2.5 Формула Вієта для багаточленів (рівнянь) вищих ступенів
Формули, виведені Вієтом для квадратних рівнянь, вірні і багаточленів вищих ступенів.
Нехай багаточлен
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n
Має n різних коренів x 1 x 2 … x n .
У цьому випадку він має розкладання на множники виду:
a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n = a 0 (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n)
Розділимо обидві частини цієї рівності на a 0 0 і розкриємо в першій частині дужки. Отримаємо рівність:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n
Але два многочлена тотожно рівні тому й лише тому випадку, коли коефіцієнти при однакових ступенях рівні. Звідси випливає, що виконується рівність
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Наприклад, для багаточленів третього ступеня
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Маємо тотожності
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Як і квадратних рівнянь, цю формулу називають формулами Виета. Ліві частини цих формул є симетричними многочленами від коренів x 1 , x 2 …, x n даного рівняння, а праві частини виражаються через коефіцієнт многочлена.
2.6 Рівняння, що зводяться до квадратних (біквадратні)
До квадратних рівнянь зводяться рівняння четвертого ступеня:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
звані біквадратними, причому, а ≠ 0.
Достатньо покласти в цьому рівнянні х 2 = y, отже,
ay² + by + c = 0
знайдемо коріння отриманого квадратного рівняння
y 1,2 = 
Щоб знайти відразу коріння х 1, x 2, x 3, x 4 замінимо y на x і отримаємо
x² =
х 1,2,3,4 = 
.
Якщо рівняння четвертого ступеня має х 1 то має і корінь х 2 = -х 1
Якщо має х 3 то х 4 = - х 3 . Сума коренів такого рівняння дорівнює нулю.
2х 4 - 9x² + 4 = 0
Підставимо рівняння у формулу коренів біквадратних рівнянь:
х 1,2,3,4 = 
,
знаючи, що х 1 = -х 2 , а х 3 = -х 4 то:
х 3,4 = 
Відповідь: х 1,2 = ±2; х 1,2 =
2.7 Дослідження біквадратних рівнянь
Візьмемо біквадратне рівняння
ax 4 + bx 2 + c = 0,
де a, b, c – дійсні числа, причому а > 0. Ввівши допоміжну невідому y = x², досліджуємо коріння даного рівняння, і результати занесемо до таблиці (див. додаток №1)
2.8 Формула Кардано
Якщо скористатися сучасною символікою, то висновок формули Кардано може мати такий вигляд:
х = 
Ця формула визначає коріння загального рівняннятретього ступеня:
ax3+3bx2+3cx+d=0.
Ця формула дуже громіздка і складна (вона містить кілька складних радикалів). Вона завжди застосовуватися, т.к. дуже складна для заповнення.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Список або вибрати з 2-3 текстів найцікавіші місця. Таким чином, ми розглянули загальні положення щодо створення та проведення курсів, які будуть враховані при розробці курсу з алгебри для 9 класу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром». Розділ II. Методика проведення елективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром» 1.1. Загальні...
Рішення від чисельних методів розрахунку. Для визначення коренів рівняння не потрібно знання теорій груп Абеля, Галуа, Лі та ін. та застосування спеціальної математичної термінології: кілець, полів, ідеалів, ізоморфізмів тощо. Для вирішення рівняння алгебри n - ой ступеня потрібно тільки вміння вирішувати квадратні рівняння і видобувати коріння з комплексного числа. Коріння може бути визначено з...
З одиницями вимірів фізичних величин у системі MathCAD? 11. Докладно охарактеризуйте текстові, графічні та математичні блоки. Лекція №2. Завдання лінійної алгебри та вирішення диференціальних рівнянь у середовищі MathCAD У завданнях лінійної алгебри практично завжди виникає необхідність виконувати різні операції з матрицями. Панель операторів із матрицями знаходиться на панелі Math. ...
У цій лекції ми познайомимося з цікавими співвідношеннями між корінням квадратного рівняння та його коефіцієнтами. Ці співвідношення вперше виявив французький математик Франсуа Вієт (1540-1603).
Наприклад, для рівняння Зx 2 - 8x - 6 = 0, не знаходячи його коріння, можна, скориставшись теоремою Вієта, відразу сказати, що сума коренів дорівнює , а добуток коренів дорівнює
т. е. - 2. А рівняння х 2 - 6х + 8 = 0 укладаємо: сума коренів дорівнює 6, добуток коренів дорівнює 8; між іншим, тут неважко здогадатися, чому дорівнює коріння: 4 і 2.
Доказ теореми Вієта. Коріння х 1 і х 2 квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0 перебувають за формулами
Де D = b 2 - 4ас - дискримінант рівняння. Склавши це коріння,
отримаємо
Тепер обчислимо твір коренів х 1 та х 2 Маємо
Друге співвідношення доведено:
Зауваження.
Теорема Вієта справедлива і в тому випадку, коли квадратне рівняння має один корінь (тобто коли D = 0), просто в цьому випадку вважають, що рівняння має два однакові корені, до яких і застосовують зазначені вище співвідношення.
Особливо простий вид набувають доведених співвідношення для наведеного квадратного рівняння х 2 + рх + q = 0. У цьому випадку отримуємо:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
тобто. сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
За допомогою теореми Вієта можна отримати й інші співвідношення між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Нехай, наприклад, х 1 і х 2 — коріння квадратного рівняння х 2 + рх + q = 0. Тоді
Однак основне призначення теореми Вієта не в тому, що вона виражає деякі співвідношення між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Набагато важливішим є те, що за допомогою теореми Вієта виводиться формула розкладання квадратного тричлена на множники, без якої ми надалі не обійдемося.
Доведення. Маємо
Приклад 1. Розкласти на множники квадратний тричлен Зх 2 – 10x + 3.
Рішення. Розв'язавши рівняння Зх 2 – 10x + 3 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена Зх 2 – 10x + 3: х 1 = 3, х2 = .
Скориставшись теоремою 2, отримаємо
Є сенс замість написати Зx – 1. Тоді остаточно отримаємо Зх 2 – 10x + 3 = (х – 3) (3х – 1).
Зауважимо, що заданий квадратний тричлен можна розкласти на множники і без застосування теореми 2, використовуючи спосіб угруповання:
Зх 2 - 10x + 3 = Зх 2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х – 3) – (х – 3) = (х – 3) (Зx – 1).
Але, як бачите, при цьому способі успіх залежить від того, чи зуміємо знайти вдале угруповання чи ні, тоді як при першому способі успіх гарантований.
Приклад 1. Скоротити дріб
Рішення. З рівняння 2х 2 + 5х + 2 = 0 знаходимо х 1 = - 2,
З рівняння х2 - 4х - 12 = 0 знаходимо х 1 = 6, х 2 = -2. Тому
х 2 - 4х - 12 = (х - 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А тепер скоротимо заданий дріб:
Приклад 3. Розкласти на множники вирази:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Розв'язання. а) Введемо нову змінну у = х 2 . Це дозволить переписати заданий вираз у вигляді квадратного тричлена щодо змінної у, а саме у вигляді у 2 + b + 6.
Розв'язавши рівняння у 2 + bу + 6 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена у 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Тепер скористаємося теоремою 2; отримаємо
у 2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Залишилося згадати, що у = x 2 тобто повернення до заданого виразу. Отже,
x 4 + 5х 2 + 6 = (х 2 + 2) (х 2 + 3).
б) Введемо нову змінну у = . Це дозволить переписати заданий вираз у вигляді квадратного тричлена щодо змінної у, а саме у вигляді 2у 2 + у - 3. Розв'язавши рівняння
2у 2 + у - 3 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена 2у 2 + у - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Далі, використовуючи теорему 2, отримаємо:
Залишилося згадати, що у = , тобто повернутися до заданого виразу. Отже,
На закінчення параграфа — деякі міркування, знову ж таки пов'язані з теоремою Вієта, а точніше, із зворотним твердженням:
якщо числа х 1 , х 2 такі, що х 1 + х 2 = - р, x 1 x 2 = q, то ці числа корені рівняння
За допомогою цього твердження можна вирішувати багато квадратних рівнянь усно, не користуючись громіздкими формулами коренів, а також складати квадратні рівняння із заданим корінням. Наведемо приклади.
1) х 2 - 11х + 24 = 0. Тут х 1 + х 2 = 11, х 1 х 2 = 24. Неважко здогадатися, що х 1 = 8, х 2 = 3.
2) х 2 + 11х + 30 = 0. Тут х 1 + х 2 = -11, х 1 х 2 = 30. Неважко здогадатися, що х 1 = -5, х 2 = -6.
Зверніть увагу: якщо вільний член рівняння - позитивне число, то обидва корені або позитивні, або негативні; це важливо враховувати при доборі коріння.
3) х 2 + х - 12 = 0. Тут х 1 + х 2 = -1, х 1 х 2 = -12. Легко здогадатися, що х 1 = 3, х2 = -4.
Зверніть увагу: якщо вільний член рівняння - від'ємне число, то коріння різне за знаком; це важливо враховувати при доборі коріння.
4) 5х 2 + 17x - 22 = 0. Неважко помітити, що х = 1 задовольняє рівняння, тобто. х 1 = 1 - корінь рівняння. Оскільки х 1 х 2 = -, а х 1 = 1, отримуємо, що х 2 = - .
5) х 2 - 293x + 2830 = 0. Тут х 1 + х 2 = 293, х 1 х 2 = 2830. Якщо звернути увагу, що 2830 = 283 . 10, а 293 = 283 + 10, стає ясно, що х 1 = 283, х 2 = 10 (а тепер уявіть, які обчислення довелося б виконати для вирішення цього квадратного рівняння за допомогою стандартних формул).
6) Складемо квадратне рівняння так, щоб його корінням служили числа х 1 = 8, х 2 = - 4. Зазвичай у таких випадках становлять наведене квадратне рівняння х 2 + рх + q = 0.
Маємо х 1 + х 2 = -р, тож 8 - 4 = -р, тобто р = -4. Далі, x 1 x 2 = q, тобто. 8«(-4) = q, звідки отримуємо q = -32. Отже, р = -4, q = -32, отже, квадратне рівняння, що шукається, має вигляд х 2 -4х-32 = 0.
У восьмому класі, учні знайомляться з квадратними рівняннями та способами їх вирішення. При цьому, як показує досвід, більшість учнів під час вирішення повних квадратних рівнянь застосовують лише один спосіб – формулу коренів квадратного рівняння. Для учнів, які добре володіють навичками усного рахунку, цей спосіб явно нераціональний. Вирішувати квадратні рівняння учням доводиться часто й у старших класах, а там витрачати час на розрахунок дискримінанта просто шкода. На мій погляд, при вивченні квадратних рівнянь, слід приділити більше часу та уваги застосуванню теореми Вієта (за програмою А.Г. Мордковича Алгебра-8, вивчення теми “Теорема Вієта. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники” заплановано лише дві години).
У більшості підручників алгебри ця теорема формулюється для наведеного квадратного рівняння і свідчить, що якщо рівняння має коріння і , то їм виконуються рівності , .Потім формулюється твердження, протилежне до теореми Вієта, і пропонується ряд прикладів для опрацювання цієї теми.
Візьмемо конкретні приклади та простежимо на них логіку рішення за допомогою теореми Вієта.
Приклад 1. Розв'язати рівняння.
Допустимо, це рівняння має коріння, а саме, і . Тоді за теоремою Вієта одночасно повинні виконуватись рівності
Звернімо увагу, що добуток коренів – позитивне число. Отже, коріння рівняння одного знака. Оскільки сума коренів також є позитивним числом, робимо висновок, що обидва корені рівняння – позитивні. Повернемося знову до твору коріння. Припустимо, що коріння рівняння – цілі позитивні числа. Тоді отримати правильну першу рівність можна лише двома способами (з точністю до порядку множників): або . Перевіримо для запропонованих пар чисел здійсненність другого затвердження теореми Вієта: 
. Таким чином, числа 2 і 3 задовольняють обом рівностям, а значить, і є корінням заданого рівняння.
Відповідь: 2; 3.
Виділимо основні етапи міркувань при вирішенні наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта:
| записати затвердження теореми Вієта | (*) |
- визначити знаки коренів рівняння. різні знаки При цьому, якщо сума коренів – позитивна, то більший за модулем корінь є позитивним числом, а якщо сума коренів менша за нуль, то більший за модулем корінь – негативне число);
- підібрати пари цілих чисел, добуток яких дає правильну першу рівність у записі (*);
- зі знайдених пар чисел вибрати ту пару, яка при підстановці на другу рівність у записі (*) дасть правильну рівність;
- вказати у відповіді знайдене коріння рівняння.
Наведемо приклади.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 
.
Рішення.
Нехай і – коріння заданого рівняння. Тоді за теоремою Вієта Зауважимо, що твір – позитивний, а сума – негативне число. Отже, обидва корені – негативні числа. Підбираємо пари множників, що дають добуток 10 (-1 та -10; -2 та -5). Друга пара чисел у сумі дає -7. Значить, числа -2 та -5 є корінням даного рівняння.
Відповідь: -2; -5.
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння 
.
Рішення.
Нехай і – коріння заданого рівняння. Тоді за теоремою Вієта Зауважимо, що твір – негативний. Значить, коріння – різного знака. Сума коренів також негативне число. Значить, більший за модулем корінь негативний. Підбираємо пари множників, що дають добуток -10 (1 та -10; 2 та -5). Друга пара чисел у сумі дає -3. Значить, числа 2 та -5 є корінням даного рівняння.
Відповідь: 2; -5.
Зауважимо, що теорему Вієта в принципі можна сформулювати і для повного квадратного рівняння: якщо квадратне рівняння 
має коріння і , то їм виконуються рівності , .Однак застосування цієї теореми досить проблематичне, тому що в повному квадратному рівнянні принаймні один з коренів (за їх наявності, звичайно) є дрібним числом. А працювати з підбором дробів довго та важко. Але все ж таки вихід є.
Розглянемо повне квадратне рівняння . Помножимо обидві частини рівняння перший коефіцієнт аі запишемо рівняння у вигляді 
. Введемо нову змінну і отримаємо наведене квадратне рівняння , коріння якого і (за їх наявності) може бути знайдено за теоремою Вієта. Тоді коріння вихідного рівняння буде. Звернемо увагу, що скласти допоміжне наведене рівняння дуже просто: другий коефіцієнт зберігається, а третій коефіцієнт дорівнює добутку ас. При певному навичці учні одразу складають допоміжне рівняння, знаходять його коріння за теоремою Вієта та вказують коріння заданого повного рівняння. Наведемо приклади.
Приклад 4. Розв'яжіть рівняння 
.
Складемо допоміжне рівняння 
і за теоремою Вієта знайдемо його коріння. Отже, коріння вихідного рівняння 
.
Відповідь: .
Приклад 5. Розв'яжіть рівняння 
.
Допоміжне рівняння має вигляд. По теоремі Вієта його коріння. Знаходимо коріння вихідного рівняння 
.
Відповідь: .
І ще один випадок, коли застосування теореми Вієта дозволяє усно знайти коріння повного квадратного рівняння. Неважко довести, що число 1 є коренем рівняння тоді і тільки тоді, коли. Другий корінь рівняння знаходиться за теоремою Вієта і дорівнює. Ще одне твердження: щоб число –1 було коренем рівняння необхідно і достатньо, щоб. Тоді другий корінь рівняння за теоремою Вієта дорівнює. Аналогічні твердження можна сформулювати і наведеного квадратного рівняння.
Приклад 6. Розв'яжіть рівняння .
Зауважимо, що сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю. Значить, коріння рівняння 
.
Відповідь: .
Приклад 7. Розв'яжіть рівняння .
Для коефіцієнтів цього рівняння виконується властивість
(Дійсно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значить, коріння рівняння 
.
Відповідь: ..
Приклади застосування теореми Вієта
Завдання 1. Розв'яжіть наведене квадратне рівняння за допомогою теореми Вієта.
1. 
6. 
11. 16. 
2. 7. 
12. 17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Завдання 2. Розв'яжіть повне квадратне рівняння за допомогою переходу до допоміжного квадратного рівняння.
1. 
6. 
11. 
16. 
2. 
7. 
12. 
17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Завдання 3. Розв'яжіть квадратне рівняння за допомогою властивості .
При вивченні способів розв'язання рівнянь другого порядку в шкільному алгебри курсі, розглядають властивості отриманих коренів. Вони зараз відомі під назвою теореми Вієта. Приклади використання її наводяться у цій статті.
Квадратне рівняння
Рівняння другого порядку являє собою рівність, яка показана на фото нижче.
Тут символи a, b, c є деякими числами, що мають назву коефіцієнтів рівняння, що розглядається. Щоб розв'язати рівність, необхідно знайти такі значення x, які роблять його істинним.
Зауважимо, що оскільки максимальне значення ступеня, в яку зводиться ікс, дорівнює двом, тоді кількість коренів у загальному випадку також дорівнює двом.
Для розв'язання цього рівнянь існує кілька способів. У цій статті розглянемо один із них, який передбачає використання так званої теореми Вієта.
Формулювання теореми Вієта
Наприкінці XVI відомий математик Франсуа Вієт (француз) помітив, аналізуючи властивості коренів різних квадратних рівнянь, що певні комбінації їх задовольняють конкретним співвідношенням. Зокрема, цими комбінаціями є їхній твір та сума.
Теорема Вієта встановлює наступне: коріння квадратного рівняння при їх сумі дають відношення коефіцієнтів лінійного до квадратичного взяте зі зворотним знаком, а при їх добутку призводять до відношення вільного члена до квадратичного коефіцієнта.
Якщо загальний вигляд рівняння записано так, як це представлено на фото у попередньому розділі статті, тоді математично цю теорему можна записати у вигляді двох рівностей:
- r 2 + r 1 = -b/a;
- r 1 х r 2 = c/a.
Де r 1 , r 2 - це значення коренів рівняння, що розглядається.
Наведені дві рівності можна використовувати для вирішення низки різних математичних завдань. Використання теореми Вієта у прикладах із рішенням наведено у наступних розділах статті.
Практично будь-яке квадратне рівняння можна перетворити до виду. Однак це можливо, якщо спочатку розділити кожне доданок на коефіцієнт перед. Крім того, можна ввести нове позначення:
\[(\frac(b)(a))= p\] і \[(\frac(c)(a)) = q\]
Завдяки чому будемо мати рівняння, що зветься в математиці наведеним квадратним рівнянням. Коріння даного рівняння і коефіцієнти взаємопов'язані між собою, що підтверджено теоремою Вієта.
Теорема Вієта: Сума коренів наведеного квадратного рівняння \ дорівнює другому коефіцієнту \ взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному члену \
Для наочності вирішимо рівняння такого виду:
Вирішимо це квадратне рівняння за допомогою виписаних правил. Проаналізувавши вихідні дані, можна зробити висновок, що рівняння матиме два різні корені, оскільки:
Тепер із усіх множників числа 15 (1 і 15, 3 і 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Під цю умову потрапляють числа 3 і 5. Перед меншим числом ставимо знак "мінус". Таким чином, отримаємо коріння рівняння.
Відповідь: \[x_1=-3 та x_2=5\]
Де можна вирішити рівняння за теоремою Вієта онлайн?
Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.
