На малюнку показаний кут нахилу прямої та вказано значення кутового коефіцієнта при різних варіантахрозташування прямої щодо прямокутної системи координат.
Знаходження кутового коефіцієнта прямої при відомому куті нахилу до осі Ox не становить жодних складнощів. Для цього достатньо згадати визначення кутового коефіцієнта та обчислити тангенс кута нахилу.
приклад.
Знайдіть кутовий коефіцієнт прямий, якщо кут її нахилу до осі абсцис дорівнює .
Рішення.
За умовою . Тоді за визначенням кутового коефіцієнта прямою обчислюємо 
.
Відповідь:
Завдання знаходження кута нахилу прямої до осі абсцис при відомому кутовому коефіцієнті трохи складніше. Тут потрібно враховувати знак кутового коефіцієнта. При кут нахилу прямої є гострим і знаходиться як . При кут нахилу прямої є тупим і його можна визначити за формулою 
.
приклад.
Визначте кут нахилу прямої до осі абсцис, якщо її кутовий коефіцієнт дорівнює 3 .
Рішення.
Оскільки за умовою кутовий коефіцієнт позитивний, то кут нахилу прямої до осі Ox гострий. Його обчислюємо за формулою.
Відповідь:
приклад.
Кутовий коефіцієнт прямий дорівнює. Визначте кут нахилу прямої до осі Ox.
Рішення.
Позначимо k – кутовий коефіцієнт прямої, - кут нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі Ox. Так як 
, то використовуємо формулу для знаходження кута нахилу прямої наступного виду . Підставляємо у ній дані з умови: .
Відповідь:
Рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтоммає вигляд , де k - кутовий коефіцієнт прямий, b - деяке дійсне число. Рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом можна задати будь-яку пряму, не паралельну до осі Oy (для прямої паралельно осі ординат кутовий коефіцієнт не визначений).
Давайте розберемося зі змістом фрази: «Пряма на площині у фіксованій системі координат задана рівнянням з кутовим коефіцієнтом виду». Це означає, що рівняння задовольняють координати будь-якої точки прямої і не задовольняють координати жодних інших точок площини. Таким чином, якщо при підстановці координат точки виходить вірна рівністьто пряма проходить через цю точку. В іншому випадку точка не лежить на прямій.
приклад.
Пряма задана рівнянням із кутовим коефіцієнтом. Чи належать точки і до цієї прямої?
Рішення.
Підставимо координати точки у вихідне рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: 
. Ми здобули правильну рівність, отже, точка М 1 лежить на прямій.
При підстановці координат точки отримуємо неправильну рівність: 
. Таким чином, точка М2 не лежить на прямій.
Відповідь:
Крапка М 1 належить прямий, М 2 – не належить.
Слід зазначити, що пряма, визначена рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом , проходить через точку , оскільки за підстановці її координат на рівняння ми отримуємо правильну рівність: .
Таким чином, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом визначає на площині пряму, що проходить через точку і утворює кут з позитивним напрямком осі абсцис, причому .
Як приклад зобразимо пряму, що визначається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом виду. Ця пряма проходить через точку та має нахил 
радіан (60 градусів) до позитивного напрямку осі Ox. Її кутовий коефіцієнт дорівнює.
Рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом, що проходить через задану точку.
Зараз вирішимо дуже важливе завдання: отримаємо рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом k і проходить через точку .
Оскільки пряма проходить через точку , то справедлива рівність 
. Число b нам невідоме. Щоб позбутися його, віднімемо з лівої та правої частин рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом відповідно ліву та праву частини останньої рівності. При цьому отримаємо 
. Ця рівність є рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом k , яка проходить через задану точку.
Розглянемо приклад.
приклад.
Напишіть рівняння прямої, що проходить через точку , кутовий коефіцієнт цієї прямої дорівнює -2.
Рішення.
З умови маємо 
. Тоді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом набуде вигляду.
Відповідь:
приклад.
Напишіть рівняння прямої, якщо відомо, що вона проходить через точку та кут нахилу до позитивного напрямку осі Ox дорівнює .
Рішення.
Спочатку обчислимо кутовий коефіцієнт прямої, рівняння якої ми шукаємо (таке завдання ми вирішували у попередньому пункті цієї статті). За визначенням 
. Тепер ми маємо всі дані, щоб записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
Відповідь:
приклад.
Напишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точку паралельно прямої.
Рішення.
Очевидно, що кути нахилу паралельних прямих до осі Ox збігаються (при необхідності дивіться статтю паралельність прямих), отже, кутові коефіцієнти паралельних прямих рівні. Тоді кутовий коефіцієнт прямий, рівняння якої нам потрібно отримати, дорівнює 2, тому що кутовий коефіцієнт прямий дорівнює 2. Тепер ми можемо скласти необхідне рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
Відповідь:
Перехід від рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом до інших видів рівняння прямої та назад.
За всієї звичності рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом які завжди зручно використовувати під час вирішення завдань. У деяких випадках завдання легше вирішуються, коли рівняння прямої представлене в іншому вигляді. Наприклад, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом не дозволяє відразу записати координати напрямного вектора прямої або координати нормального вектора прямої. Тому слід навчитися переходити від рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом до інших видів рівняння цієї прямої.
З рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом легко отримати канонічне рівняння прямої на площині виду 
. Для цього з правої частини рівняння переносимо доданок b ліву частину з протилежним знаком, потім ділимо обидві частини отриманої рівності на кутовий коефіцієнт k : . Ці дії наводять нас від рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом до канонічного рівняння прямої.
приклад.
Наведіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 
до канонічного вигляду.
Рішення.
Виконаємо необхідні перетворення: .
Відповідь:
приклад.
Пряма задана рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Чи є вектор нормальним вектором цієї прямої?
Рішення.
Для вирішення цього завдання перейдемо від рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом до загального рівняння цієї прямої: 
. Нам відомо, що коефіцієнти перед змінними x і y у загальному рівнянні прямої є відповідними координатами нормального вектора цієї прямої, тобто нормальний вектор прямої 
. Вочевидь, що вектор колінеарен вектору , оскільки справедливе співвідношення (за необхідності дивіться статтю ). Таким чином, вихідний вектор також є нормальним вектором прямої , а, отже, є нормальним вектором та вихідною прямою .
Відповідь:
Так, є.
А зараз вирішуватимемо зворотне завдання – завдання приведення рівняння прямої на площині до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Від загального рівнянняпрямий вид 
, В якому , дуже легко перейти до рівняння з кутовим коефіцієнтом. Для цього потрібно загальне рівняння прямої дозволити щодо y. При цьому отримуємо. Отримана рівність є рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, рівним .
Завдання на перебування похідної дотичної включені до ЄДІ з математики та зустрічаються там щорічно. При цьому статистика останніх роківпоказує, що такі завдання викликають у випускників певні труднощі. Тому, якщо учень розраховує отримати гідні бали за підсумками проходження ЄДІ, йому обов'язково варто навчитися справлятися із завданнями з розділу «Кутовий коефіцієнт дотичної як значення похідної в точці дотику», підготовленими фахівцями освітнього порталу «Школкове». Розібравшись із алгоритмом їх вирішення, учень зможе успішно подолати атестаційне випробування.
Основні моменти
Приступаючи до вирішення завдань ЄДІна цю тему, необхідно згадати основне визначення: похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіку функції у цій точці. У цьому полягає геометричний сенспохідної.
Необхідно освіжити у пам'яті та інше важливе визначення. Воно звучить так: кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до осі абсцис.
Які ще важливі моменти варто відзначити у цій темі? При розв'язанні задач на перебування похідної в ЄДІ необхідно пам'ятати, що кут, який утворює дотична, може бути меншим, більше 90 градусів або дорівнювати нулю.
Як підготуватися до іспиту?
Для того, щоб завдання в ЄДІ на тему «Кутовий коефіцієнт дотичної як значення похідної в точці торкання» давалися вам досить легко, скористайтесь підготовкою до випускного випробування інформацією з цього розділу на освітньому порталі"Школкове". Тут ви знайдете необхідний теоретичний матеріал, зібраний та зрозуміло викладений нашими фахівцями, а також зможете попрактикуватися у виконанні вправ.
Для кожного завдання, наприклад, задач на тему «Кутовий коефіцієнт дотичної як тангенс кута нахилу», ми прописали правильну відповідь та алгоритм розв'язання. Учні можуть виконувати вправи різного рівня складності в режимі онлайн. У разі потреби завдання можна зберегти в розділі «Вибране», щоб потім обговорити її вирішення з викладачем.
Чисельно дорівнює тангенсу кута (що становить найменший поворот від осі Ox до осі Оу) між позитивним напрямом осі абсцис та даною прямою лінією.
Тангенс кута може розраховуватись як відношення протилежного катета до прилеглого. kзавжди дорівнює , тобто похідної рівняння прямої x.
При позитивних значеннях кутового коефіцієнта kта нульовому значенні коефіцієнта зсуву bпряма лежатиме у першому та третьому квадрантах (у яких xі yодночасно позитивні та негативні). При цьому більшим значенням кутового коефіцієнта kбуде відповідати більш крута пряма, а меншим - більш полога.
Прямі та перпендикулярні, якщо , а паралельні при .
Примітки
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитися що таке "Кутовий коефіцієнт прямий" в інших словниках:
кутовий коефіцієнт (прямий)- - Тематики нафтогазова промисловість EN slope … Довідник технічного перекладача
- (математичне) число k у рівнянні прямої лінії на площині у = kx+b (див. Аналітична геометрія), що характеризує нахил прямої щодо осі абсцис. У прямокутній системі координат У. к. k = tg φ, де кут між… … Велика Радянська Енциклопедія
Розділ геометрії, який досліджує найпростіші геометричні об'єкти засобами елементарної алгебри з урахуванням методу координат. створіння аналітичної геометріїзазвичай приписують Р.Декарту, який виклав її основи в останній главі свого. Енциклопедія Кольєра
Вимірювання часу реакції (ВР), ймовірно, найповажніший предмет в емпіричній психології. Воно зародилося області астрономії, в 1823 р., з виміром індивідуальних відмінностей у швидкості сприйняття перетину зіркою лінії ризики телескопа. Ці … Психологічна енциклопедія
Розділ математики, що дає методи кількісного дослідження різних процесів зміни; займається вивченням швидкості зміни (диференціальне обчислення) та визначенням довжин кривих, площ та обсягів фігур, обмежених кривими контурами та … Енциклопедія Кольєра
Цей термін має й інші значення, див. Пряма (значення). Пряма одна з основних понять геометрії, тобто точного універсального визначення немає. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне…
Зображення прямих у прямокутній системі координат Пряма одна з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається… … Вікіпедія
Зображення прямих у прямокутній системі координат Пряма одна з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається… … Вікіпедія
Не слід плутати з терміном "Елліпсіс". Елліпс та його фокуси Елліпс (ін. грец. ἔλλειψις недолік, у сенсі нестачі ексцентриситету до 1) геометричне місце точок M Евклідової площини, для яких сума відстаней від двох даних точок F1… … Вікіпедія
У попередньому розділі було показано, що, обравши певну систему координат на площині, ми можемо геометричні властивості, що характеризує точки лінії, що розглядається, висловити аналітично рівнянням між поточними координатами. Таким чином, ми отримаємо рівняння лінії. У цьому розділі розглядатимуться рівняння прямих ліній.
Щоб скласти рівняння прямої в декартових координатах, потрібно якимось чином задати умови, що визначають положення щодо координатних осей.
Попередньо ми введемо поняття про кутовий коефіцієнт прямої, який є однією з величин, що характеризують положення прямої на площині.
Назвемо кутом нахилу прямої до осі Ох той кут, на який потрібно повернути вісь Ох, щоб вона збіглася з цією прямою (або виявилася паралельною їй). Як завжди, кут розглядатимемо з урахуванням знака (знак визначається напрямком повороту: проти або за годинниковою стрілкою). Так як додатковий поворот осі Ох на кут в 180 ° знову поєднає її з прямою, то кут нахилу прямої до осі може бути обраний не однозначно (з точністю до доданку, кратного).
Тангенс цього кута визначається однозначно (оскільки зміна кута не змінює його тангенса).
Тангенс кута нахилу прямої до осі Ох називається кутовим коефіцієнтом прямої.
Кутовий коефіцієнт характеризує напрямок прямий (ми тут не розрізняємо двох взаємно) протилежних напрямківпрямий). Якщо кутовий коефіцієнт прямий дорівнює нулю, то пряма паралельна осі абсцис. При позитивному кутовому коефіцієнті кут нахилу прямої до осі Ох буде гострим (ми розглядаємо найменше позитивне значення кута нахилу) (рис. 39); при цьому чим більший кутовий коефіцієнт, тим більший кут її нахилу до осі Ох. Якщо кутовий коефіцієнт негативний, то кут нахилу прямої до осі Ох буде тупим (рис. 40). Зауважимо, що пряма, перпендикулярна до осі Ох, немає кутового коефіцієнта (тангенс кута немає).
Продовження теми рівняння прямої на площині ґрунтується на вивченні прямої лінії з уроків алгебри. Ця стаття дає узагальнену інформацію на тему рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Розглянемо визначення, отримаємо саме рівняння, виявимо зв'язок коїться з іншими видами рівнянь. Все буде розглянуто на прикладах розв'язання задач.
Перед записом такого рівняння необхідно дати визначення кута нахилу прямої до осі О х з їх кутовим коефіцієнтом. Припустимо, що задана декартова система координат Ох на площині.
Визначення 1
Кут нахилу прямої до осі Ох,розташований у декартовій системікоординат О х на площині, це кут, який відраховується від позитивного напрямку О х до прямої проти годинникової стрілки.
Коли пряма паралельна О х або відбувається збіг у ній, кут нахилу дорівнює 0 . Тоді кут нахилу заданої прямої визначається на проміжку [ 0 , π) .
Визначення 2
Кутовий коефіцієнт прямий– це тангенс кута нахилу заданої прямої.
Стандартне позначення літерою k. З визначення отримаємо, що k = tg? Коли пряма паралельна Ох, кажуть, що кутовий коефіцієнт не існує, тому що він звертається до нескінченності.
Кутовий коефіцієнт позитивний, коли графік функції зростає і навпаки. На малюнку показані різні варіації розташування прямого кутащодо системи координат із значенням коефіцієнта.
Для знаходження даного кута необхідно застосувати визначення про кутовий коефіцієнт і зробити обчислення тангенса кута нахилу в площині.
Рішення
З умови маємо, що α = 120°. За визначенням необхідно вирахувати кутовий коефіцієнт. Знайдемо його із формули k = t g α = 120 = -3.
Відповідь: k = - 3 .
Якщо відомий кутовий коефіцієнт, а необхідно знайти кут нахилу до осі абсцис, слід враховувати значення кутового коефіцієнта. Якщо k > 0 , то кут прямий гострий і знаходиться за формулою α = a r c t g k . Якщо k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Приклад 2
Визначити кут нахилу заданої прямої до О х при кутовому коефіцієнті, що дорівнює 3 .
Рішення
З умови маємо, що кутовий коефіцієнт позитивний, а це означає, що кут нахилу до Ох менший за 90 градусів. Обчислення провадяться за формулою α = a r c t g k = a r c t g 3 .
Відповідь: α = r c t g 3 .
Приклад 3
Знайти кут нахилу прямої до осі О х, якщо кутовий коефіцієнт = - 13.
Рішення
Якщо взяти за позначення кутового коефіцієнта букву k , тоді є кутом нахилу до заданої прямої за позитивним напрямом О х. Звідси k = – 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 ?
Відповідь: 5 π 6 .
Рівняння виду y = k · x + b, де k є кутовим коефіцієнтом, а b деяким дійсним числом, називають рівнянням прямою із кутовим коефіцієнтом. Рівняння характерне для будь-якої прямої, непаралельної осі О у.
Якщо докладно розглянути пряму на площині фіксованою системою координат, яка задана рівнянням з кутовим коефіцієнтом, який має вигляд y = k · x + b . У цьому випадку означає, що рівняння відповідають координати будь-якої точки прямої. Якщо підставити координати точки М, M 1 (x 1 , y 1) у рівняння y = k · x + b тоді в цьому випадку пряма буде проходити через цю точку, інакше точка не належить прямий.
Приклад 4
Задано пряму з кутовим коефіцієнтом y = 1 3 x - 1 . Обчислити, чи належать точки M 1 (3 0) і M 2 (2 - 2) заданої прямої.
Рішення
Необхідно підставити координати точки M 1 (3 , 0) у задане рівняння, тоді отримаємо 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Рівність вірна, отже точка належить прямої.
Якщо підставимо координати точки M 2 (2 , - 2) тоді отримаємо неправильну рівність виду - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Можна дійти невтішного висновку, що точка М 2 належить прямий.
Відповідь:М 1 належить прямий, а М 2 немає.
Відомо, що пряма визначена рівнянням y = k · x + b , що проходить через M 1 (0 , b) при підстановці отримали рівність вигляду b = k · 0 + b ⇔ b = b . Звідси можна дійти невтішного висновку, що рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b на площині визначає пряму, яка проходить через точку 0 , b . Вона утворює кут з позитивним напрямом осі О х, де k = t g α .
Розглянемо з прикладу пряму, визначену з допомогою кутового коефіцієнта, заданого у вигляді y = 3 · x - 1 . Отримаємо, що пряма пройде через точку з координатою 0 - 1 з нахилом в α = a r c t g 3 = π 3 радіан за позитивним напрямком осі О х. Звідси видно, що коефіцієнт дорівнює 3.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через задану точку
Необхідно вирішити задачу, де необхідно отримати рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, що проходить через точку M 1 (x 1 , y 1) .
Рівність y 1 = k · x + b вважатимуться справедливим, оскільки пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1) . Щоб прибрати число b, необхідно з лівої та правої частин відняти рівняння з кутовим коефіцієнтом. З цього випливає, що y – y 1 = k · (x – x 1) . Дану рівність називають рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом k, що проходить через координати точки M 1 (x 1 , y 1) .
Приклад 5
Складіть рівняння прямої, що проходить через точку М 1 з координатами (4, - 1), з кутовим коефіцієнтом рівним - 2 .
Рішення
За умовою маємо, що x 1 = 4 , y 1 = - 1 k = - 2 . Звідси рівняння прямої запишеться таким чином y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Відповідь: y = - 2 x + 7.
Приклад 6
Написати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, яке проходить через точку М 1 з координатами (3, 5), паралельну до прямої y = 2 x - 2 .
Рішення
За умовою маємо, що паралельні прямі мають кути нахилу, що збігаються, звідси означає, що кутові коефіцієнти є рівними. Щоб знайти кутовий коефіцієнт з даного рівняння, необхідно згадати його основну формулу y = 2 x - 2, звідси випливає, що k = 2 . Складаємо рівняння з кутовим коефіцієнтом та отримуємо:
y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 · (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Відповідь: y = 2 x - 1 .
Перехід від рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом до інших видів рівнянь прямої та назад
Таке рівняння який завжди застосовується на вирішення завдань, оскільки має дуже зручну запис. Для цього необхідно репрезентувати в іншому вигляді. Наприклад, рівняння виду y = k · x + b не дозволяє записати координати напрямного вектора прямої або координати нормального вектора. І тому треба навчитися представляти рівняннями іншого виду.
Можемо отримати канонічний рівняння прямої на площині, використовуючи рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Отримуємо x - x 1 a x = y - y 1 a y. Необхідно доданок b перенести у ліву частину і поділити вираз отриманого нерівності. Тоді отримаємо рівняння виду y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом стало канонічним рівнянням цієї прямої.
Приклад 7
Привести рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом y = - 3 x + 12 до канонічного вигляду.
Рішення
Обчислимо і представимо у вигляді канонічного рівняння прямої. Отримаємо рівняння виду:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Відповідь: x 1 = y – 12 – 3 .
Загальне рівняння прямої простіше всього отримати з y = k x + b , але для цього необхідно зробити перетворення: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0 . Здійснюється перехід із загального рівняння прямої до рівнянь іншого виду.
Приклад 8
Дано рівняння прямого виду y = 1 7 x - 2 . З'ясувати, чи вектор з координатами a → = (- 1 , 7) нормальним вектором прямий?
Рішення
Для вирішення необхідно перейти до іншого виду даного рівняння, для цього запишемо:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Коефіцієнти перед змінними є координатами прямий вектора. Запишемо так n → = 1 7 , - 1 , звідси 1 7 x - y - 2 = 0 . Зрозуміло, що вектор a → = (- 1 , 7) колінеарен вектору n → = 1 7 , - 1 , тому що маємо справедливе співвідношення a → = - 7 · n → . Звідси випливає, що вихідний вектор a → = - 1 7 - нормальний вектор прямий 1 7 x - y - 2 = 0 значить вважається нормальним вектором для прямої y = 1 7 x - 2 .
Відповідь:Є
Розв'яжемо задачу зворотну даної.
Необхідно перейти від загального виглядурівняння A x + B y + C = 0 де B ≠ 0 до рівняння з кутовим коефіцієнтом. для цього розв'язуємо рівняння щодо у. Отримаємо A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B.
Результат є рівнянням з кутовим коефіцієнтом, який дорівнює - A B .
Приклад 9
Задано рівняння прямого виду 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Отримати рівняння даної прямої із кутовим коефіцієнтом.
Рішення
Виходячи з умови, необхідно вирішити щодо у, тоді отримаємо рівняння виду:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Відповідь: y = 16 x + 14.
Аналогічно вирішується рівняння виду x a + y b = 1 , яке називають рівняння прямою у відрізках, або канонічне виду x - x 1 a x = y - y 1 a y . Потрібно вирішити його щодо у, тільки тоді отримаємо рівняння з кутовим коефіцієнтом:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Канонічний рівняння можна привести до вигляду з кутовим коефіцієнтом. Для цього:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Приклад 10
Є пряма, задана рівнянням x 2 + y-3 = 1 . Привести до вигляду рівняння із кутовим коефіцієнтом.
Рішення.
З умови, необхідно перетворити, тоді отримаємо рівняння виду _formula_. Обидві частини рівняння слід помножити на - 3 у тому, щоб отримати необхідно рівняння з кутовим коефіцієнтом. Перетворюючи, отримаємо:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Відповідь: y = 3 2 x - 3.
Приклад 11
Рівняння прямого виду x - 2 2 = y + 1 5 привести до виду з кутовим коефіцієнтом.
Рішення
Необхідно вираз x - 2 2 = y + 15 обчислити як пропорцію. Отримаємо, що 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Тепер необхідно повністю його дозволити, для цього:
5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Відповідь: y = 5 2 x – 6 .
Для вирішення таких завдань слід наводить параметричні рівняння прямого виду x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ до канонічного рівняння прямої, тільки після цього можна переходити до рівняння з кутовим коефіцієнтом.
Приклад 12
Знайти кутовий коефіцієнт прямий, якщо вона задана параметричними рівняннями x = y = - 1 + 2 · λ .
Рішення
Необхідно виконати перехід від параметричного вигляду до кутового коефіцієнта. Для цього знайдемо канонічне рівняння із заданого параметричного:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Тепер необхідно вирішити цю рівність щодо y, щоб отримати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. для цього запишемо таким чином:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Звідси випливає, що кутовий коефіцієнт прямий дорівнює 2 . Це записується як k=2.
Відповідь: k = 2.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
