Графік функції – це наочне уявлення поведінки деякої функції координатної площині. Графіки допомагають зрозуміти різні аспекти функції, які неможливо визначити щодо самої функції. Можна побудувати графіки безлічі функцій, причому кожна з них буде задана певною формулою. Графік будь-якої функції будується за певним алгоритмом (якщо ви забули точний процес побудови графіка конкретної функції).
Кроки
Побудова графіка лінійної функції
- Якщо кутовий коефіцієнт негативний, функція зменшується.
-
Від точки перетину прямої з віссю Y нанесіть другу точку, використовуючи вертикальну та горизонтальну відстані. Графік лінійної функції можна побудувати за двома точками. У прикладі точка перетину з віссю Y має координати (0,5); від цієї точки пересуньтеся на 2 поділки вгору, а потім на 1 поділ вправо. Позначте точку; вона матиме координати (1,7). Тепер можна здійснити пряму.
За допомогою лінійки проведіть пряму через дві точки.Щоб уникнути помилок, знайдіть третю точку, але в більшості випадків графік можна побудувати по двох точках. Таким чином, ви збудували графік лінійної функції.
Нанесення точок на координатну площину
-
Визначте функцію.Функція позначається як f(x). Усі можливі значення змінної «у» називаються областю значень функції, проте можливі значення змінної «х» називаються областю визначення функції. Наприклад, розглянемо функцію y = x+2, саме f(x) = x+2.
Намалюйте дві перпендикулярні прямі, що перетинаються.Горизонтальна пряма це вісь Х. Вертикальна пряма це вісь Y.
Позначте осі координат.Розбийте кожну вісь на рівні відрізки та пронумеруйте їх. Крапка перетину осей – це 0. Для осі Х: праворуч (від 0) наносяться позитивні числа, а зліва негативні. Для осі Y: згори (від 0) наносяться позитивні числа, а знизу негативні.
Знайдіть значення "у" за значеннями "х".У прикладі f(x) = х+2. Підставте до цієї формули певні значення «х», щоб обчислити відповідні значення «у». Якщо дана складна функція, спростіть її, відокремивши у на одній стороні рівняння.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Нанесіть крапки на координатну площину.Для кожної пари координат зробіть таке: знайдіть відповідне значення на осі Х та проведіть вертикальну лінію (пунктиром); знайдіть відповідне значення на осі Y та проведіть горизонтальну лінію (пунктиром). Позначте точку перетину двох пунктирних ліній; таким чином ви нанесли точку графіка.
Зітріть пунктирні лінії.Зробіть це після нанесення на координатну площину всіх точок графіка. Примітка: графік функції f(х) = х є прямою, що проходить через центр координат [точку з координатами (0,0)]; графік f(х) = х + 2 - це пряма, паралельна прямий f(х) = х, але зрушена на дві одиниці вгору і тому проходить через точку з координатами (0,2) (бо постійна дорівнює 2).
Побудова графіка складної функції
Знайдіть нулі функції.Нулі функції - це значення змінної "х", при яких у = 0, тобто це точки перетину графіка з віссю Х. Майте на увазі, що нулі мають не всі функції, але це перший крок процесу побудови графіка будь-якої функції. Щоб знайти нулі, прирівняйте її до нуля. Наприклад:
Знайдіть та позначте горизонтальні асимптоти.Асимптота - це пряма, до якої графік функції наближається, але ніколи не перетинає її (тобто в цій галузі функція не визначена, наприклад, при розподілі на 0). Асимптоту відзначте пунктирною лінією. Якщо змінна «х» знаходиться у знаменнику дробу (наприклад, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac(1)(4-x^(2))))), прирівняйте знаменник до нуля і знайдіть "х". В отриманих значеннях змінної «х» функція не визначена (у нашому прикладі проведіть пунктирні лінії через х = 2 і х = -2), тому що на 0 ділити не можна. Але асимптоти існують у випадках, коли функція містить дробовий вираз. Тому рекомендується користуватися здоровим глуздом:
-
Визначте, чи функція є лінійною.Лінійна функція задається формулою виду F(x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)або y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(Наприклад, ), а її графік являє собою пряму. Таким чином, формула включає одну змінну та одну константу (постійну) без будь-яких показників ступенів, знаків кореня тощо. Якщо дана функція аналогічного виду, збудувати графік такої функції досить просто. Ось інші приклади лінійних функцій:
Скористайтеся константою, щоб відзначити точку на осі Y.Константа (b) є координатою «у» точки перетину графіка з віссю Y. Тобто це точка, координата «х» якої дорівнює 0. Таким чином, якщо формулу підставити х = 0, то у = b (константі). У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константа дорівнює 5, тобто точка перетину з віссю Y має координати (0,5). Нанесіть цю точку на координатну площину.
Знайдіть кутовий коефіцієнтпрямий.Він дорівнює множнику за змінної. У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)при змінній "х" знаходиться множник 2; таким чином, кутовий коефіцієнт дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі X, тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим швидше зростає або зменшується функція.
Запишіть кутовий коефіцієнт у вигляді дробу.Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсукута нахилу, тобто відношенню вертикальної відстані (між двома точками на прямій) до горизонтальної відстані (між цими ж точками). У нашому прикладі кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тому можна заявити, що вертикальна відстань дорівнює 2, а горизонтальна відстань дорівнює 1. Запишіть це у вигляді дробу: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
Побудувати функцію
Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.
Переваги побудови графіків онлайн
- Візуальне відображення функцій, що вводяться
- Побудова дуже складних графіків
- Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
- Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
- Управління масштабом, кольором ліній
- Можливість побудови графіків за точками, використання констант
- Побудова одночасно кількох графіків функцій
- Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))
З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення у Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функций. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.
Побудова графіків функцій, що містять модулі, зазвичай викликає чималі труднощі у школярів. Проте все не так погано. Достатньо запам'ятати кілька алгоритмів вирішення таких завдань, і ви зможете легко побудувати графік навіть самій на вигляд складної функції. Давайте розберемося, що це за алгоритми.
1. Побудова графіка функції y = | f (x) |
Зауважимо, що безліч значень функцій y = | f (x) | : y ≥ 0. Таким чином, графіки таких функцій завжди розташовані повністю у верхній напівплощині.
Побудова графіка функції y = | f (x) | складається з наступних чотирьох простих етапів.
1) Побудувати акуратно та уважно графік функції y = f(x).
2) Залишити без зміни всі точки графіка, які знаходяться вище за осі 0x або на ній.
3) Частину графіка, що лежить нижче за осю 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.
Приклад 1. Зобразити графік функції y = | x 2 - 4x + 3 |
1) Будуємо графік функції y = x 2 - 4x + 3. Очевидно, що графік цієї функції - парабола. Знайдемо координати всіх точок перетину параболи з осями координат та координати вершини параболи.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x1=3, x2=1.
Отже, парабола перетинає вісь 0x у точках (3, 0) та (1, 0).
y = 0 2 - 4 · 0 + 3 = 3.
Отже, парабола перетинає вісь 0y у точці (0, 3).
Координати вершини параболи:
x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 - 4 · 2 + 3 = -1.
Отже, точка (2, -1) є вершиною даної параболи.
Малюємо параболу, використовуючи отримані дані (Рис. 1)
2) Частину графіка, що лежить нижче за осю 0x, відображаємо симетрично щодо осі 0x.
3) Отримуємо графік вихідної функції ( Рис. 2, зображено пунктиром).
2. Побудова графіка функції y = f(|x|)
Зауважимо, що функції виду y = f(|x|) є парними:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Отже, графіки таких функцій симетричні щодо осі 0y.
Побудова графіка функції y = f(|x|) складається з наступного нескладного ланцюжка процесів.
1) Побудувати графік функції y = f(x).
2) Залишити ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану у правій напівплощині.
3) Відобразити вказану у пункті (2) частину графіка симетрично осі 0y.
4) Як остаточний графік виділити об'єднання кривих, отриманих у пунктах (2) та (3).
Приклад 2. Зобразити графік функції y = x 2 - 4 · | + 3
Оскільки x 2 = |x| 2 , то вихідну функцію можна переписати в наступному вигляді: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. А тепер можемо застосовувати запропонований вище алгоритм.
1) Будуємо акуратно та уважно графік функції y = x 2 – 4 · x + 3 (див. також Рис. 1).
2) Залишаємо ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану у правій напівплощині.
3) Відображаємо праву частину графіка симетрично осі 0y.
(Рис. 3).
Приклад 3. Зобразити графік функції y = log 2 | x |
Застосовуємо схему, дану вище.
1) Будуємо графік функції y = log 2 x (Рис. 4).
3. Побудова графіка функції y = | f ( | x |) |
Зауважимо, що функції виду y = | f ( | x |) | теж є парними. Справді, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = | f (| x |) | = y(x), і тому їх графіки симетричні щодо осі 0y. Безліч значень таких функцій: y ≥ 0. Отже, графіки таких функцій розташовані повністю у верхній півплощині.
Щоб побудувати графік функції y = |f(|x|)|, необхідно:
1) Побудувати акуратно графік функції y = f(|x|).
2) Залишити без змін ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.
4) Як остаточний графік виділити об'єднання кривих, отриманих у пунктах (2) та (3).
Приклад 4. Зобразити графік функції y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.
1) Зауважимо, що x 2 = | x | 2 . Значить замість вихідної функції y = -x 2 + 2|x| - 1
можна використовувати функцію y=-|x| 2 + 2 | - 1, тому що їхні графіки збігаються.
Будуємо графік y = - | x | 2 + 2 | - 1. Для цього застосовуємо алгоритм 2.
a) Будуємо графік функції y = -x 2 + 2x - 1 (Рис. 6).
b) Залишаємо ту частину графіка, яка розташована у правій напівплощині.
c) Відображаємо отриману частину графіка симетрично до осі 0y.
d) Отриманий графік зображено на малюнку пунктиром (Мал. 7).
2) Вище осі 0х точок немає, крапки на осі 0х залишаємо без зміни.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осю 0x, відображаємо симетрично щодо 0x.
4) Отриманий графік зображено на малюнку пунктиром (Рис. 8).
Приклад 5. Побудувати графік функції y = | (2 | x | - 4) / ( | X | + 3) |
1) Спочатку необхідно побудувати графік функції y = (2 | x | - 4) / ( | x | + 3). Для цього повертаємось до алгоритму 2.
a) Акуратно будуємо графік функції y = (2x - 4) / (x + 3) (рис. 9).
Зауважимо, що дана функція є дробово-лінійною та її графік є гіперболою. Для побудови кривої спочатку потрібно визначити асимптоти графіка. Горизонтальна – y = 2/1 (відношення коефіцієнтів при x у чисельнику та знаменнику дробу), вертикальна – x = -3.
2) Ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній, залишимо без змін.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осі 0x, відобразимо симетрично щодо 0x.
4) Остаточний графік зображено малюнку (рис. 11).
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Іноді у завданнях зустрічаються не зовсім звичайні функції, де у формулі функції є лише «y» або лише «x».
Виникає питання: " Як побудувати графік такої функції?».
Запам'ятайте!
Графіком функції виду "y = 7" і "x = 2" (функції, де є тільки "y" або тільки "x") є пряма, яка паралельна одній з осей координат.
Як побудувати графік функції «y = 7»
Розберемося на прикладі. Розглянемо функцію "y = 7".
У формулі функції «y = 7» є лише «y». Це означає, що всі точки графіка функції «y = 7» мають координату по осі «y» ( ординату) рівну «7».
Аргумент функції «x» явно відсутній у формулі функції «y = 7», але тим не менш «x», хай і «незримо», але є у функції і набуває будь-яких числових значень.
З урахуванням вище сказаного давайте знайдемо кілька точок графіка
функції «y = 7». Виберемо три довільні числові значення для «x». Наприклад, числа «1», «2» та «3».
Якщо з'єднати отримані точки графіка функції «y = 7», ми отримаємо пряму, яка паралельна осі «Ox ».
Як побудувати графік функції "x = 2"
Функції, де є тільки «x», будуються за схожим принципом, що і функції, де є тільки «y», з тією різницею, що тепер ми працюємо з віссю «Ox».
Розберемося на прикладі. Розглянемо функцію "x = 2".
У формулі функції «x = 2» є лише «x».
Це означає, що всі точки графіка функції x = 2 мають координату по осі x ( абсцису) рівну «2».
Значення функції «y» явно відсутнє у функції «x = 2», проте «y» «незримо» є у функції і набуває будь-яких числових значень.
З урахуванням вище сказаного давайте знайдемо кілька точок графіка
функції "x = 2".
Виберемо три довільні числові значення для «y». Наприклад, числа «1», «2» та «3».
Зазначимо отримані точки на системі координат.
Якщо з'єднати отримані точки графіка функції «x = 2», ми отримаємо пряму, яка паралельна осі «Oy ».
Як запам'ятати правила побудови графіків функції виду «y = 7» та «x = 2»
Для побудови графіків функції виду y = 7 і x = 2 слід запам'ятати наступне правило.
