Дата: 20.11.2014

Що таке похідна?

Таблиця похідних.

Похідна – одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.

Це знайомство дозволить:

Розуміти суть нескладних завдань із похідною;

Успішно вирішувати ці нескладні завдання;

Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.

Спочатку – приємний сюрприз.)

Суворе визначення похідної ґрунтується на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та лише кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни та позначення.

В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операція називається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції буде розглянуто в окремих уроках.

Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

Диференціювання- Дія над функцією.

Похідна- Результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна за допомогою штришку вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.

Читається ігор штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (Sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складної функції.

Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

У світі - безліч функцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції і вивчаються у школі – лінійна, квадратична, гіпербола тощо.

Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Ліворуч - елементарна функція, справа - її похідна.

	Функція y	Похідна функції y y"
1	C (постійна величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - будь-яке число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій у таблиці похідних. Похідна статечної функції - одна з найвживаніших формул, якщо тільки не найвживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як це може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)

Знайти табличне значення похідної, як ви розумієте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає...

Розглянемо кілька прикладів:

1. Знайти похідну функції y = x 3

Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції у загальному вигляді (третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:

(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2

Ось і всі справи.

Відповідь: y" = 3x 2

2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.

Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0в цю похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставляють нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.

По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:

y" = (sin x)" = cosx

Підставляємо нуль у похідну:

y"(0) = cos 0 = 1

Це буде відповідь.

3. Продиференціювати функцію:

Що, вселяє?) Такої функції таблиці похідних і близько немає.

Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає...

Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута, То все відразу налагоджується!

Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:

Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це – таблична функція. Відразу отримуємо:

Відповідь: y" = - sin x.

Приклад для просунутих випускників та студентів:

4. Знайти похідну функції:

Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями... То можна спростити цю функцію. Ось так:

А ікс ступеня одна десята - це вже таблічна функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:

От і все. Це буде відповідь.

Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.

Подано доказ та виведення формули для похідної косинуса - cos(x). Приклади обчислення похідних від cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадраті, кубі і в ступені n. Формула похідної косинуса n-го порядку.

Зміст

Див. також: Синус та косинус - властивості, графіки, формули

Похідна змінною x від косинуса x дорівнює мінус синусу x:
(cos x)′ = - sin x.

Доведення

Щоб вивести формулу похідної косинуса, скористаємося визначенням похідної:
.

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних законів та правил. Для цього нам потрібно знати чотири властивості.
1) Тригонометричні формули. Нам знадобиться така формула:
(1) ;
2) Властивість безперервності функції синус:
(2) ;
3) Значення першої чудової межі:
(3) ;
4) Властивість межі від виконання двох функцій:
Якщо і , то
(4) .

Застосовуємо ці закони до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо формулу
(1) ;
У нашому випадку
; . Тоді
;
;
;
.

Зробимо підстановку. При , . Використовуємо властивість безперервності (2):
.

Зробимо таку ж підстановку і застосуємо першу чудову межу (3):
.

Оскільки межі, обчислені вище, існують, то застосовуємо властивість (4):

.

Тим самим було отримано формулу похідної косинуса.

Приклади

Розглянемо найпростіші приклади знаходження похідних від функцій, що містять косинус. Знайдемо похідні від таких функцій:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = cos 3 xта y = cos n x.

Приклад 1

Знайти похідні від cos 2x, cos 3xі cos nx.

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = cos nx. Потім, у похідну від cos nx, підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від cos 2xі cos 3x .

Отже, знаходимо похідну від функції
y = cos nx .
Уявімо цю функцію від змінної x як складну функцію, що складається з двох функцій:
1)
2)
Тоді вихідна функція є складною (складовою) функцією, складеною з функцій та :
.

Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо.
.
Підставимо:
(П1) .

Тепер, у формулу (П1) підставимо і:
;
.

;
;
.

Приклад 2

Знайти похідні від косинуса у квадраті, косинуса у кубі та косинуса у ступеню n:
y = cos 2 x; y = cos 3 x; y = cos n x.

У цьому прикладі функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від загальної функції - косинуса в ступеня n:
y = cos n x.
Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від косинуса у квадраті та косинуса у кубі.

Отже, нам потрібно знайти похідну від функції
.
Перепишемо її у більш зрозумілому вигляді:
.
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, яка залежить від змінної: ;
2) Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція є складною функцією, складеною з двох функцій і :
.

Знаходимо похідну від функції змінної x:
.
Знаходимо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
Підставимо:
(П2) .

Тепер підставимо і:
;
.

;
;
.

Похідні вищих порядків

Зауважимо, що похідну від cos xпершого порядку можна виразити через косинус наступним чином:
.

Знайдемо похідну другого порядку, використовуючи формулу похідної складної функції:

.
Тут.

Зауважимо, що диференціювання cos xпризводить до збільшення його аргументу на . Тоді похідна n-го порядку має вигляд:
(5) .

Суворіше цю формулу можна довести з допомогою методу математичної індукції. Доказ для n-ї похідної синусу викладено на сторінці “Похідна синуса”. Для n-ї похідної косинуса доказ такий. Потрібно лише у всіх формулах замінити sin на cos.

Див. також: Обчислення похідної- Одна з найважливіших операцій у диференціальному обчисленні. Нижче наведено таблицю знаходження похідних простих функцій. Більш складні правила диференціювання дивіться в інших уроках:

• Таблиця похідних експоненційних та логарифмічних функцій

Використовуйте наведені формули як довідкові значення. Вони допоможуть у вирішенні диференціальних рівнянь та завдань. На малюнку, в таблиці похідних простих функцій, наведена "шпаргалка" основних випадків знаходження похідної у зрозумілому для застосування вигляді, поряд з ним дано пояснення для кожного випадку.

Похідні простих функцій

1. Похідна від числа дорівнює нулю
с = 0
Приклад:
5 '= 0

Пояснення:
Похідна показує швидкість зміни значення функції за зміни аргументу. Оскільки число ніяк не змінюється за жодних умов - швидкість його зміни завжди дорівнює нулю.

2. Похідна змінноїдорівнює одиниці
x' = 1

Пояснення:
При кожному збільшенні аргументу (х) на одиницю значення функції (результату обчислень) збільшується на цю саму величину. Таким чином, швидкість зміни значення функції y = x точно дорівнює швидкості зміни значення аргументу.

3. Похідна змінної та множника дорівнює цьому множнику
сx = с
Приклад:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Пояснення:
В даному випадку, при кожній зміні аргументу функції ( х) її значення (y) зростає в зразів. Таким чином, швидкість зміни значення функції по відношенню до швидкості зміни аргументу точно дорівнює величині з.

Звідки випливає, що
(cx + b)" = c
тобто диференціал лінійної функції y=kx+b дорівнює кутовому коефіцієнту нахилу прямої (k).

4. Похідна змінною за модулемдорівнює частці цієї змінної до її модуля
|x|"= x / | x | за умови, що х ≠ 0
Пояснення:
Оскільки похідна змінної (див. формулу 2) дорівнює одиниці, похідна модуля відрізняється лише тим, що значення швидкості зміни функції змінюється на протилежне при перетині точки початку координат (спробуйте намалювати графік функції y = | x | і переконайтеся в цьому самі. Саме таке значення і повертає вираз x / |x|.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 – одиниці. Тобто при негативних значеннях змінної х при кожному збільшенні зміні аргументу значення функції зменшується на таке саме значення, а при позитивних - навпаки, зростає, але точно на таке ж значення.

5. Похідна змінної у ступенідорівнює добутку числа цього ступеня та змінної до ступеня, зменшеної на одиницю
(x c)" = cx c-1, за умови, що x c і сx c-1 визначені а з ≠ 0
Приклад:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Для запам'ятовування формули:
Знесіть ступінь змінної "вниз" як множник, а потім зменшіть самий ступінь на одиницю. Наприклад, для x 2 - двійка виявилася попереду ікса, та був зменшена ступінь (2-1=1) просто дала нам 2х. Те саме сталося для x 3 - трійку "спускаємо вниз", зменшуємо її на одиницю і замість куба маємо квадрат, тобто 3x2. Дещо "не науково", але дуже просто запам'ятати.

6.Похідна дроби 1/х
(1/х)" = - 1 / x 2
Приклад:
Оскільки дріб можна подати як зведення в негативний ступінь
(1/x)" = (x -1)" , Тоді можна застосувати формулу з правила 5 похідних таблиці
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / х 2

7. Похідна дроби зі змінним довільним ступенему знаменнику
(1 / x c)" = - c/x c+1
Приклад:
(1/x2)" = - 2/x3

8. Похідне коріння(Похідна змінної під квадратним коренем)
(√x)" = 1 / (2√x)або 1/2 х -1/2
Приклад:
(√x)" = (х 1/2)" означає можна застосувати формулу з правила 5
(х 1/2)" = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Похідна змінної під коренем довільного ступеня
(n√x)" = 1 / (nn√xn-1)

Обчислення похідної часто зустрічається у завданнях ЄДІ. Ця сторінка містить список формул для знаходження похідних.

Правила диференціювання

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Похідна складна функція. Якщо y=F(u), а u=u(x), то функція y=f(x)=F(u(x)) називається складною функцією від x. Рівна y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Похідна неявна функція. Функція y=f(x) називається неявною функцією, заданою співвідношенням F(x,y)=0, якщо F(x,f(x))≡0.
6. Похідна зворотної функції. Якщо g(f(x))=x, то функція g(x) називається зворотною функцією функції y=f(x).
7. Похідна параметрично заданої функції. Нехай x і y задані як функції змінної t: x=x(t), y=y(t). Говорять, що y=y(x) параметрично задана функція на проміжку x∈(a;b), якщо на цьому проміжку рівняння x=x(t) можна виразити у вигляді t=t(x) та визначити функцію y=y( t(x))=y(x).
8. Похідна статечно-показової функції. Знаходиться шляхом логарифмування на основі натурального логарифму.

Радимо зберегти посилання, оскільки ця таблиця може знадобитися ще багато разів.

Доказ та виведення формул похідної натурального логарифму та логарифму на підставі a. Приклади обчислення похідних від ln 2x, ln 3x та ln nx. Доказ формули похідної логарифму n-го порядку шляхом математичної індукції.

Зміст

Див. також: Логарифм - властивості, формули, графік
Натуральний логарифм - властивості, формули, графік

Виведення формул похідних натурального логарифму та логарифму на підставі a

Похідна натурального логарифму від x дорівнює одиниці, поділеній на x:
(1) (ln x)′ =.

Похідна логарифма на основі a дорівнює одиниці, поділеній на змінну x, помножену на натуральний логарифм від a :
(2) (log a x)′ =.

Доведення

Нехай є деяке позитивне число, що не дорівнює одиниці. Розглянемо функцію, яка залежить від змінної x , яка є логарифмом на підставі:
.
Ця функція визначена за . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам потрібно знати такі факти:
а)Властивості логарифму. Нам знадобляться такі формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(7) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
в)Значення другої чудової межі:
(8) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо властивості (4) та (5).

.

Скористаємося властивістю (7) та другою чудовою межею (8):
.

І, нарешті, застосуємо властивість (6):
.
Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом. Він позначається так:
.
Тоді;
.

Тим самим ми отримали формулу (2) похідної логарифму.

Похідна натурального логарифму

Ще раз випишемо формулу похідної логарифму на підставі a:
.
Ця формула має найпростіший вид для натурального логарифму, для якого . Тоді
(1) .

Через таку простоту, натуральний логарифм дуже широко використовується в математичному аналізі та інших розділах математики, пов'язаних з диференціальним обчисленням. Логарифмічні функції з іншими основами можна виразити через натуральний логарифм, використовуючи властивість (6):
.

Похідну логарифму з основи можна знайти з формули (1), якщо винести постійну за знак диференціювання:
.

Інші способи підтвердження похідної логарифму

Тут ми припускаємо, що нам відома формула похідної експоненти:
(9) .
Тоді ми можемо вивести формулу похідної натурального логарифму з огляду на те, що логарифм є зворотною функцією до експоненти.

Доведемо формулу похідної натурального логарифму, застосувавши формулу похідної зворотної функції:
.
У нашому випадку . Зворотною функцією до натурального логарифму є експонент:
.
Її похідна визначається за такою формулою (9). Змінні можна позначити будь-якою літерою. У формулі (9) замінимо змінну x на y:
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Формулу доведено.

Тепер доведемо формулу похідної натурального логарифму за допомогою правила диференціювання складної функції. Оскільки функції і є зворотними одна до одної, то
.
Диференціюємо це рівняння по змінній x:
(10) .
Похідна від ікса дорівнює одиниці:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Підставимо в (10):
.
Звідси
.

приклад

Знайти похідні від ln 2x, ln 3xі ln nx.

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = ln nx. Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від ln 2xі ln 3x .

Отже, шукаємо похідну від функції
y = ln nx .
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, яка залежить від змінної: ;
2) Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція складена з функцій та:
.

Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут ми підставили.

Отже, ми знайшли:
(11) .
Ми, що похідна залежить від n . Цей результат є цілком природним, якщо перетворити вихідну функцію, застосовуючи формулу логарифму від твору:
.
– це постійна. Її похідна дорівнює нулю. Тоді за правилом диференціювання суми маємо:
.

; ; .

Похідна логарифма модуля x

Знайдемо похідну від ще однієї дуже важливої ​​функції - натурального логарифму від модуля x:
(12) .

Розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
.
Її похідна визначається за формулою (1):
.

Тепер розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
,
де.
Але похідну цієї функції ми також знайшли у наведеному вище прикладі. Вона не залежить від n і дорівнює
.
Тоді
.

Об'єднуємо ці два випадки в одну формулу:
.

Відповідно, для логарифму на підставі a маємо:
.

Похідні вищих порядків натурального логарифму

Розглянемо функцію
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(13) .

Знайдемо похідну другого порядку:
.
Знайдемо похідну третього порядку:
.
Знайдемо похідну четвертого порядку:
.

Можна помітити, що похідна n-го порядку має вигляд:
(14) .
Доведемо це методом математичної індукції.

Доведення

Підставимо у формулу (14) значення n = 1:
.
Оскільки , то за n = 1 , Формула (14) справедлива.

Припустимо, що формула (14) виконується за n = k . Доведемо, що з цього випливає, що формула справедлива за n = k + 1 .

Справді, за n = k маємо:
.
Диференціюємо по змінній x:

.
Отже, ми отримали:
.
Ця формула збігається з формулою (14) за n = k + 1 . Таким чином, з припущення, що формула (14) справедлива за n = k випливає, що формула (14) справедлива за n = k + 1 .

Тому формула (14) для похідної n-го порядку справедлива для будь-яких n .

Похідні вищих порядків логарифму на основі a

Щоб знайти похідну n-го порядку від логарифму на підставі a потрібно виразити його через натуральний логарифм:
.
Застосовуючи формулу (14), знаходимо n-ю похідну:
.

Див. також: