stoga, prelazeći ovu jednakost na granicu kao z --z 0 , dobivamo Res f(z0)= U biti posebna točka. Ako je točka z 0 u biti singularna točka funkcije f(z), tada se za izračunavanje ostatka funkcije u ovoj točki obično izravno određuje koeficijent c-1 u proširenju funkcije u Laurentov red. Klasifikacija događaja. Zbroj, umnožak događaja, njihova svojstva, grafički prikaz. Događaji su podijeljeni na: 1. Slučajno 2. Vjerodostojno 3. Nemoguće Pouzdan - ovo je događaj koji se nužno događa u ovim uvjetima (noć slijedi jutro). Slučajni je događaj koji se može dogoditi ili ne mora (polaganje ispita). Nemoguće je događaj koji se neće dogoditi pod zadanim uvjetima (izvadite zelenu olovku iz kutije s samo crvenim). Definicija. Poziva se singularna točka funkcije izolirano,
ako je u nekom susjedstvu ove točke analitička funkcija (odnosno analitička u prstenu). Klasifikacija izoliranih singularnih točaka funkcije povezana je s ponašanjem te funkcije u susjedstvu singularne točke. Definicija. Točka se zove jednokratna
singularna točka funkcije ako postoji konačna granica ove funkcije na . Primjer 5 Pokažite da funkcija ima uklonjivu singularnost u točki. Odluka. Prisjećajući se prve izvanredne granice, izračunavamo To znači da data funkcija ima uklonjivu singularnost u točki. Zadatak 4. Pokazati da je točka je uklonjiv za . Definicija. Točka se zove pol
funkcija , ako se ova funkcija neograničeno povećava za , to jest . Obratite pozornost na povezanost pojmova nule i pola analitičke funkcije. Predstavimo funkciju kao . Ako je točka jednostavna nula funkcije, tada funkcija ima jednostavan pol Ako je točka nulti red za funkciju, onda je za funkciju pol narudžba.
Primjer 6 Pokažite da funkcija ima pol trećeg reda u točki. Odluka. Pod pretpostavkom dobivamo . Kako težimo nuli, prema bilo kojem zakonu, imamo . Zatim , a s njim se i sama funkcija neograničeno povećava. Dakle, , To jest, singularna točka je pol. Za funkciju je ova točka očito trostruka nula. Dakle, za ovu funkciju, točka je pol trećeg reda. Zadatak 5. Pokažite da točka ima jednostavan pol. Definicija. Točka se zove u biti poseban
točka funkcije ako u ovoj točki ne postoji ni konačna ni beskonačna granica funkcije (ponašanje funkcije nije definirano). Dopustiti biti bitna singularna točka funkcije . Zatim za bilo koji unaprijed dodijeljeni kompleksni broj postoji takav slijed točaka koje konvergiraju na , duž kojih vrijednosti teže: ( Sochockijev teorem).
Primjer 7 Pokažite da funkcija u točki ima bitnu singularnost. Odluka. Razmotrimo ponašanje dane funkcije u blizini točke. Jer duž pozitivnog dijela realne osi (tj.) imamo i ; ako duž negativnog dijela realne osi (tj.), tada i . Dakle, nema ograničenja za . Po definiciji, funkcija ima bitnu singularnost u točki. Razmotrimo ponašanje funkcije na nuli s gledišta Sochockog teorema. Neka je bilo koji kompleksni broj osim nule i beskonačnosti. Iz jednakosti nalazimo . Uz pretpostavku , dobivamo slijed točaka , . Očito, . U svakoj točki ovog niza, funkcija je jednaka , i stoga Zadatak 6. Pokažite da funkcija ima bitnu singularnost u točki. Beskonačna točka uvijek se smatra posebnom za funkciju. Točka se naziva izolirana singularna točka funkcije ako ova funkcija nema drugih singularnih točaka izvan neke kružnice sa središtem u ishodištu. Klasifikacija izoliranih singularnih točaka također se može proširiti na slučaj . Primjer 8 Pokažite da funkcija ima dvostruki pol u beskonačnosti. Odluka. Razmotrimo funkciju , gdje je analitička funkcija u susjedstvu točke , i . To znači da funkcija ima dvostruku nulu u beskonačnosti, ali tada je za funkciju točka dvostruki pol. Primjer 9 Pokažite da funkcija ima bitnu singularnost u beskonačnosti. Odluka. Sličan problem razmatran je u pr.7. Razmotrimo ponašanje funkcije u susjedstvu beskonačno udaljene točke. Za uzduž pozitivnog dijela realne osi, a za uzduž negativnog dijela realne osi. To znači da ne postoji granica funkcije u točki i, na temelju definicije, ta je točka u biti singularna. O prirodi singularnosti funkcije u točki može se suditi glavni dio
Laurent proširenje u susjedstvu ove točke. Teorem 1. Da poenta bude jednokratna
singularna točka funkcije , potrebno je i dovoljno da odgovarajuća Laurentova ekspanzija nije sadržavao glavni dio.
Zadatak 6. Koristeći Taylorovu ekspanziju funkcije u susjedstvu točke , pokažite da ona ima uklonjivu singularnost na nuli. Teorem 2. Da poenta bude pol
funkcije , potrebno je i dovoljno da glavni dio
odgovarajuća Laurentova ekspanzija sadržavao konačan broj članova
: Broj najvećeg negativnog člana određuje redoslijed pola. U ovom slučaju, funkcija se može predstaviti kao gdje je funkcija analitička u točki, , je red pola. Primjer 10 Pokažite da funkcija ima jednostavne polove u točkama. Odluka. Razmotrimo točku. Koristimo Laurentovu ekspanziju ove funkcije u blizini ove točke, dobivenu u primjeru 2: Budući da je najveća (i jedina) negativna snaga u glavnom dijelu ove ekspanzije jednaka jedan, točka je jednostavan pol ove funkcije. Ovaj rezultat mogao se dobiti i na drugi način. Dopustimo predstaviti u obliku i staviti - ovo je funkcija koja je analitička u točki i . Dakle, zbog (8) ova funkcija ima jednostavan pol u točki. Drugi način: razmotrite funkciju koja ima jednostavnu nulu u točki. Dakle, u ovom trenutku ima jednostavan stup. Slično, ako zapišemo funkciju u obliku , gdje je funkcija analitička u točki i , tada je odmah jasno da je točka jednostavan pol funkcije . Zadatak 7. Pokažite da funkcija ima pol 2. reda u točki i pol 4. reda u točki . Teorem 3. Da poenta bude u biti poseban
točka funkcije , potrebno je i dovoljno da glavni dio
Laurent ekspanzija u susjedstvu točke sadržavao beskonačan broj članova
. Primjer 11. Odredite prirodu singularnosti u točki funkcije Odluka. U poznatom proširenju kosinusa umjesto: Dakle, Laurentova ekspanzija u susjedstvu točke ima oblik Ovdje je točan dio jedan pojam. A glavni dio sadrži beskonačan broj pojmova, tako da je točka u biti singularna. Zadatak 8. Pokažite da u nekoj točki funkcija ima bitnu singularnost. Razmotrite neku funkciju i zapišite njezinu Laurentovu ekspanziju u točki: Napravimo zamjenu, dok poenta ide do točke. Sada, u susjedstvu beskonačne točke, imamo Ostaje uvesti novu oznaku. dobivamo gdje je glavni dio, i regularni dio Laurentove ekspanzije funkcije u susjedstvu beskonačno udaljene točke. Dakle, u Laurentovom proširenju funkcije u susjedstvu točke, glavni dio je niz pozitivnih potencija, dok je ispravan dio niz negativnih potencija. Uzimajući to u obzir Međutim, gornji kriteriji za određivanje prirode singularnosti ostaju važeći za beskonačno udaljenu točku. Primjer 12. Saznati prirodu singularnosti funkcije u točki. , onda se u jednom trenutku može pokazati da nije izoliran. Primjer 15 Funkcija u beskonačno udaljenoj točki ima bitnu singularnost. Pokažite da točka za funkciju nije izolirana singularna točka. Odluka. Funkcija ima beskonačan broj polova na nulama nazivnika, odnosno u točkama , . Budući da , Tada točka , U bilo kojem susjedstvu od kojih postoje polovi , je granična točka za polove. Taylorov red služi kao učinkovit alat za proučavanje funkcija koje su analitičke u kružnici zol Za proučavanje funkcija koje su analitične u prstenastom području, pokazalo se da je moguće konstruirati ekspanzije u pozitivnim i negativnim potencijama (z - zq) oblik koji generalizira Taylorove ekspanzije. Niz (1), shvaćen kao zbroj dvaju nizova, naziva se Laurentov niz. Jasno je da je područje konvergencije niza (1) zajednički dio područja konvergencije svakog od nizova (2). Nađimo je. Područje konvergencije prvog niza je kružnica čiji je polumjer određen Cauchy-Hadamard formulom Unutar kruga konvergencije, niz (3) konvergira analitičkoj funkciji, au bilo kojoj kružnici manjeg radijusa konvergira apsolutno i jednolično. Drugi niz je niz stepena s obzirom na varijablu.Serija (5) konvergira unutar svog kruga konvergencije na analitičku funkciju kompleksne varijable m-*oo, au bilo kojoj kružnici manjeg radijusa konvergira apsolutno i jednoliko, što znači da je područje konvergencije niza (4) izgled kružnice - Ako tada postoji zajednička regija konvergencije niza (3) i (4) - kružni prsten u kojem je niz (1) konvergira analitičkoj funkciji. Štoviše, u bilo kojem prstenu, konvergira se apsolutno i jednolično. Primjer 1. Odrediti područje konvergencije rad Laurentovog niza Izolirane singularne točke i njihova klasifikacija (z), koja je jednoznačna i apolitična u kružnom prstenu, može se u ovom prstenu predstaviti kao zbroj konvergentnog niza čiji koeficijenti Cn su jednoznačno određene i izračunate formulama gdje je 7p kružnica polumjera m. Popravimo proizvoljnu točku z unutar prstena R Konstruiramo kružnice sa središtem u točki r čiji polumjeri zadovoljavaju nejednakosti i razmatramo novi prsten.Prema Cauchyjevom integralnom teoremu za višestruko povezanu domenu, transformiramo svaki od integrala u zbroju (8) zasebno. Za sve točke £ duž kružnice 7d*, zadovoljena je relacija de zbroj jednoliko konvergentnog niza 1 1. Stoga se razlomak ^ može predstaviti u vi- /" / Na nešto drugačiji način, za sve točke ξ na krug ir> imamo relaciju Stoga se razlomak ^ može predstaviti kao zbroj jednoliko konvergentnog niza u formulama (10) i (12) su analitičke funkcije u kružnom prstenu. Stoga se, prema Cauchyjevom teoremu, vrijednosti odgovarajućih integrala ne mijenjaju ako se kružnice 7/r i 7r/ zamijene bilo kojom kružnicom. To nam omogućuje kombiniranje formula (10) i (12). Zamjenom integrala na desnoj strani formule (8) njihovim izrazima (9) odnosno (11) dobivamo željenu ekspanziju. Budući da je z proizvoljan točke prstena, slijedi da niz ( 14) konvergira funkciji f(z) svugdje u ovom prstenu, a u bilo kojem prstenu niz konvergira ovoj funkciji apsolutno i jednoliko. Dokažimo sada da je dekompozicija oblika (6) jedinstvena. Pretpostavimo da je došlo do još jedne dekompozicije.Tada svugdje unutar prstena R imamo Na obodu, niz (15) jednoliko konvergira. Pomnožite obje strane jednakosti (gdje je m fiksni cijeli broj, i integrirajte oba niza član po član. Kao rezultat, dobivamo na lijevoj strani, a na desnoj strani - Csh. Dakle, (4, \u003d St. Budući da je m proizvoljan broj, tada se posljednji niz jednakosti (6), čiji se koeficijenti izračunavaju formulama (7), naziva Laurentovim redom funkcije f(z) u prstenu 7) za koeficijente Laurentovog reda se rijetko koriste u praksi, jer u pravilu zahtijevaju glomazne izračune.Obično se, ako je moguće, koriste gotove Taylorove ekspanzije elementarnih funkcija.S obzirom na jedinstvenost proširenja, svaka legitimna metoda dovodi do istog rezultata. Primjer 2. Razmotrimo proširenja funkcija različitih domena u Laurentov red, uz pretpostavku da Fuiscius /(r) ima dvije singularne točke: Prema tome, postoje tri domene prstena i sa središtem u točki r = 0. u svakoj od kojih je funkcija f(r) analitička: a) kružnica je eksterijer kružnice (slika 27). Pronađimo Laurentove ekspanzije funkcije /(z) u svakom od ovih područja. Predstavljamo /(z) kao zbroj elementarnih razlomaka a) Relaciju transformacije kruga (16) kako slijedi Koristeći formulu za zbroj članova geometrijske progresije, dobivamo b) Prsten za funkciju -z ostaje konvergentan u ovom prstenu, budući da je niz (19) za funkciju j^j za |z| > 1 se razilazi. Stoga transformiramo funkciju /(z) na sljedeći način: ponovnom primjenom formule (19) dobivamo da Ovaj niz konvergira za. Zamjenom proširenja (18) i (21) u relaciju (20) dobivamo c) Eksterijernost kružnice za funkciju -z s |z| > 2 divergira, a niz (21) za funkciju Predstavimo funkciju /(z) u sljedećem obliku: /<*> Koristeći formule (18) i (19), dobivamo OR 1 Ovaj primjer pokazuje da za istu funkciju f(z) Laurentova ekspanzija, općenito govoreći, ima različit oblik za različite prstenove. Primjer 3. Pronađite dekompoziciju 8 Laurentovih nizova funkcije Laurentov niz Izolirane singularne točke i njihova klasifikacija u prstenasto područje A Koristimo prikaz funkcije f (z) u sljedećem obliku: i transformiramo drugi član Koristeći formulu za zbroj članova geometrijske progresije, dobivamo Zamjenom pronađenih izraza u formulu (22) imamo primjer 4. Proširiti funkciju u Laurentov niz u susjedstvu tankog zq = 0. Za bilo koju složenu , imamo Neka Ova ekspanzija vrijedi za bilo koju točku z F 0. U ovom slučaju, prstenasto područje je cijela kompleksna ravnina s jednom izbačenom točkom z - 0. Ovo područje se može definirati sljedećim odnosom: Ova funkcija je analitička u području Iz formula (13) za koeficijente Laurentovog reda, istim obrazloženjem kao u prethodnom paragrafu, mogu se dobiti Kouiwove nejednadžbe. ako je funkcija f(z) ograničena na kružnicu, gdje je M konstanta), tada izolirane singularne točke Točka zo naziva se izolirana singularna točka funkcije f(z) ako postoji prstenasto susjedstvo točke ( ovaj skup se ponekad naziva i probušenom susjedstvom točke 2o), u kojoj je funkcija f(z) jednoznačna i analitička. U samoj točki zo funkcija ili nije definirana ili nije jednoznačna i analitička. Razlikuju se tri vrste singularnih točaka ovisno o ponašanju funkcije /(z) pri približavanju točki zo. Za izoliranu singularnu točku kažemo da je: 1) uklonjiva ako postoji konačan 2) pmusach ako 3) bitno singularna točka ako funkcija f(z) nema ograničenja za Teorem 16. Izolirana singularna točka z0 funkcije f(z) je uklonjiva singularna točka ako i samo ako Laurentova ekspanzija funkcije f(z) u susjedstvu točke zo ne sadrži glavni dio, tj. ima oblik Let zo - uklonjiva singularna točka. Tada postoji konačna, i stoga je funkcija f(z) ograničena u prokološkom susjedstvu točke r. Postavljamo na temelju Cauchyjevih nejednakosti Budući da je moguće odabrati ρ koliko god želimo, tada su sve koeficijenti pri negativnim snagama (z - 20) jednaki su nuli: Obrnuto, neka Laurentova ekspanzija funkcije /(r) u susjedstvu točke zq sadrži samo ispravan dio, tj. ima oblik (23) i, posljedično, je Taylor. Lako je vidjeti da za z -* z0 funkcija /(r) ima graničnu vrijednost: Teorem 17. Izolirana singularna točka zq funkcije f(z) može se ukloniti ako i samo ako je funkcija J(z) omeđen u nekom probušenom susjedstvu točke zq, Zgmechai nije. Neka je r0 uklonjiva singularna točka od f(r). Uz pretpostavku dobivamo da je funkcija f(r) analitička u nekom krugu sa središtem u točki th. Time se definira naziv točke - jednokratna. Teorem 18. Izolirana singularna točka zq funkcije f(z) je pol ako i samo ako glavni dio Laurentove ekspanzije funkcije f(z) u susjedstvu točke sadrži konačan (i pozitivan) broj članova koji nisu nula, tj. ima oblik 4 Neka je z0 pol. Od tada postoji probušeno susjedstvo točke z0 u kojoj je funkcija f(z) analitička i različita od nule. Tada je u tom susjedstvu definirana analitička funkcija, pa je, dakle, točka zq uklonjiva singularna točka (nula) funkcije ili gdje je h(z) analitička funkcija, h(z0) ∩ 0. je analitička u susjedstvu točke zq, pa stoga dobivamo da Pretpostavimo sada da funkcija f(z) ima dekompoziciju oblika (24) u probušenom susjedstvu točke zo. To znači da je u ovom susjedstvu funkcija f(z) analitička zajedno s funkcijom. Za funkciju g(z) vrijedi proširenje iz koje je jasno da je zq uklonjiva singularna točka funkcije g(z) i postoji. Tada funkcija teži na 0 - pol funkcije Postoji još jedna jednostavna činjenica. Točka Zq je pol funkcije f(z) ako i samo ako se funkcija g(z) = y može proširiti na analitičku funkciju u susjedstvu točke zq postavljanjem g(z0) = 0. Redoslijed pola funkcije f(z) naziva se red nule funkcije jfa. Teoreme 16 i 18 impliciraju sljedeću tvrdnju. Teorem 19. Izolirani singularni tanki je u biti singularan ako i samo ako glavni dio Laurentove ekspanzije u probijenom susjedstvu ove točke sadrži beskonačno mnogo članova koji nisu nula. Primjer 5. Singularna točka funkcije je zo = 0. Imamo izolirane singularne točke Laurentovog reda i njihovu klasifikaciju. Stoga je zo = 0 uklonjiva singularna točka. Proširenje funkcije /(z) u Laurentov red u blizini nulte točke sadrži samo ispravan dio: Primjer7. f(z) = Singularna točka funkcije f(z) je zq = 0. Razmotrimo ponašanje ove funkcije na realnoj i imaginarnoj osi: na realnoj osi na x 0, na imaginarnoj osi Dakle, ni konačna ni beskonačna granica f(z) na z -* 0 ne postoji. Stoga je točka r0 = 0 bitno singularna točka funkcije f(z). Nađimo Laurentovu ekspanziju funkcije f(z) u susjedstvu nulte točke. Za bilo koji kompleks C smo postavili. Tada Laurentova ekspanzija sadrži beskonačan broj članova s negativnim potencijama z.
, uzeti u pozitivnom smjeru duž kružnice L sa središtem u točki z 0 , koja leži u području analitičnosti funkcije f(z) (tj. u prstenu 0<|z-z0| . (22.15.1)
