Методи вирішення рівнянь алгебри вищих ступенів.
Хабібулліна Альфія Якубівна ,
вчитель математики вищої категорії МБОУ ЗОШ №177
міста Казані, Заслужений учитель Республіки Татарстан,
кандидат педагогічних наук.
Визначення 1. Алгебраїчним рівнянням ступеня n називається рівняння виду P n (x) = 0, де P n (x) - багаточлен ступеня n, тобто. P n (x) = 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n a 0.
Визначення 2. Корінь рівняння - числове значення змінної х, яке при підстановці в дане рівняння дає правильна рівність.
Визначення 3. Вирішити рівняння означає знайти всі його коріння або довести, що їх немає.
I. Метод розкладання многочлена на множники з наступним дробленням.
Рівняння можна розкласти на множники і вирішити методом дроблення, тобто, розбиваючи сукупність рівнянь менших ступенів.
Зауваження: взагалі, при вирішенні рівняння методом дроблення не слід забувати, що добуток дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, інші при цьому зберігають сенс.
Шляхи розкладання багаточлена на множники:
1. Винесення загального множника за дужки.
2.
Квадратний тричленможна розкласти на множники за допомогою формули ах 2
+вх+с=а(х-х 1
)(х-х 2
),
де а 
0, х 1 та х 2 – коріння квадратного тричлена.
3. Використання формул скороченого множення :
а n – у n = (а - в)(а n-1 + Сn- 2 а n-2 + Сn- 3 а n-3 + + + С 1 а в n-2 +в n-1) , n 
N.
Виділення повного квадрата. Багаточлен можна розкласти на множники за допомогою формули різниці квадратів, попередньо виділивши повний квадрат суми або різниці виразів.
4. Угруповання(у поєднанні з винесенням загального множника за дужки).
5. Використання слідства теореми Безу.
1) якщо рівняння а 0 х n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0, a 0 0 з цілими коефіцієнтами має раціональний корінь х 0 = 
(де - Нескоротний дріб, p 
q 
), то p - дільник вільного члена a n , а q - дільник старшого коефіцієнта a 0 .
2) якщо х = х 0 – корінь рівняння Р n (х) = 0, то Р n (х) = 0 рівносильно рівнянню
(х - х 0) Р n-1 (х) = 0, де Р n-1 (х) - многочлен, який можна знайти при розподілі
Р n (х) на (х - х 0) "куточком" або методом невизначених коефіцієнтів.
II . Метод введення нової змінної (Підстановка )
Розглянемо рівняння f(x) = g(x). Воно рівносильне рівнянню f(x)-g(х) = 0. Позначимо різницю f(x)-g(х) = h(р(x)), причому 
. Введемо заміну t=р(x) (функція t=р(x) називається підстановка
). Тоді отримаємо рівняння h (р (x)) = 0 або h (t) = 0 , Вирішивши останнє рівняння, знаходимо t 1 , t 2 ... Повернувшись в підстановку р (x) = t 1, р (x) = t 2 ,…, знаходимо значення змінної х.
III Метод суворої монотонності.
Теорема.Якщо у = f(x) строго монотонна на P, то рівняння f(x)=а (а - const) має на множині Р не більше одного кореня. (Функція суворо монотонна: або лише спадна, або тільки зростаюча)
Зауваження.Можна використовувати модифікацію цього. Розглянемо рівняння f(x) = g(x). Якщо функція у = f (x) монотонно зменшується на P, а функція у = g (x) монотонно зменшується на Р (або навпаки), то рівняння f (x) = g (x) має на множині Р не більше одного кореня.
IV. Метод порівняння безлічі значень обох частин рівняння (метод оцінки)
ТеоремаЯкщо для будь-якого x з множини P виконуються нерівності f(x) 
а, і g(x) 
а, то рівняння f(x)=g(x) на множині Р рівносильне системі 
.
Слідство: Якщо на безлічі Р 
або 
, то рівняння f(x)=g(x) немає коренів.
Цей метод досить ефективний при вирішенні трансцендентних рівнянь
V. Метод перебору дільників крайніх коефіцієнтів
Розглянемо рівняння a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0
Теорема.Якщо x 0 = 
- Корінь рівняння алгебри ступеня n, а i - цілі коефіцієнти, то p - дільник вільного члена а n , а q - дільник старшого коефіцієнта a 0 . При а 0 = 1 x 0 = p (ділитель вільного члена).
Слідствотеореми Безу: Якщо х 0 – корінь рівняння алгебри, то P n (x) ділиться на (x-x 0) без залишку, тобто P n (x) = (x-x 0) Q n-1 (x).
VI Метод невизначених коефіцієнтів.
Він базується на таких твердженнях:
два многочлена тотожно рівні тоді й лише тоді, коли рівні їхні коефіцієнти при однакових ступенях х.
будь-який многочлен третього ступеня розкладається на твір двох множників: лінійного та квадратного.
будь-який багаточлен четвертого ступеня розкладається на твір двох багаточленів
другого ступеня.
VII. Схема Горнера .
За допомогою таблиці коефіцієнтів за алгоритмом Горнера підбором є коріння рівняння серед дільників вільного члена.
VIII . Метод похідних.
Теорема.Якщо 2 многочлена P(x) і Q(x) мають тотожно рівні похідні, існує така С- const, що P(x)=Q(x)+С для 
x 
R.
Теорема. Якщо 
(x) та 
(x) поділяються на 
, то (x) ділиться на 
.
Слідство: Якщо (x) та (x) діляться на многочлен R(x) , то (x) ділиться на 
(x), а найбільший спільний дільник багаточленів (x) та (x) 
має коріння, що є лише корінням багаточлена (x) кратністю не менше ніж 2.
IX . Симетричні, зворотні рівняння .
Визначення. Рівняння a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 називається симетричним
, якщо 
1. Розглянемо випадок, коли n-парне, n = 2k. Якщо 
тоді x = 0 не є коренем рівняння, що дає право розділити рівняння на 
0 
+
+
+
=0 Введемо заміну t= 
і, враховуючи лему, вирішимо квадратне рівняннящодо змінної t. Зворотне підстановлення дасть рішення щодо змінної х.
2. Розглянемо випадок, коли n-непарне, n=2k+1. Тоді 
= -1 є коренем рівняння. Розділимо рівняння на 
і отримуємо випадок 1. Зворотна підстановка дозволяє знайти значення х. Зауважимо, що з m=-1 рівняння називається Перетворюємо алгебраїчне рівняння P n (x) = 0 (де P n (x) - багаточлен ступеня n) у рівняння виду f (x) = g (x). Задамо функції у = f (x), у = g (x); Опишемо їх властивості та побудуємо графіки в одній системі координат. Абсциси точок перетину будуть корінням рівняння. Перевірка виконується підстановкою у вихідне рівняння.
Розглянемо розв'язання рівнянь з одного змінного ступеня вище за другий.
ступенем рівняння Р(х) = 0 називається ступінь многочлена Р(х), тобто. найбільша зі ступенів його членів з коефіцієнтом, що не дорівнює нулю.
Приміром, рівняння (х 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 має п'яту ступінь, т.к. після операцій розкриття дужок та приведення подібних отримаємо рівносильне рівняння х 5 – 2х 3 + 3 = 0 п'ятого ступеня.
Згадаймо правила, які знадобляться для вирішення рівнянь ступеня вище за другий.
Твердження про коріння багаточлена та його дільників:
1. Багаточлен n-йступеня має число коренів, що не перевищує число n, причому коріння кратності m зустрічаються рівно m разів.
2. Багаточлен непарної міри має хоча б один дійсний корінь.
3. Якщо α – корінь Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), де Q n – 1 (x) – багаточлен ступеня (n – 1).
4.
5. Наведений многочлен з цілими коефіцієнтами може мати дробових раціональних коренів.
6. Для багаточлена третього ступеня
Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d можливе одне з двох: або він розкладається у добутку трьох двочленів
Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), або розкладається у добуток двочлена та квадратного тричлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).
7. Будь-який багаточлен четвертого ступеня розкладається на твір двох квадратних тричленів.
8. Багаточлен f(x) ділиться на многочлен g(х) без залишку, якщо існує багаточлен q(x), що f(x) = g(x) · q(x). Для поділу багаточленів застосовується правило «поділу куточком».
9. Для ділимості многочлена P(x) на двочлен (x - c) необхідно і достатньо, щоб число було коренем P(x) (Наслідок теореми Безу).
10. Теорема Вієта: Якщо х 1 , х 2 , …, х n – дійсне коріння багаточлена
Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n, то мають місце такі рівності:
х 1 + х 2 + … + х n = -а 1/а 0
х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n - 1 · х n = a 2 / а 0,
х 1 · х 2 · х 3 + … + х n - 2 · х n - 1 · х n = -a 3 / а 0,
х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .
Рішення прикладів
приклад 1.
Знайти залишок від поділу Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 (х – 1/3).
Рішення.
За наслідком з теореми Безу: «Залишок від поділу багаточлена на двочлен (х – с) дорівнює значенню багаточлена від с». Знайдемо Р(1/3) = 0. Отже, залишок дорівнює 0 та число 1/3 – корінь багаточлена.
Відповідь: R = 0.
приклад 2.
Розділити «куточком» 2х3+3x2 – 2х+3 на (х+2). Знайти залишок та неповне приватне. 
Рішення:
2х 3 + 3x 2 - 2х + 3 | х + 2
2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Відповідь: R = 3; приватне: 2х2 – х.
Основні методи вирішення рівнянь вищих ступенів
1. Введення нової змінної
Метод введення нової змінної вже знайомий з прикладу біквадратних рівнянь. Він у тому, що з вирішення рівняння f(x) = 0 вводять нову змінну (підстановку) t = x n чи t = g(х) і виражають f(x) через t, отримуючи нове рівняння r(t). Вирішуючи потім рівняння r(t), знаходять коріння:
(t 1, t 2, …, t n). Після цього одержують сукупність n рівнянь q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , з яких знаходять коріння вихідного рівняння.
приклад 1.
(х 2 + х + 1) 2 - 3х 2 - 3x - 1 = 0.
Рішення:
(х 2 + х + 1) 2 - 3 (х 2 + x) - 1 = 0.
(х 2 + х + 1) 2 - 3 (х 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.
Заміна (х 2 + х + 1) = t.
t 2 - 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Зворотна заміна:
х 2 + х + 1 = 2 або х 2 + х + 1 = 1;
х 2 + х - 1 = 0 або х 2 + х = 0;
Відповідь: З першого рівняння: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, з другого: 0 та -1.
2. Розкладання на множники методом угруповання та формул скороченого множення
Основа даного методу також не нова і полягає в групуванні доданків таким чином, щоб кожна група містила загальний множник. І тому іноді доводиться застосовувати деякі штучні прийоми.
приклад 1.
х 4 - 3x2 + 4х - 3 = 0.
Рішення.
Представимо - 3x2 = -2x2 - x2 і згрупуємо:
(Х 4 - 2x 2) - (X 2 - 4х + 3) = 0.
(х 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4х + 3 + 1 - 1) = 0.
(х 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.
(х 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.
(х 2 - 1 - х + 2) (х 2 - 1 + х - 2) = 0.
(х 2 - х + 1) (х 2 + х - 3) = 0.
х 2 - х + 1 = 0 або х 2 + х - 3 = 0.
Відповідь: У першому рівнянні немає коріння, з другого: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Розкладання на множник методом невизначених коефіцієнтів
Суть методу у тому, що вихідний многочлен розкладається на множники з невідомими коефіцієнтами. Використовуючи властивість, що багаточлени рівні, якщо рівні їх коефіцієнти за однакових ступенів, знаходять невідомі коефіцієнти розкладання.
приклад 1.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.
Рішення.
Багаточлен 3-го ступеня можна розкласти у добуток лінійного та квадратного множників.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х - а) (x 2 + bх + c),
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + bx 2 + cх - ax 2 - abх - ac,
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b - a) x 2 + (cх - ab) х - ac.
Вирішивши систему:
(b - a = 4,
(c - ab = 5,
(-ac = 2,
(a = -1,
(b = 3,
(C = 2, тобто.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
Коріння рівняння (х + 1) (x 2 + 3х + 2) = 0 легко.
Відповідь: -1; -2.
4. Метод підбору кореня за старшим та вільним коефіцієнтом
Метод спирається застосування теорем:
1) Кожен корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.
2) Для того, щоб нескоротний дріб p/q (p – ціле, q – натуральне) був коренем рівняння з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число p було цілим дільником вільного члена а 0, а q – натуральним дільником старшого коефіцієнта.
приклад 1.
6х3 + 7x2 - 9х + 2 = 0.
Рішення:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Отже, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Знайшовши один корінь, наприклад - 2, інше коріння знайдемо, використовуючи розподіл куточком, метод невизначених коефіцієнтів або схему Горнера.
Відповідь: -2; 1/2; 1/3.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
У випадку рівняння, що має ступінь вище 4 , не можна дозволити в радикалах. Але іноді ми все ж таки можемо знайти коріння багаточлена, що стоїть ліворуч у рівнянні вищого ступеня, якщо представимо його у вигляді твору багаточленів у ступеню не більше 4-х. Вирішення таких рівнянь базується на розкладі багаточлена на множники, тому радимо вам повторити цю тему перед вивченням цієї статті.
Найчастіше доводиться мати справу з рівняннями найвищих ступенів із цілими коефіцієнтами. У цих випадках ми можемо спробувати знайти раціональне коріння, а потім розкласти багаточлен на множники, щоб потім перетворити його на рівняння нижчого ступеня, яке буде просто вирішити. В рамках цього матеріалу ми розглянемо такі приклади.
Рівняння вищого ступеня із цілими коефіцієнтами
Усі рівняння, що мають вигляд a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 ми можемо привести до рівняння тієї ж ступеня за допомогою множення обох частин на a n n - 1 і здійснивши заміну змінної виду y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = 0 a n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Ті коефіцієнти, що вийшли у результаті, також будуть цілими. Таким чином, нам потрібно буде вирішити наведене рівняння n-го ступеня з цілими коефіцієнтами, що має вигляд x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .
Обчислюємо цілі корені рівняння. Якщо рівняння має ціле коріння, потрібно шукати їх серед дільників вільного члена a 0 . Випишемо їх і підставлятимемо у вихідну рівність по черзі, перевіряючи результат. Як тільки ми здобули тотожність і знайшли один із коренів рівняння, то можемо записати його у вигляді x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Тут x 1 є коренем рівняння, а P n - 1 (x) є приватним від поділу x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 на x - x 1 .
Підставляємо решту виписаних дільників у P n - 1 (x) = 0 , почавши з x 1 , оскільки коріння може повторюватися. Після отримання тотожності корінь x 2 вважається знайденим, а рівняння може бути записано у вигляді (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Тут P n - 2 (x) буде приватним від розподілу P n - 1 (x) на x - x 2 .
Продовжуємо і надалі перебирати дільники. Знайдемо всі цілі коріння і позначимо їх кількість як m. Після цього вихідне рівняння можна як x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Тут P n - m (x) є многочленом n - m-ного ступеня. Для підрахунку зручно використати схему Горнера.
Якщо у нас вихідне рівняння має цілі коефіцієнти, ми не можемо отримати в результаті дробове коріння.
У нас у результаті вийшло рівняння P n - m (x) = 0, коріння якого може бути знайдено будь-яким зручним способом. Вони можуть бути ірраціональними чи комплексними.
Покажемо на конкретному прикладіЯк застосовується така схема рішення.
Приклад 1
Умова:Знайдіть розв'язок рівняння x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Рішення
Почнемо з знаходження цілого коріння.
Ми маємо вільний член, рівний мінус трьом. Він має дільники, рівні 1 , - 1 , 3 і - 3 . Підставимо їх у вихідне рівняння та подивимося, які з них дадуть у результаті тотожності.
При x , що дорівнює одиниці, ми отримаємо 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 , отже, одиниця буде коренем даного рівняння.
Тепер виконаємо поділу багаточлена x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на (х - 1) у стовпчик:
Отже, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (-1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 = 0
У нас вийшло тотожність, значить, ми знайшли ще один корінь рівняння, рівний - 1 .
Ділимо багаточлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) у стовпчик:
Отримуємо, що
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Підставляємо черговий дільник на рівність x 2 + x + 3 = 0 , починаючи з - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Рівності, отримані в результаті, будуть невірними, отже, рівняння більше немає цілого коріння.
Коріння, що залишилося, буде корінням виразу x 2 + x + 3 .
D = 1 2 - 4 · 1 · 3 = - 11< 0
З цього випливає, що цей квадратний тричлен не має дійсних коренів, але є комплексно пов'язані: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Уточнимо, що замість поділу в стовпчик можна застосовувати схему Горнера. Це робиться так: після того, як ми визначили перший корінь рівняння, заповнюємо таблицю.
У таблиці коефіцієнтів ми одразу можемо побачити коефіцієнти частки від поділу многочленів, отже, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
Після знаходження наступного кореня, що дорівнює - 1, ми отримуємо наступне:
Відповідь:х = - 1, х = 1, x = - 1 2 ± i 11 2 .
Приклад 2
Умова:розв'яжіть рівняння x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 .
Рішення
У вільного члена є дільники 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .
Перевіряємо їх по порядку:
1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (-1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 = 0
Значить x = 2 буде коренем рівняння. Розділимо x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на х - 2, скориставшись схемою Горнера:
У результаті отримаємо x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .
2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 = 0
Значить, 2 знову буде коренем. Розділимо x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2:
У результаті отримаємо (x – 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .
Перевірка дільників, що залишилися, сенсу не має, оскільки рівність x 2 + 3 x + 3 = 0 швидше і зручніше вирішити за допомогою дискримінанта.
Розв'яжемо квадратне рівняння:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 3 = - 3< 0
Отримуємо комплексно пов'язану пару коренів: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Відповідь: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Приклад 3
Умова:знайдіть для рівняння x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 дійсне коріння.
Рішення
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Виконуємо домноження 2 3 обох частин рівняння:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0
Замінюємо змінні y = 2 x:
2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
У результаті у нас вийшло стандартне рівняння 4-го ступеня, яке можна вирішити за стандартною схемою. Перевіримо дільники, розділимо і отримаємо в результаті, що воно має 2 дійсних кореня y = - 2, y = 3 і два комплексних. Рішення цілком тут ми не наводитимемо. Через заміну дійсним корінням даного рівняння будуть x = y 2 = - 2 2 = - 1 і x = y 2 = 3 2 .
Відповідь: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. У математиці часто зустрічаються рівняння вищих ступенів із цілими коефіцієнтами. Щоб розв'язати такого роду рівняння необхідно:
Визначити раціональне коріння рівняння;
Розкласти на множники многочлен, що у лівої частини рівняння;
Знайти коріння рівняння.
Допустимо, нам дано рівняння наступного виду:
Знайдемо все дійсне його коріння. Помножимо ліву та праву частини рівняння на \
Виконаємо заміну змінних \
Таким чином, у нас вийшло наведене рівняння четвертого ступеня, яке вирішується за стандартним алгоритмом: перевіряємо дільники, проводимо поділ і в результаті з'ясовуємо, що рівняння має два дійсні корені та два комплексні. Отримаємо наступну відповідь нашого рівняння четвертого ступеня:
Де можна вирішити рівняння найвищих ступенів онлайн вирішувачем?
Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.
