Сума кутів n-кутника Теорема. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 o (n-2). Доведення. З якоїсь вершини опуклого n-кутника проведемо всі його діагоналі. Тоді n-кутник розіб'ється на n-2 трикутники. У кожному трикутнику сума кутів дорівнює 180 про ці кути складають кути n-кутника. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 о (n-2).

Другий спосіб доказу Теорема. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 o (n-2). Доказ 2. Нехай O якась внутрішня точка опуклого n-кутника A 1 …A n. З'єднаємо її із вершинами цього багатокутника. Тоді n-кутник розіб'ється на n трикутників. У кожному трикутнику сума кутів дорівнює 180 о. Ці кути становлять кути n-кутника і ще 360 про. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 о (n-2).

Вправа 3 Доведіть, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 360 о. Доведення. Зовнішній кут опуклого багатокутника дорівнює 180° мінус відповідний внутрішній кут. Отже, сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 n мінус сума внутрішніх кутів. Оскільки сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 про (n-2), то сума зовнішніх кутів дорівнюватиме 180 про n про (n-2) = 360 про.

Вправа 4 Чому рівні кути правильного: а) трикутника; б) чотирикутника; в) п'ятикутника; г) шестикутника; д) восьмикутника; е) десятикутника; ж) дванадцятикутника? Відповідь: а) 60 про; б) 90 про; в) 108 про; г) 120 про; д) 135 про; е) 144 про; ж) 150 про.

Вправа 12* найбільша кількість гострих кутівможе мати опуклий n-кутник? Рішення. Оскільки сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 360 про, то опуклого багатокутника може бути більше трьох тупих кутів, отже, він може бути більше трьох внутрішніх гострих кутів. Відповідь. 3.

Ламана

Визначення

Ламаною лінією, або коротше, ламаною, називається кінцева послідовність відрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.д. При цьому сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Ці відрізки називають ланками ламаною.

Види ламаної

Ламана називається замкненоюякщо початок першого відрізка збігається з кінцем останнього.

Ламана може перетинати сама себе, торкнутися сама себе, налягати на себе. Якщо таких особливостей немає, то така ламана називається простий.

Багатокутники

Визначення

Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.

Зауваження

У кожній вершині багатокутника його сторони задають певний кут багатокутника. Він може бути як менше розгорнутого, так і більше розгорнутого.

Властивість

Кожен багатокутник має кут, менший $180^\circ$.

Доведення

Нехай дано багатокутник $P$.

Проведемо якусь пряму, що не перетинає його. Переміщатимемо її паралельно у бік багатокутника. У певний момент ми вперше отримаємо пряму $a$, що має із багатокутником $P$ хоча б одну загальну точку. Від цієї прямої багатокутник лежить по одну сторону (при цьому деякі точки лежать на прямій $a$).

На прямій $a$ лежить бодай одна вершина багатокутника. У ній сходиться дві сторони, розташовані по одну сторону від прямої $a$ (вважаючи і той випадок, коли одна з них лежить на цій прямій). А значить, при цій вершині кут менший за розгорнутий.

Визначення

Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його сторону. Якщо багатокутник не є опуклим, його називають невипуклим.

Зауваження

Випуклий багатокутник є перетином напівплощин, обмежених прямими, що містять сторони багатокутника.

Властивості опуклого багатокутника

У опуклого багатокутника всі кути менші за $180^\circ$.

Відрізок, що з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника (зокрема будь-яка його діагональ), міститься в цьому багатокутнику.

Доведення

Доведемо першу властивість

Візьмемо будь-який кут $A$ опуклого багатокутника $P$ та його сторону $a$, що йде з вершини $A$. Нехай $l$ – пряма сторона $a$. Оскільки багатокутник $P$ опуклий, він лежить з одного боку від прямої $l$. Отже, його кут $A$ лежить по одну сторону від цієї прямої. Значить кут $A$ менший за розгорнутий кут, тобто менше $180^\circ$.

Доведемо другу властивість

Візьмемо будь-які дві точки $A$ і $B$ опуклого багатокутника $P$. Багатокутник $P$ є перетином декількох напівплощин. Відрізок $AB$ міститься у кожній із цих напівплощин. Тому він міститься і в багатокутник $P$.

Визначення

Діагоналлю багатокутниканазивається відрізок, що з'єднує його несусідні вершини.

Теорема (про кількість діагоналей n-кутника)

Кількість діагоналей опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Доведення

З кожної вершини n-кутника можна провести $n-3$ діагоналі (не можна провести діагональ у сусідні вершини і саму цю вершину). Якщо порахувати всі такі можливі відрізки, їх буде $n\cdot(n-3)$, оскільки вершин $n$. Але кожну діагональ буде пораховано двічі. Таким чином, кількість діагоналей n-кутника дорівнює $ dfrac (n (n-3)) (2) $.

Теорема (про суму кутів n-кутника)

Сума кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доведення

Розглянемо $n$-кутник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Візьмемо всередині цього багатокутника довільну точку $O$.

Сума кутів усіх трикутників $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ дорівнює $180^\circ\cdot n$.

З іншого боку ця сума складається із суми всіх внутрішніх кутів багатокутника та повного кута $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Тоді сума кутів аналізованого $n$-кутника дорівнює $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Слідство

Сума кутів неопуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доведення

Розглянемо багатокутник $A_1A_2\ldots A_n$, у якого тільки кут $\angle A_2$ не опуклий, тобто $\angle A_2>180^\circ$.

Позначимо суму його уловів $S$.

З'єднаємо точки $A_1A_3$ і розглянемо багатокутник $A_1A_3\ldots A_n$.

Сума кутів цього багатокутника дорівнює:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Отже, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Якщо у вихідного багатокутника більше одного неопуклого кута, то описану вище операцію можна виконати з кожним таким кутом, що і призведе до затвердження, що доводиться.

Теорема (про суму зовнішніх кутів опуклого n-кутника)

Сума зовнішніх кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $360^\circ$.

Доведення

Зовнішній кут при вершині $A_1$ дорівнює $180^\circ-\angle A_1$.

Сума всіх зовнішніх кутів дорівнює:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2) = 360 ^ \ circ $.

Внутрішній кут багатокутника- Це кут, утворений двома суміжними сторонами багатокутника. Наприклад, ∠ ABCє внутрішнім кутом.

Зовнішній кут багатокутника- це кут, утворений однією стороною багатокутника та продовженням іншої сторони. Наприклад, ∠ LBCє зовнішнім кутом.

Кількість кутів багатокутника завжди дорівнює кількості його сторін. Це стосується і внутрішніх кутів і зовнішніх. Незважаючи на те, що для кожної вершини багатокутника можна побудувати два рівні зовнішні кути, з них завжди береться до уваги тільки один. Отже, щоб знайти кількість кутів будь-якого багатокутника, треба порахувати кількість сторін.

Сума внутрішніх кутів

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює добутку 180° та кількості сторін без двох.

s = 2d(n - 2)

де s- це сума кутів, 2 d- два прямі кути (тобто 2 · 90 = 180 °), а n- Кількість сторін.

Якщо ми проведемо з вершини Aбагатокутника ABCDEFвсі можливі діагоналі, то розділимо його на трикутники, кількість яких буде на два менша, ніж сторін багатокутника:

Отже, сума кутів багатокутника дорівнюватиме сумі кутів всіх трикутників. Оскільки сума кутів кожного трикутника дорівнює 180° (2 d), то сума кутів усіх трикутників дорівнюватиме добутку 2 dна їх кількість:

s = 2d(n- 2) = 180 · 4 = 720 °

З цієї формули випливає, що сума внутрішніх кутів є постійною величиноюі залежить кількості сторін багатокутника.

Сума зовнішніх кутів

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 360 ° (або 4 d).

s = 4d

де s- це сума зовнішніх кутів, 4 d- чотири прямі кути (тобто 4 · 90 = 360 °).

Сума зовнішнього та внутрішнього кута при кожній вершині багатокутника дорівнює 180° (2 d), оскільки є суміжними кутами . Наприклад, ∠ 1 та ∠ 2 :

Отже, якщо багатокутник має nсторін (і nвершин), то сума зовнішніх та внутрішніх кутів при всіх nвершинах дорівнюватиме 2 dn. Щоб із цієї суми 2 dnодержати лише суму зовнішніх кутів, треба з неї відняти суму внутрішніх кутів, тобто 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.