Jednadžba tipa f(x; a) = 0 se zove jednadžba varijable x i parametar a.
Riješite jednadžbu s parametrom a To znači da za svaku vrijednost a pronaći vrijednosti x zadovoljavajući ovu jednadžbu.
Primjer 1 Oh= 0
Primjer 2 Oh = a
Primjer 3
x + 2 = ax
x - sjekira \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
Ako 1 - a= 0, tj. a= 1, dakle x 0 = -2 nema korijena
Ako 1 - a 0, tj. a 1, dakle x =
Primjer 4
(a 2 – 1) x = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)x = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)x = (1a – 3)(a – 1)
Ako je a a= 1, zatim 0 x = 0
x- bilo koji pravi broj
Ako je a a= -1, zatim 0 x = -2
nema korijena
Ako je a a 1, a-1 onda x= (jedino rješenje).
To znači da za svaku valjanu vrijednost a odgovara jednoj vrijednosti x.
Na primjer:
ako a= 5, dakle x = = ;
ako a= 0, dakle x= 3 itd.
Didaktički materijal
1. Oh = x + 3
2. 4 + Oh = 3x – 1
3. a = +
na a= 1 nema korijena.
na a= 3 nema korijena.
na a = 1 x bilo koji pravi broj osim x = 1
na a = -1, a= 0 nema rješenja.
na a = 0, a= 2 nema rješenja.
na a = -3, a = 0, 5, a= -2 nema rješenja
na a = -s, s= 0 nema rješenja.
Kvadratne jednadžbe s parametrom
Primjer 1 riješiti jednadžbu
(a – 1)x 2 = 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0
Na a = 1 6x + 7 = 0
Kada a 1 odaberite one vrijednosti parametra za koje D ide na nulu.
D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16
20a + 16 = 0
20a = -16
Ako je a a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ako je a a> -4/5 i a 1, dakle D > 0,
x = 
Ako je a a= 4/5, dakle D = 0,
Primjer 2 Pri kojim vrijednostima parametra a jednadžba
x 2 + 2( a + 1)x + 9a– 5 = 0 ima 2 različita negativna korijena?
D = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)
4(a – 1)(a – 6) > 0
prema t. Vieta: x 1 + x 2 = -2(a + 1)
x 1 x 2 = 9a – 5
Po uvjetu x 1 < 0, x 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0
| Eventualno | 4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0 |
a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9 |
 (Riža. jedan) < a < 1, либо a > 6 |
Primjer 3 Pronađite vrijednosti a za koje ova jednadžba ima rješenje.
x 2 - 2( a – 1)x + 2a + 1 = 0
D = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a
4a 2 – 16 0
4a(a – 4) 0
a( a – 4)) 0
a( a – 4) = 0
a = 0 ili a – 4 = 0
a = 4
(Riža. 2)
Odgovor: a 0 i a 4
Didaktički materijal
1. Po kojoj vrijednosti a jednadžba Oh 2 – (a + 1) x + 2a– 1 = 0 ima jedan korijen?
2. Po kojoj vrijednosti a jednadžba ( a + 2) x 2 + 2(a + 2)x+ 2 = 0 ima jedan korijen?
3. Za koje vrijednosti a je jednadžba ( a 2 – 6a + 8) x 2 + (a 2 – 4) x + (10 – 3a – a 2) = 0 ima više od dva korijena?
4. Za koje vrijednosti jednadžbe 2 x 2 + x – a= 0 ima barem jedan zajednički korijen s jednadžbom 2 x 2 – 7x + 6 = 0?
5. Za koje vrijednosti a rade jednadžbe x 2 +Oh+ 1 = 0 i x 2 + x + a= 0 imaju barem jedan zajednički korijen?
1. Kada a = - 1/7, a = 0, a = 1
2. Kada a = 0
3. Kada a = 2
4. Kada a = 10
5. Kada a = - 2
Eksponencijalne jednadžbe s parametrom
Primjer 1.Pronađi sve vrijednosti a, za koji je jednadžba
9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) ima točno dva korijena.
Odluka. Množenjem obje strane jednadžbe (1) s 3 2/x dobivamo ekvivalentnu jednadžbu
3 2 (x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)
Neka je 3 x+1/x = na, tada jednadžba (2) poprima oblik na 2 – (a + 2)na + 2a= 0, ili
(na – 2)(na – a) = 0, odakle na 1 =2, na 2 = a.
Ako je a na= 2, tj. 3 x + 1/x = 2 tada x + 1/x= log 3 2 , ili x 2 – x log 3 2 + 1 = 0.
Ova jednadžba nema pravi korijen jer je D= log 2 3 2 – 4< 0.
Ako je a na = a, tj. 3 x+1/x = a zatim x + 1/x= zapisnik 3 a, ili x 2 –x log 3 a + 1 = 0. (3)
Jednadžba (3) ima točno dva korijena ako i samo ako
D = log 2 3 2 – 4 > 0, ili |log 3 a| > 2.
Ako je log 3 a > 2, onda a> 9, a ako je log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.
Odgovor: 0< a < 1/9, a > 9.
Primjer 2. Pri kojim vrijednostima jednadžbe 2 2x - ( a - 3) 2 x - 3 a= 0 ima rješenja?
Da bi zadana jednadžba ima rješenja, potrebno je i dovoljno da jednadžba t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 ima barem jedan pozitivan korijen. Pronađimo korijene koristeći Vietin teorem: x 1 = -3, x 2 = a = >
a je pozitivan broj.
Odgovor: kada a > 0
Didaktički materijal
1. Pronađite sve vrijednosti a za koje je jednadžba
25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 ima točno 2 rješenja.
2. Za koje vrijednosti a vrijedi jednadžba
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 ima jedan korijen?
3. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba
4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a= 0 ima jedinstveno rješenje?
Logaritamske jednadžbe s parametrom
Primjer 1 Pronađite sve vrijednosti a, za koji je jednadžba
log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
ima jedinstveno rješenje.
Odluka. Jednadžba (1) je ekvivalentna jednadžbi
1 + Oh = 2x na x > 0, x 1/4 (3)
x = na
au 2 - na + 1 = 0 (4)
Uvjet (2) iz (3) nije zadovoljen.
Neka bude a 0, dakle au 2 – 2na+ 1 = 0 ima realne korijene ako i samo ako D = 4 – 4a 0, tj. na a 1. Za rješavanje nejednakosti (3) konstruiramo grafove funkcija Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljno proučavanje kolegija algebre i matematičke analize. - M.: Prosvjeta, 1990
Do zadaci s parametrom uključuju npr. traženje rješenja za linearne i kvadratne jednadžbe u opći pogled, proučavanje jednadžbe za broj dostupnih korijena ovisno o vrijednosti parametra.
Bez davanja detaljnih definicija, razmotrite sljedeće jednadžbe kao primjere:
y = kx, gdje su x, y varijable, k je parametar;
y = kx + b, gdje su x, y varijable, k i b parametri;
ax 2 + bx + c = 0, gdje su x varijable, a, b i c su parametri.
Riješiti jednadžbu (nejednadžbinu, sustav) s parametrom znači, u pravilu, riješiti beskonačan skup jednadžbi (nejednadžbi, sustava).
Zadaci s parametrom mogu se uvjetno podijeliti u dvije vrste:
a) uvjet kaže: riješi jednadžbu (nejednakost, sustav) - to znači, za sve vrijednosti parametra pronaći sva rješenja. Ako barem jedan slučaj ostane neistražen, takvo se rješenje ne može smatrati zadovoljavajućim.
b) potrebno je navesti moguće vrijednosti parametra za koji jednadžba (nejednadžba, sustav) ima određena svojstva. Na primjer, ima jedno rješenje, nema rješenja, ima rješenja koja pripadaju intervalu itd. U takvim zadacima potrebno je jasno naznačiti pri kojoj vrijednosti parametra je traženi uvjet zadovoljen.
Parametar, budući da je nepoznat fiksni broj, takoreći ima posebnu dvojnost. Prije svega, mora se uzeti u obzir da navodna slava sugerira da se parametar mora percipirati kao broj. Drugo, sloboda rukovanja parametrom ograničena je njegovom nepoznatošću. Tako, na primjer, operacije dijeljenja izrazom u kojem postoji parametar ili vađenje korijena čak i stupanj od takvog izraza zahtijevaju preliminarno istraživanje. Stoga morate biti oprezni pri rukovanju parametrom.
Na primjer, da bismo usporedili dva broja -6a i 3a, potrebno je razmotriti tri slučaja:
1) -6a će biti veće od 3a ako je a negativan broj;
2) -6a = 3a u slučaju kada je a = 0;
3) -6a će biti manje od 3a ako je a pozitivan broj 0.
Odluka će biti odgovor.
Neka je dana jednadžba kx = b. Ova jednadžba je skraćenica za beskonačan skup jednadžbi u jednoj varijabli.
Prilikom rješavanja takvih jednadžbi mogu postojati slučajevi:
1. Neka je k bilo koji realni broj različit od nule, a b bilo koji broj iz R, tada je x = b/k.
2. Neka je k = 0 i b ≠ 0, izvorna će jednadžba imati oblik 0 · x = b. Očito, ova jednadžba nema rješenja.
3. Neka su k i b brojevi, nula, tada imamo jednakost 0 · x = 0. Njezino rješenje je bilo koji realan broj.
Algoritam za rješavanje ove vrste jednadžbi:
1. Odredite "kontrolne" vrijednosti parametra.
2. Riješite izvornu jednadžbu za x s vrijednostima parametra koje su određene u prvom paragrafu.
3. Riješite izvornu jednadžbu za x s vrijednostima parametara koje se razlikuju od onih odabranih u prvom odlomku.
4. Odgovor možete zapisati u sljedećem obliku:
1) kada ... (vrijednost parametra), jednadžba ima korijen ...;
2) kada ... (vrijednost parametra), u jednadžbi nema korijena.
Primjer 1
Riješite jednadžbu s parametrom |6 – x| = a.
Odluka.
Lako je vidjeti da je ovdje a ≥ 0.
Po pravilu modula 6 – x = ±a, izražavamo x:
Odgovor: x = 6 ± a, gdje je a ≥ 0.
Primjer 2
Riješite jednadžbu a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 s obzirom na varijablu x.
Odluka.
Otvorimo zagrade: sjekira - a + 2x - 2 \u003d 0
Zapišimo jednadžbu u standardnom obliku: x(a + 2) = a + 2.
Ako izraz a + 2 nije nula, tj. ako je a ≠ -2, imamo rješenje x = (a + 2) / (a + 2), tj. x = 1.
Ako je a + 2 jednako nuli, tj. a = -2, onda imamo istinska jednakost 0 x = 0, pa je x bilo koji realan broj.
Odgovor: x \u003d 1 za a ≠ -2 i x € R za a \u003d -2.
Primjer 3
Riješite jednadžbu x/a + 1 = a + x s obzirom na varijablu x.
Odluka.
Ako je a \u003d 0, tada pretvaramo jednadžbu u oblik a + x \u003d a 2 + ax ili (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Posljednja jednadžba za a = 1 ima oblik 0 · x = 0, dakle, x je bilo koji broj.
Ako je a ≠ 1, posljednja će jednadžba imati oblik x = -a.
Ovo rješenje može se ilustrirati na koordinatnoj liniji (Sl. 1)
Odgovor: nema rješenja za a = 0; x - bilo koji broj na a = 1; x \u003d -a s a ≠ 0 i a ≠ 1.
Grafička metoda
Razmotrimo još jedan način rješavanja jednadžbi s parametrom - grafički. Ova metoda se koristi prilično često.
Primjer 4
Koliko korijena, ovisno o parametru a, ima jednadžba ||x| – 2| = a?
Odluka.
Za rješavanje grafičkom metodom gradimo grafove funkcija y = ||x| – 2| i y = a (slika 2).
Crtež jasno prikazuje moguće slučajeve položaja pravca y = a i broja korijena u svakom od njih.
Odgovor: jednadžba neće imati korijena ako je a< 0; два корня будет в случае, если a >2 i a = 0; jednadžba će imati tri korijena u slučaju a = 2; četiri korijena - na 0< a < 2.
Primjer 5
Za koji je jednadžba 2|x| + |x – 1| = a ima jedan korijen?
Odluka.
Nacrtajmo grafove funkcija y = 2|x| + |x – 1| i y = a. Za y = 2|x| + |x - 1|, proširujući module metodom jaza, dobivamo:
(-3x + 1, na x< 0,
y = (x + 1, za 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, za x > 1.
Na slika 3 jasno se vidi da će jednadžba imati jedinstveni korijen samo kada je a = 1.
Odgovor: a = 1.
Primjer 6
Odrediti broj rješenja jednadžbe |x + 1| + |x + 2| = a ovisno o parametru a?
Odluka.
Grafikon funkcije y = |x + 1| + |x + 2| bit će izlomljena linija. Njegovi vrhovi će se nalaziti u točkama (-2; 1) i (-1; 1) (slika 4).
Odgovor: ako je parametar a manji od jedan, tada jednadžba neće imati korijena; ako je a = 1, tada je rješenje jednadžbe beskonačan skup brojeva iz intervala [-2; -jedan]; ako su vrijednosti parametra a veće od jedan, tada će jednadžba imati dva korijena.
Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe s parametrom?
Za pomoć učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.
NA posljednjih godina na prijemnim ispitima, na završnom testiranju u obliku USE, nude se zadaci s parametrima. Ovi zadaci omogućuju dijagnosticiranje razine matematičkog i, što je najvažnije, logičkog razmišljanja kandidata, sposobnosti provođenja istraživačkih aktivnosti, kao i jednostavno poznavanje glavnih dijelova školski tečaj matematika.
Pogled na parametar kao jednaku varijable odražava se u grafičkim metodama. Doista, budući da je parametar "jednak po pravima" s varijablom, onda, naravno, može "dodijeliti" svoju vlastitu koordinatnu os. Dakle, postoji koordinatna ravnina. Odbijanje tradicionalnog izbora slova i označavanja osi, definira jednu od najučinkovitijih metoda za rješavanje problema s parametrima - "metoda domene". Uz ostale metode koje se koriste u rješavanju zadataka s parametrima, upoznajem svoje učenike s grafičkim tehnikama, obraćajući pažnju na to kako prepoznati “takve” probleme i kako izgleda proces rješavanja problema.
Najviše zajedničke značajke, što će pomoći da se otkriju zadaci prikladni za metodu koja se razmatra:
Zadatak 1. "Za koje vrijednosti parametra vrijedi nejednakost za sve?"
Odluka. 1).
Proširimo module uzimajući u obzir predznak izraza podmodula: 
2). Zapisujemo sve sustave rezultirajućih nejednačina:
a) 
b) 
u) 
G) 
3). Pokažimo skup točaka koje zadovoljavaju svaki sustav nejednakosti (slika 1a).
4). Kombinirajući sva područja prikazana na slici šrafiranjem, možete vidjeti da nejednakost ne zadovoljava točke koje leže unutar parabola.
Slika pokazuje da za bilo koju vrijednost parametra možete pronaći područje u kojem leže točke, čije koordinate zadovoljavaju izvornu nejednakost. Nejednakost vrijedi za sve ako . Odgovor: u .
Razmatrani primjer je "otvoreni problem" - možete razmotriti rješenje cijele klase problema bez promjene izraza koji se razmatra u primjeru 
, u kojoj su tehničke poteškoće ucrtavanja već prevladane.
Zadatak. Za koje vrijednosti parametra jednadžba nema rješenja? Odgovor: u .
Zadatak. Za koje vrijednosti parametra jednadžba ima dva rješenja? Zapišite oba rješenja koja ste pronašli.
Odgovor: onda 
, 
;
Zatim 
; , onda 
, .
Zadatak. Pri kojim vrijednostima parametra jednadžba ima jedan korijen? Pronađite ovaj korijen. Odgovor: u u .
Zadatak. Riješite nejednakost.
(“Radne” točke koje leže unutar parabola).
, ; , nema rješenja;
Zadatak 2. Pronađite sve vrijednosti parametara a, za svaku od kojih je sustav nejednakosti 
tvori odsječak duljine 1 na brojevnoj liniji.
Odluka. Izvorni sustav prepisujemo u ovom obliku 
Sva rješenja ovog sustava (parovi oblika ) tvore određeno područje omeđeno parabolama 
i 
(Slika 1).
Očito, rješenje sustava nejednakosti bit će segment duljine 1 za i za . Odgovor: ; .
Zadatak 3. Pronađite sve vrijednosti parametra za koje je skup rješenja nejednadžbe 
sadrži broj , a također sadrži dva segmenta duljine , koji nemaju zajedničke točke.
Odluka. Prema značenju nejednakosti ; prepišemo nejednakost, množeći oba njena dijela sa (), dobivamo nejednakost:
, ,
(1)
Nejednakost (1) je ekvivalentna kombinaciji dvaju sustava:
(slika 2).
Očito, interval ne može sadržavati segment duljine . To znači da su u intervalu sadržana dva segmenta duljine koja se ne sijeku.To je moguće za , tj. na . Odgovor: .
Zadatak 4. Pronađite sve vrijednosti parametra , za svaku od kojih je skup rješenja nejednakosti 
sadrži segment duljine 4 i također je sadržan u nekom segmentu duljine 7.
Odluka. Provodimo ekvivalentne transformacije, uzimajući u obzir da i .
, ,
; posljednja nejednakost je ekvivalentna kombinaciji dvaju sustava:
Pokažimo područja koja odgovaraju tim sustavima (slika 3).
1) Za skup rješenja je interval duljine manji od 4. Za skup rješenja je unija dvaju intervala.Samo interval može sadržavati segment duljine 4 . Ali tada , i unija više nije sadržana u bilo kojem segmentu duljine 7. Dakle, takvi ne zadovoljavaju uvjet.
2) skup rješenja je interval . Sadrži segment duljine 4 samo ako je njegova duljina veća od 4, tj. na . Sadrži se u segmentu duljine 7 samo ako njegova duljina nije veća od 7, tj. na , Tada . Odgovor: .
Zadatak 5. Pronađite sve vrijednosti parametra za koje je skup rješenja nejednadžbe 
sadrži broj 4, a također sadrži i dva segmenta duljine 4 koji se ne sijeku.
Odluka. Po uvjetima. Oba dijela nejednakosti množimo sa (). Dobivamo ekvivalentnu nejednakost u kojoj grupiramo sve pojmove na lijevoj strani i transformiramo je u proizvod:
, ,
, 
.
Iz posljednje nejednakosti slijedi:
1) 
2)
Pokažimo područja koja odgovaraju tim sustavima (slika 4).
a) Za , dobivamo interval koji ne sadrži broj 4. Za , dobivamo interval koji također ne sadrži broj 4.
b) Za , Dobivamo uniju dva intervala. Segmenti duljine 4 koji se ne sijeku mogu se nalaziti samo u intervalu . To je moguće samo ako je duljina intervala veća od 8, tj. ako je . Za takve je također ispunjen još jedan uvjet: . Odgovor: .
Zadatak 6. Pronađite sve vrijednosti parametra za koje je skup rješenja nejednadžbe 
sadrži neki segment duljine 2, ali ne sadrži
nema segmenta duljine 3.
Odluka. Prema značenju zadatka, množimo oba dijela nejednakosti sa , grupiramo sve pojmove na lijevoj strani nejednakosti i pretvaramo je u proizvod:
, 
. Iz posljednje nejednakosti slijedi:
1) 
2) 
Pokažimo područje koje odgovara prvom sustavu (slika 5).
Očito, uvjet problema je zadovoljen ako 
. Odgovor: .
Zadatak 7. Pronađite sve vrijednosti parametra za koje je skup rješenja nejednadžbe 1+ 
sadržan je u nekom segmentu duljine 1 i istovremeno sadrži neki segment duljine 0,5.
Odluka. jedan). Navedite ODZ varijable i parametra: 
2). Prepišimo nejednakost u obliku
, 
,
(jedan). Nejednakost (1) je ekvivalentna kombinaciji dvaju sustava:
1) 
2) 
Uzimajući u obzir ODZ, rješenja sustava izgledaju ovako:
a) 
b) 
(slika 6).
a) 
b)
Pokažimo područje koje odgovara sustavu a) (slika 7). Odgovor: .
Zadatak 8. Šest brojeva tvori rastuću aritmetičku progresiju. Prvi, drugi i četvrti član ove progresije su rješenja nejednakosti 
, i ostalo
nisu rješenja ove nejednakosti. Pronađite skup svih mogućih vrijednosti prvog člana takvih progresija.
Odluka. I. Pronađite sva rješenja nejednadžbe
a). ODZ: 
, tj.
(u rješenju smo uzeli u obzir da funkcija raste za ).
b). O nejednakosti ODZ-a 
je ekvivalentna nejednakosti 
, tj. 
, što daje:
1). 
2). 
Očito, rješenje nejednakosti služi kao skup vrijednosti 
.
II. Ilustrirajmo drugi dio problema o uvjetima rastuće aritmetičke progresije figurom ( riža. osam , gdje je prvi član, je drugi itd.). Primijeti da:
Ili imamo sustav linearnih nejednakosti:
Riješimo to grafički. Konstruiramo linije i , kao i linije
Zatim, .. Prvi, drugi i šesti član ove progresije su rješenja nejednakosti 
, a ostalo nisu rješenja ove nejednakosti. Pronađite skup svih mogućih vrijednosti razlike ove progresije.
