КУРСОВА РОБОТА

на тему:

"Практичне застосування властивостей чудових кривих"

Вступ

Актуальність теми полягає у демонстрації застосування математичних знань у практичній діяльності людини. В курсі вивчення аналітичної геометріїне передбачено розгляд властивостей чудових кривих, які широко використовуються в житті.

Гіпотеза : Використання даного матеріалурозширює кругозір учнів за кривими та його властивостями, і показує їх практичне застосування у житті.

Мета цієї роботи : Зібрати матеріал для застосування його під час самостійного вивченнячудових кривих.

Завдання : На допомогу учню. Використовуючи мінімум часу, принести максимум користі.

Практична значимість роботи: Я вважаю, що моя робота стане у нагоді студентам доступно і наочно розібратися в матеріалі. Покаже практично застосування властивостей чудових кривих, навчити будувати криві.

Вибір теми

При сучасному рівнірозвитку технічної думки є потреба у знаннях про чудові криві. Вони не такі вже й рідкісні в природі, мають практичний додаток у житті людини. Знання їх чудових властивостей використовують у різних механізмах, використовуваних людиною у житті.

Я вибрала цю тему, тому що вважаю її, цікавою та змістовною, що розвиває пізнавальний інтерес до аналітичної геометрії, що відкриває практичний додаток геометрії у житті. Використання даного матеріалу на лекціях геометрії розширює кругозір учнів з кривих, що вивчаються за програмою. У різних розділах математики та на різних етапахвивчення ми зустрічаємося з кривими як третього, так і другого порядку. Але, ніде не йдеться про чудові властивості даних кривих, а тим більше про їх практичне застосування. Я вважаю, що дуже важливо учням знати чудові властивості даних кривих, які широко використовуються в житті. Вивчаючи і навіть просто знайомлячись із цими властивостями, учні бачать справді практичне застосування геометрії.

Для цього я познайомилася з матеріалом про чудові криві та їх властивості в різних посібниках та енциклопедіях з математики.

1. З історії розвитку вчення про лінії

Поняття лінії виникло у свідомості людини у доісторичні часи. Траєкторія кинутого каменю, обриси квітів і листя рослин, звивиста лінія берега річки та інші явища природи з давніх-давен привертали увагу людей. Спостерігаються багаторазово, вони послужили основою поступового встановлення поняття лінії. Але знадобився значний проміжок часу для того, щоб наші предки стали порівнювати між собою форми кривих ліній. Перші малюнки на стінах печер, примітивні орнаменти на домашньому вжитку показують, що люди вміли не тільки відрізняти пряму від кривої, а й розрізняти окремі криві. Пам'ятники давнину свідчать про те, що у всіх народів певною мірою їх розвитку були поняття прямої та їх кола. Для побудови цих ліній використовувалися найпростіші інструменти.

Проте з виникненням математичних теорій стало розвиватися вчення про лініях. Грецькі вчені створили теорію ліній другого порядку. Ці лінії розглядалися як переріз конуса площиною, внаслідок чого в давнину їх називали конічними перерізами. Конічні перетини вперше розглядав Менехм, який жив у IV столітті до н.е. Перше систематичне виклад теорії цих ліній дав Аполлоній Пергський (III-II ст до н. нас. У пошуках вирішення різних завдань грецькі вчені розглядали деякі трансцендентні лінії.

У середньовічну епоху важливе досягнення грецьких вчених було забуто. Математична наука знову звернулася до вивчення кривих лише у VII столітті. Для дослідження ліній першорядне значення мало відкритий Декартом і Ферма методу координат, що сприяло виникненню обчислення нескінченно малих. Метод координат у поєднанні з аналізом нескінченно малих дозволив перейти до дослідження ліній загальним способом. Різноманітні проблеми механіки, астрономії, геодезії, оптики, що виникли у VII-VIII століття, призвели до відкриття багатьох нових ліній та вивчення їх геометричних механічних властивостей. Цими питаннями з великим ентузіазмом займалися найбільші математики епохи – Декарт, Гюйгенс, Лейбніц, брати Бернуллі.

Наступний важливий крок у вивченні ліній був зроблений Ньютоном, який розпочав розробку теорії кривих третього порядку. Згодом було поставлено завдання: досліджувати криві четвертого і вищих порядків, створити загальну теорію кривих алгебри на площині, приступити до систематичного вивчення поверхонь алгебри, починаючи з поверхні другого порядку. У вирішенні останнього завдання великий внесок зробив знаменитий математик VIII Леонард Ейлер, академік Петербурзької академії наук. Він описав перший посібник з аналітичної геометрії, у якому викладалося теорія ліній та поверхонь другого порядку.

. Чудові лінії третього порядку

Усі прямі та криві другого порядку (кола, еліпси, параболи, гіперболи) є окремими випадками кривих третього порядку.

У випадку рівняння кривої лінії третього порядку можна записати так: х 3 +а 1 у 3 +3а 2 х 2 у+3а 3 ху 2 +3а 4 х 2 +3а 5 у 2 +3а 6 ху+3а 7 х+3а 8 у+а 9 =0.

Передбачається, що коефіцієнти одночасно в нуль не звертаються (інакше вийшло б рівняння другого ступеня) Якщо всі лінії другого порядку, що не розпадаються, вичерпуються колом, еліпсом, гіперболою, параболою, то безліч ліній третього порядку є більш багатим - воно містить. Понад 70 видів цих ліній. Тут розглядаються лише деякі з них, чудові за своїми властивостями та застосуванням.

Декартів лист

. Особливості форми. Декартовим листом називається крива 3-го порядку, рівняння якої у прямокутній системі має вигляд

Іноді зручно користуватися параметричними рівняннями декартового листа, які можна отримати, вважаючи y= tx, приєднуючи до цієї рівності рівність (1) та вирішуючи отриману систему щодо хі у,в результаті матимемо:

звідки випливає, що декартів лист є раціональною кривою.

Зауважимо ще, що полярне рівняння декартового листа має вигляд

(3)

Координати хі увходять до рівняння декартового листа симетрично, звідки випливає, що крива симетрична щодо бісектриси у = х.Звичайне дослідження на особливі точкипризводить до висновку, що початок координат є вузловою точкою декартового листа. Рівняння дотичних до алгебраїчної кривої в її особливій точці, що збігається з початком координат, можна отримати, як відомо, прирівнюючи нулю групу членів нижчого ступеня рівняння цієї кривої. У нашому випадку маємо З аху = 0,звідки отримаємо х = 0 і у = 0 – шукані рівняння дотичних у вузловій точці. Ці дотичні збігаються з координатними осями і, отже, на початку координат крива перетинає сама себе під прямим кутом. Легко бачити, що у першому координатному вугіллі крива робить петлю, яка перетинається з прямою у = ху точці

Точки цієї петлі, у яких дотичні паралельні координатним осям, мають координати

І (див. рис. 1)

Для остаточного висновку про форму кривої слід ще знайти асимптоту. х.Отримаємо

і b = - а.Таким чином, декартів лист має асимптоту.

у = - х - а;отже, у 2-му та 4-му координатних кутах гілки декартового листа йдуть у нескінченність.

Рис. 1

Часто розглядають повернену на 135 градусів криву. Її рівняння виглядають так. У прямокутній системі: , де

Параметричне:

Виведення рівнянь повернутої кривої:

Систему координат XOY перетворять на систему координат UOV, яка виходить поворотом осей OX і OY за годинниковою стрілкою на кут і переорієнтацією осі OX у протилежному напрямку:

Вираз старих координат XY через нові UV виглядає так:

Після підстановки виразів старих координат через нові рівняння декартового листа перетворюється на наступного виду: .

Вводимо параметр , останнє рівняння перепишеться так:

Або .

Замінюємо змінні u та v на звичні x та y та отримуємо рівняння декартового листа в новій системі координат:

Підставивши в рівняння попереднє, отримуємо рівняння декартового листа в полярній системі координат:

Вирішуючи цей вислів щодо ρ, отримуємо:

2. Властивості.Відповідно до теореми Маклорена, якщо у трьох точках кривої алгебри 3-го порядку, що лежать на одній прямій, провести дотичні до цієї кривої, то точки їх перетину з кривою будуть лежати також на прямій лінії. Стосовно декартового листа ця теорема доводиться легко. Виведемо з цією метою попередньо умову перебування трьох точок декартового листа, що відповідають значенням t 1 , t 2 і t 3 параметра, на одній прямій. Якщо рівняння прямої має вигляд y= kx+ b, то значення параметра, що відповідають точкам перетину цієї прямої з кривою, повинні задовольняти системі

Система ця призводить до рівняння

коріння якого і будуть шуканими значеннями t 1 , t 2 і t 3 параметра, звідки випливає, що

Ця рівність є умовою перебування трьох точок M 1 (t 1) , M 2 (t 2 ), М 3 (t 3) декартового листа на одній прямій.

Маючи в своєму розпорядженні цю умову, покажемо справедливість теореми Маклорена для декартового листа. Дійсно, що стосується в точці M 1 (t 1 ) можна розглядати як пряму, яка перетинає декартів лист у двох збігаються між собою точках, для яких t 2 = t 1 , та у третій точці, для якої відповідне значення параметра позначимо через T 1 . Умова (4) набуде вигляду t 1 2 T 1 = - 1. Для дотичних у точках М 2і M 3 отримаємо аналогічні співвідношення t 2 2 T 2 = -1 та t 3 2 T 3 = -1 . Перемножуючи ці три рівністі, матимемо

(t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . звідки на підставі (4) укладаємо, що і T 1 T 2 T 3 = -1, тобто. точки N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) та N 3 (T 3) лежать на одній прямій.

Визначаючи площу, обмежену петлею декартового листа, отримаємо:

. Спосіб побудови.Зауважимо попередньо, що якщо вісь симетрії декартового листа прийняти за вісь абсцис, то рівняння його набуде вигляду

(5)

Нехай тепер є коло з радіусом r і центром у точці

та пряма х = -h. Візьмемо довільну точку Q цього кола і проведемо пряму QAта пряму QN, перпендикулярну до осі абсцис (рис. 2). З точки перетину Rпрямий QA з прямою х = - hпроводимо пряму ROдо перетину її в точці Q 1 з прямою QN.Таким чином, точці Qна колі буде поставлена у відповідність точка Q1.Геометричне місце точок Q 1 являє собою декартовий лист.

Для доказу зауважимо, що координати точки Qможна записати у вигляді

кут, що складається радіусом кола, проведеним у точку Q,з позитивним напрямом осі абсцис. Відповідно до цього рівняння прямої QAможе бути записано у вигляді

Вважаючи в цьому рівнянні х = -h, знаходимо ординату

точки R. Звідси випливає, що рівняння прямої RQ 1 запишеться у вигляді

(6)

У той же час рівняння прямої Q 1 Nмає вид

(7)

Виключаючи з рівнянь (6) та (7) параметр w, знаходимо рівняння геометричного місця точок Q 1 як

Порівнюючи його з рівнянням (5), укладаємо, що знайдене геометричне місце точок є декартовим листом.

Перетворення точок кола в точки декартового листа, яке здійснюється при такій його побудові, називається перетворенням Маклорена.

4. Історична довідка.Вперше в історії математики крива, названа згодом декартовим листом, визначається в листі Декарта до Ферма в 1638 р. як крива, для якої сума обсягів кубів, побудованих на абсцисі та ординаті кожної точки, дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті . Форма кривої встановлюється вперше Робервалем, який знаходить вузлову точку кривої, однак у його поданні крива складається лише з петлі. Повторюючи цю петлю у чотирьох квадрантах, він отримує фігуру, що нагадує йому квітку з чотирма пелюстками. Поетична назва кривої «пелюстка жасмину», однак, не прищепилася. Повна форма кривої з наявністю асимптоти була визначена пізніше (1692) Гюйгенсом та І. Бернуллі. Назва «декартів лист» міцно встановилася лише з початку 18 століття.

Ціссоїда Діоклеса

1. Особливості форми.Серед багатьох способів освіти цисоїди - кривою, відкритої стародавніми у пошуках вирішення знаменитої задачі про подвоєння куба, ми зупинимося спочатку на найпростішому. Візьмемо коло (зване виробляє)з діаметром ОА=2а та дотичну АВдо неї. Через точку Про проведемо промінь ОВ і на ньому відкладемо відрізок ОМ = НД.Побудована в такий спосіб точка М належить цисоїді. Повернувши промінь 0Вна деякий кут і зробивши вказану будову, ми знайдемо другу точку цисоїди, і т.д. (Мал. 3).

Якщо точку О прийняти за полюс, то звідки отримуємо полярне рівняння цисоїди

Користуючись формулами переходу від полярних координат до декартових, знайдемо рівняння цисоїди у прямокутній системі:

(2)

Параметричні рівняння цисоїди можна отримати, вважаючи x=ty, тоді, на підставі рівняння (2), прийдемо до системи

Рис. 3

Рівняння (2) показує, що цисоїда є кривою алгебри 3-го порядку, а з рівнянь (3) слід, що вона є раціональною кривою.

Цисоіда симетрична щодо осі абсцис, має нескінченні гілки; дотична до виробляє кола, тобто. пряма х = 2а, служить для неї асимптотою; Початок координат є точкою повернення 1-го роду.

2. Властивості.Кінематично цисоїда може бути отримана як траєкторія середини Мкатета НДтрикутника АВС,креслення, що пересувається в площині так, що його вершина Вковзає по осі ординат, а інший катет АСзавжди проходить через нерухому точку Ена осі абсцис. (Мал. 4)

Дійсно, позначивши середину відрізка ОЕчерез D, зауважуємо, що оскільки ВС=ЕО,ê ВСІ=ê ВЕО,звідки /_ ВЕО = /_ СВЕ,і, отже, ê NBE - рівнобедрений, а так як ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ,то відрізок DMпаралельний відрізку BE. Нехай, далі, крапка Доє точка перетину з продовженням відрізка DMпрямий, що проходить через точку Впаралельно осі абсцис. Опишемо коло з центром на початку координат і радіусом, рівним OD , і проведемо до неї дотичну в другій точці перетину з прямою ЕО.Вона пройде, мабуть, через точку До.Позначивши точку перетину прямої DMKз колом через F, зауважимо, що трикутники DOFі МВКрівні між собою. З рівності їх випливає, що DF= MK, отже, і DM= FK. Остання рівність і показує, що геометричне місце точок Мбуде цисоїдою.

Інші способи утворення цисоїди ґрунтуються на її співвідношеннях з параболою. Покажемо насамперед, що цисоїда є подерою параболи щодо її вершини.

Рівняння даної параболи. Рівняння дотичної у довільній точці М(x, h ) цієї параболи можна записати у вигляді рівняння перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю дотичну, буде координати точки Nперетину його з дотичною визначаться за формулами

(4)

Виключаючи з цих рівностей параметр h, ми отримаємо рівняння

Виражає цисоїду.

Зазначимо далі, що координати точки, симетричної початку координат щодо дотичної до параболи у 2 = 2 рх,вийдуть, якщо праві частини формул (4) подвоїти, і, отже, визначаться формулами

Виключаючи з цих рівностей параметр h, ми знову отримаємо цисоїду з рівнянням Звідси випливає, що цисоїда є геометричним місцем точок, симетричних на вершині параболи щодо її дотичних.

Слід зазначити, що геометричне місце точок, симетричних початку координат щодо дотичної до параболи, можна розглядати як траєкторію вершини іншої параболи, однакової з даною, яка котиться по даній параболі. Таким чином, виникає новий спосіб кінематичної освіти цисоїди як траєкторії вершини параболи, яка без ковзання котиться іншою такою ж параболою.

Строфоїда

Строфоїда (від грец. stróphos - кручена стрічка і éidos - вид)

Нехай є нерухома пряма АВ і точка З поза нею на відстані CO = а; навколо З обертається пряма, що перетинає АВ у змінній точці N. Якщо від точки N відкласти по обидва боки прямої АВ відрізки NM = NM" = NO, то геометричне місце точок М і М" для всіх положень променя CN, що обертається, і є строфоїда. Рівняння у прямокутних координатах: ; у полярних координатах: r = - a cos 2j/cosj. Вперше строфоїду досліджував Е. Торрічеллі (1645), назва була введена в середині 19 ст. Рис. 6

Верзьєра Аньєзі

Верзьєра (верзієра) Аньезі ( іноді локон Аньєзі) - плоска крива, геометричне місце точок M, для яких виконується співвідношення , де OA - діаметр кола, BC - півхорд цього кола, перпендикулярна OA. Свою назву верзьєра Аньєзі отримала на честь італійського математика Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Рівняння

O = (0,0), A = (0, a)

У прямокутній системі координат:

Координати точки M, що лежить на верзьєрі – це x = BM, y = OB. OA = a і за визначенням будуємо пропорцію

Звідси

З іншого боку BC може бути знайдений з рівняння кола:

Нам відомий y = OB, значить виражаємо:

Прирівнюємо обидва вирази для BC:

Зводимо в квадрат, переносимо та виносимо за дужки:

Виражаємо y (y=0 не підходить за визначенням):

де - кут між OA і OC.

Властивості:

1. Верзьєра – крива третього порядку.

Діаметр OA єдина вісь симетрії кривої.

Крива має один максимум - A(0; a) і дві точки перегину -

В околиці вершини A верзьєра наближається до кола діаметра OA. У точці A відбувається торкання і крива збігається з колом. Це показує величина радіусу кривизни у точці A: .

Площа під графіком S = a2. Вона обчислюється інтегруванням рівняння з усього.

Об'єм тіла обертання верзьєри навколо асимптоти (осі OX) .

Аньé зі Марія Гаетана(Agnesi Maria Gaetana), рід. 16.05.1718, Мілан - пом. 09.01.1799, там-таки. Італійський математик, професор університету у Болоньї (з 1750). Твір Аньези «Підстави аналізу для вживання італійського юнацтва» містить виклад аналітичної геометрії, зокрема там розглянута крива третього порядку, названа «локоном Аньези» (або верзієра), рівняння якої y=a3/(x2+a2).

Щоб побудувати цю лінію, треба намалювати коло радіусом a з центром у точці (0, a). Потім початку координат проводять прямі і відзначають дві точки. Точка А (x1, y1) - точка перетину прямої та кола, точка B (x2,2a) точка перетину прямої та верхньої горизонтальної дотичної до кола. Потім будується точка крива (x2, y1).

Англійський математик Джон Колсон взяв на себе працю перекладати "Початки аналізу" з італійської. Однак для нього, європейця XVIII століття, було нелегко сприйняти, що автор книги – жінка, і що для неї, для автора, крива може асоціюватись із зачіскою. В результаті в англомовній літературі крива отримала назву – witch of Agnesi. - щось із області польотів на лису гору.

3. Чудові лінії четвертого та вищих порядків

Лінією (кривою) четвертого порядку називають лінію, що визначається алгебраїчним рівняннямчетвертого ступеня щодо декартових прямокутних координат. Аналогічно визначаються лінії (криві) п'ятого, шостого та інших порядків.

Безліч ліній (кривих) четвертого порядку містять не десятки, а тисячі ліній приватного виду. Ще різноманітнішими є безліч ліній п'ятого і шостого порядку. Тут розглядаються окремі види ліній четвертого та вищих порядків, що мають цікаві властивості та практичні застосування.

Лемніската Бернуллі

Звернемося до кривої, що описується точкою М на площині так, що залишається незмінним твір відстаней цієї точки до двох певних точок F 1 і F 2 тієї ж площини. Така крива називається лемніскатою (лемніската по-грецьки означає «стрічкова»). Якщо довжина відрізка F 1 F 2 є, то відстані від середини Про відрізка F 1 F 2 до F1 і F2 рівні з/2 і добуток цих відстаней дорівнює - з 2 /4. Потребуем спочатку, щоб величина р постійного твору дорівнювала саме з 2/4; тоді

точка О лежатиме на лемніскаті, а сама лемніската матиме вигляд «вісімки, що лежить» (рис. 8). Якщо продовжити відрізок F 1 F 2 в обидві сторони до перетину з лемніскатою, то отримаємо дві точки А 1 і А 2 . Виразимо відстань між А 1 А 2 = х через відому відстань з:

Фокуси лемніскати - F1 (− c; 0) та F2 (c; 0). Візьмемо довільну точку M(x; y). Добуток відстаней від фокусів до точки M є

І за визначенням воно дорівнює c2:

Зводимо в квадрат обидві частини рівності:

Розкриваємо дужки у лівій частині:

Розкриваємо дужки та згортаємо новий квадрат суми:

Виносимо загальний множник та переносимо:

В даному випадку a - радіус кола, що описує лемніскату. Провівши нескладні перетворення, можна отримати явне рівняння:

Зводимо в квадрат і розкриваємо дужки:

Приводимо до вигляду

Це квадратне рівняннящодо y". Вирішивши його, отримаємо

Взявши корінь і відкинувши варіант з негативним другим доданком, отримаємо:

де позитивний варіант визначає верхню половину лемніскати, негативний – нижню.

Якщо величину постійного твору р взяти не дорівнює 2/4, то лемніската змінить свій вигляд. І при р менше з 2/4, лемніскату складається з двох овалів, кожен з яких містить точки F 1 і F 2 відповідно (рис. 9).

Т.ч. задаючи різні умови для р і з 2/4 отримуватимемо лемніскати різного виду (рис. 10).

Рис. 10

Візьмемо тепер на площині будь-яку кількість точок. F 1 , F 2 ,…, F n і змусимо точку М рухатись так, щоб для неї залишалося незмінним добуток відстаней до кожної з взятих точок. Отримаємо Криву, форма якої залежатиме від того, як розташовані точки F 1 , F 2 ,…, F n один щодо одного і яка величина постійного твору. Крива ця називається лемніскатою з n фокусами.

Вище ми розглядали лемніскати із двома фокусами. Беручи різне число фокусів, розташовуючи їх по-різному і призначаючи ту чи іншу величину добутку відстаней, можна отримувати лемніскати найвигадливіших обрисів. Вестимемо вістря олівця з деякої точки А, не відриваючи від паперу, так, щоб воно в кінці повернулося у вихідну точку А. Тоді воно опише деяку криву; ми вимагаємо тільки, щоб ця крива ніде не перетинала

саме себе. Очевидно, що таким шляхом можуть вийти криві, що мають, наприклад, контури людської голови або птиці (рис. 11). Виявляється, що, маючи таку довільну криву, можна так підібрати число і розташування фокусів

F 1 , F 2 ,..., F n

та призначити таку величину для постійного твору відстаней

МF 1 МF 2 … МF n = p

що відповідна лемніската на око не відрізнятиметься від цієї кривої. Іншими словами, можливі відхилення точки М, що описує лемніскату, від намальованої кривої - не перевершуватимуть ширину олівцевого штриха (олівець можна заздалегідь відточити як завгодно так, що штрих буде дуже вузьким). Цей чудовий факт, що говорить про надзвичайну різноманітність н багатстві форм лемніскат з багатьма фокусами, доводиться абсолютно строго, але дуже складно, за допомогою вищої математики.

Равлик Паскаля

Геометричне місце точок М і M", розташованих на прямих пучках (центр якого лежить на колі радіуса R) на відстані а по обидва боки від точки Р перетину прямих з колом; т. о., PM = PM" = а. рівняння у прямокутних координатах: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2 - а 2(х 2 + y 2) = 0, у полярних координатах: r = 2 R cos j + а. При а = 2Rпетля стягується в крапку, у цьому випадку равлик Паскаля перетворюється на кардіоїду. Назва на ім'я французького вченого Б. Паскаля (1588-1651), що вперше вивчав її.

Циклоїдальні криві

Уявімо, що деяка крива котиться без ковзання по іншій кривій; якась точка, незмінно пов'язана з першою кривою, описуватиме при цьому нову криву. Так можна уявити собі еліпс, що котиться по іншому еліпсу, і досліджувати лінію, якою буде переміщатися його центр, або визначити траєкторію фокусу параболи, що котиться прямою, і т.д.

Серед кривих, утворених зазначеним способом, виділяються криві, що є траєкторіями точки, незмінно пов'язаної скругом, який котиться без ковзання по іншому колу. Отримувані при цьому лінії називаються циклоїдальними.

При утворенні циклоїдальних кривих точка, що викреслює, відстоять від центру виробляючого (рухомого) кола на певній відстані. У окремому випадку вона знаходиться на колі кола, що виробляє. При цьому умови одержувані криві поділяються на епіциклоїди та гіпоциклоїди залежно від того, чи розташовується коло із зовнішньої або з внутрішньої сторони нерухомого кола.

До кривих алгебри відносяться такі відомі криві, як кардіоїда, астроіда, розглянемо ці криві.

Кардіоїда

1. Рівняння. Кардіоїду можна визначити як траєкторію точки, що лежить на колі кола радіуса r, який котиться по колу нерухомого кола з таким самим радіусом. Вона буде таким чином епіциклоїд з модулем m, рівним 1.

Ця обставина дозволяє відразу записати параметричні рівняння кардіоїди, замінюючи в раніше наведених параметричних рівняннях епіциклоїд модуль m одиницею. Будемо мати:

(1)

Щоб отримати полярне рівняння кардіоїди, зручно прийняти за полюс точку А (рис. 13), а полярну вісь направити по осі абсцис. Оскільки чотирикутник AOO 1 M буде рівнобедреною трапецією, то полярний кут j точки М виявиться рівним кутуповороту кола, тобто. параметром t. Враховуючи цю обставину, замінимо в другому рівнянні системи (1) через r sin t. Зменшуючи отриману таким чином рівність на sin t, отримаємо полярне рівняння кардіоїди

З вигляду цього рівняння

можна зробити висновок, що кардіоїда є одним з равликів Паскаля. Вона може бути визначена, отже, як конхоїда кола.

З цього рівняння випливає, що кардіоїда є кривою алгебри 4-го порядку.

2. Властивості. Насамперед, оскільки кардіоїда є епіциклоїдою з m=1, на неї можна перенести всі властивості розглянутих нами у попередньому параграфі епіциклоїд.

Ось ці властивості та характеристики.

Стосовна у довільній точці кардіоїди проходить через точку кола виробляючого кола, діаметрально протилежну точці торкання кіл, а нормаль – через точку їх торкання.

Кут m, що складається дотичної до кардіоїди з радіусом-вектором точки дотику, дорівнює половинікута, що утворюється цим радіусом-вектором з полярною віссю. Дійсно

З цього співвідношення безпосередньо випливає, що кут, що складається дотичної до кардіоїди з віссю абсцис, дорівнює (як зовнішній куттрикутника AMN Мал. 14). Маючи в своєму розпорядженні формулою можна довести, що дотичні до кардіоїди, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.

Справді, оскільки

Рис. 14

Зауважимо ще, що геометричне місце точок перетину цих дотичних є коло Дійсно, рівняння першої дотичної на підставі рівнянь (1)

А другий дотичній Виключаючи з цих рівнянь параметр, отримаємо рівняння зазначеного кола.

Радіус кривизни у довільній точці кардіоїди визначиться за формулою

Можна також показати, що радіус кривизни дорівнює 2/3 полярної нормалі N у заданій точці.

Дійсно, звідки на підставі (4) отримуємо Співвідношення це може бути використане для побудови кривизни центру кардіоїди.

Еволюта кардіоїди, згідно з загальною властивістю еволют епіциклоїд, буде також кардіоїдою, подібною до даної, з коефіцієнтом подібності, рівним 1/3, і поверненою щодо даної на кут 180°.

Довжина дуги кардіоїди від точки А до довільної точки М визначиться за формулою

Якщо довжину дуги відраховувати від точки А 1 діаметрально протилежній точці А, то формула для визначення довжини дуги може бути записана у вигляді

(6)

Натуральне рівняння кардіоїди вийде, якщо з рівностей (4) та (6) виключити параметр. Воно матиме вигляд

(7)

Площа, обмежена кардіоїдою, визначиться за формулою

і, як видно, дорівнює ушестеренной площі кола, що виробляє.

Довжина всієї кардіоїди визначиться за формулою

і, як видно, дорівнює восьми діаметрам кола, що виробляє. Обсяг тіла, отриманого від обертання кардіоїди навколо її осі, дорівнює

Поверхня тіла, отриманого від обертання кардіоїди навколо її осі, дорівнює

Ми бачили, що кардіоїда органічно пов'язана з коло. Вона є конхоїдою кола та епіциклоїдою. Вона має з колом та інший характер спорідненості - кардіоїда є подерою кола щодо точки, що належить цьому колу.

Дійсно, нехай ВМ є перпендикуляр, опущений на дотику до кола з радіусом, рівним 2r, проведену в точці N.

Оскільки ОМ = OB + ВМ, або r == 2r cos j + 2r, то геометричним місцем точок М буде кардіоїд з рівнянням r = 2r (1 + cos j)

Зауважимо, що кардіоїда відноситься також до сімейства синусоїдальних спіралей, і окремі властивості її повторюють загальні властивості цих кривих. З цих властивостей випливає, зокрема, що інверсія кардіоїди щодо точки повернення дає параболу.

Астроїда

1. Властивості.Астроіда є окремим випадком гіпоциклоїд, а саме, гіпоциклоїдою з модулем m, рівним 1/4. Вона являє собою, отже, траєкторію точки, що лежить на колі кола радіуса r, який котиться по внутрішній стороні іншого, нерухомого кола, радіус R якого вчетверо більший.

Параметричні рівняння астроіди можна отримати, вважаючи рівняння гіпоциклоїди, m=1/4. Ось ці рівняння:

де t, як і раніше, кут повороту кола, що виробляє (рис. 16)

Виключаючи із рівнянь (1) параметр t, отримаємо:

З рівняння (2) випливає, що астроіда є кривою алгебри 6-го порядку.

Параметричні рівняння (1) астроїди можна привести до вигляду

(3)

Виключаючи з цих рівнянь параметр t, отримаємо часто вживаний вид рівняння астроіди

(4)

Вважаючи в раніше виведених загальних співвідношеннях для циклоїдальних кривих модуль

m = -1/4, отримаємо відповідні співвідношення для астроіди:

) радіус кривизни у довільній точці астроїди визначається за формулою

(5)

) Довжина дуги астроїди від точки А до довільної точки M(t) визначиться за формулою

довжина однієї гілки дорівнює а довжина всієї кривої 6R;

) для отримання натурального рівняння астроїди зауважимо попередньо, що якщо початком відліку довжини дуги вважати не точку А, на яку t = 0, а точку, на яку t = p, то довжина дуги визначиться формулою

виключаючи параметр t із рівнянь (5) та (6), отримаємо натуральне рівняння астроїди

) еволюту астроіди є також астроїда, подібна до даної, з коефіцієнтом подібності, рівним 2, повернена щодо даної на кут p/4 (рис. 16)

) площа, обмежена всією астроідою, дорівнює об'єму тіла, отриманого від обертання астроїди, дорівнює 32/105p R 3

поверхня тіла, утвореного обертанням астроїди, дорівнює

Звернемося до розгляду деяких приватних властивостей астроіди.

Астроіда є огинає відрізка постійної довжини, кінці. якого ковзають по двох взаємно перпендикулярних прямих.

Приймаємо ці прямі за осі координат і, позначаючи кут нахилу відрізка ковзного ND=R через a (рис. 4), матимемо рівняння прямої ND у вигляді

Диференціюючи це рівняння за параметром a, отримаємо:

Фактично переміщення відрізка ND можна здійснити з допомогою про карданових кіл. Один з цих кіл з радіусом R нерухомий, а інший, з радіусом r, вдвічі меншим, котиться по внутрішній стороні нерухомого кола. Будь-які дві діаметрально протилежні точки N і D кола, що котиться, будуть переміщатися по двох взаємно перпендикулярних діаметрах Ох і Оу нерухомого кола. Ясно, що обгинає діаметра кола, що котиться, і буде астроїда.

Рис. 17

Рис. 18

Розглянутий спосіб освіти астроіди можна тлумачити так. Прямокутник ODCN, дві сторони якого лежать на двох взаємно перпендикулярних прямих, деформується так, що його діагональ зберігає довжину, рівну R, що обгинає діагоналі і буде астроідою. Так як при цьому перпендикуляр, опущений з вершини на діагональ DN, служить нормаллю до огинає, то астроіда являє собою геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з вершини З прямокутника на його діагональ.

За цих рівнянь виражають розглянуту раніше пряму астроіду.

. Деякі трансцендентні лінії

Трансцендентними називають лінії, рівняння яких у прямокутних декартових координатах є алгебраїчними. Найпростішими прикладами трансцендентних ліній можуть бути графіка функцій, y=, y= та інших тригонометричних функцій. Розглянемо деякі інші трансцендентні лінії.

Спіраль Архімеда

Уявімо нескінченно довгу секундну стрілку, за якою, починаючи від центру циферблата, невтомно біжить маленький жучок із постійною швидкістю v см/с. Через хвилину жучок буде на відстані 60v см від центру, через дві – 120v і т.д. Взагалі, через t секунд після початку пробігу відстань жучка від центру дорівнює vt см. За цей час стрілка повернеться на кут, що містить 6 t° (адже за одну секунду вона встигає повернутися на кут 360°:60 = 6°). Тому положення жучка на площині циферблату через будь-яке число t секунд після початку руху так. Потрібно відкласти від початкового положення стрілки в напрямку її обертання кут а, що містить 6t°, і відміряти від центру вздовж нового положення стрілки відстань r = vt див.

Рис. 21.

Очевидно, що співвідношення між кутом повороту a стрілки (у градусах) та пройденою відстанню r (у сантиметрах) буде таке:

Інакше кажучи, r прямо пропорційно a, причому коефіцієнт пропорційності k = v/6.

Приладна до нашого бігуна маленьку, але невичерпну баночку з чорною фарбою і припустимо, що фарба, витікаючи через крихітний отвір, залишає на папері слід від жучка, що відноситься разом зі стрілкою. Тоді на папері поступово вимальовуватиметься крива, вперше вивчена Архімедом (287 – 212 до н.е.). На його честь вона називається спіраллю Архімеда. Потрібно тільки сказати, що Архімед не мав мови ні про секундну стрілку (тоді і годинника з пружиною не було: їх винайшли тільки в XVII ст.), Ні про жучка. Ми запровадили їх тут для наочності.

Рис. 22 Мал. 23.

Спіраль Архімеда складається з багатьох витків. Вона починається в центрі циферблату, і все більше і більше віддаляється від нього в міру того, як зростає кількість обертів. На рис. 22 зображені перший виток та частина другого.

Ви, напевно, чули, що за допомогою циркуля та лінійки неможливо розділити на три рівні частини навмання взятий кут (у окремих випадках, коли кут містить, наприклад, 180°, 135° або 90°, це завдання легко вирішується). А ось якщо користуватися акуратно накресленою архімедовою спіраллю, то будь-який кут можна розділити на будь-яке число рівних частин.

Розділимо, наприклад, кут АОВ на три рівні частини (рис. 23). Якщо вважати, що стрілка повернулася саме на цей кут, то жучок буде знаходитися в точці N на стороні кута. Але коли кут повороту був утричі меншим, то і жучок був утричі ближче до центру О. Щоб знайти це його положення, розділимо спочатку відрізок ON на три рівні частини. Це можна зробити за допомогою циркуля та лінійки. Отримаємо відрізок ON 1 , довжина якого втричі менша, ніж ON. Щоб повернути жучка на спіраль, потрібно зробити засічення цією кривою радіусом ON 1 (знову циркуль!). Отримаємо точку М. Кут АОМ і буде втричі меншим за куток AON.

Циклоїда

Прикладемо до нижнього краю класної дошки лінійку і котитимемо по ній обруч або коло (картонний або дерев'яний), притискаючи його до лінійки та дошки. Якщо прикріпити до обруча або колу шматок крейди (у точці дотику його до лінійки), то крейда викреслюватиме криву (рис. 24), звану циклоїдою (що по-грецьки означає «кругоподібна»). Одному обороту обруча відповідає одна «арка» циклоїди MM"M""N", якщо обруч котитиметься далі, то виходитимуть ще й ще арки тієї ж циклоїди.

Рис. 24.

Щоб побудувати на папері приблизно одну арку циклоїди, описану при коченні обруча діаметром, рівним, наприклад, трьом сантиметрам, відкладемо на прямий відрізок, що дорівнює 3х3,14 = 9,42 см.

Отримаємо відрізок, довжина якого дорівнює довжині обода обруча, тобто. довжині кола діаметром в три сантиметри. Розділимо далі цей відрізок на деяку кількість рівних частин, наприклад на 6, і для кожної точки поділу зобразимо наш обруч у тому його положенні, коли він спирається саме на цю точку (рис. 24), занумерувавши ці положення цифрами:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Щоб перейти з одного положення до сусіднього, обруч повинен повернутися на одну шосту повного обороту ^оскільки відстань між сусідніми точками розподілу дорівнює шостій частині кола). Тому якщо в положенні 0 крейда буде перебувати в точці М 0 , то в положенні 1 він буде лежати в точці M 1 - на одному шостому колі від точки дотику, у положенні 2 - у точці М 2 - на дві шостих від точки дотику і т .д. Щоб отримати точки M 1 , M 2 , М 3 і т.д., потрібно лише робити засічки відповідного кола, починаючи від точки дотику, радіусом, рівним

Рис. 25.

5 см, причому в положенні 1 потрібна одна засічка, в положенні 2 - дві засічки, виконані одна за одною, в положенні 3 - три засічки і т.д. Тепер для креслення циклоїди залишається з'єднати точки

М 0, M 1, М 2, М 3, M 4, M 5, M 6

плавною кривою (на око).

Крива найкоротшого спуску

Серед багатьох чудових властивостей циклоїди відзначимо одну, через яку вона заслужила мудрену назву, що голосно звучить: «брахистохрона». Ця назва складена з двох грецьких слів, що означають найкоротший і час.

Розглянемо таке питання: яку форму слід надати добре відшліфованому металевому жолобу, що з'єднує дві задані точкиА та В (рис. 26.), щоб полірована металева кулька скочувалась по цьому жолобу з точки А в точку В у найкоротший час? На перший погляд здається, що потрібно зупинитися на прямолінійному жолобі, тому що тільки вздовж нього кулька пройде найкоротший шлях від А до В. Проте йдеться не про найкоротший шлях, а про найкоротший час; час залежить не тільки від довжини шляху, а й від швидкості, з якої біжить кулька. Якщо жолоб прогнути вниз, то його частина, починаючи від точки А, крутіше опускатиметься вниз, ніж у випадку прямолінійного жолоба, і кулька, падаючи по ньому, придбає швидкість більшу, ніж на ділянці такої ж довжини прямолінійного жолоба. Але якщо зробити початкову частинудуже крутою і порівняно довгою, тоді частина, що примикає до точки В, буде дуже пологою і також порівняно довгою; першу частину кулька пройде швидко, другу дуже повільно і кулька може запізнитися з приходом у точку В. Отже, жолобу, мабуть, потрібно надавати увігнуту форму, але робити вигин не надто значним

Рис. 26.

Рис. 27.

Італійський фізик та астроном Галілей (1564-1642) думав, що жолоб найкоротшого часу треба вигинати по дузі кола. Але швейцарські математики брати Бернуллі близько трьохсот років тому довели точним розрахунком, що це не так і що жолоб треба вигинати по дузі циклоїди (перекинутої вниз, рис. 27). З того часу циклоїда і заслужила прізвисько брахистохрони, а докази Бернуллі послужили початком нової галузі математики - варіаційного обчислення. Останнє займається відшуканням виду кривих, для яких та чи інша цікава для нас величина досягає свого найменшого (а в деяких питаннях - найбільшого) значення.

Логарифмічна спіраль

Криву цю можна було б назвати на ім'я Декарта, тому що вперше про неї йдеться в одному з його листів (1638). Проте докладне вивчення її властивостей було проведено лише через півстоліття Якобом Бернуллі. На сучасних йому математиків ці характеристики справили сильне враження. На кам'яній плиті, поставленій на могилі цього знаменитого математика, зображено витки логарифмічної спіралі.

Архімедову спіраль описує точка, що рухається вздовж променя («нескінченної стрілки») так, що відстань від початку променя зростає пропорційно до кута його повороту: r = ka. Логарифмічна спіраль вийде, якщо вимагати, щоб не сама відстань, а його логарифм зростав прямо пропорційно до кута повороту. Зазвичай рівняння логарифмічної спіралі записують, користуючись підставою системи логарифмів неперовим числом е (п. 25). Такий логарифм числа r називають натуральним логарифмом та позначають In r. Отже, рівняння логарифмічної спіралі записується як ln r = ka

Звичайно, кут повороту можна вимірювати як і в градусах. Але математики воліють виміряти їх у радіанах, тобто. приймати за міру кута відношення довжини дуги кола між сторонами центрального кута до радіуса цього кола. Тоді ловорот стрілки на прямий кут вимірюватиметься числом л 1,57, поворот на величину розгорнутого кута - числом л 3,14, а повний поворот, що вимірюється в градусах числом 360, в радіанах буде вимірюватися числом 2 л 6,28.

Рис. 28.

З багатьох властивостей логарифмічної спіралі, відзначимо одне: будь-який промінь, що виходить із початку, перетинає будь-який виток спіралі під тим самим кутом. Величина цього кута залежить від числа k у рівнянні спіралі. При цьому під кутом між променем та спіраллю розуміється кут між цим променем і дотичною до спіралі, проведеної у точці перетину (Рис. 28).

Висновок

У ході розгляду кривих третього та четвертого порядків

ми познайомилися з деякими справді чудовими кривими, що населяють дивовижний світаналітичної геометрії, які зустрічаються у нашому житті набагато частіше, ніж здається. Розглянули практичне застосування в житті людини, значення їх чудових властивостей у різних механізмах, використовуваних людиною у житті. У цій роботі зібрали матеріал з ухилом на практичну побудову кривих.

Отже, було досягнуто поставленої мети і вирішено зазначені відповідно до мети завдання.

Література

лінія порядок трансцендентний спіраль

1. Маркушевич А.І. Чудові криві. - М.:.Краснопролетарська, 1951. -23 с.; 1978., - 48 стор з Ілл.

Історія математики з найдавніших часів до початку XIXстоліття / За ред. А.П. Юшкевича. - М: Наука, 1970, т. 1. - 352 с.; 1970, т. 2. – 300 с.; 1972, т. 3 – 496 с.

Никифоровський В.А., Фрейман Л.С. Народження нової математики. - М: Наука, 1976. - 198 с.

Савелов А.А. Плоскі криві. - М: Фізматгіз, 1960 - 294 с.

Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія. - М: Наука, 1971. - 232 с.

Тишкевич Р.І., Феденко О.С. Лінійна алгебра та аналітична геометрія. - 2-ге вид. - Мінськ: Віш. Шк., 1976.544 с.

Крива або лінія - геометричне поняття, що визначається в різних розділах по-різному.

КРИВА (лінія), слід, залишений точкою, що рухається, або тілом. Зазвичай криву представляють лише як лінію, що плавно згинається, на зразок параболи або кола. Але математичне поняття кривої охоплює і пряму, і фігури, складені з прямих відрізків, наприклад, трикутник або квадрат.

Криві можна розділити на плоскі та просторові. Плоска крива, наприклад парабола або пряма, утворюється при перетині двох площин або площини і тіла і тому повністю лежить в одній площині. Просторову криву, наприклад, гвинтову лінію, що має форму спіральної пружини, не можна отримати як перетин будь-якої поверхні або тіла з площиною, і вона не лежить в одній площині. Криві можна також поділити на замкнені та відкриті. Замкнена крива, наприклад квадрат або коло, немає кінців, тобто. точка, що рухається, породжує таку криву, періодично повторює свій шлях.

Крива є геометричним місцем, або безліч, точок, що задовольняють деякої математичної умови або рівняння.

Наприклад, коло – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від цієї точки. Криві, що визначаються рівняннями алгебри, називаються кривими алгебри.

Наприклад, рівняння прямої y = mx + b, де m – кутовий коефіцієнт, а b - відрізок, що відсікається на осі y, - алгебраїчне.

Криві, рівняння яких містять трансцендентні функції, наприклад, логарифми або тригонометричні функції, Називаються трансцендентними кривими.

Наприклад, y = log x та y = tg x – рівняння трансцендентних кривих.

Форму кривої алгебри можна визначити за рівнем її рівняння, яка збігається з найвищим ступенем членів рівняння.

Якщо рівняння першого ступеня, наприклад, Ax + By + C = 0, то крива має форму прямої.

Якщо рівняння другого ступеня, наприклад,

Ax 2 + By + C = 0 чи Ax 2 + By 2 + C = 0, то крива квадратична, тобто. є одним з конічних перерізів; до таких кривих відносяться параболи, гіперболи, еліпси і кола.

Перерахуємо загальні форми рівнянь конічних перерізів:

x 2 + y 2 = r 2 - коло,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - еліпс,

y = ax 2 - парабола,

x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1 - гіпербола.

Криві, що відповідають рівнянням третьої, четвертої, п'ятої, шостої тощо. ступенів, називаються кривими третього, четвертого, п'ятого, шостого тощо. порядку. Як правило, чим вищий рівень рівняння, тим більше вигинів буде у відкритої кривої.

Багато складні криві отримали спеціальні назви.

Циклоідою називається плоска крива, що описується фіксованою точкою кола, що котиться по прямій, званої утворює циклоїди; Циклоїда складається з серії дуг, що повторюються.

Епіциклоїда – це плоска крива, що описується фіксованою точкою кола, що котиться по іншому нерухомому колу поза нею.

Гіпоциклоїдою називається плоска крива, що описується фіксованою точкою кола, що котиться зсередини по нерухомому колу.

Спіраллю називається плоска крива, яка виток за витком розкручується від нерухомої точки(або накручується на неї).

Математики займалися вивченням властивостей кривих з давнини, і назви багатьох незвичайних кривих пов'язані з іменами тих, хто вперше їх досліджував. Такі, наприклад, спіраль Архімеда, локон Аньезі, цисоїда Діоклеса, кохоїда Нікомеда та лемніскат Бернуллі.

В рамках елементарної геометрії поняття кривої не отримує чіткого формулювання і іноді визначається як «довжина без ширини» або як «кордон фігури». Фактично елементарної геометрії вивчення кривих зводиться до розгляду прикладів (, , , та ін.). Не маючи спільних методів, елементарна геометрія досить глибоко проникла у вивчення властивостей конкретних кривих (, деякіі також), застосовуючи у разі спеціальні прийоми.

Найчастіше крива визначається як безперервне відображення з відрізка :

При цьому криві можуть бути різними, навіть якщо їхзбігаються. Такі криві називаютьпараметризованими кривимиабо, якщо[ a , b ] = , шляхами.

Іноді крива визначається з точністю до , тобто з точністю до мінімального відношення еквівалентності такого, що параметричні криві

еквівалентні, якщо існує безперервна (іноді неубувна) hз відрізка [ a 1 ,b 1 ] на відрізок [ a 2 ,b 2], така що

Які визначаються цим ставленням називаються або просто кривими.

Аналітичні визначення

У курсах аналітичної геометрії доводиться, що серед ліній, що записуються в декартових прямокутних (або навіть у загальних афінних) координатах загальним рівняннямдругого ступеня

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(де хоча один із коефіцієнтів A, B, C відмінний від нуля) зустрічаються лише такі вісім типів ліній:

а) еліпс;

б) гіпербол;

в) парабола (невироджені криві другого порядку);

г) пара прямих, що перетинаються;

д) пара паралельних прямих;

е) пара збіглися прямих (одна пряма);

ж) одна точка (вироджені лінії другого порядку);

з) " лінія " , яка зовсім не містить точок.

Назад, будь-яка лінія кожного із зазначених восьми типів записується в декартових прямокутних координатах деяким рівнянням другого порядку. (У курсах аналітичної геометрії зазвичай говорять про дев'ять (а не про вісім) типи конічних перерізів, оскільки там розрізняють "уявний еліпс" і "пару уявних паралельних прямих", - геометрично ці "лінії" однакові, оскільки обидві не містять жодної точки, але аналітично вони записуються різними рівняннями.) Тому (вироджені та невироджені) конічні перерізиможна також визначити як лінії другого порядку.

Вкрива на площині визначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівнянняF ( x , y ) = 0 . При цьому на функціюF накладаються обмеження, які гарантують, що це рівняння має нескінченну множину несхожих рішень і

це безліч рішень не заповнює «шматка площини».

Алгебраїчні криві

Важливий клас кривих складають ті, для яких функціяF ( x , y ) євід двох змінних. У цьому випадку крива, яка визначається рівняннямF ( x , y ) = 0 , називається.

Алгебраїчні криві, що задаються рівнянням 1-го ступеня, є .

Рівняння 2-го ступеня, що має безліч рішень, визначає , тобто вироджені і невироджені.

Приклади кривих, що задаються рівняннями третього ступеня: , .

Приклади кривих 4-го ступеня: і .

Приклад кривої шостого ступеня: .

Приклад кривої, що визначається рівнянням парного ступеня: (багатофокусна).

Алгебраїчні криві, що визначаються рівняннями вищих ступенів, розглядаються у . У цьому велику стрункість набуває їх теорія, якщо розгляд ведеться на . У цьому випадку крива алгебри визначається рівнянням виду

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

де F- багаточлен трьох змінних точок.

Типи кривих

Плоска крива – крива, всі точки якої лежать в одній площині.

(Проста лінія або жорданова дуга, також контур) - безліч точок площини або простору, що перебувають у взаємно однозначній і взаємно безперервній відповідності до відрізків прямої.

Шлях - відрізка .

аналітичні криві, що не є алгебраїчними. Точніше - криві, які можна поставити через лінію рівня аналітичної функції (або, у багатовимірному випадку, системи функцій).

Синусоїда,

Циклоїду,

Спіраль Архімеда,

Трактриса,

Ланцюгова лінія,

Гіперболічна спіраль та ін.

Способи завдання кривих:

аналітичний – крива задана математичним рівнянням;

графічний – крива задана візуально на носії графічної інформації;

табличний – крива задана координатами послідовного низки точок.

параметричний (найбільш загальний спосіб задати рівняння кривої):

де - Гладкі функції параметраt, причому

(x") 2 + (y") 2 + (z") 2> 0 (умова регулярності).

Часто зручно використовувати інваріантний і компактний запис рівняння кривої за допомогою:

де у лівій частині стоїть точок кривої, а права визначає його залежність від деякого параметра t. Розкривши цей запис у координатах, ми отримуємо формулу (1).

Циклоїду.

Історія дослідження циклоїди пов'язана з іменами таких великих вчених, філософів, математиків та фізиків, як Арістотель, Птолемей, Галілей, Гюйгенс, Торрічеллі та ін.

Циклоїда(відκυκλοειδής - круглий) - , Яку можна визначити як траєкторію точки, що лежить на межі кола, що котиться без ковзання по прямій. Це коло називають породжувальним.

Одним із найдавніших способів утворення кривих є кінематичний спосіб, у якому крива виходить як траєкторія руху точки. Крива, яка виходить як траєкторія руху точки, закріпленої на колі, що котиться без ковзання по прямій, по колу або іншій кривій, називається циклоїдальною, що в перекладі з грецької мовиозначає кругоподібна, що нагадує про коло.

Розглянемо спочатку випадок, коли коло котиться прямою. Крива, яку описує точка, закріплена на колі, що котиться без ковзання по прямій лінії, називається циклоїдою.

Нехай коло радіуса R котиться прямою а. С - точка, закріплена на колі, в початковий момент часу, що знаходиться в положенні А (рис. 1). Відкладемо на прямий відрізок АВ, рівний довжині кола, тобто. АВ = 2 π R. Розділимо цей відрізок на 8 рівних частин точками А1, А2, ..., А8 = В.

Зрозуміло, що коли коло, котячись по прямій а, зробить оборот, тобто. повернеться на 360, вона займе положення (8), а точка З переміститься з положення А в положення В.

Якщо коло зробить половину повного обороту, тобто. повернеться на 180, вона займе положення (4), а точка З переміститься у верхнє положення С4.

Якщо коло повернеться на кут 45, то коло переміститься в положення (1), а точка переміститься в положення С1.

На малюнку 1 показані також інші точки циклоїди, відповідні кутам повороту кола, що залишилися, кратним 45.

З'єднуючи плавний кривою побудовані точки, отримаємо ділянку циклоїди, що відповідає одному повному обороту кола. При наступних оборотах виходитимуть ті самі ділянки, тобто. циклоїду складатиметься з періодично повторюваної ділянки, званої аркою циклоїди.

Звернімо увагу на положення щодо циклоїди (рис. 2). Якщо велосипедист їде мокрою дорогою, то краплі, що відірвалися від колеса, летітимуть по дотичній до циклоїди і за відсутності щитків можуть забризкати спину велосипедиста.

Першим, хто став вивчати циклоїду, був Галілео Галілей (1564 – 1642). Він же вигадав і її назву.

Властивості циклоїди:

Циклоїда має цілу низку чудових властивостей. Згадаймо деякі з них.

Властивість 1. (Крижана гора.) У 1696 році І.Бернуллі поставив завдання про знаходження кривої якнайшвидшого спуску, або, інакше кажучи, завдання про те, якою має бути форма крижаної гірки, щоб, скочуючи по ній, здійснити шлях з початкової точки А до кінцевої точки У найкоротший час (рис. 3, а). Шукану криву назвали " брахістохроною " , тобто. кривою найкоротшого часу.

Ясно, що найкоротшим шляхом точки A в точку B є відрізок AB. Однак за такого прямолінійному русішвидкість набирається повільно і витрачений на спуск час виявляється більшим (рис. 3, б).

Швидкість набирається тим швидше, чим крутіше спуск. Однак при крутому спуску подовжується шлях по кривій і тим самим збільшується час його проходження.

Серед математиків, які вирішували це завдання, були: Г.Лейбніц, І.Ньютон, Г.Лопіталь та Я.Бернуллі. Вони довели, що шуканою кривою є перевернена циклоїда (рис. 3, а). Методи, розвинені цими вченими під час вирішення завдання про брахистохроне, започаткували новий напрямок математики - варіаційного обчислення.

Властивість 2. (Годинник з маятником.) Годинник із звичайним маятником не може йти точно, оскільки період коливань маятника залежить від його амплітуди: чим більше амплітуда, тим більше період. Голландський вчений Християн Гюйгенс (1629 – 1695) поставив питання, за якою кривою повинна рухатися кулька на нитці маятника, щоб період його коливань не залежав від амплітуди. Зауважимо, що у звичайному маятнику кривою, якою рухається кулька, є коло (рис. 4).

Шуканою кривою виявилася перекинута циклоїда. Якщо, наприклад, у формі перевернутої циклоїди виготовити жолоб і пустити по ньому кульку, то період руху кульки під дією сили тяжіння не залежатиме від початкового її положення та від амплітуди (рис. 5). За цю властивість циклоїду називають також таутохрона – крива рівних часів.

Гюйгенс виготовив дві дерев'яні дощечки з краями у формі циклоїди, що обмежують рух нитки ліворуч і праворуч (рис. 6). При цьому сама кулька рухатиметься по перевернутій циклоїді і, таким чином, період її коливань не залежатиме від амплітуди.

З цієї властивості циклоїди, зокрема випливає, що незалежно від того, з якого місця крижаної гірки у формі перевернутої циклоїди ми почнемо спуск, на весь шлях до кінцевої точки ми витратимо один і той самий час.

Рівняння циклоїди

1.Рівняння циклоїди зручно записувати через α - кут повороту кола, виражений в радіанах, зауважимо, що α також дорівнює шляху, пройденому виробляє колом по прямій.

x=rα– r sin α

y=r – r cos α

2.Приймемо горизонтальну вісь координат в якості прямої, по якій котиться кола, що виробляє, радіуса r.

Циклоїда описується параметричними рівняннями

x = rt – r sin t,

y = r – r cos t.

Рівняння в:

Циклоїда може бути отримана як розв'язок диференціального рівняння:

З історії про циклоїд

Першим із вчених звернув увагу на циклоїдув, Але серйозне дослідження цієї кривої почалося тільки в.

Першим, хто став вивчати циклоїду, був Галілео Галілей (1564-1642) – знаменитий італійський астроном, фізик та просвітитель. Він же вигадав назву «циклоїда», що означає: «що нагадує про коло». Сам Галілей про циклоїд нічого не писав, але про його роботи в цьому напрямку згадують учні та послідовники Галілея: Вівіані, Торічеллі та інші. Торічеллі – відомий фізик, винахідник барометра – приділяв чимало часу та математики. У епоху Відродження був вузьких учених-специалистов. Талановита людина займалася і філософією, і фізикою, і математикою і всюди отримувала цікаві результати та робила великі відкриття. Трохи згодом італійців за циклоїду взялися французи, які назвали її «рулеттою» або «трохоїдою». В 1634 Роберваль - винахідник відомої системи ваг системи ваг - обчислив площу, обмежену аркою циклоїди і її основою. Змістовне дослідження циклоїди провів сучасник Галілея. Серед , тобто кривих, рівняння яких не може бути записане у вигляді x , y, циклоїда – перша з досліджуваних.

Писав про циклоїд:

Рулетта є лінією настільки звичайною, що після прямої і кола немає частіше зустрічається лінії; вона так часто викреслюється перед очима кожного, що треба дивуватися з того, як не розглянули її давні… бо це не що інше, як шлях, що описується в повітрі цвяхом колеса.

Нова крива швидко завоювала популярність і зазнала глибокого аналізу, в якому брали участь, , Ньютон,, брати Бернуллі та інші корифеї науки XVII-XVIII століть На циклоїді активно відточувалися методи того, що з'явилося в ті роки.. Той факт, що аналітичне дослідження циклоїди виявилося настільки ж успішним, як і аналіз кривих алгебри, справив велике враження і став важливим аргументом на користь «рівняння в правах» алгебраїчних і трансцендентних кривих. Епіциклоїда

Деякі види циклоїд

Епіциклоїда - траєкторія точки А, що лежить на колі діаметра D, яка котиться без ковзання по напрямному колу радіуса R (доторкання зовнішнє).

Побудова епіциклоїди виконується в наступній послідовності:

З центру 0 проводять допоміжну дугу радіусом, рівним 000=R+r;

З точок 01, 02, ...012, як із центрів, проводять кола радіуса r до перетину з допоміжними дугами в точках А1, А2, ... А12, які належать епіциклоїд.

Гіпоциклоїда

Гіпоциклоїда - траєкторія точки А, що лежить на колі діаметра D, яка котиться без ковзання по напрямному колу радіусу R (дотик внутрішнє).

Побудова гіпоциклоїди виконується в наступній послідовності:

Виробляє коло радіусу r і напрямне коло радіусу R проводять так, щоб вони торкалися в точці А;

Виробляє коло ділять на 12 рівних частин, одержують точки 1, 2, ... 12;

З центру 0 проводять допоміжну дугу радіусом, рівним 000=R-r;

Центральний кут a визначають за формулою a = 360r/R.

Ділять дугу напрямного кола, обмежену кутом a, на 12 рівних частин, одержують точки 11, 21, ...121;

З центру через 0 точки 11, 21, ...121 проводять прямі до перетину з допоміжною дугою в точках 01, 02, ...012;

З центру 0 проводять допоміжні дуги через точки поділу 1, 2, ... 12 виробляє кола;

З точок 01, 02, ...012, як із центрів, проводять кола радіусу r до перетину з допоміжними дугами в точках А1, А2, ... А12, які належать гіпоциклоїд.

Кардіоїда.

Кардіоїда ( καρδία - серце, Кардіоїда є окремим випадком Термін «кардіоїда» введений Кастіллоном у 1741 році.

Якщо взяти коло і як полюс точку на ній, то кардіоїду отримаємо тільки в тому випадку, якщо відкладати відрізки, рівні діаметру кола. При інших величинах відрізаних відрізків конхоїдами будуть подовжені або укорочені кардіоїди. Ці подовжені та укорочені кардіоїди називаються інакше равликами Паскаля.

Кардіоїда має різні застосування у техніці. У формі кардіоїди роблять ексцентрики, кулачки біля машин. Нею користуються іноді при кресленні зубчастих коліс. Крім того, вона застосовується в оптичній техніці.

Властивості кардіоїди

Кардіоїда -У М на рухомому колі описуватиме замкнуту траєкторію. Ця плоска крива називається кардіоїдою.

2) Кардіоїду можна отримати і іншим способом. Відзначимо на колі крапку Проі проведемо з неї промінь. Якщо від точки Аперетину цього променя з колом відкласти відрізок АМ,по довжині дорівнює діаметру кола, і промінь обертати навколо точки Про, то точка Мбуде рухатися кардіоїдом.

3) Кардіоїда може бути також представлена як крива, що стосується всіх кіл, що мають центри на даному колі і проходять через її фіксовану точку. Коли побудовано кілька кіл, кардіоїда виявляється побудованою як би сама собою.

4) Є ще настільки ж витончений, як несподіваний спосіб побачити кардіоїду. На малюнку можна побачити точкове джерело світла на колі. Після того як промені світла відіб'ються вперше від кола, вони йдуть по дотичній до кардіоїди. Уявіть собі тепер, що коло - це краї чашки, в одній точці її відображається яскрава лампочка. У чашку налита чорна кава, що дозволяє побачити яскраві відбиті промені. Кардіоїда в результаті виявляється променями світла.

Астроїда.

Астроїда (від грец. astron - зірка і eidos - вид), плоска крива, що описується точкою кола, що стосується зсередини нерухомого кола вчетверо більшого радіусу і котиться по ньому без ковзання. Належить до гіпоциклоїдів. Астроіда – алгебраїчна крива 6-го порядку.

Астроїда.

Довжина всієї астроіди дорівнює шести радіусам нерухомого кола, а площа, нею обмежена, - трьом восьмим нерухомого кола.

Відрізок дотичної до астроіди, укладений між двома взаємно перпендикулярними радіусами нерухомого кола, проведеними у вістря астроіди, дорівнює радіусунерухомого кола, незалежно від того, як було обрано точку.

Властивості астроіди

Є чотирикаспа .

Довжина дуги від точки з 0 до огинаючої

сімейства відрізків постійної довжини, кінці яких розташовані двох взаємно перпендикулярних прямих.

Астроіда є 6-го порядку.

Рівняння астроїди

Рівняння у декартових прямокутних координатах:| x | 2/3+ | y | 2/3 = R 2/3параметричне рівняння:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Спосіб побудови астроіди

Рисуємо дві взаємно перпендикулярні прямі та проводимо ряд відрізків завдовжкиR кінці яких лежать на цих прямих. На малюнку зображено 12 таких відрізків (включаючи відрізки взаємно перпендикулярних прямих). Що більше проведемо відрізків, то точніше отримаємо криву. Побудуємо тепер огинаючу всіх цих відрізків. Цією огинаючою буде астроіда.

Висновок

У роботі наведено приклади задач з різними видами кривих, що визначаються різними рівняннями або задовольняють деяку математичну умову. Зокрема циклоїдальні криві, способи їхнього завдання, різні способи побудови, властивості цих кривих.

Властивості циклоїдальних кривих дуже часто використовується в механіці зубчастих передачах, що істотно підвищує міцність деталей в механізмах.

- (Від грец. astron зірка і eidos вид) плоска крива, що описується точкою кола, яка стосується зсередини нерухомого кола вчетверо більшого радіусу і котиться по ньому без ковзання. Належить до гіпоциклоїдів. Астроіда алгебраїчна… Великий Енциклопедичний словник

Сущ., кіл у синонімів: 1 крива (56) Словник синонімів ASIS. В.М. Трішин. 2013 … Словник синонімів

- (від грец. ástron зірка і éidos вигляд), плоска крива, що описується точкою кола, яка стосується зсередини нерухомого кола вчетверо більшого радіусу і котиться по ньому без ковзання. Належить до гіпоциклоїдів. Астроіда … … Енциклопедичний словник

- (Астро ... гр. eidos вид) мат. плоска крива, що описується точкою кола, що котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого, нерухомого кола з радіусом, вчетверо більшим, ніж у першої; має вигляд чотирикінцевої зірки. Новий словник … Словник іноземних слів російської мови

Плоский алгебраїч. крива ti ro порядку, до раю описується точкою Мокружності радіусу r, що котиться по внутрішній стороні кола радіусу R=4r; гіпоциклоїд з модулем r=4. Рівняння в декартових прямокутних координат: параметрич. рівняння … Математична енциклопедія

Чому наш світ прекрасний? Тому що форми та кольори живої природи багато в чому наслідують загальні закономірності гармонії, що виявляються шляхом суворого математичного аналізу. Під час вивчення природи ми бачимо у ній дедалі більше естетичних ознак, які виявляються, зазвичай, не відразу, але після детального математичного аналізу.

Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії.

Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого. Принцип золотого перерізу - найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

При використанні законів геометрії природи в новій ситуації для вивчення курсів предметів, пов'язаних з геометричними побудовами, ми наново переосмислюємо вивчені геометричні закони, розвиваємо геометричну інтуїцію

У процесі виконання творчих завдань різного змісту ми познайомилися з можливими сферами застосування геометричних знань(художниками, архітекторами, дизайнерами тощо).

Графічні засоби відображення інформації використовуються у всіх сферах життя суспільства. Вони мають закінчений образ, характеризуються символічністю, компактністю, відносною легкістю прочитання. Саме ці якості графічних зображень зумовлюють їхнє розширене використання. У недалекому майбутньому більше половини інформації буде мати графічну форму пред'явлення. Розвиток теоретичних засаднакреслювальної геометрії, інженерної графіки та інших суміжних наук розширило способи отримання графічних зображень. Поруч із ручними методами формування графічних зображень, складання проектної документації дедалі ширше застосування знаходять комп'ютерні методи. Використання нових інформаційних технологій забезпечує створення, редагування, зберігання, тиражування графічних зображень за допомогою різноманітних програмних засобів.

I. Початкові відомості про кривих алгебри

1. Астроіда

Астроіда (від грец. >-зірка) - це крива, що описується точкою рухомого кола, що стосується зсередини нерухомого кола вчетверо більшого радіусу і котиться по ньому без ковзання. Площа, обмежена астроідою, становить /8 площі нерухомого кола, а повна довжина астроіди дорівнює ушестеренному радіусу цього кола.

Рівняння астроіди в декартових прямокутних координатах:

x + y = R.

Побудову графіка астроіди виконали > наступним чином:

:: Побудували графік функції у > 0 (радіус R = 5);

:: Збудували графік функції.

2. Кардіоїда

Кардіоїда (від грец. >-серце і eidos-вид)- плоска крива, що описується фіксованою точкою кола, яка ззовні стосується нерухомого кола того ж радіусу і котиться по ньому без ковзання. Крива отримала свою назву через схожість із серцем.

Побудову графіків кардіоїд також виконали >.

3. Нефроїда

Нефроїда (від грец. hephros-нирка, eidos-вид) - крива яку визначає фіксована точка кола, що котиться зовні більшою вдвічі кола. Вперше властивості нефроїди вивчив у 17 столітті саксонський дворянин Е. В. Чирнгауз. Нефроїда і двох кардіоїд.

4. Равлик Паскаля.

Равлик Паскаля - плоска крива алгебри. Названа на ім'я Етьєна Паскаля (батька Блеза Паскаля), який вперше розглянув її. Рівняння у полярних координатах. При l = 2a виходить кардіоїд.

ІІ. Застосування математичного моделювання.

1. Історія створення ниткової графіки

Нитяна графіка (або ізонити) – це графічне зображення, особливим способом виконане нитками на картоні або іншій твердій основі. Нитяну графіку також іноді називають ізографікою або вишивкою по картону.

Термін > (нитяна графіка або ізонити) використовується в Росії, в англомовних країнах використовується словосполучення – вишивка на папері, у німецькомовних країнах – термін.

Нитяна графіка, як вид декоративно-ужиткового мистецтва, вперше з'явилася в Англії в XVII столітті. Англійські ткачі вигадали особливий спосіб переплетення ниток. Вони забивали в дощечки цвяхи і певною послідовністю натягували на них нитки. В результаті виходили ажурні мереживні вироби, які використовувалися для прикраси житла. (Виникла версія, що ці роботи були свого роду ескізами для візерунків на тканині). Сучасні витратні матеріали дають змогу отримувати дуже ефектні вироби.

Поряд з оригінальною технікою виконання ниткової графіки існує інший напрямок ниткового дизайну - вишивка на картоні (ізонити) тими ж прийомами (прийом заповнення кута і кола).

Інтерес до ниткової графіки то з'являвся, то зникав. Один із піків популярності був наприкінці ХIХ століття. Видавалися книги з рукоділля, в яких описувався незвичайний спосіб вишивки на папері, простий та легкий, доступний дітям. У роботі використовувалися перфоровані карти ( готові шаблони) та прийом заповнення кута, стібки >, > (для вишивання кривих). Використовуючи мінімум коштів, будь-яка людина (а головне діти) змогла б виготовити химерні сувеніри до свят.

Нині цим мистецтвом займаються у багатьох країнах світу.

У нашій країні інформації з ізоніті є в невеликій кількості, в основному ознайомлювального характеру: окремі публікації в журналах, У 1995 році вийшла книга мінського професора Г. А. Браницького і книга Нагібін М. І. з невеликим розділом про ізоніті.

Проаналізувавши доступну інформацію, вдалося дізнатися, що з цього виду рукоділля видається безліч книг у вигляді покрокових інструкцій та альбомів ідей, у яких скрізь використовується лише репродуктивний метод роботи.

Гідність ізоніті в тому, що виконується вона швидко і придумати багато цікавих візерунків. Цей вид творчості розвиває уяву, окомір, дрібну моторику пальців, художні здібності та естетичний смак. У техніці нитяної графіки можна виготовити не тільки декоративне панно, але й листівки, сувенірні обкладинки, закладки для книг.

А напрямків у ізоніті (ниткової графіки або ниткового дизайну) може бути кілька:

1) репродуктивний спосіб: робота за шаблоном, покрокова інструкція, роздача готових схем та наборів вишивання

2) частково-пошуковий (проектний): навчання розрахунку на картоні (тобто створення власних шедеврів), пошук своїх прийомів та комбінацій, "гра" з фоном, нитками - з матеріалом виконання

3) комбінований - коли починається все з "азбуки", працюємо з готовими схемами, але змінюємо вигляд матеріалу (колір) і доходимо до "шедевра".

2. Основні прийоми ниткової графіки

Нитяна графіка відома під іншими назвами: ізонити (тобто зображення ниткою), графічна вишивка. Для освоєння техніки достатньо знати, як заповнюються кут, коло та дуга.

Прийом 1. Наповнення кута.

На вивороті картону накреслимо кут, розділимо кожну сторону на рівну кількість частин. Проколем крапки шпилькою або тонким шилом, втягуємо нитку в голку і заповнимо за схемою.

Прийом 2. Заповнення кола.

Накреслимо циркулем коло. Поділимо її на 12 рівних частин та заповнимо за схемою.

Прийом 3. Наповнення дуги.

Накреслимо дугу, розділимо її на рівні частини та зробимо проколи у точках розподілу. Надягаємо нитку в голку і заповнимо за схемою

ІІІ. Дослідницька робота.

Побудови у програмі >.

Завдання 1. Розподіл відрізка на n рівних частин.

Рішення 1. Поділ на 2, 4, 8, 16 і т. д. частин виконували > шляхом побудови середин відрізка.

Рішення 2. Розподіл відрізка на довільну кількість частин ми виконали також > із застосуванням теореми Фалеса.

Завдання 2. Розподіл кола на 6, 12, 24 частини.

Рішення 1. Ми шукали різні способи поділу кола на частини. У програмі > ми креслили коло, довільно розставляли точки, вимірювали отримані кути, та був > рухали точки по колу до отримання потрібної величини. Це була монотонна та нецікава робота. Похибка першого розподілу на 12 частин становила + 0,15 див у довжині хорд. Ми стали аналізувати ситуацію та шукати оптимальні способи вирішення поставлених завдань. У результаті знайшли кілька рішень поділу кола на 6, 12, 24 елементів.

Рішення 2. На колі відзначили 6 точок, виміряли всі кути, вирівняли точки так, щоб кожен кут дорівнював 60 [о]. Потім за допомогою програми провели бісектриси кожного кута. Вийшло розподіл на 12 частин. А для розподілу на 24 частини провели ще раз бісектриси отриманих кутів. Похибка такої побудови була рівною + 0,01 градуса.

Рішення 3. За допомогою програми побудували 3 кола однакового радіусу (застосування копіювання), поєднали їх, як показано на малюнку. Відзначили точки перетину кіл. Виміряли кути, що виявилися, вони виявилися рівними по 60 [о]. Далі побудували бісектриси кутів для розподілу на 12 та 24 частини. Похибка такого рішення дорівнює нулю.

Завдання 3. Розподіл кола на 9, 18, 36 частин.

Знайшовши оптимальний спосіб вирішення попередньої задачі, ми аналогічно стали шукати способи розподілу кола на 9, 18 та 36 частин. Поділ на 18 і 36 частин можна виконати тільки після побудови 9 точок, застосувавши побудову бісектрис.

Рішення. 360 [о]: 9 = 40 [о]. Ми розділили півколо на 4 дуги приблизно по 40 [о] і дугу в 20 [о]. За допомогою програми виконали всі необхідні виміри кутів, рухаючи точки. Далі виділили побудовані точки і за допомогою команди > відбили точки на 180 градусів щодо центру кола на друге півколо. Похибка такої побудови склала + 0,04 градуси.

Задача 4. Побудова кривих алгебри

Астроїда

Рішення 1. Астроіда будується на координатній площині за таким алгоритмом:

:: Потрібно з'єднати точки осі ординат з точками осі абсцис так, щоб у сумі цифри поділів давали 10 (наприклад:1 та 9, 2 та 8, 3 та 7 тощо).

:: З'єднуємо точки у такій самій послідовності в інших чвертях координатної площини.

Рішення 2. Накреслили коло, збудували перпендикулярні діаметри, розділили кожен радіус на парну кількість частин. Поєднали точки відрізками за попереднім алгоритмом.

Рішення 3. Освоївши оптимальний прийом розподілу кола на 6 частин, ми виконали побудову 6-зіркової астроіди.

Рішення 4. Побудову 8-відвідної астроіди виконали з побудовою бісектрис прямих кутів.

Кардіоїда

Рішення. Для побудови кардіоїди основою буде коло. Кардіоїду побудували за таким планом:

:: накреслили коло та поділили його на 36 частин (по 10 градусів);

:: пронумерували зовнішні точки від 1 до 36 проти годинникової стрілки;

:: внутрішні точки пронумерували у відповідність до схеми 1;

:: з'єднали крапки з однаковими внутрішніми та зовнішніми номерами;

:: огинає і буде кардіоїда.

Схема 1 Схема 2

IV. Наша творчість.

Освоївши основні прийоми конструювання та моделювання >, ми спробували себе реалізувати в ролі дизайнерів та художників. Нами розроблені та втілені у практику наступні роботи:

Висновок, висновки

>, - зауважив 2500 років тому Аристотель. Наш сучасник Сухомлинський вважав, що >. А математика – чудовий предмет для подиву.

Поглиблено вивчивши доступний матеріал, ми познайомилися з новим методом конструювання кривих – математичним вишиванням, використовуючи знайомі прийоми побудови геометричних фігур(Побудова кута, розподіл відрізка на рівні частини, з'єднання точок у певній послідовності, розподіл кола на рівні частини в програмі >). Ми знайшли дивовижну схожість математичного вишивання з давно відомим видом декоративно-ужиткового мистецтва - ізониттю.

В Інтернеті, спеціальній літературі багато фотографій із вишивкою ізониттю, але до них не додаються схеми. Ми дійшли висновку, що математичне вишивання – це творчий процес. Знаючи основи математичного моделювання, викладені в нашій роботі, застосовуючи творче мислення, логіку, терпіння, можна виготовляти індивідуальні прикладного мистецтва.

Математичне вишивання зацікавило не лише нас, а й багатьох учнів школи (як дівчаток, і хлопчиків). Ми вважаємо, що сучасні інформаційні технологіїдозволять поєднати воєдино математику та мистецтво.

Лінією (кривою) четвертого порядку називають лінію, що визначається алгебраїчним рівнянням четвертого ступеня щодо декартових прямокутних координат. Аналогічно визначаються лінії (криві) п'ятого, шостого та інших порядків.

Лемніската Бернуллі

лінія порядок трансцендентний спіраль

Рис. 8

Фокуси лемніскат - F1 (? c; 0) і F2 (c; 0). Візьмемо довільну точку M(x; y). Добуток відстаней від фокусів до точки M є

І за визначенням воно дорівнює c2:

Зводимо в квадрат обидві частини рівності:

Розкриваємо дужки у лівій частині:

Розкриваємо дужки та згортаємо новий квадрат суми:

Виносимо загальний множник та переносимо:

Зводимо в квадрат і розкриваємо дужки:

Приводимо до вигляду

Це квадратне рівняння щодо y". Вирішивши його, отримаємо

Взявши корінь і відкинувши варіант з негативним другим доданком, отримаємо:

де позитивний варіант визначає верхню половину лемніскати, негативний – нижню.

Рис. 9

Т.ч. задаючи різні умови для р і з 2/4 отримуватимемо лемніскати різного виду (рис. 10).

Рис. 10

Рис. 11

F 1 , F 2 ,..., F n

та призначити таку величину для постійного твору відстаней

МF 1 МF 2 … МF n = p

Равлик Паскаля

Геометричне місце точок М і M", розташованих на прямих пучка (центр якого лежить на колі радіуса R) на відстані а по обидва боки від точки Р перетину прямих з колом; тобто, PM = PM" = а. рівняння у прямокутних координатах: (x2 + y2 – 2Rx)2 – а2(х2 + y2) = 0, у полярних координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягується в крапку, у цьому випадку равлик Паскаля перетворюється на кардіоїду. Назва на ім'я французького вченого Б. Паскаля (1588-1651), що вперше вивчав її.

Циклоїдальні криві

До кривих алгебри відносяться такі відомі криві, як кардіоїда, астроіда, розглянемо ці криві.

Кардіоїда

Щоб отримати полярне рівняння кардіоїди, зручно прийняти за полюс точку А (рис. 13), а полярну вісь направити по осі абсцис. Так як чотирикутник AOO 1 M буде рівнобедреною трапецією, то полярний кут точки М виявиться рівним куту повороту кола, що виробляє, тобто. параметром t. Враховуючи цю обставину, замінимо в другому рівнянні системи (1) через sin t. Зменшуючи отриману таким чином рівність на sin t, отримаємо полярне рівняння кардіоїди

Рис. 13

З вигляду цього рівняння

Переводячи рівняння (2) у прямокутну систему координат, отримаємо:

З цього рівняння випливає, що кардіоїда є кривою алгебри 4-го порядку.

2. Властивості. Насамперед, оскільки кардіоїда є епіциклоїдою з m=1, на неї можна перенести всі властивості розглянутих нами у попередньому параграфі епіциклоїд.

Ось ці властивості та характеристики.

1. Стосовна у довільній точці кардіоїди проходить через точку кола виробляючого кола, діаметрально протилежну точці дотику кіл, а нормаль - через точку їх дотику.

2. Кут, що складається дотичної до кардіоїди з радіусом-вектором точки торкання, дорівнює половині кута, що утворюється цим радіусом-вектором з полярною віссю. Дійсно

З цього співвідношення безпосередньо випливає, що кут, що складається дотичної до кардіоїди з віссю абсцис, дорівнює (як зовнішній кут трикутника AMN Рис. 14). Маючи в своєму розпорядженні формулою можна довести, що дотичні до кардіоїди, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.

Справді, оскільки

Рис. 14

а другий дотичній Виключаючи з цих рівнянь параметр, отримаємо рівняння зазначеного кола.

3. Радіус кривизни у довільній точці кардіоїди визначиться за формулою

Можна також показати, що радіус кривизни дорівнює 2/3 полярної нормалі N у заданій точці.

4. Еволюта кардіоїди, згідно з загальною властивістю еволют епіциклоїд, буде також кардіоїдою, подібною до даної, з коефіцієнтом подібності, рівним 1/3, і поверненою щодо даної на кут 180°.

5. Довжина дуги кардіоїди від точки А до довільної точки М визначиться за формулою

6. Натуральне рівняння кардіоїди вийде, якщо з рівностей (4) та (6) виключити параметр. Воно матиме вигляд

7. Площа, обмежена кардіоїдою, визначиться за формулою

і, як видно, дорівнює ушестеренной площі кола, що виробляє.

Довжина всієї кардіоїди визначиться за формулою

Поверхня тіла, отриманого від обертання кардіоїди навколо її осі, дорівнює

Рис. 15

Дійсно, нехай ВМ є перпендикуляр, опущений на дотику до кола з радіусом, рівним 2r, проведену в точці N.

Оскільки ОМ = OB + ВМ, або == 2r cos + 2r, то геометричним місцем точок М буде кардіоїд з рівнянням = 2r (1 + cos)

Зауважимо, що кардіоїда відноситься також до сімейства синусоїдальних спіралей, і окремі властивості її повторюють загальні властивостіцих кривих. З цих властивостей випливає, зокрема, що інверсія кардіоїди щодо точки повернення дає параболу.

Астроїда