Розкладання многочлена над полем дійсних чисел. Основна теорема алгебри комплексних чисел. Що робитимемо з отриманим матеріалом

Над полем дійсних чиселбудь-який неприведений багаточленоднією змінною має ступінь 1 або 2, причому многочлен 2-го ступеня ненаводимо над полем R тоді і тільки тоді, коли він має негативний дискримінант, наприклад, багаточлен ненаводимо над полем дійсних чисел, оскільки його дискримінант негативний.

Критемрій Емйзенштейна – ознака непривідності багаточлена, названа на честь німецького математика Фердинанда Ейзенштейна. Незважаючи на (традиційну) назву, є саме ознакою, тобто достатньою умовою - але зовсім не необхідною, як можна було б припустити, виходячи з математичного змісту слова «критерій»

Теорема (критерій Ейзенштейна). Нехай - багаточлен над факторіальним кільцем R ( n>0), і деякого неприводимого елемента pвиконуються такі умови:

Не поділяється на p,

Ділиться на pдля будь-якого iвід 0 до n- 1,

Чи не ділиться на.

Тоді багаточлен ненаводимо над Fполем приватних кільця R.

Слідство.Над будь-яким полем алгебраїчних чисел існують неприведений багаточлен будь-якого наперед заданого ступеня; наприклад, багаточлен, де n>1 та pЇ деяке просте число.

Розглянемо приклади застосування цього критерію, коли R – кільце цілих чисел, а F – поле раціональних чисел.

Приклади:

Багаточлен не наводиться над Q.

Багаточлен поділу кола не наводиться. Справді, якщо він наводимо, то наводимо і багаточлен, а оскільки всі його коефіцієнти, крім першого, є біноміальними, тобто діляться на p, а останній коефіцієнт `амен pі до того ж не ділиться на те за критерієм Ейзенштейна, він не наводиться всупереч припущенню.

Наступні п'ять багаточленів демонструють деякі елементарні властивостінеприведених багаточленів:

Над кільцем Z цілих чисел, перші два багаточлени - наведені, останні два - ненаведені. (Третій взагалі є многочленом над цілими числами).

Над полем Q раціональних чисел, перші три багаточлени є наведеними, двоє інших - ненаведеними.

Над полем R дійсних чисел, перші чотири багаточлени - наведені, але неприведені. У полі дійсних чисел ненаведеними є лінійні багаточлени та квадратичні багаточлени без дійсних коренів. Наприклад, розкладання многочлена у полі дійсних чисел має вигляд. Обидва множники в даному розкладі є багаточленами, що не наводяться.

Над полем C комплексних чисел, всі п'ять багаточленів - наведені. Фактично кожен відмінний від константи многочлен над C може бути розкладений на множники виду:

де n- ступінь багаточлена, a- Старший коефіцієнт, - Коріння многочлена. Тому єдиними неприведеними багаточленами над є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Поле Fназивається замкненим алгебри, якщо будь-який многочлен позитивного ступеня надF має корінь вF.

Теорема 5.1 (Основна теорема алгебри багаточленів).Поле комплексних чисел замкнено алгебраїчно.

Слідство 5 .1.1. Над Зіснують неприведені багаточлени лише першого ступеня.

Наслідок 5.1.2. Багаточлен n-ого ступеня над Змає nкомплексного коріння.

Теорема 5.2. Якщо  – комплексний корінь багаточлена fз дійсними коефіцієнтами, то комплексне сполучене число - також корінь f.

Слідство 5 .2.1. Над Rіснують неприведені багаточлени лише першого чи другого ступеня.

Наслідок 5.2.2. Уявне коріння багаточлена над Rрозпадаються на пари комплексних сполучених.

Приклад5.1. Розкласти на ненаведені множники над Зі над Rбагаточлен x 4 + 4.

Рішення. Маємо

x 4 + 4 =x 4 + 4х 2 + 4 – 4х 2 = (x 2 + 2) 2 – 4х 2 = (x 2 – 2х+ 2)(x 2 + 2х+ 2) –

розкладання над R. Знайшовши звичайним способом комплексне коріння багаточленів другого ступеня, що стоять у дужках, отримуємо розкладання над З:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

Приклад5.2. Побудувати багаточлен найменшого ступеня з дійсними коефіцієнтами, що має коріння 2 та 1 + i.

Рішення. Відповідно до слідства 5.2.2, багаточлен повинен мати коріння 2, 1 – i та 1 + i. Коефіцієнти його можна знайти за формулами Вієта:

 1 = 2 + (1 – i) + (1 +i) = 4;

 2 = 2(1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 = 2(1 – i)(1 + i) = 4.

Звідси f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Вправи.

5.1. Розкладіть на ненаведені множники над Зі над Rбагаточлени:

а) х 3 – 6х 2 + 11х – 6;

б) х 4 – 10х 2 + 1.

5.2. Побудуйте багаточлен найменшого ступеня з дійсними коефіцієнтами, що має подвійний корінь 1 і простий корінь 1 – 2 i.

6. Багаточлени над полем раціональних чисел

Теорема 6.1 (Критерій Ейзенштейна). Нехай f = a 0 + a 1 x + …+ a n x n– багаточлен із цілими коефіцієнтами. Якщо існує таке просте число p, що a 0 , a 1 , … , a n-1 діляться на p, a nне ділиться на p,a 0 не поділяється на p 2 , то f не наводимо над полем раціональних чисел.

Вправа 6.1. Доведіть непривідність над Qбагаточленів:

а) f= 2х 5 + 3х 4 – 9х 3 – 6х+ 3; б) f= 5х 4 + 6х 3 – 18х 2 – 12х + 54.

Теорема 6.2. Нехай - Нескоротний дріб, що є коренем багаточлена f = a 0 + a 1 x + … + a n x nіз цілими коефіцієнтами. Тоді

a 0  p, a n  q;

f(1)  p – q,f(–1)  p + q.

Ця теорема дозволяє вирішити завдання відшукання раціонального коріння многочлена з цілими коефіцієнтами. Для цього визначаємо всі дільники вільного члена та старшого коефіцієнта та будуємо з них усілякі нескоротні дроби. Все раціональне коріння міститься серед цих дробів. Для визначення можна використовувати схему Горнера. Щоб уникнути у ній зайвих обчислень, використовуємо твердження 2) теореми 6.2.

Приклад6.1. Знайти раціональне коріння багаточлена

f = 2х 4 + 7х 3 + 3х 2 – 15х– 18.

Рішення. Виписуємо всі дроби, чисельники яких p – дільники 18, а знаменники q- дільники 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Проводимо їх перевірку за схемою Горнера:

						Коментар
						f(1) = –21  p – q
						f(–1) = –3  p + q

						х 1 = –2


						х 2 = 3/2

Знайшовши корінь х 1 = -2 і розділивши многочлен на х+ 2 отримали багаточлен з новим вільним членом -9 (його коефіцієнти підкреслені). Числювачі інших коренів повинні бути дільниками цього числа, і зі списку можна виключити дроби, що не задовольняють цю умову. Інші цілі значення виключені, тому що не задовольняють умову f(1)p – q або f(–1)p + q. Наприклад, для 3 маємо p = 3, q= 1, і не виконується умова f(1) = –21p – q(як і друга умова).

Аналогічно знайшовши корінь х 2 = 3/2, отримали многочлен з новим вільним членом 3 і старшим коефіцієнтом 1 (коли корінь дробовий, слід зробити скорочення коефіцієнтів багаточлена, що вийшов). Жодне число зі списку більше не може бути його коренем, і список раціонального коріння вичерпано.

Знайдене коріння слід перевіряти на кратність.

Якщо в процесі рішення дійшли багаточлена другого ступеня, а список дробів ще не вичерпаний, то коріння, що залишилося, можна знайти за звичайними формулами як коріння квадратного тричлена.

Вправа 6.2. Знайдіть раціональне коріння багаточлена

а) х 3 – 6х 2 + 15х– 14;

б) х 5 – 7х 3 – 12х 2 + 6х+ 36;

в 2 х 4 – 11х 3 + 23х 2 – 24х+ 12;

г) 4 х 4 – 7х 2 – 5х– 1.

Поле називається замкненим алгебри, якщо будь-який многочлен над цим полем, не рівний константі, має хоча б один корінь. З теореми Безу відразу випливає, що над таким полем будь-який неконстантний багаточлен розкладемо у твір лінійних множників. У цьому сенсі алгебраїчно замкнені поля влаштовані простіше, ніж алгебраїчно замкнуті. Ми знаємо, що над полем дійсних чисел не кожен квадратний тричлен має корінь, тим самим поле ℝ не є замкненим алгебри. Виявляється йому трохи не вистачає до замкнутості алгебри. Іншими словами: вирішивши здавалося б приватне завдання про рівняння, ми одночасно впоралися з рештою поліноміальних рівнянь.

ОСНОВНА ТЕОРЕМА АЛГЕБРИ.Будь-який многочлен над полем ℂ, не рівний константі, має хоча б один комплексний корінь.

СЛІДСТВО.Будь-який многочлен, не рівний константі, над полем комплексних чисел розкладемо у добуток лінійних множників:

Тут - старший коефіцієнт многочлена, - всі різні комплексні коріння багаточлена, - їх кратності. Повинна виконуватись рівність

Доказ слідства є нескладною індукцією за ступенем багаточлена.

Над іншими полями стан справ не такий добрий у сенсі розкладності багаточленів. Назвемо багаточлен ненаведеним, якщо він по-перше, не константа, а, по-друге, не розкладемо у твір багаточленів менших ступенів. Зрозуміло, що будь-який лінійний многочлен (над будь-яким полем) не наводиться. Наслідок можна переформулювати так: неприведені багаточлени над полем комплексних чисел з одиничним старшим коефіцієнтом (інакше: унітарні) вичерпуються багаточленами виду ().

Розкладність квадратного тричлена рівнозначна наявності хоча б одного кореня. Перетворюючи рівняння до виду, укладаємо, що корінь квадратного тричлена існує тоді й лише тоді, коли дискримінант є квадратом будь-якого елемента поля K (тут припускаємо, що 2≠ 0 у полі K). Звідси отримуємо

ПРОПОЗИЦІЯ, ЗАПРОШЕННЯ, РЕЧЕННЯ.Квадратний тричлен над полем K, у якому 2≠ 0, ненаводимо тоді і тільки тоді, коли він не має коріння в полі K. Це рівнозначно тому, що дискримінант не є квадратом жодного елемента поля K. Зокрема, над полем дійсних чисел квадратний тричлен ненаводимо, якщо і тільки, якщо.

Отже над полем дійсних чисел існують принаймні два види багаточленів, що не наводяться: - лінійні і квадратичні і негативним дискримінантом. Виявляється, що ці два випадки вичерпують безліч багаточленів, що не наводяться, над ℝ.

ТЕОРЕМА.Будь-який многочлен над полем дійсних чисел розкладемо у добуток лінійних множників та квадратичних множників з негативними дискримінантами:

Тут - всі різні дійсні коріння багаточлена, - їх кратності, всі дискримінанти менше нуля, і квадратні тричлени всі різні.

Спочатку доведемо лему

ЛЕМА.Якщо й у будь-якого, то сполучене число також є коренем многочлена.

Доведення. Нехай і комплексний корінь багаточлена. Тоді

де ми використовували властивості сполучення. Отже, . Тим самим – корінь багаточлена. □

Доказ теореми. Достатньо довести, що будь-який багаточлен, що не приводиться, над полем дійсних чисел або лінійний, або квадратичний з негативним дискримінантом. Нехай - неприведений багаточлен із одиничним старшим коефіцієнтом. У разі одразу отримуємо для деякого дійсного. Припустимо, що. Позначимо через якийсь комплексний корінь цього багаточлена, що існує за основною теоремою алгебри комплексних чисел. Оскільки ненаводимо, то (див. теорему Безу). Тоді по лемі, буде ще одним коренем багаточлена, відмінним від.

Багаточлен має дійсні коефіцієнти. Крім того, ділить згідно з теоремою Безу. Так як ненаводимо і має одиничний старший коефіцієнт, то отримуємо рівність. Дискримінант цього многочлена негативний, оскільки інакше він мав би речові корені.

ПРИКЛАДИ. А.Розкладемо многочлен на множники, що не наводяться. Серед дільників константного члена 6 шукаємо коріння багаточлена. Переконуємося, що 1 та 2 – коріння. Тим самим багаточлен ділиться на. Поділивши, знаходимо

Остаточне розкладання над полем, бо дискримінант квадратного тричлена негативний і, отже, над полем дійсних чисел далі не розкладемо. Розкладання того ж багаточлена над полем комплексних чисел отримаємо, якщо знайдемо комплексне коріння квадратного тричлена. Вони суть. Тоді

Розкладання даного багаточлена над

Б. Розкладемо над полями дійсних та комплексних чисел. Так як дійсних коренів цей багаточлен не має, то він розкладемо на два квадратні тричлени з негативними дискримінантами

Так як при заміні на багаточлен не змінюється, то при такій заміні квадратний тричлен повинен переходити і навпаки. Звідси. Прирівнюючи коефіцієнти при одержувані, зокрема, . Тоді із співвідношення (виходить підстановкою вилучаємо, і остаточно, .

Розкладання над полем дійсних чисел.

Для того, щоб розкласти цей многочлен над комплексними числами, вирішимо чи рівняння. Зрозуміло, що буде корінням. Всі різні коріння ми отримаємо у. Отже,

Розкладання над комплексними числами. Легко обчислити

і ми отримуємо інше рішення задачі про розкладання багаточлена над полем дійсних чисел.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Фундаментальна та комп'ютерна алгебра

Введення.. курс фундаментальна та комп'ютерна алгебра призначений для студентів спеціальностей математика прикладна..

Якщо вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Н.І.Дубровін
Спаське Городище 2012 Зміст Вступ. 4 Список позначень та термінів. 5 1 Трохи про Бейсік. 6 2 Наївна теорія множин. 9

Трохи про бейсик
У математиці мають справу з такими об'єктами як числа різної природи (натуральні, цілі, раціональні, дійсні, комплексні), багаточлени однієї та кількох змінних, матриць

Наївна теорія множин
Математичний текст складається з визначень та тверджень. Деякі твердження в залежності від важливості та ставлення до інших тверджень називаються одним із наступних термінів:

Декартові твори
Упорядкована пара, або просто пара елементів, це одна з фундаментальних конструкцій в математиці. Представляти її можна як поличку з двома місцями - першим і другим. Дуже часто в математиці не

Натуральні числа
Числа (1,2,3, ... ), які можна отримати з одиниці операцією додавання, називають натуральними і позначають ℕ. Аксіоматичний опис натуральних чиселможе бути такою (див.

Рекурсія
Від аксіом N1-N3 до знайомих усім з початкової школиоперацій складання та множення натуральних чисел, порівняння натуральних чисел між собою та властивостей виду "від зміни місць доданків сума не

Порядок на безлічі натуральних чисел
На багатьох є відношення лінійного порядку. Скажімо, що n

Подільність натуральних чисел
Операція поділу який завжди можлива у сфері натуральних чисел. Це дає нам право ввести відношення ділимості: скажімо, що число n ділить число m, якщо m=nk для будь-якого відповідного k∈

Подільність цілих чисел
Позначимо через - кільце цілих чисел. Термін «кільце» означає, що ми маємо справу з безліччю R, на якому задані дві операції – додавання та множення, що підпорядковуються відомим правам.

Алгоритм Евкліда
Дано пару цілих чисел (m,n). Вважаємо n залишком з номером 1. Перший крок алгоритму Евкліда - ділимо m на n з залишком, а далі ділимо залишок на залишок, що знову вийшов, поки цей знову отримавши

Матричне трактування алгоритму Евкліда
Надамо матричне трактування алгоритму Евкліда (про матриці див. наступний параграф). Перепишемо послідовність поділів із залишком у матричному вигляді: Підставляючи у кожне по

Елементи логіки
Математики мають справу з об'єктами, такими як, наприклад, числа, функції, матриці, прямі на площині і т.д., а також мають справу з висловлюваннями. Висловлювання є деяке оповідання

Висловлювальні форми
Чи вираз буде висловлюванням? Ні, цей запис є висловлювальною формою від однієї змінної. Якщо замість змінної підставляти допустимі значення, то отримуємо різні висловлювання, які

Матрична алгебра
Матрична алгебра над кільцем R (R – кільце цілих чисел, поле раціональних чисел, поле дійсних чисел) – найбільш широко використовувана алгебраїчна система з безліччю операцій.

Визначники
Визначник квадратної матриці A є її числова характеристика, що позначається. Почнемо з визначників матриць малих розмірностей 1,2,3: ВИЗНАЧЕННЯ. Пу

Лінійні перетворення площини
Відомо, що будь-яке перетворення площини, що зберігає відстані, є або паралельне перенесення на вектор, або поворот навколо точки Про на кут α, або симетрія відносно прямо

Комплексні числа
У цьому параграфі вивчається лише одне поле – поле комплексних чисел ℂ. З геометричної точки зору воно являє собою площину, а з алгебраїчної точки зору в це

Конструкція поля комплексних чисел
Ми фактично вже збудували поле комплексних чисел у попередньому параграфі. З огляду на виняткову важливість поля комплексних чисел наведемо його безпосередню конструкцію. Розглянемо простір з

Сполучення комплексних чисел
Поле комплексних чисел доставляє нам нове властивість - наявність нетотожного безперервного автоморфізму (ізоморфізму він). Комплексне число називається сполученим до, а отоб

Тригонометрична форма запису комплексних чисел
Відобразимо комплексне число вектором. Довжина цього вектора, тобто. величина називається модулем комплексного числа та позначається. Величину назвемо нормою числа, іноді зручніше користуватися е

Комплексна експонента
Правило (2) параграфа дає нам право визначити експоненту чисто уявного числа: Дійсно, таким чином певна функція має такі властивості: &

Розв'язання квадратних рівнянь
Лінійний многочлен завжди має корінь. Квадратний тричлен не завжди має коріння над полем дійсних чисел. Нехай квадратний тричлен над полем комплексних чисел (). Обоз

ТЕОРЕМА щодо еквівалентності
Нехай “ ” – відношення еквівалентності на множині М. Для елемента позначимо через клас еквівалентності. Тоді безліч М розбивається на об'єднання класів еквівалентності; кожен елемент з М при

Неприведений багаточлен- багаточлен, нерозкладний на нетривіальні багаточлени. Неприведені багаточлени є елементами, що не приводяться, кільця многочленів.

Неприведений багаточлен над полем - багаточлен від змінних над полем є простим елементом кільця , тобто, непредставний у вигляді твору , де і ― багаточлени з коефіцієнтами , відмінні від констант.

Багаточлен f над полем F називається непривідним (простим), якщо він має позитивний ступінь і не має нетривіальних дільників (тобто будь-який дільник або асоційований з ним, або з одиницею)

Пропозиція 1

Нехай р- Неприводний і а- Будь-який многочлен кільця F[x]. Тоді чи рділить а, або рі а- Взаємно прості.

Пропозиція 2

Нехай f∈ F[x], і ступінь f = 1, отже, f – багаточлен, що не наводиться.

Наприклад: 1. Візьмемо над полем Q многочлен х+1. Його ступінь дорівнює 1, отже, він не наводиться.

2. х2 +1 – ненаводимий, т.к. не має коріння

СЛУ. Вирішення системи. Спільні, несумісні, певні та невизначені системи. Еквівалентні системи

Системою лінійних рівнянь над полем F зі змінними х1, хn називається система виду

а 11 х 1 + … + a 1n x n= b 1

………………………..

a m1 x 1 + … + a mn x n= b m

де a ik, b i∈ F, m-кількість рівнянь, а n - кількість невідомих. Коротко цю систему можна записати так: ai1x1 + … + a in x n= b i (i = 1,…m.)

Ця СЛУ є умовою з n вільними змінними х 1, .... Хn.

СЛУ поділяються на несумісні (не мають рішень) та спільні (певні та невизначені). Спільна система виду називається певною, якщо має єдине рішення; якщо ж у неї є хоча б два різні рішення, то вона називається невизначеною.

Наприклад: над полем Q

х + у = 2 - несумісна система

х – у = 0 - спільна певна (х, у = ½)

2х + 2у = 2 – спільна невизначена

Дві системи Л.У. є еквівалентними, якщо безліч рішень цих систем збігаються, тобто будь-яке рішення однієї системи одночасно є рішенням іншої. Систему, еквівалентну даній, можна отримати:

1. замінивши одне з рівнянь цього рівняння, помножене будь-яке відмінне від нуля число.

2. замінивши одне із рівнянь сумою цього рівняння з іншим рівнянням системи.

Рішення СЛУ здійснюється методом Гаусса.

45* Елементарні перетворення систем лінійних рівнянь (слу). Метод Гауса.

Опр.Елементарними перетвореннями С.Л.У н-ся такі перетворення:

1. Множення одного із системи рівнянь системи на ненульовий елемент поля.

2. Додатки до одного із рівнянь системи іншого рівняння, помноженого на елемент поля.

3. Додавання до системи або виключення із системи ненульового рівняння 0*х1+0*х2+…+0*хn=0

4. Зміна місцями рівнянь

Предл.Нехай система (**) отримана мул системи (*) за допомогою кінцевого числа. Елемен-их преобраз-ий. Тоді система (**) ~ система (*). (Без док-ва)

Зам.При записі системи лінійних рівнянь використовуватимемо матричний запис.

а11 а12 … а1n в1

а21 а22 … а2n в2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

Приклади: 1) 2х1 - х3 = 120-11

х1 - х2 - х3 = 0 1 -1 -1 0

3х1 + 2х2 + 4х3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 х1 = 1

0 1 2 х2 = 2

3) 1 0 1 2 х1+х3=2 х1=2-х3

0 1 -1 3 х2-х3 = 3 х2 = 3 + х3