Завдання 1. Дані координати вершин трикутника АВС: А (4; 3), В (16; -6), С (20; 16). Знайти: 1) довжину сторони АВ; 2) рівняння сторін АВ та ВС та їх кутові коефіцієнти; 3) кут У радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти СD та її довжину; 5) рівняння медіани AE та координати точки До перетину цієї медіани з висотою CD; 6) рівняння прямої, що проходить через точку К паралельно стороні АВ; 7) координати точки М, розташованої симетрично точки А щодо прямої СD.

Рішення:

1. Відстань d між точками A(x 1 ,y 1) та B(x 2 ,y 2) визначається за формулою

Застосовуючи (1), знаходимо довжину сторони АВ:

2. Рівняння прямої, що проходить через точки A(x 1 ,y 1) і B(x 2 ,y 2) має вигляд

(2)

Підставляючи (2) координати точок А і В, отримаємо рівняння сторони АВ:

Розв'язавши останнє рівняння щодо у, знаходимо рівняння сторони АВ у вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

звідки

Підставивши в (2) координати точок В та С, отримаємо рівняння прямої ВС:

Або

3. Відомо, що тангенс кута між двома прямими, кутові коефіцієнти яких відповідно рівні та обчислюється за формулою

(3)

Шуканий кут В утворений прямими АВ і ПС, кутові коефіцієнти яких знайдені: Застосовуючи (3), отримаємо

Або радий.

4. Рівняння прямої, що проходить через цю точкуу заданому напрямку, має вигляд

(4)

Висота CD перпендикулярна стороні АВ. Щоб знайти кутовий коефіцієнт висоти CD, скористаємося умовою перпендикулярності до прямих. Тому що Підставивши в (4) координати точки З і знайдений кутовий коефіцієнт висоти, отримаємо

Щоб знайти довжину висоти CD, визначимо спочатку координати точки D-точки перетину прямих АВ та CD. Вирішуючи спільно систему:

знаходимо тобто. D(8;0).

За формулою (1) знаходимо довжину висоти CD:

5. Щоб знайти рівняння медіани АЕ, визначимо спочатку координати точки Е, яка є серединою сторони ВС, застосовуючи формули розподілу відрізка на дві рівні частини:

(5)

Отже,

Підставивши в (2) координати точок А та Е, знаходимо рівняння медіани:

Щоб знайти координати точки перетину висоти CD та медіани АЕ, вирішимо спільно систему рівнянь

Знаходимо.

6. Оскільки пряма паралельна стороні АВ, то її кутовий коефіцієнт буде дорівнює кутовому коефіцієнтупрямий АВ. Підставивши в (4) координати знайденої точки К і кутовий коефіцієнт отримаємо

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Оскільки пряма АВ перпендикулярна до прямої CD, то шукана точка М, розташована симетрично до точки А щодо прямої CD, лежить на прямій АВ. Крім того, точка D є серединою відрізка AM. Застосовуючи формули (5), знаходимо координати шуканої точки М:

Трикутник ABC, висота CD, медіана АЕ, пряма KF та точка М побудовані у системі координат хОу на рис. 1.

Завдання 2. Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких до цієї точки А (4; 0) і до цієї прямої х = 1 дорівнює 2.

Рішення:

У системі координат хОу побудуємо точку А (4; 0) і пряму х = 1. Нехай М (х; у) - довільна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо перпендикуляр MB на дану пряму x = 1 і визначимо координати точки В. Оскільки точка лежить на заданій прямій, то її абсцис дорівнює 1. Ордината точки В дорівнює ординаті точки М. Отже, В(1;у) (рис. 2 ).

За умовою завдання | МА |: | МВ | = 2. Відстані | МА | та |MB| знаходимо за формулою (1) задачі 1:

Звівши в квадрат ліву та праву частини, отримаємо

або

Отримане рівняння є гіперболою, у якої дійсна піввісь а = 2, а уявна –

Визначимо фокуси гіперболи. Для гіперболи виконується рівність Отже, і - Фокуси гіперболи. Як видно, задана точка А (4; 0) є правим фокусом гіперболи.

Визначимо ексцентриситет отриманої гіперболи:

Рівняння асимптот гіпербол мають вигляд і . Отже, або - асимптоти гіперболи. Перш ніж побудувати гіперболу, будуємо її асимптоти.

Завдання 3. Скласти рівняння геометричного місця точок, що рівно віддалені від точки А(4; 3) і прямої у = 1. Отримане рівняння привести до найпростішого вигляду.

Рішення:Нехай М(х; у) - одне з точок шуканого геометричного місця точок. Опустимо з точки М перпендикуляр MB на цю пряму у = 1 (рис. 3). Визначимо координати точки В. Очевидно, що абсцис точки В дорівнює абсцис точки М, а ордината точки В дорівнює 1, тобто В (х; 1). За умовою завдання | МА | = | МВ |. Отже, для будь-якої точки М(х;у), що належить шуканому геометричному місцю точок, справедлива рівність:

Отримане рівняння визначає параболу з вершиною в точці Щоб рівняння параболи привести до найпростішого вигляду, покладемо і y + 2 = Y тоді рівняння параболи набуває вигляду:

Завдання. Точки А (2,1), (1,-2), С (-1,0) є вершинами трикутника АВС.
а) Знайти рівняння сторін трикутника АВС.
б) Знайти рівняння однієї з медіан трикутника АВС.
в) Знайти рівняння однієї з висот трикутника АВС.
г) Знайти рівняння однієї з бісектрис трикутника АВС.
д) Знайти площу трикутника АВС.

Рішенняпроводимо за допомогою калькулятора.
Дано координати трикутника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Координати векторів
Координати векторів знаходимо за формулою:
X = x j - x i; Y = y j - y i

Наприклад, для вектора AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модулі векторів

3) Кут між прямими
Кут між векторами a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) можна знайти за формулою:

де a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Знайдемо кут між сторонами AB та AC

γ = arccos(0.6) = 53.13 0
4) Векторна проекція
Векторна проекція bна вектор aможна знайти за формулою:

Знайдемо проекцію вектора AB на вектор AC

5) Площа трикутника

Рішення

За формулою отримуємо:

6) Розподіл відрізка у цьому відношенні
Радіус-вектор r точки A, що ділить відрізок AB щодо AA:AB = m 1:m 2 визначається формулою:

Координати точки А знаходяться за формулами:

Рівняння медіани трикутника
Позначимо середину сторони BC літерою М. Тоді координати точки M знайдемо за формулами поділу відрізка навпіл.

M(0;-1)
Рівняння медіани AM знайдемо, використовуючи формулу для рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Медіана AМ проходить через точки A(2;1) та М(0;-1), тому:

або

або
y = x -1 або y -x +1 = 0
7) Рівняння прямої

Рівняння прямої AB

або

або
y = 3x -5 або y -3x +5 = 0
Рівняння прямої AC

або

або
y = 1/3 x + 1/3 або 3y -x - 1 = 0
Рівняння прямої BC

або

або
y = -x -1 або y + x +1 = 0
8) Довжина висоти трикутника, проведеної з вершини A
Відстань d від точки M 1 (x 1; y 1) до прямої Ax + By + С = 0 дорівнює абсолютному значенню величини:

Знайдемо відстань між точкою A(2;1) та прямою BC (y + x +1 = 0)

9) Рівняння висоти через вершину C
Пряма, що проходить через точку M 0 (x 0 ; y 0) і перпендикулярна до прямої Ax + By + C = 0 має напрямний вектор (A; B) і, отже, представляється рівняннями:

Це рівняння можна знайти й іншим способом. І тому знайдемо кутовий коефіцієнт k 1 прямий AB.
Рівняння AB: y = 3x-5, тобто. k 1 = 3
Знайдемо кутовий коефіцієнт k перпендикуляра за умови перпендикулярності двох прямих: k 1 *k = -1.
Підставляючи замість k 1 кутовий коефіцієнт даної прямої, отримаємо:
3k = -1, звідки k = -1/3
Так як перпендикуляр проходить через точку C (-1,0) і має k = -1 / 3, будемо шукати його рівняння у вигляді: y-y 0 = k (x-x 0).
Підставляючи x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0 отримаємо:
y-0 = -1/3 (x-(-1))
або
y = -1/3 x - 1/3
Рівняння бісектриси трикутника
Знайдемо бісектрису кута A. Точку перетину бісектриси зі стороною BC позначимо М.
Скористаємося формулою:

Рівняння AB: y -3x +5 = 0, рівняння AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Бісектриса ділить кут навпіл, отже кут NAK ≈ 26.5 0
Тангенс кута нахилу AB дорівнює 3 (бо y -3x +5 = 0). Кут нахилу дорівнює 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg(45.5 0) = 1
Бісектриса проходить через точку A(2,1), використовуючи формулу, маємо:
y - y 0 = k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
або
y = x -1
завантажити

Приклад. Дано координати вершин трикутника АВС: А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).
Потрібно: 1) обчислити довжину сторони ПС; 2) скласти рівняння сторони ПС; 3) знайти внутрішній куттрикутника при вершині; 4) скласти рівняння висоти АК, проведеної з вершини А; 5) визначити координати центру тяжкості однорідного трикутника (точки перетину його медіан); 6) зробити креслення у системі координат.

Завдання. Дано координати вершин трикутника ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Потрібно:

скласти рівняння медіани, проведеної з вершини B, та обчислити її довжину.
скласти рівняння висоти, проведеної з вершини A, та обчислити її довжину.
знайти косинус внутрішнього кута B трикутника ABC.

Зробити креслення.

Завантажити рішення

Приклад №3. Дано вершини A(1;1), B(7;4), C(4;5) трикутника. Знайти: 1) довжину сторони AB; 2) внутрішній кут A у радіанах з точністю до 0,001. Зробити креслення.
завантажити

Приклад №4. Дано вершини A(1;1), B(7;4), C(4;5) трикутника. Знайти: 1) рівняння висоти, проведеної через вершину C; 2) рівняння медіани, проведеної через вершину C; 3) точку перетину висот трикутника; 4) довжину висоти, опущеної з вершини C. Зробити креслення.
завантажити

Приклад №5. Дано вершини трикутника ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Визначте: 1) довжину сторони AB; 2) рівняння сторін AB та AC та їх кутові коефіцієнти; 3) площа трикутника.

Координати векторів знаходимо за формулою: X = x j - x i; Y = y j - y i
тут X,Y координативектор; x i, y i - координати точки А i; x j , y j - координати точки А j
Наприклад, для вектора AB
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Довжина сторін трикутника
Довжина вектора a(X;Y) виражається через координати формулою:

Площа трикутника
Нехай точки A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) - вершини трикутника, тоді його площа виражається формулою:

У правій частині стоїть визначник другого порядку. Площа трикутника завжди позитивна.
Рішення. Приймаючи A за першу вершину, знаходимо:

За формулою отримуємо:

Рівняння прямої
Пряма, що проходить через точки A 1 (x 1 ; y 1) і A 2 (x 2 ; y 2), є рівняннями:

Рівняння прямої AB
Канонічне рівняння прямої:

або

або
y = -3/4 x -15/4 або 4y + 3x +15 = 0
Кутовий коефіцієнт прямої AB дорівнює k = -3/4
Рівняння прямої AC

або

або
y = 13 / 16 x + 65 / 16 або 16y -13x - 65 = 0
Кутовий коефіцієнт прямої AB дорівнює k = 13/16

Завдання. Дано координати вершин піраміди ABCD. Потрібно:

Записати вектори в системі орт та знайти модулі цих векторів.
Знайти кут між векторами.
Знайти векторну проекцію на вектор.
Знайти площу грані ABC.
Знайти обсяг піраміди ABCD.

Рішення
Приклад №1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Приклад №2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): Приклад №3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Приклад №4

Завдання. Знайти гострий кутміж прямими x + y -5 = 0 і x + 4y - 8 = 0.
Рекомендації до вирішення. Завдання вирішується за допомогою сервісу Кут між двома прямими.
Відповідь: 30.96 o

Приклад №1. Дані координати точок А1(1; 0; 2), A2 (2; 1; 1), А3 (-1; 2; 0), A4 (-2; -1; -1). Знайти довжину ребра А1А2. Скласти рівняння ребра А1А4 та грані А1А2А3. Скласти рівняння висоти опущеної з точки А4 на площину А1А2А3. Знайти площу трикутника А1A2A3. Знайти об'єм трикутної піраміди А1A2А3A4.

Координати векторів знаходимо за формулою: X = x j - x i; Y = y j - y i; Z = z j - z i
тут X,Y,Z координати вектора; x i, y i, z i - координати точки А i; x j, y j, z j - координати точки А j;
Так, для вектора A1A2 вони будуть наступними:
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2; 2; -2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3; 1; -1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Довжина вектора a(X;Y;Z) виражається через його координати формулою:

Як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії?
Типове завданняз трикутником на площині

Цей урок створено на підході до екватора між геометрією площини та геометрією простору. На даний момент назріла необхідність систематизувати напрацьовану інформацію та відповісти на дуже важливе питання: як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії?Складність полягає в тому, що задач з геометрії можна придумати нескінченно багато, і ніякий підручник не вміщує в собі безліч і різноманітність прикладів. Це не похідна функції з п'ятьма правилами диференціювання, таблицею та кількома технічними прийомами.

Рішення є! Не говоритиму гучних слів про те, що я розробив якусь грандіозну методику, проте, на мою думку, існує ефективний підхід до цієї проблеми, що дозволяє досягти хорошої і відмінної результативності навіть повному чайнику. Принаймні загальний алгоритм вирішення геометричних завдань дуже чітко оформився в моїй голові.

ЩО НЕОБХІДНО знати та вміти
для успішного вирішення задач з геометрії?

Від цього нікуди не подітися - щоб навмання не тикати носом кнопки, потрібно освоїти ази аналітичної геометрії. Тому якщо ви тільки-но приступили до вивчення геометрії або капітально забули її, будь ласка, почніть з уроку Вектори для чайників . Окрім векторів та дій з ними, потрібно знати базові поняття геометрії площини, зокрема, рівняння прямої на площині та . Геометрія простору представлена статтями Рівняння площини , Рівняння прямої у просторі , Основні завдання на пряму та площинута деякими іншими уроками. Криві лінії та просторові поверхні другого порядку стоять деяким особняком, і специфічних завдань з ними не так вже й багато.

Припустимо, студент вже має елементарні знання та навички вирішення найпростіших завдань аналітичної геометрії. Але ось буває так: читаєш умову завдання, і… хочеться взагалі закрити всю цю справу, закинути в дальній кут і забути, як про страшний сон. Причому це не залежить від рівня вашої кваліфікації, сам іноді стикаюся з завданнями, у яких рішення не очевидне. Як чинити в таких випадках? Не треба боятися завдання, яке вам не зрозуміле!

По перше, слід встановити – це «плоска» чи просторове завдання?Наприклад, якщо умови фігурують вектори з двома координатами, то, зрозуміло, тут геометрія площини. А якщо викладач завантажив вдячного слухача пірамідою, то тут геометрія простору. Результати першого кроку вже непогані, адже вдалося відсікти величезну кількість непотрібної для цього завдання інформації!

Друге. Умова, як правило, стурбує вас деякою геометричною фігурою. Справді, пройдіться коридорами рідного ВНЗ, і ви побачите дуже багато стурбованих осіб.

У «плоських» завданнях, не кажучи про точки і прямі, найбільш популярна фігура – трикутник. Його ми розберемо докладно. Далі йде паралелограм, і значно рідше зустрічаються прямокутник, квадрат, ромб, коло, ін. фігури.

У просторових завданнях можуть літати ті самі плоскі фігури + самі площини та поширені трикутні піраміди з паралелепіпедами.

Питання друге – чи все ви знаєте про цю фігуру?Припустимо, в умові йдеться про рівнобедрений трикутник, а ви дуже неясно пам'ятаєте, що це такий за трикутник. Відкриваємо шкільний підручник та читаємо про рівнобедрений трикутник. Що робити... лікар сказав ромб, отже, ромб. Аналітична геометрія аналітичною геометрією, але задачу допоможуть вирішити геометричні властивості самих фігур, відомі нам з шкільної програми. Якщо не знати, чому дорівнює сума кутів трикутника, то страждати можна довго.

Третє. Завжди намагайтеся виконувати креслення(на чернетці/чистовику/подумки), навіть якщо цього не потрібно за умовою. У «плоських» завданнях сам Евклід наказав взяти в руки лінійку з олівцем – і не тільки для того, щоб зрозуміти умову, а й з метою самоперевірки. При цьому найбільш зручний масштаб 1 одиниця = 1 см (2 зошити клітини). Вже не будемо розмірковувати про недбайливих студентів і математиків, що обертаються в трунах – у таких завданнях зробити помилку практично неможливо. Для просторових завдань виконуємо схематичний малюнок, який також допоможе проаналізувати умову.

Креслення або схематичне креслення часто відразу дозволяє побачити шлях вирішення завдання. Звичайно, для цього потрібно знати фундамент геометрії та рубати у властивостях геометричних фігур(Див. попередній пункт).

Четверте. Розробка алгоритму розв'язання. Багато завдань геометрії є багатоходовими, тому рішення та його оформлення дуже зручно розбивати на пункти. Нерідко алгоритм відразу ж спадає на думку, після того як ви прочитали умову або виконали креслення. У разі виникнення труднощів починаємо з ПИТАННЯ задачі. Наприклад, за умовою «потрібно побудувати пряму…». Тут найлогічне питання таке: «А що достатньо знати, щоб побудувати цю пряму?». Припустимо, «крапка нам відома, потрібно знати напрямний вектор». Задаємо наступне запитання: «Як знайти цей напрямний вектор? Звідки? і т.д.

Іноді трапляється «затік» – не вирішується завдання і тут. Причини стопора можуть бути такими:

- Серйозний пробіл у елементарні знання. Іншими словами, ви не знаєте або (і) не бачите якоїсь дуже простої речі.

- Незнання властивостей геометричних фігур.

- Завдання трапилося важке. Да так буває. Немає сенсу годинами паритися і збирати сльози в хустку. Зверніться за консультацією до викладача, однокурсників або запитайте на форумі. Причому, його постановку краще зробити конкретною – про ту ділянку рішення, яка вам не зрозуміла. Зову у вигляді «Як вирішити задачу?» виглядає не дуже ... і, перш за все, для вашої власної репутації.

Етап п'ятий. Вирішуємо-перевіряємо, вирішуємо-перевіряємо, вирішуємо-перевіряємо-даємо відповідь. Кожен пункт завдання вигідно перевіряти відразу після його виконання. Це допоможе негайно виявити помилку. Звичайно, ніхто не забороняє швиденько вирішувати завдання повністю, але виникає ризик переписувати все наново (часто кілька сторінок).

Ось, мабуть, всі основні міркування, якими доцільно керуватися під час вирішення завдань.

Практична частина уроку представлена геометрією на площині. Прикладів буде лише два, але мало не здасться =)

Пройдемося по нитці алгоритму, який я щойно розглянув у своєму маленькому науковій праці:

Приклад 1

Дано три вершини паралелограма. Знайти вершину.

Починаємо розбиратися:

Крок перший: очевидно, що йдеться про «плоску» задачу

Крок другий: у задачі йдеться про паралелограму. Чи всі пам'ятають таку фігуру паралелограм? Не треба посміхатися, чимало людей здобуває освіту в 30-40-50 і більше років, тому навіть прості факти можуть стертися з пам'яті. Визначення паралелограма зустрічається у Прикладі № 3 уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів .

Крок третій: Виконаємо креслення, на якому відзначимо три відомі вершини Цікаво, що нескладно відразу побудувати шукану точку:

Побудувати це, звичайно, добре, але рішення необхідно оформити аналітично.

Крок четвертий: Розробка алгоритму розв'язання Перше, що спадає на думку – точку можна знайти як перетин прямих. Їхні рівняння нам невідомі, тому доведеться зайнятися цим питанням:

1) Протилежні сторони паралельні. По точках знайдемо напрямний вектор даних сторін. Це найпростіше завдання, яке розглядалося на уроці Вектори для чайників .

Примітка: коректніше говорити «рівняння прямої, що містить сторону», але тут і далі для стислості я використовуватиму словосполучення «рівняння сторони», «напрямний вектор сторони» і т.д.

3) Протилежні сторони паралельні. По точках знайдемо напрямний вектор цих сторін.

4) Складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору

У пунктах 1-2 і 3-4 ми фактично двічі вирішили одну й ту саму задачу, вона, до речі, розібрана у прикладі № 3 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині . Можна було піти довшим шляхом – спочатку знайти рівняння прямих і лише потім «витягнути» їх напрямні вектори .

5) Тепер рівняння прямих відомі. Залишилося скласти та вирішити відповідну систему лінійних рівнянь(див. приклади № 4, 5 того ж уроку Найпростіші завдання з прямою на площині ).

Крапка знайдена.

Завдання досить проста і її вирішення очевидно, але існує більш короткий шлях!

Другий спосіб вирішення:

Діагоналі паралелограма своєю точкою перетину діляться навпіл. Точку я зазначив, але щоб не захаращувати креслення самі діагоналі не провів.

Складемо рівняння сторони за точками :

Для перевірки слід подумки або на чернетці підставити координати кожної точки в отримане рівняння. Тепер знайдемо кутовий коефіцієнт. Для цього перепишемо загальне рівняння у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Таким чином, кутовий коефіцієнт:

Аналогічно знаходимо рівняння сторін. Не бачу особливого сенсу розписувати те саме, тому відразу наведу готовий результат:

2) Знайдемо довжину сторони. Це найпростіше завдання, розглянуте на уроці Вектори для чайників . Для точок використовуємо формулу:

За цією ж формулою легко знайти довжини інших сторін. Перевірка дуже швидко виконується звичайною лінійкою.

Використовуємо формулу .

Знайдемо вектори:

Таким чином:

До речі, принагідно ми знайшли довжини сторін.

В результаті:

Що ж, схоже на правду, для переконливості до кута можна прикласти транспортир.

Увага! Не плутайте кут трикутника із кутом між прямими. Кут трикутника може бути тупим, а кут між прямими – ні (див. останній пункт статті Найпростіші завдання з прямою на площині ). Однак для знаходження кута трикутника можна використовувати і формули вищезгаданого уроку, але шорсткість полягає в тому, що формули завжди дають гострий кут. З їх допомогою я вирішував на чернетці це завдання і отримав результат. А на чистовику довелося б записувати додаткові виправдання, що .

4) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямої.

Стандартне завдання, детально розглянуте у прикладі № 2 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині . З загального рівнянняпрямий витягнемо напрямний вектор . Складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору:

Як знайти висоту трикутника?

5) Складемо рівняння висоти та знайдемо її довжину.

Від суворих визначень нікуди не подітися, тому доведеться викрадати зі шкільного підручника:

Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Тобто необхідно скласти рівняння перпендикуляра, проведеного з вершини до сторони. Це завдання розглянуто в прикладах № 6, 7 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині . З рівняння знімаємо вектор нормалі. Рівняння висоти складемо по точці і напрямному вектору:

Зауважте, що координати точки нам не відомі.

Іноді рівняння висоти знаходять із співвідношення кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: . У разі , тоді: . Рівняння висоти складемо за точкою та кутовим коефіцієнтом (див. початок уроку Рівняння прямої на площині ):

Довжину висоти можна знайти двома способами.

Існує манівець:

а) знаходимо - точку перетину висоти та сторони;
б) знаходимо довжину відрізка по двох відомих точках.

Але на уроці Найпростіші завдання з прямою на площині розглядалася зручна формула відстані від точки до прямої. Крапка відома: , рівняння прямої теж відоме: , Таким чином:

6) Обчислимо площу трикутника. У просторі площа трикутника традиційно розраховується за допомогою векторного твору векторів але тут дано трикутник на площині. Використовуємо шкільну формулу:
– площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

В даному випадку:

Як знайти медіану трикутника?

7) Складемо рівняння медіани.

Медіаною трикутника називається відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

а) Знайдемо точку – середину сторони. Використовуємо формули координат середини відрізка . Відомі координати кінців відрізка: , Тоді координати середини: