Властивості та графіки тригонометричних функцій. Тригонометричні функції числового аргументу. Графік та властивості функції у = sin x Функції числового аргументу

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

1. Вироблення вмінь та навичок застосування тригонометричних формул для спрощення тригонометричних виразів.
2. Реалізація принципу діяльнісного підходу у навчанні учнів, розвиток комунікабельності та толерантності учнів, уміння слухати та чути інших та висловлювати свою думку.
3. Підвищення інтересу учнів до математики.

Тип уроку:тренувальний.

Вигляд уроку:урок відпрацювання навичок та умінь.

Форма навчання:групова.

Тип груп: група сидить разом. Учні різного рівня навченості, поінформованості з цього предмету, сумісні учні, що дозволяє взаємно доповнювати і збагачувати одне одного.

Обладнання:дошка; крейда; таблиця "Тригонометр"; маршрутні листи; картки з літерами (А, В, С.) до виконання тесту; таблички з назвами екіпажів; оціночні листи; таблиці із назвами етапів шляху; магніти; мультимедійний комплекс.

Хід уроку

Учні сидять у групах: 4 групи по 5-6 осіб. Кожна група - це екіпаж машини з назвами, що відповідають назв тригонометричних функцій, на чолі з кермовим. Кожному екіпажу видається маршрутний лист та визначається мета: пройти заданий маршрут успішно, без помилок. Урок супроводжується презентацією.

I. Організаційний момент.

Вчитель повідомляє тему уроку, мету уроку, хід уроку, план роботи груп, роль керманичів.

Вступне слово вчителя:

– Хлопці! Запишіть число та тему уроку: «Тригонометричні функції числового аргументу».

Сьогодні на уроці ми будемо вчитися:

1. обчислювати значення тригонометричних функцій;
2. Спрощувати тригонометричні вирази.

Для цього потрібно знати:

1. Визначення тригонометричних функцій
2. Тригонометричні співвідношення (формули).

Відомо давно, що одна голова добре, а дві краще, тому ви сьогодні працюєте у групах. Відомо також, що дорогу здолає той, хто йде. Але ми живемо у вік швидкостей і час дорого, а значить можна сказати так: «Дорогу здолає той, хто їде», тому сьогодні урок у нас пройде у вигляді гри «Математичне ралі». Кожна група – це екіпаж машини на чолі з кермовим.

Мета гри:

• успішно пройти маршрут кожному екіпажу;
• виявити чемпіонів ралі.

Назва екіпажів відповідає марці машини, на якій ви робите пробіг.

Представляються екіпажі та їх кермові:

• Екіпаж - "синус"
• Екіпаж – «косинус»
• Екіпаж - "тангенс"
• Екіпаж - "котангенс"

Девіз гонки: «Поспішайте повільно!»

Ви маєте здійснити пробіг «математичною місцевістю» з безліччю перешкод.

Маршрутні листи кожному екіпажу видано. Подолати перешкоди зможуть екіпажі, які знають визначення та тригонометричні формули.

Під час пробігу кожен кермовий керує екіпажем, допомагаючи, та оцінюючи внесок кожного члена екіпажу у подолання маршруту у вигляді «плюсів» та «мінусів» в оцінному аркуші. За кожну правильну відповідь група отримує "+", неправильну "-".

Вам доведеться подолати наступні етапи шляху:

І етап. ПДР (правила дорожнього руху).
ІІ етап. Техогляд.
ІІІ етап. Перегони по пересіченій місцевості.
ІV етап. Раптова зупинка – аварія.
V етап. Привал.
VI етап. Фініш.
VII етап. Підсумки.

І так у дорогу!

І етап. ПДР (правила дорожнього руху).

1) У кожному екіпажі рульові роздають кожному члену екіпажу квитки з теоретичними питаннями:

1. Розкажіть визначення синуса числа t та його знаки за чвертями.
2. Розкажіть визначення косинуса числа t та його знаки за чвертями.
3. Назвіть найменше та найбільше значення sin t та cos t.
4. Розкажіть визначення тангенсу числа t та його знаки за чвертями.
5. Розкажіть визначення котангенсу числа t та його знаки за чвертями.
6. Розкажіть, як знайти значення функції sin t за відомим числом t.

2) Зберіть формули, що «розсипалися». На таємній дошці таблиці (див. нижче). Екіпажі повинні привести у відповідність формули. Відповідь кожна команда записує на дошці у вигляді рядка відповідних літер (парами).

Відповідь:аб, вг, де, їжак, зи, йк.

ІІ етап. Техогляд.

Усна робота: тест.

На таємній дошці написано завдання: спростити вираз.

Поруч записано варіанти відповідей. Екіпажі визначають правильні відповіді за 1 хв. та піднімають відповідний набір букв.

Відповідь: З В А.

ІІІ етап. Перегони по пересіченій місцевості.

3 хвилини екіпажам на нараду за рішенням завдання, а далі представники екіпажів пишуть рішення на дошці. Коли представники екіпажів закінчать записувати рішення першого завдання, всі учні (разом із учителем) перевіряють правильність та раціональність рішень та записують у зошит. Рульові оцінюють внесок кожного члена екіпажу знаками "+" і "-" в оцінних аркушах.

Завдання з підручника:

• Екіпаж - "синус": № 118 г;
• Екіпаж - "косинус": № 122 а;
• Екіпаж - "тангенс": № 123 г;
• Екіпаж - "котангенс": № 125 р.

ІV етап. Раптова зупинка – аварія.

– Ваш автомобіль зламався. Потрібно усунути несправність вашого автомобіля.

Для кожного екіпажу наведені висловлювання, але в них допущені помилки. Знайдіть ці помилки і поясніть, чому вони були допущені. У висловлюваннях використовуються тригонометричні функції, що відповідають маркам ваших машин.

V етап. Привал.

Ви втомилися і маєте відпочити. Поки екіпаж відпочиває кермові підбивають попередні підсумки: вважають «плюси» та «мінуси» у членів екіпажу та загалом у екіпажу.

Для учнів:

3 і більше "+" - оцінка "5";
2 "+" - оцінка "4";
1 "+" - оцінка "3".

Для екіпажів:"+" і "-" взаємно знищуються. Вважаються лише знаки, що залишилися.

Відгадайте шараду.

З чисел ви мій перший склад візьміть,
Другий - зі слова "гордеці".
А третім коням ви поженете,
Четвертим буде мекання вівці.
Мій п'ятий склад такий самий, як і перший,
Останньою літерою в алфавіті є шостою,
А якщо відгадаєш ти все правильно,
То в математиці розділ отримаєш ти такий.
(Три-го-но-ме-трі-я)

Слово «тригонометрія» (від грецьких слів «тригонон» – трикутник та «метрео» – вимірюю) означає «вимірювання трикутників». Виникнення тригонометрії пов'язане з розвитком географії та астрономії - науки про рух небесних тіл, про будову та розвиток Всесвіту.

Внаслідок проведених астрономічних спостережень виникла необхідність визначення положення світил, обчислення відстаней та кутів. Оскільки деякі відстані, наприклад, від Землі до інших планет, не можна було виміряти безпосередньо, то вчені почали розробляти прийоми знаходження взаємозв'язків між сторонами і кутами трикутника, у якого дві вершини розташовані землі, а третю представляє планета чи зірка. Такі співвідношення можна вивести, вивчаючи різні трикутники та його властивості. Ось чому астрономічні обчислення призвели до розв'язання (тобто знаходження елементів) трикутника. Цим і займається тригонометрія.

Зачатки тригонометрії було виявлено у стародавньому Вавилоні. Вавилонські вчені вміли пророкувати сонячні та місячні затемнення. Деякі відомості тригонометричного характеру зустрічаються у старовинних пам'ятниках інших народів давнини.

VI етап. Фініш.

Щоб успішно перетнути лінію фінішу, залишилося піднатужитися і зробити «ривок». Дуже важливо в тригонометрії вміти швидко визначати значення sin t, cost, tgt, ctg t де 0 ≤ t ≤ . Підручники закрити.

Екіпажі по черзі називають значення функцій sin t, cost, tgt, ctg t, якщо:

VII етап. Підсумки.

Підсумки гри.

Кермові здають оціночні листи. Визначається екіпаж, який став чемпіоном «Математичного ралі» та характеризується робота інших груп. Далі називаються прізвища тих, хто отримав оцінки «5» та «4».

Підсумки уроку.

- Хлопці! Чого ви сьогодні навчилися на уроці? (Спрощувати тригонометричні вирази; знаходити значення тригонометричних функцій). А що для цього треба знати?

• визначення та властивості sin t, cos t, tg t, ctg t;
• співвідношення, що пов'язують значення різних тригонометричних функцій;
• знаки тригонометричних функцій за чвертями числового кола.
• значення тригонометричних функцій першої чверті числового кола.

- Я думаю, що ви зрозуміли, що формули потрібно добре знати, щоб їх правильно застосовувати. Ви також зрозуміли, що тригонометрія є дуже важливою частиною математики, оскільки вона застосовується в інших науках: астрономії, географії, фізики та ін.

Домашнє завдання:

• для учнів, що отримали «5» і «4»: §6, №128а, 130а, 134а.
• інших учнів: §6, №119г, №120г, №121г.

Визначення1:Числова функція, задана формулою y = sin x називається синусом.

Ця крива має назву - синусоїда.

Властивості функції y=sin x

2. Область значення функції: E(y)=[-1; 1]

3. Парність функції:

y=sin x - непарна,.

4. Періодичність: sin(x+2πn)=sin x, де n – ціле число.

Ця функція через певний проміжок набуває однакових значень. Таку властивість функції називають періодичністю.Проміжок – період функції.

Для функції y = sin x період становить 2π.

Функція y=sin x – періодична, із періодом Т=2πn, n – ціле число.

Найменший позитивний період Т=2?

Математично можна записати так: sin(x+2πn)=sin x, де n – ціле число.

Визначення2:Числова функція, задана формулою y = cosx називається косинусом.

Властивості функції y=cos x

1. Область визначення функції: D(y)=R

2. Область значення функції: E(y)=[-1;1]

3. Парність функції:

y=cos x -парна.

4. Періодичність: cos(x+2πn)=cos x, де n – ціле число.

Функція y=cos x – періодична, із періодом Т=2π.

Визначення 3:Числова функція, задана формулою y = tg x називається тангенсом.

Властивості функції y=tg x

1. Область визначення функції: D(y) - всі дійсні числа, крім π/2+πk, k – ціле число. Тому що у цих точках тангенс не визначено.

3. Парність функції:

y = tg x - непарна.

4. Періодичність: tg(x+πk)=tg x, де k – ціле число.

Функція y=tg x – періодична із періодом π.

Визначення 4:Числова функція, задана формулою y = ctg x називається котангенсом.

Властивості функції y=ctg x

1. Область визначення функції: D(y) - усі дійсні числа, крім πk, k– ціле число. Тому що у цих точках котангенс не визначено.

2. Область значення функції: E(y)=R.

Основною тригонометричною тотожністю в російськомовних підручниках математики називають співвідношення sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Ми розглянули основні тригонометричні функції (не спокушайтеся крім синуса, косинуса, тангенса і котангенса існує ще безліч інших функцій, але про них пізніше), а поки розглянемо деякі основні властивості вже вивчених функцій.

Тригонометричні функції числового аргументу

Яке дійсне число t не взяти, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin(t) . Щоправда, правило відповідності є досить складним і полягає в наступному.

Щоб за кількістю t знайти значення sin(t) потрібно:

1. розташувати числове коло на координатній площині так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А кола потрапила в точку (1; 0);
2. на колі знайти точку, що відповідає числу t;
3. знайти ординату цієї точки.
4. ця ордината і є шуканим sin(t) .

Фактично йдеться про функцію s = sin(t) , де t - будь-яке дійсне число. Ми вміємо обчислювати деякі значення цієї функції (наприклад, sin(0) = 0 , \(sin \frac(\pi)(6) = \frac(1)(2) \)і т.д.), знаємо деякі її властивості.

Так само ми можемо вважати, що вже отримали деякі уявлення про ще три функції: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Всі ці функції називають тригонометричними функціями числового аргументу t .

Зв'язок тригонометричних функцій

Як ви, сподіваюся, здогадуєтеся всі тригонометричні функції пов'язані між собою і навіть не знаючи значення однієї, її можна знайти через інше.

Наприклад, найголовніша формула з усієї тригонометрії - це основне тригонометричне тотожність:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Як бачите, знаючи значення синуса можна знайти значення косинуса, а також навпаки. Також дуже поширені формули, що пов'язують синус та косинус з тангенсом та котангенсом:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

З двох останніх формул можна вивести ще одне тригометричне тотожність, що цього разу зв'язує тангенс і котангенс:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Тепер давайте подивимося, як ці формули діють практично.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) Насамперед розпишемо тангенс, зберігаючи квадрат:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Тепер введемо все під спільний знаменник і отримуємо:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Ну і нарешті, як ми бачимо чисельник можна за основною тригонометричною тотожністю скоротити до одиниці, в результаті отримуємо: \[1 + \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) З котангенсом виконуємо ті самі дії, тільки в знаменнику буде вже не косинус, а синус і відповідь вийде таким:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Виконавши це завдання, ми вивели ще дві дуже важливі формули, які пов'язують наші функції, які теж потрібно знати, як свої п'ять пальців:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Усі представлені в рамках формули ви повинні знати напам'ять, інакше подальше вивчення тригонометрії без них просто неможливе. Надалі будуть ще формули і їх буде дуже багато і запевняю всі їх ви точно запам'ятовуватимете довго, а може й не запам'ятаєте, але ці шість штук повинні знати ВСІ!