Методи завдання дискретної випадкової величини. Способи завдання випадкових величин. Середнє квадратичне відхилення та дисперсія випадкової величини

Щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Спосіб завдання безперервної випадкової величини за допомогою ф-ції розподілу не є єдиним. Безперервну випадкову величину можна також задати, використовуючи іншу ф-цію, яку називають густиною розподілу або щільністю ймовірності (іноді її називають диференціальною функцією).

Щільністю розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х називають ф-цію f(х) - першу похідну від ф-ції розподілу F(х): f(х) = F"(х). Звідси функція розподілу є первісною для щільності розподілу.

π/2. Знайти густину розподілу f(х). 0 при х π/2." title="Приклад. Дана ф-ція розподілу безперервної випадкової величини Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Знайти щільність розподілу f(х). 0 при х π/2." class="link_thumb"> 18 !}приклад. Дана ф-ція розподілу безперервної випадкової величини Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Знайти густину розподілу f(х). 0 при х π/2. π/2. Знайти густину розподілу f(х). 0 при х π/2."> π/2. Знайти щільність розподілу f(х). 0 при х π/2."> π/2. Знайти густину розподілу f(х). 0 при х π/2." title="Приклад. Дана ф-ція розподілу безперервної випадкової величини Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Знайти щільність розподілу f(х). 0 при х π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="приклад. Дана ф-ція розподілу безперервної випадкової величини Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Знайти густину розподілу f(х). 0 при х π/2."> !}

Властивості густини розподілу Щільність розподілу – невід'ємна функція: f(x) 0. Графік густини розподілу називають кривою розподілу Невласний інтеграл від густини розподілу в межах від - до дорівнює 1. f(x)dx = 1. -

Імовірнісний зміст густини розподілу Функція f(x) визначає густину розподілу ймовірності для кожної точки х. Для досить малих х. F(x + x) – F(x) f(x)x. Т.к. різниця F(x + x) - F(x) визначає (див. вище) ймовірність того, що Х прийме значення, що належить інтервалу (х; x + x), то ця ймовірність, отже, приблизно дорівнює твору щільності ймовірності в т. х на довжину інтервалу х.

Формула Бернуллі (приватна теорема про повторення дослідів)

Приклад 23

Є три лотерейні квитки. Імовірність виграшу для будь-якого квитка однакова і дорівнює нар.Імовірність того, що квиток не виграє q = 1 - p- Як ймовірність протилежної події. Визначити ймовірність того, що із трьох квитків виграють рівно два.

Шукану ймовірність позначимо.

Цікава для нас подія відбудеться, якщо виграє перший І другий квиток І не виграє третій АБО не виграє перший квиток І виграють другий І третій АБО не виграє другий квиток І виграють перший І третій. Імовірність кожного з цих варіантів може бути знайдена за формулою множення, а відповідь підрахована за формулою додавання для несумісних подій:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Аналізуючи розв'язання задачі, з'ясовуємо, що її було вирішено в наступному порядку:

Складено різні варіанти здійснення цікавої події;

Підраховано кількість цих варіантів;

Визначено ймовірність появи події шляхом здійснення будь-якого варіанту;

Знайдена ймовірність шляхом множення ймовірності появи події по одному з варіантів на загальну кількість варіантів.

Фактично, завдання було вирішено за так званою, формулі Бернуллі. Запишемо її у загальному вигляді.

Нехай виробляється серія з nдослідів (випробувань). Досліди проводяться неодноразово, незалежно один від одного і в однакових умовах, тому ймовірність появи події Авід досвіду до досвіду не змінюється та дорівнює р. Позначимо можливість не появи події Ав одному досвіді- q = 1-p. Потрібно визначити ймовірність того, що в серії з nдослідів подія Аповториться kраз – позначимо цю подію як Ст.

Подія Уможе здійснитися у різний спосіб (варіантами). Наприклад, таким:

або таким:

Важливо те, що у будь-якому варіанті кількість події Аодно n, а кількість появи події одно n – k, хоча з'являтися і з'являтися вони будуть у різних випадках різної послідовності.

Для визначення числа подібних варіантів можна скористатися формулою комбінаторики- Числом поєднань з nелементів по k.

Поєднання – це такі комбінації з kоб'єктів (елементів), вибраних з деякої множини в nоб'єктів, які містять однакову кількість об'єктів, але відрізняються один від одного хоча б одним із них.

Число поєднань з nелементів по kпозначається, як і може бути знайдено за формулою: = . (15)

Важливою властивістю визначення числа поєднань є таке:

У задачі, що розглядається елементами, що відрізняються один від одного, є номери дослідів. Загальна кількість варіантів дорівнює.

Ймовірність появи події А nраз для кожного варіанта однакова і може бути знайдена за формулою множення ймовірностей, виходячи з фрази «Подія А відбулася kраз і не сталося n – kраз»: p k q n - k

Підсумовуючи ці однакові ймовірності, раз отримуємо формулу, звану формулою Бернуллі:

= p k q n - k. (16)

Необхідно пам'ятати, що р – це ймовірність появи цікавить нас події в досвіді, а q – ймовірність непояви цієї події у досвіді.

Формулу Бернуллі.(Якоб Бернуллі досліджував її у своїй книзі «Мистецтво припущень») також називають приватний теорема про повторення дослідів. Це означає, кожен наступний досвід проводиться за тих-таки умовах, як і попередні, тобто. ймовірність появи події від досвіду до досвіду не змінюється і залишається рівною нар.

Поряд із приватною існує загальна теоремапро повторення дослідів (імовірність появи події від досвіду до досвіду змінюється), розгляд якої виходить за рамки цього курсу.

Приклад 24

У цеху є 10 електродвигунів, ймовірність відключеного стану кожного з яких дорівнює 0,1. Двигуни включаються в мережу незалежно один від одного. Визначити ймовірність того, що відключено відразу три електродвигуни.

Рішення. Умова завдання відповідає схемі повторних випробувань Я. Бернуллі. Вирішуємо задачу з використанням приватної теореми про повторення дослідів, враховуючи, що відключених двигунів три (імовірність відключеного стану 0,1), а включених – 7 (імовірність увімкненого стану 0,9):

= p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.

Випадкові величини та їх закони розподілу

Поруч із випадковими подіями іншим найважливішим поняттям теорії ймовірностей є поняття «випадкова величина» (СВ).

Величина - Це кількісна характеристика результату досвіду.

Усі величини поділяються на дві великі групи: невипадкові та випадкові.

Невипадкові (детерміновані) - Це такі величини, які в результаті досвіду приймають заздалегідь певне, відоме значення. Наприклад, час сходу та заходу сонця, дата наступу нового року, кількість пальців на руках у новонародженого, кількість іспитів та заліків у семестрі.

Випадкові (стохастичні)- Це такі величини, про які заздалегідь невідомо, яке значення вони набудуть в результаті досвіду.

Випадкові величини, своєю чергою, може бути дискретними і безперервними.

Дискретниминазивають такі СВ, які у досвіді приймають якесь одне з безлічі можливих значень, причому ці значення за бажання можна перерахувати чи пронумерувати, тобто. це безліч є кінцевим. Найчастіше (хоча не обов'язково) – це цілі, невід'ємні значення. Наприклад, проціну студента на іспиті; кількість волосся на голові, кількість працюючих у цеху ЕД.

Безперервними називають такі СВ, які в досвіді набувають одного з можливих значень, причому кількість цих значень навіть у дуже малому інтервалі нескінченно велика. Інакше висловлюючись, безліч можливих значень безперервної СВ є незліченним. Наприклад, рівень напруги в мережі, тривалість роботи ЛЕП повністю, зростання і вага людини, маса авторучки.

Назви випадкових величин прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту – X, Y; а значення , які випадкові величини приймають у досвіді, – малими - x, y.

Різні значення однієї й тієї випадкової величини спостерігаються не однаково часто. Наприклад, чоловіки носять 42-й розмір взуття набагато частіше, ніж 46-й; напруга в мережі набагато частіше лежить в інтервалі 215-225, ніж в інтервалі 225 -235 В.

Взаємозв'язок між значеннями випадкової величини та ймовірностями їх появи встановлює акон розподілу випадкової величини Кажуть, що СВ розподілено (підпорядковується) за тим чи іншим законом розподілу. Існує кілька форм завдання закону розподілу:

· У вигляді таблиці (таблично);

· Вигляду малюнка (графічно);

· Формулою (аналітично).

Способи завдання законів розподілу випадкових величин

Усі методи завдання законів розподілу СВ умовно можна розділити теоретичні і статистичні. Теоретичні законирозподіли відбивають справжні закони, що у природі. Для встановлення, згідно із законом великих чисел, необхідно переробити близький до нескінченного обсяг інформації. Практично такі закони встановлюються на підставі обмеженого обсягу статистичних даних та оформлюються тими чи іншими статистичнимиметодами. Статистичні дані часто називають експериментальними (емпіричними). Кожен теоретичний метод завдання закону розподілу (ТЗР) має статистичні аналогії (СтЗР). Розглянемо ці методи.

ТЗР-1. Ряд розподілу СВ

Ряд розподілу – це таблиця, у якій з одного боку вказано значення випадкової величини, з другого – їх ймовірності (табл. 2). У ряді розподілу значення СВ розташовуються впорядковано – у міру їхнього зростання.

Між усіма можливими значеннями СВ ділиться сумарна ймовірність цих значень, що дорівнює одиниці. Тому сума всіх ймовірностей ряду розподілу дорівнює одиниці: = 1

Таблиця 2. Ряд розподілу СВ

«Я цілком можу припустити, що гарненька героїня, рятуючись втечею, може опинитися на звивистій та побоській гірській стежці. Менш імовірно, але все ж таки можливо, що міст над прірвою рухне саме в той момент, коли вона на нього ступить. Винятково малоймовірно, що в останній момент вона схопиться за билинку і повисне над прірвою, але навіть з такою нагодою я можу погодитись. Дуже важко, але все-таки можна повірити в те, що красень ковбой якраз у цей час проїжджатиме повз і виручить нещасну. Але щоб у цей момент одразу опинився оператор з камерою, готовий зняти всі ці хвилюючі події на плівку, – цьому, звільніть, я не повірю!»

Нільс Бор про ковбойських вестернів

Одне з центральних понять теорії ймовірностей – поняття випадкової величини:

Випадкова величина— це величина, яка в результаті випробування прийме одне і лише одне можливе значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Позначатимемо випадкові величини літерами латинського алфавіту X, Y, Z

Випадкова величина буває:

дискретний

безперервний

змішаної (дискретно-
безперервний)

Приклад:гральні кубики. Номер, що випадає, — випадкова величина, яка може приймати одне з можливих значень — 1, 2, 3, 4, 5 або 6 з рівною ймовірністю*.

Приклад:зростання студентів — зростання студента може набувати будь-якого значення з числового проміжку 1 м до 2,5 м. Кількість можливих значень — нескінченна.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

Для завдання дискретної випадкової величини недостатньо перерахувати її можливі значення, треба зазначити ще й їх ймовірність.

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивають відповідність між можливими значеннями випадкової величини та ймовірностями їх появи.

Закон розподілу можна поставити таблично, аналітично (як формули) чи графічно (як багатокутника розподілу).

Розглянемо випадкову величину Xяка приймає значення x 1, x 2, x 3 . x nз деякою ймовірністю p i , де i= 1.. n. Сума ймовірностей p i дорівнює 1.

Таблиця відповідності значень випадкової величини та їх ймовірностей виду

називається поряд розподілу дискретної випадкової величиниабо просто поряд розподілу. Ця таблиця є найзручнішою формою завдання дискретної випадкової величини.

Графічне подання цієї таблиці називається багатокутником розподілу.По осі абсцис відкладаються можливі значення дискретної випадкової величини, а осі ординат відповідні ймовірності.

Числові характеристики дискретних випадкових величин

Закон розподілу повністю характеризує дискретну випадкову величину. Однак, коли неможливо визначити закон розподілу, або цього не потрібно, можна обмежитися знаходженням значень, які називаються числовими характеристиками випадкової величини:

• Математичне очікування,
• Дисперсія,
• Середнє квадратичне відхилення

Ці величини визначають деяке середнє значення, навколо якого групуються значення випадкової величини, і рівень їх розкиданості навколо цього середнього значення.

Математичне очікування Mдискретної випадкової величини - це середнє значення випадкової величини, що дорівнює сумі творів всіх можливих значень випадкової величини на їх ймовірності.

Властивості математичного очікування:

Для опису багатьох практично важливих властивостей випадкової величини необхідне знання як її математичного очікування, а й відхилення можливих її значень від середнього значення.

Дисперсія випадкової величини- міра розкиду випадкової величини, що дорівнює математичному очікуванню квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

Беручи до уваги властивості математичного очікування, легко показати що

Здавалося б природним розглядати не квадрат відхилення випадкової величини від її математичного очікування, а відхилення. Однак математичне очікування цього відхилення дорівнює нулю. Це тим, що одні можливі відхилення позитивні, інші негативні, й у їх взаємного погашення виходить нуль. Можна було б прийняти за міру розсіювання математичне очікування модуля відхилення випадкової величини від її математичного очікування, але зазвичай дії пов'язані з абсолютними величинами, призводять до громіздких обчислень.

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія постійної дорівнює нулю.
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат.
3. Якщо x і y незалежні випадкові величини, то дисперсія суми цих величин дорівнює сумі їх дисперсій.

Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини (іноді застосовується термін « стандартне відхилення випадкової величини ») називається число рівне

Середнє квадратичне відхилення, отже, є, як і дисперсія, мірою розсіювання розподілу, але вимірюється, на відміну дисперсії, у тих самих одиницях, які використовують із вимірювання значень випадкової величини.

Повторення випробувань. Формула Бернуллі.

Імовірність того, що при випадковому кидку монета ляже гербом догори дорівнює 1/2. Отже, знаючи ймовірність події, ми можемо передбачити, що за сто разового кидання монети герб з'явиться 50 разів? Не обов'язково точно 50. Але щось у цьому неодмінно.

Якоб Бернуллі (1654-1705) суворо довів - ймовірність того, що подія Анастане рівно kраз під час проведення незалежних nвипробувань дорівнює





де p- Імовірність настання події А, q- Імовірність настання протилежної події.

flash-library.narod.ru

Спосіб завдання дискретних випадкових величин 736

ЩЕ МАТЕРІАЛИ ЗА ТЕМОЮ:

Припустимо, нас цікавить дискретна випадкова величина Х. Для того, щоб повністю описати її, достатньо вказати всі її можливі значення х 1 , х 2 , . х n(тут n- задане ціле число) та ймовірності РХ = х i>= р i, де i = 1, 2, . n, з якими ці значення набувають. Зазвичай ці значення записуються як таблиці (табл. 3.1).

Таблицю називають законом розподілу дискретної випадкової величини (порівняйте її з варіаційним рядом дискретної статистичної ознаки, щоб побачити зв'язок між статистикою та теорією ймовірностей).

Так як при кожній реалізації даного комплексу умов випадкова величина Хможе прийняти лише одне значення з безлічі можливих значень, то ці значення є повною групою несумісних подій. Тоді, на підставі слідства 2 із правила складання ймовірностей, має виконуватися умова . Його називають нормуючим умовою.

Графічно закон розподілу дискретної випадкової величини можна подати у вигляді ламаної лінії - полігону (рис. 3.2) (тут знову доречно згадати варіаційні ряди).



Мал. 3.2. Графічне зображення закону розподілу
дискретної випадкової величини

Якщо безліч можливих значень дискретної випадкової величини — нескінченне, але лічильне, то закон розподілу набуде вигляду (табл. 3.2):

Лекція 1_06: Теорія ймовірностей. Випадкові величини

За реального використання теорії ймовірностей до простору елементарних подій ніколи не звертаються. Це поняття необхідне теоретичних обгрунтувань імовірнісних схем. Найчастіше розглядаються випадкові схеми, у яких подією є поява якогось числа. Для таких схем запроваджується поняття випадкової величини. Цьому поняттю і буде присвячено нашу лекцію. Ми розглянемо випадкові величини, способи їх завдання (так звані закони розподілу), числові характеристики випадкових величин, а також закони розподілу, що найчастіше зустрічаються.

Випадковою величиною називається відображення безлічі елементарних подій у безліч речових (або цілих) чисел

Передбачається така схема: у результаті випадкового експерименту вибирається одне з елементарних подій, у ньому обчислюється значення функції, і це спостерігається. Згадане відображення визначає ймовірність появи тих чи інших значень випадкової величини.

Наприклад, нехай безліч елементарних подій складається з дворазових кидань гральної кістки, що дає 36 елементарних результатів. Нехай функцію ξ визначено як суму значень, що випали на кістках. Очевидно, така випадкова величина може набувати значень від 2 до 12. При цьому значенню 2 відповідає одна елементарна подія, а, скажімо, значенню 9 - чотири: (3,6), (4,5), (5,4) і ( 6,3).

Зазвичай спостерігаються і вивчаються не елементарні події, безліч яких нам невідомо, саме випадкові величини. Щоб задати їх ймовірну поведінку, потрібно задати ймовірності того, що випадкова величина набуває того чи іншого значення. Розглянутий нами приклад випадкової величини зможемо виділити так:

Спробуйте самі скласти таблицю ймовірностей суми очок трьох кидань гральної кістки.

Визначення ймовірностей, з якими випадкова величина набуває своїх значень, називається її законом розподілу.

Функція розподілу випадкової величини

Одним із найважливіших способів завдання закону розподілу – це завдання функції розподілу.

Функцією розподілу випадкової величини ξ називається функція

На малюнку зображено
функція розподілу випадкової величини, розглянутої як приклад.

Для наочності область під графіком функції зафарбована сірий колір. Виразно видно, що ця функція монотонно не убуває і шматково-постійна. Вона має стрибки в точках, що відповідають значенням, ймовірність яких є позитивною.

Така функція розподілу називається інтегральною. Коли вона безперервна і має похідна, то цю похідну часто називають щільністю розподілу. Якщо функція розподілу, як у прикладі, кусочно-постоянна, але роль щільності може грати набір стрибків.

Задавати довільну функцію розподілу справа клопітна. Для спрощення використовуються два підходи.

По-перше, часто можна обмежитись деякими дуже простими чисельними характеристиками випадкової величини.

По-друге, є часто зустрічаються класи ймовірнісних розподілів, і часто з якихось «модельних» міркувань можна зрозуміти, якого класу належить дане розподіл. У цьому випадку достатньо лише задати параметри цього розподілу.

Ці підходи ми зараз розглянемо.

Характеристики випадкових величин

Нехай задана випадкова величина , що приймає кінцеве число значень a 1 , a 2 , . a kз ймовірностями
p 1 , p 2 , . p k. Математичним очікуванням цієї випадкової величини називається сума Eξ = Σ iО 1: k p i a i .

Як визначається математичне очікування для більш загального випадку, потрібно говорити окремо: використовуються інтеграли, але вас уже вчили, що інтеграл визначається через інтегральні суми, і для випадкових величин можна вводити близькі до них дискретні випадкові величини, математичні очікування яких відіграватимуть роль інтегральних сум для математичного очікування вихідної випадкової величини

Математичне очікування, як видно з цієї формули, можна трактувати як центр ваги набору мас p i, зосереджених у точках a i. Природно, як і властивості його добре знайомі як властивості центру тяжкості:

4. a, тобто, якщо k= 1 , то Eξ = a,
5. якщо η = cξ , де c- Постійна, то Eη = cEξ ,
6. для будь-яких ξ та η виконується E(ξ + η) = Eξ + Eη .

Дисперсією випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення цієї випадкової величини від її математичного очікування.

Це визначення спочатку викликає тихий страх. Насправді це дуже зручний словесний опис формули. Слова математичне очікування означає, що ми повинні написати
Dξ = E (.)
квадрата уточнює
Dξ = E (.) 2
відхилення відноситься до виразу в дужках
Dξ = E (. − .) 2
випадкової величини від її математичного очікування завершує написання формули
Dξ = E (ξ − Eξ) 2

Дисперсію можна трактувати як інерції того ж набору мас щодо його центру тяжкості. Її властивості нам теж добре знайомі:

7. якщо випадкова величина з ймовірністю 1 набуває значення a, то Dξ = 0,
8. якщо η = cξ , де c- Постійна, то Dη = c 2 Dξ .
9. Хотілося б мати рівність D(ξ + η) = Dξ + Dη , але воно правильне лише випадку незалежних випадкових величин.

Випадкові величини ξ та η називаються незалежними, якщо для будь-яких aі bнезалежні події

Легко переконатися в тому, що якщо ми підсумовуємо nнезалежних та однаково розподілених випадкових величин з математичним очікуванням aта дисперсією b, то їх суми математичне очікування і дисперсія рівні відповідно n aі n b, а для середнього арифметичного - відповідно aі b/n .

Отже, якщо хочемо оцінити якесь число, яке є математичним очікуванням деякої випадкової величини, ми можемо влаштувати випадкове випробування - спостерігати багато разів цю випадкову величину і обчислити середнє арифметичне. Його розкид навколо справжнього значення зменшуватиметься зі зростанням числа спостережень: сто разів виміряєш - у десять разів зменшиться (оскільки важлива не сама дисперсія, а корінь з неї). Цей факт є основою важливого обчислювального методу статистичного моделювання.

Зазначимо, що з аналогії з випадковими подіями можна розрізняти взаємно незалежні і попарно незалежні випадкові величини. Для згаданого властивості дисперсій цілком достатньо, щоб випадкові величини були попарно незалежні. Використовуються й інші характеристики, але ці найважливіші. Зараз ми розглянемо деякі важливі типи розподілів і щоразу будемо вказувати їхнє математичне очікування.

Типи розподілів

Рівномірний розподіл

Випадкова величина розподілена рівномірно у проміжку [ a,b] , де a, якщо її функція розподілу
F(x) дорівнює 0 при x, 1 при x > bі змінюється лінійно від 0 до 1 при a .

(a + b)/2 , а дисперсія - ( b − a) 2 /12 .

На малюнку показаний графік цієї функції розподілу для a= 0 і b = 1 .

Цей закон розподілу дуже важливий, оскільки всі стандартні комп'ютерні датчики випадкових величин (псевдовипадкові числа) моделюють саме такі випадкові величини, та якщо з них вже й створюються потрібні нам випадкові величини.

Показовий розподіл

Випадкова величина розподілена показово або експоненційно, якщо вона невід'ємна та F(x) = 1 − exp(−λ x) , де λ - позитивна константа.

Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює λ - 1, а дисперсія - λ - 2.

На малюнку показано графік цієї функції розподілу для λ = 3 .

Цей закон розподілу часто зустрічається в додатках, особливо в радіотехнічних і комунікаційних. Зокрема часто передбачається, що час розмови двох абонентів розподілено за показовим законом.

Нормальний розподіл

Це найпопулярніший із стандартних розподілів ймовірності, і на перший погляд може здатися дивним, що найпоширеніша така складна формула.

Випадкова величина розподілена нормально або за Гауссом, якщо (праворуч портрет К. Ф. Гаусса (1777-1855))



Ця функція залежить від параметрів aта σ. Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює aа дисперсія - σ 2 .



На графіку показано стандартну функцію з a= 0 та σ = 1 .

Причина частої появи цього закону в додатках у тому, що при складанні випадкових величин дуже часто розподіл їх суми, що розглядається як випадкова величина, наближається до нормального.

У наших завданнях воно не зустрічатиметься, але не згадати про нього було б непристойно.

Розподіл Бернуллі

Цей найпростіший дискретний розподіл названо на честь швейцарського математика Якова Бернуллі старшого (1654-1705), (ще ​​був і молодший, який працював у Петербурзі).

Випадкова величина розподілена по Бернуллі, якщо вона набирає всього два значення. Зазвичай цими значеннями є 1, ймовірність якої дорівнює p ,
і 0, ймовірність якого дорівнює q = 1 − p.

Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює p, а дисперсія - pq .

Такий графік ви, звісно, ​​збудуєте самі.

Закон Бернуллі дуже зручний для всякого роду модельних побудов, він лише трохи складніше, ніж його окремий випадок - кидання монети, де p = 1/2 .

Біноміальний розподіл

Випадкова величина ξ , що дорівнює сумі nнезалежних однакових бернулліївських випадкових величин, що має біноміальний розподіл. Для неї

Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює np, а дисперсія - npq .

Біноміальний розподіл зі збільшенням числа доданків nстає дуже схожим на нормальний розподіл.

Потрібно лише відповідним чином нормувати випадкову величину: відняти математичне очікування і поділити на корінь дисперсії, тобто замість ξ розглядати
η = (ξ — np)(npq) − 1/2 .

Якщо ж зі зростанням nймовірність pзменшується, причому так, що зберігається чи стабілізується твір np, Виходить інший класичний розподіл, який ми зараз опишемо.

Розподіл Пуассона

Цей розподіл запропоновано французьким математиком Сімеоном Пуассоном (1781-1840), почесним членом Петербурзької Академії наук.

Випадкова величина ξ має пуассонівський розподіл, якщо

Математичне очікування такої випадкової величини дорівнює λ, і дисперсія теж λ.



Пуассонівський розподіл характерний для схеми рідкісних подій - в якій складається дуже багато випадкових величин з розподілом Бернуллі і дуже малою ймовірністю позитивного результату у кожного.

Наприклад, зазначалося, що кількість листів, опущених до поштової скриньки з ненадписаним конвертом, має пуассонівський розподіл.

Вправи

Випадкова величина набуває значення 0 з ймовірністю 0.3, 2 з ймовірністю 0.2, 4 з ймовірністю 0.5. Знайдіть її математичне очікування та дисперсію.

Дві випадкові величини мають математичне очікування 0 і дисперсію 1. У яких межах може змінюватися дисперсія їх суми. Побудуйте приклад із найбільшим та найменшим значенням дисперсії суми.

Екзаменаційні питання

Випадкові величини та їх функції розподілу.

Математичне очікування та дисперсія. Їхні властивості.

www.math.spbu.ru

Освітній блог - все для навчання

Повторення дослідів

При практичному застосуванні теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із завданнями, у яких той самий досвід чи аналогічні досліди повторюються неодноразово. В результаті кожного досвіду може з'явитися або не з'явитися певна подія А, причому нас цікавить не результат кожного окремого досвіду, а загальна кількість події А в результаті серії дослідів. У подібних завданнях потрібно вміти визначати ймовірність будь-якої заданої кількості проявів події в результаті серії дослідів. Вони вирішуються дуже просто у разі, коли досліди є незалежними.

Декілька дослідів називаються незалежними, якщо ймовірність того чи іншого результату кожного з дослідів не залежить від того, які наслідки мали інші досліди.

Незалежні досліди можуть проводитися в однакових чи різних умовах. У першому випадку ймовірність події А у всіх дослідах та сама Р i (А)=const. У другому випадку ймовірність події від досвіду до досвіду змінюється Р i (А) = var. До першого випадку належить приватна теорема, а до другого – загальна теорема про повторення дослідів.

Формулювання приватної теореми про повторення дослідів:
Якщо виробляється n незалежних дослідів, у кожному у тому числі подія А проявляється з ймовірністю р, то ймовірність те, що подія А з'явиться рівно m разів виражається формулою:

де q = 1 – p, C n m – число всіх комбінацій, тобто. число способів якими можна з n дослідів вибрати m у яких сталася подія А.

Формула загальної теореми:

де z - Довільний параметр.

Як загалом, так і в окремому випадку:

Випадкові величини та закони їх розподілу
Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може прийняти те чи інше значення, невідомо заздалегідь яке саме.

Випадкові величини бувають двох типів:
безперервні;
перервні (дискретні).

Умовимося надалі випадкові величини позначати великими літерами, які можливі значення – відповідними малими літерами.
Приклад:
Х- число попадань при трьох пострілах:
х 1 = 0;
х 2 = 1;
х 3 = 2;
х 4 = 3.

Розглянемо перервну випадкову величину Х з можливими значеннями x1, x2, …, xn. Кожне з цих значень можливо, але не достовірно, і величина Х може прийняти кожне з них з певною ймовірністю
Х = х 1;
Х = х 2;
Х = х 3;
Х = х4.

∑P m,n = 1, оскільки несумісні події утворюють повну групу. Ця сумарна можливість якимось чином розподілена між окремими значеннями. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісної точки зору, якщо буде задано цей розподіл, тобто. точно вказано, якою ймовірністю володіє кожна з подій. Цим встановлюється так званий закон розподілу випадкової величини.

Законом розподілу випадкової величининазивається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм ймовірностями.

Закон розподілу перервної випадкової величини Х може бути заданий у таких формах:
табличній;
аналітичної;
графічної.

Найпростішою формою завдання закону розподілу перервної випадкової величини є таблиця.

Випадкові величини. Дискретна випадкова величина.
Математичне очікування

Другий розділ по теорії ймовірностейприсвячений випадковим величинам , які незримо супроводжували нас буквально у кожній статті на тему. І настав момент чітко сформулювати, що це таке:

Випадковий називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і лише однечислове значення, що залежить від випадкових факторів і наперед непередбачуване.

Випадкові величини, як правило, позначаютьчерез * , які значення – відповідними маленькими літерами з підрядковими індексами, наприклад, .

* Іноді використовують , а також грецькі літери

Приклад зустрівся нам на першому ж уроці з теорії ймовірностей, де ми фактично розглянули таку випадкову величину:

– кількість очок, що випаде після кидка грального кубика.

В результаті цього випробування випаде одна і тількигрань, яка саме – не передбачити (фокуси не розглядаємо); при цьому випадкова величина може прийняти одне з наступних значень:

– кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.

Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відома, і в черговому десятку дітей, що народилися, може виявитися:

Або хлопчиків – один і лише одинз перерахованих варіантів.

І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:

- Дальність стрибка в довжину (У деяких одиницях).

Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту 🙂

Тим не менш, ваші гіпотези?

Якщо, безліч дійсних чиселнескінченно, то випадкова величина може прийняти нескінченно багатозначень із деякого проміжку. І в цьому полягає її принципова відмінність від попередніх прикладів.

Таким чином, випадкові величини доцільно поділити на 2 великі групи:

1) Дискретна (перервна)випадкова величина – набуває окремо взятих, ізольованих значень. Кількість цих значень звичайноабо нескінченно, але рахунково.

…намалювалися незрозумілі терміни? Терміново повторюємо основи алгебри!

2) Безперервна випадкова величина – приймає Усечислові значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Примітка : у навчальній літературі популярні абревіатури ДСВ та НСВ

Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім – безперервну.

Закон розподілу дискретної випадкової величини

– це відповідністьміж можливими значеннями цієї величини та їх ймовірностями. Найчастіше закон записують таблицею:

Досить часто зустрічається термін ряд розподілу, але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я дотримуватимуся «закону».

А зараз дуже важливий момент: оскільки випадкова величина обов'язковоприйме одне із значень, то відповідні події утворюють повну групуі сума ймовірностей їх наступу дорівнює одиниці:

або, якщо записати згорнуто:

Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей очок, що випали на кубику, має наступний вигляд:

Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може набувати лише «хороших» цілей. Розвіємо ілюзію – вони можуть бути будь-якими:

Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу:

…напевно, ви давно мріяли про такі завдання 🙂 Відкрию секрет – я теж. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.

Рішення: оскільки випадкова величина може прийняти лише одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

Викриваємо «партизана»:

- Отже, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.

Контроль: , у чому потрібно переконатися.

Відповідь:

Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / складання ймовірностей подійта інші фішки тервера:

У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а решта – по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини - розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.

Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядок їх зростання. Тому ми починаємо з найменшого виграшу, і саме карбованців.

Усього таких квитків 50 – 12 = 38, і за класичному визначенню:
- Імовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.

З рештою випадків все просто. Імовірність виграшу рублів становить:

І для :

Перевірка: і це особливо приємний момент таких завдань!

Відповідь: шуканий закон розподілу виграшу:

Наступне завдання для самостійного вирішення:

Імовірність того, що стрілець вразить мету, дорівнює . Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості влучень після двох пострілів.

…я знав, що ви за ним скучили 🙂 Згадуємо теореми множення та додавання. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді й корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .

Математичне очікування дискретної випадкової величини

У чому полягає ймовірнісний зміст отриманого результату? Якщо підкинути кубик досить багато разів, то середнє значенняочок, що випали, буде близько до 3,5 – і чим більше провести випробувань, тим ближче. Власне, про цей ефект я вже докладно розповідав на уроці про статистичної ймовірності.

Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру:

Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати у цю гру? …у кого якісь враження? Адже «навскидку» і не скажеш! Але це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті – середньозваженийза ймовірностями виграш:

Таким чином, математичне очікування цієї гри програшно.

Не вір враженням – вір цифрам!

Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції на нас чекає неминуче руйнування. І я не радив би вам грати в такі ігри 🙂 Ну, може, тільки заради розваги.

З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування – це вже невипадкова величина.

Творче завдання для самостійного дослідження:

Містер Х грає в європейську рулетку за наступною системою: постійно ставить 100 рублів на червоне. Скласти закон розподілу випадкової величини – його виграшу. Обчислити математичне очікування виграшу та округлити його до копійок. Скільки в середньомупрограє гравець із кожної поставленої сотні?

Довідка : європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних та 1 зелений сектор («зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, інакше вона йде до доходу казино

Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці можливостей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу та таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде таким самим. Від системи до системи змінюється лише дисперсія, Про яку ми дізнаємося у 2-й частині уроку.

Але спочатку буде корисно розім'яти пальці на кнопках калькулятора:

Випадкова величина задана своїм законом розподілу ймовірностей:

Знайти , якщо відомо, що . Виконати перевірку.

Тоді переходимо до вивчення дисперсії дискретної випадкової величини, і по можливості,

Що включає медичний огляд (за наказом 302н) При проведенні медогляду відповідно до наказу № 302н всім в обов'язковому порядку проводяться: клінічний аналіз сечі; […]

Державна програма з надання сприяння добровільному переселенню до Російської Федерації співвітчизників, які проживають за кордоном Покрокова пам'ятка для учасників Державної […]

Розбираємося, яким має бути розмір мінімальної пенсії інваліда 2 групи. Зараз держава різними способами надає допомогу соціально незахищеним верствам населення. Окрему турботу […]