Побудувати функцію
Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.
Переваги побудови графіків онлайн
- Візуальне відображення функцій, що вводяться
- Побудова дуже складних графіків
- Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
- Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
- Управління масштабом, кольором ліній
- Можливість побудови графіків за точками, використання констант
- Побудова одночасно кількох графіків функцій
- Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))
З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення у Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функций. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.
На цьому уроці ми докладно розглянемо побудову графіків рівнянь. Спочатку згадаємо, що таке раціональне рівняння та безліч його рішень, що утворює графік рівняння. Детально розглянемо графік лінійного рівняннята властивості лінійної функції, навчимося читати графіки. Далі розглянемо графік квадратного рівняннята властивості квадратичної функції. Розглянемо гіперболічну функцію та її графік та графік рівняння кола. Далі перейдемо до побудови та вивчення сукупності графіків.
Тема: Системи рівнянь
Урок: Графіки рівнянь
Ми розглядаємо раціональне рівняння виду та системи раціональних рівняньвиду
Ми говорили, що кожне рівняння у цій системі має свій графік, якщо звичайно є розв'язки рівнянь. Ми розглянули кілька графіків різних рівнянь.
Сьогодні ми систематично розглянемо кожне з відомих нам рівнянь, тобто. виконаємо огляд по графіків рівнянь.
1. Лінійне рівняння із двома змінними 
x, y - у першому ступені; a, b, c – конкретні числа.
Приклад: 
Графік цього рівняння є пряма лінія.
Ми діяли рівносильними перетвореннями - y залишили на місці, решту перенесли в інший бік з протилежними знаками. Вихідне та отримане рівняння рівносильні, тобто. мають те саме безліч рішень. Графік цього рівняння ми вміємо будувати, і методика його побудови така: знаходимо точки перетину з координатними осями і з них будуємо пряму.
В даному випадку
Знаючи графік рівняння, ми можемо багато сказати про рішення вихідного рівняння, а саме: якщо 
слі 
Ця функція збільшується, тобто. із збільшенням x збільшується y. Ми отримали два приватні рішення, а як записати безліч усіх рішень?
Якщо точка має абсцис x, то ордината цієї точки
Значить, чисел
Ми мали рівняння, ми побудували графік, знайшли рішення. Безліч усіх пар – скільки їх? Безліч безліч.
Це раціональне рівняння,
Знайдемо y, рівносильними перетвореннями отримуємо 
Покладемо та отримуємо квадратичну функцію, її графік нам відомий.
Приклад: Побудувати графік раціонального рівняння.
Графіком є парабола, гілки спрямовані нагору.
Знайдемо коріння рівняння:
Схематично зобразимо графік ( Мал. 2).
За допомогою графіка ми отримуємо всілякі відомості і про функцію, і про рішення раціонального рівняння. Ми визначили проміжки знакості, тепер знайдемо координати вершини параболи.
У рівняння безліч рішень, тобто. незліченна безліч пар, що задовольняють рівняння, але все А яким може бути x? Будь-яким!
Якщо ми поставимо будь-яке x, то отримаємо точку
Рішенням вихідного рівняння є безліч пар
3. Побудувати графік рівняння
Потрібно виразити y. Розглянемо два варіанти.
Графіком функції є гіпербола, функція не визначена при
Функція спадна.
Якщо ми візьмемо крапку з абсцисою, то її ордината дорівнюватиме
Рішенням вихідного рівняння є безліч пар
Побудовану гіперболу можна зрушувати щодо осей координат.
Наприклад, графік функції 
- теж гіпербола - буде зрушено на одиницю вгору по осі ординат.
4. Рівняння кола
Це раціональне рівняння із двома змінними. Безліч рішень є точки кола. Центр у точці радіус дорівнює R (Рис. 4).
Розглянемо конкретні приклади.
a. 
Наведемо рівняння до стандартного виду рівняння кола, при цьому виділимо повний квадрат суми:
- отримали рівняння кола з центром у 
.
Побудуємо графік рівняння 
(Мал. 5).
b. Побудувати графік рівняння
Згадаймо, що твір дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю, А другий існує.
Графік заданого рівняння складається із сукупності графіків першого та другого рівнянь, тобто. двох прямих.
Побудуємо його (Рис. 6).
Побудуємо графік функції Пряма проходитиме через точку (0; -1). Але як вона пройде – зростатиме чи зменшуватиметься? Визначити це нам допоможе кутовий коефіцієнт, Коефіцієнт при x, він негативний, значить функція убуває. Знайдемо точку перетину з віссю ox, точка (-1; 0).
Аналогічно будуємо графік другого рівняння. Пряма проходить через точку (0; 1), але збільшується, т.к. кутовий коефіцієнт позитивний.
Координати всіх точок двох побудованих прямих є рішенням рівняння.
Отже, ми проаналізували графіки найважливіших раціональних рівнянь, вони використовуватимуться й у графічному методі й у ілюстрації інших методів розв'язання систем рівнянь.
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.
2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.
3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.
4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.
6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.
1. Розділ College.ru з математики ().
2. Інтернет-проект "Завдання" ().
3. Освітній портал«Вирішую ЄДІ» ().
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №95-102.
МЕТА:1) Познайомити учнів із поняттям «рівняння із двома змінними»;
2) Навчити визначати ступінь рівняння із двома змінними;
3) Навчити визначати за заданої функціїяка фігура є графіком
даного рівняння;
4) Розглянути перетворення графіків із двома змінними;
заданому рівнянню з двома змінними, використовуючи програму Agrapher;
6) Розвивати логічне мисленняучнів.
I.Новий матеріал – пояснювальна лекція з елементами бесіди.
(лекція проводиться з використанням авторських слайдів; побудова графіків виконано у програмі Agrapher)
У: Під час вивчення ліній виникають дві задачи:
По геометричним властивостям цієї лінії визначити її рівняння;
Зворотне завдання: за заданим рівнянням лінії дослідити її геометричні властивості.
Перше завдання ми розглядали в курсі геометрії стосовно кола та прямої.
Сьогодні ми розглядатимемо зворотне завдання.
Розглянемо рівняння виду:
а) х(х-у) = 4;б) 2у-х 2 =-2 ; в) х(х+у 2 ) = х +1.
– це приклади рівнянь із двома змінними.
Рівняння з двома змінними хі у має вигляд f(x,y)=(x,y), де fі - Вирази зі змінними хі у.
Якщо у рівнянні х(х-у) = 4підставити замість змінної хїї значення -1, а замість у- значення 3, то вийде правильна рівність: 1*(-1-3)=4,
Пара (-1; 3) значень змінних хі ує рішенням рівняння х(х-у) = 4.
Тобто рішенням рівняння з двома змінними називають безліч упорядкованих пар значень змінних, що утворюють це рівняння у правильну рівність.
Рівняння з двома змінними має, як правило, безліч рішень. Виняткистановлять, наприклад, такі рівняння, як х 2 +(у 2 - 4) 2 = 0 або
2х 2 + у 2 = 0 .
Перше має два рішення (0; -2) і (0; 2), друге – одне рішення (0;0).
Рівняння х 4 + у 4 +3 = 0 взагалі немає рішень. Цікавим є, коли значеннями змінних у рівнянні служать цілі числа. Вирішуючи такі рівняння із двома змінними, знаходять пари цілих чисел. У таких випадках говорять, що рівняння вирішено цілими числами.
Два рівняння, що мають одне й теж безліч рішень, називають рівносильними рівняннями. Наприклад, рівняння х(х + у 2) = х + 1 є рівняння третього ступеня, оскільки його можна перетворити на рівняння ху 2 + х 2 - х-1 = 0, права частина якого - багаточлен стандартного виду третього ступеня.
Ступенем рівняння з двома змінними, представленого у вигляді F(х, у) = 0, де F(х,у)-багаточлен стандартного виду називають ступінь багаточлена F(х, у).
Якщо всі рішення рівняння з двома змінними зобразити точками координатної площині, то вийде графік рівняння з двома змінними.
Графікомрівняння з двома змінними називається безліч точок, координати яких є рішеннями цього рівняння.
Так, графік рівняння ax + by + c = 0є прямою, якщо хоча б один з коефіцієнтів aабо b не дорівнює нулю (рис.1). Якщо a = b = c = 0, то графіком цього рівняння є координатна площина (рис.2), якщо ж a = b = 0, а c0, то графіком є порожня множина (рис.3).
Графік рівняння y = a х 2 + by + cє параболою (рис.4), графік рівняння xy = k (k0) – гіперболу (рис.5). Графіком рівняння х 2 + у 2 = r, де x та y – змінні, r – позитивне число, є колоз центром на початку координат і радіусом рівним r(Рис.6). Графіком рівняння є еліпс, де aі b- Велика і мала півосі еліпса (рис.7).
Побудова графіків деяких рівнянь полегшується використанням їх перетворень. Розглянемо перетворення графіків рівнянь із двома зміннимита сформулюємо правила, за якими виконуються найпростіші перетворення графіків рівнянь
1) Графік рівняння F(-x, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою симетрії щодо осі у.
2) Графік рівняння F(x, -y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою симетрії щодо осі х.
3) Графік рівняння F(-x, -y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою центральної симетрії щодо початку координат.
4) Графік рівняння F(x-а, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою переміщення паралельно осі х на |a| одиниць (вправо, якщо a> 0, і вліво, якщо а < 0).
5) Графік рівняння F (x, y-b) = 0 виходить із графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою переміщення на | b | одиниць паралельно осі у(вгору, якщо b> 0 і вниз, якщо b < 0).
6) Графік рівняння F(аx, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою стиснення до осі у і а раз, якщо а> 1, і за допомогою розтягування від осі у раз, якщо 0< а < 1.
7) Графік рівняння F(x, by) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою за допомогою стиснення до осі х в bраз, якщо b> 1 і за допомогою розтягування від осі x в раз, якщо 0 < b < 1.
Якщо графік деякого рівняння повернути деякий кут біля початку координат, то новий графік буде графіком іншого рівняння. Важливими є окремі випадки повороту на кути 90 0 і 45 0 .
8) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту біля початку координат на кут 90 0 за годинниковою стрілкою переходить до графіка рівняння F (-y, x) = 0, а проти годинникової стрілки – до графіка рівняння F (y , -x) = 0.
9) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту біля початку координат на кут 45 0 за годинниковою стрілкою переходить до графіка рівняння F = 0, а проти годинникової стрілки – до графіка рівняння F 
= 0.
З розглянутих нами правил перетворення графіків рівнянь із двома змінними легко виходять правила перетворення графіків функцій.
Приклад 1. Покажемо, що графік рівняння х 2 + у 2 + 2х - 8у + 8 = 0є коло (рис.17).
Перетворимо рівняння так:
1) згрупуємо доданки, що містять змінну хі містять змінну у, і представимо кожну групу доданків у вигляді повного квадрата тричлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2 * 4 * у + 16) + 8 - 1 - 16 = 0;
2) запишемо у вигляді квадрата суми (різниці) двох виразів отримані тричлени: (х + 1) 2 + (у - 4) 2 - 9 = 0;
3) проаналізуємо, згідно з правилами перетворення графіків рівнянь з двома змінними, рівняння (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2: графіком даного рівняння є коло з центром у точці (-1; 4) та радіусом 3 одиниці .
Приклад 2. Побудуємо графік рівняння х 2 + 4у 2 = 9 .
Представимо 4у 2 у вигляді (2у) 2 отримаємо рівняння х 2 + (2у) 2 = 9, графік якого можна отримати з кола х 2 + у 2 = 9 стисненням до осі х в 2 рази.
Накреслимо коло з центром на початку координат та радіусом 3 одиниці.
Зменшимо у 2 рази відстань кожної її точки від осі Х, отримаємо графік рівняння
х 2 + (2у) 2 = 9.
Ми отримали фігуру за допомогою стиснення кола до одного з її діаметрів (до діаметра, що лежить на осі Х). Таку фігуру називають еліпсом (рис.18).
Приклад 3. З'ясуємо, що є графік рівняння х 2 - у 2 = 8.
Скористаємося формулою F=0.
Підставимо на дане рівняння замість Х і замість У, отримаємо:
У: Що таке графік рівняння у = ?
Д: Графік рівняння у = є гіпербола.
У: Ми перетворили рівняння виду х 2 - у 2 = 8 на рівняння у = .
Яка лінія буде графіком цього рівняння?
Д: Значить, і графік рівняння х 2 - у 2 = 8 є гіпербола.
Які прямі є асимптотами гіперболи у = .
Д: Асимптотами гіпербол у = є прямі у = 0 і х = 0.
У: При виконаному повороті ці прямі перейдуть у прямі = 0 = 0, тобто в прямі у = х і у = - х. (Рис.19).
Приклад 4: З'ясуємо, який вид набуде рівняння у = х 2 параболи при повороті біля початку координат на кут 900 за годинниковою стрілкою.
Використовуючи формулу F (-у; х) = 0, замінимо в рівнянні у = х 2 змінну х на - у, а змінну у на х. Отримаємо рівняння х = (-у) 2, тобто х = у 2 (рис.20).
Ми розглянули приклади графіків рівнянь другого ступеня з двома змінними та з'ясували, що графіками таких рівнянь можуть бути парабола, гіпербола, еліпс (зокрема коло). Крім того, графіком рівняння другого ступеня може бути пара прямих (пересічних або паралельних). Це так званий вироджений випадок. Так графіком рівняння х 2 - у 2 = 0 є пара прямих, що перетинаються (рис.21а), а графіком рівняння х 2 - 5х + 6 + 0у = 0- паралельних прямих.
II Закріплення.
(учням видаються «Картки-інструкції» щодо виконання побудов графіків рівнянь із двома змінними у програмі Agrapher (Додаток 2) та картки «Практичне завдання» (Додаток 3) із формулюванням завдань 1-8 Графіки рівнянь до завдань 4-5 вчитель демонструє на слайдах ).
Завдання 1. Які з пар (5; 4), (1; 0), (-5; -4) і (-1; -) є рішеннями рівняння:
а) х 2 - у 2 = 0, б) х 3 - 1 = х 2 у + 6у?
Рішення:
Підставивши в задане рівняння, по черзі координати даних точок переконуємося, що жодна дана пара не є рішенням рівняння х 2 - у 2 = 0, а рішеннями рівняння х 3 - 1 = х 2 у + 6у є пари (5; 4), (1; 0) та (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (І)
1 - 1 = 0 + 0 (І)
125 - 1 = -100 - 24 (Л)
1 - 1 = - - (І)
Відповідь:а); б) (5; 4), (1; 0), (-1; -).
Завдання 2. Знайдіть такі рішення рівняння ху 2 - х 2 у = 12, у яких значення ходно 3.
Рішення: 1) Підставимо замість Х у задане рівняння значення 3.
2) Отримаємо квадратне рівняння щодо змінної У, що має вигляд:
3у 2 – 9у = 12.
4) Вирішимо це рівняння:
3у 2 - 9у - 12 = 0
Д = 81 + 144 = 225
Відповідь: пари (3; 4) і (3; -1) є рішеннями рівняння ху 2 - х 2 у = 12
Завдання3. Визначте ступінь рівняння:
а) 2у 2 - 3х3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х) (4х - у 2) = х;
б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2) 2 = х (х 2 + 4ху + 1).
Відповідь: а) 3; б) 5; в 4; г) 4.
Завдання4. Яка фігура є графіком рівняння:
а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у - 1; в) 2(х + 1) = х 2 - у;
г) (х - 1,5) (х - 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.
Завдання5. Напишіть рівняння, графік якого симетричний графіку рівняння х 2 - ху + 3 = 0 (рис.24) щодо: а) осі х; б) осі у; в)прямий у = х; г) прямий у = -х.
Завдання6. Складіть рівняння, графік якого виходить розтягуванням графіка рівняння у = х 2 -3 (рис.25):
а) від осі х у 2 рази; б) від осі у 3 рази.
Перевірте правильність виконання завдання за допомогою програми Agrapher.
Відповідь: а) у - х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у (x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).
б) прямі паралельні, переміщення паралельно осі х на 1 одиницю вправо і паралельно осі у на 3 одиниці вниз (рис.26б);
в) прямі перетинаються, симетричне відображення щодо осі х (рис.26в);
г) прямі перетинаються, симетричне відображення щодо осі (рис.26г);
д) прямі паралельні, симетричне відображення щодо початку координат (рис.26д);
е) прямі перетинаються, поворот біля початку координат на 90 за годинниковою стрілкою та симетричне відображення щодо осі х (рис.26е).
ІІІ. Самостійна роботанавчального характеру.
(Учням видаються картки «Самостійна робота» та «Звітна таблиця результатів самостійної роботи», в яку учні записують свої відповіді та після самоперевірки, за запропонованою схемою оцінюють роботу) Додаток 4 .
I. варіант.
а) 5х3-3х2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 - (х-у) 2 = 2 (х + у).
а) х 3 + у 3 -5 х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.
х 4 + у 4 -8 х 2 + 16 = 0.
а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;
б) х 2 -у 2 = 1;
в) х – у 2 = 9.
х 2 – 2х + у 2 – 4у = 20.
Вкажіть координати центру кола та його радіус.
6. Як слід на координатній площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння набуло вигляду х 2 - у 2 = 16?
Перевірте свою відповідь, виконавши графічну побудову за допомогою програми Agrapher.
7.Як слід на координатній площині перемістити параболу у = х 2, щоб її рівняння набуло вигляду х = у 2 - 1
ІІ варіант.
1.Визначте ступінь рівняння:
а) 3ху = (у-х 3) (х 2 + у); б) 2у 3+5х2 у 2 – 7 = 0.
2. Чи є пара чисел (-2;3) рішенням рівняння:
а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 + у 3 = -1.
3. Знайдіть безліч розв'язків рівняння:
х 2 + у 2 -2х - 8у + 17 = 0.
4. Якою кривою (гіперболою, колом, параболою) є безліч точок, якщо рівняння цієї кривої має вигляд:
а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 = 9
б) у 2 - х 2 = 1
в) х = у 2 – 1.
(перевірте за допомогою програми Agrapher правильність виконання завдання)
5. Побудуйте, використовуючи програму Agrapher, графік рівняння:
х 2 + у 2 – 6х + 10у = 2.
6.Як слід на координатній площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння набуло вигляду х 2 - у 2 = 28?
7. Як слід на координатній площині перемістити параболу у = х 2 щоб її рівняння набуло вигляду х = у 2 + 9.
Прямокутна система координат це пара перпендикулярних координатних ліній, які називаються осями координат, які розміщені так, що вони перетинаються в їхньому початку.
Позначення координатних осей літерами х і у є загальноприйнятим, проте літери можуть бути будь-які. Якщо використовуються літери х і у, то площина називається xy-площина. У різних додатках можуть застосовуватися відмінні від літер x і y літери, і як показано з наведених нижче малюнків, є uv-площиниі ts-площини.
Упорядкована пара
Під упорядкованою парою дійсних чиселми маємо на увазі два дійсних чисел у певному порядку. Кожна точка P в координатній площині може бути пов'язана з унікальною впорядкованою парою дійсних чисел шляхом проведення двох прямих через точку P: одну перпендикулярно до осі Х, а іншу - перпендикулярно до осі у.
Наприклад, якщо ми візьмемо (a,b)=(4,3), тоді координатної полоскости
Побудувати точку Р(a,b) означає визначити точку з координатами (a,b) на координатній площині. Наприклад, різні точки побудовані малюнку внизу.
У прямокутній системі координат осі координат ділять площину чотири області, звані квадрантами. Вони нумеруються проти годинникової стрілки римськими цифрами, як показано на малюнку
Визначення графіка
Графікомрівняння з двома змінними х і у, називається безліч точок на ху-площині, координати яких є членами множини рішень цього рівняння
приклад: намалювати графік y = x 2
Через те, що 1/x не визначено, коли x=0 ми можемо побудувати тільки точки, для яких x ≠0
Приклад: Знайдіть усі перетини з осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Нехай y = 0, тоді 3x = 6 або x = 2
є точкою перетину осі x.
Встановивши, що х=0, знайдемо, що точкою перетину осі у є точка у=3.
Таким чином ви можете вирішити рівняння (b), а рішення для (c) наведено нижче
x-перетин
Нехай y = 0
1/x = 0 => x не може бути визначено, тобто немає перетину з віссю у
Нехай x = 0
y = 1/0 => y також не визначено, => немає перетину з віссю y
На малюнку внизу точки (x, y), (-x, y), (x, -y) та (-x, -y) позначають кути прямокутника.
Графік симетричний щодо осі х, якщо кожної точки (x,y) графіка, точка (x,-y) є також точкою на графіці.
Графік симетричний щодо осі y, якщо кожної точки графіка (x,y) точка (-x,y) також належить графіку.
Графік симетричний щодо центру координат, якщо кожної точки (x,y) графіка, точка (-x,-y) також належить цьому графіку.
Визначення:
Графік функціїна координатній площині окреслюється графік рівняння y = f(x)
Побудуйте графік f(x) = x + 2
Приклад 2. Побудуйте графік f(x) = | x |
Графік збігається з лінією y = x для x > 0 і з лінією y = -x
для x< 0 .
graph of f(x) = -x
Поєднуючи ці два графіки, ми отримуємо
графік f(x) = | x |
Приклад 3. Побудуйте графік
t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =
= ((x - 2) (x + 2) / (x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Отже, ця функція може бути записана у вигляді
y = x + 2 x ≠ 2
Графік h (x) = x 2 - 4 Or x - 2
графік y = x + 2 x ≠ 2
Приклад 4. Побудуйте графік
Графіки функцій із переміщенням
Припустимо, що графік функції f(x) відомий
Тоді ми можемо знайти графіки
y = f(x) + c – графік функції f(x), переміщений
ВВЕРХ на c значень
y = f(x) - c - графік функції f(x), переміщений
Вниз на c значень
y = f(x + c) – графік функції f(x), переміщений
ВЛІВО на c значень
y = f(x - c) – графік функції f(x), переміщений
Право на c значень
Приклад 5. Побудуйте
графік y = f(x) = | x - 3 | + 2
Перемістимо графік y = | x | на 3 значення ВПРАВО, щоб отримати графік
Перемістимо графік y = | x - 3 | на 2 значення ВВЕРХ, щоб отримати графік y = | x - 3 | + 2
Побудуйте графік
y = x 2 - 4x + 5
Перетворимо задане рівняння в такий спосіб, додавши до обох частин 4:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x – 2) 2 + 1
Тут ми бачимо, що цей графік може бути отриманий переміщенням графіка y = x 2 праворуч на 2 значення, тому що x - 2, і вгору на 1 значення, тому що +1.
y = x 2 - 4x + 5
Відображення
(-x, y) є відображенням (x, y) щодо осі y
(x, -y) є відображенням (x, y) щодо осі x
Графіки y = f(x) та y = f(-x) є відображенням один одного щодо осі y
Графіки y = f(x) та y = -f(x) є відображенням один одного щодо осі x
Графік може бути отриманий відображенням та переміщенням:
Намалюйте графік
Знайдемо його відображення щодо осі y, та отримаємо графік
Перемістимо цей графік праворучна 2 значення та отримаємо графік
Ось шуканий графік
Якщо f(x) помножена на позитивну постійну c, то
графік f(x) стискається по вертикалі, якщо 0< c < 1
графік f(x) розтягується по вертикалі, якщо c> 1
Крива не є графіком y = f(x) для будь-якої функції f
Нехай поставлено рівняння з двома змінними F(x; y). Ви вже познайомилися зі способами розв'язання таких рівнянь аналітично. Безліч рішень таких рівнянь можна уявити і як графіка.
Графіком рівняння F(x; y) називають безліч точок координатної площини xOy, координати яких задовольняють рівняння.
Для побудови графіка рівняння із двома змінними спочатку виражають у рівнянні змінну y через змінну x.
Напевно, ви вже вмієте будувати різноманітні графіки рівнянь із двома змінними: ax + b = c – пряма, yx = k – гіпербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – коло, радіус якого дорівнює R, а центр знаходиться у точці O(a; b).
приклад 1.
Побудувати графік рівняння x2 – 9y2 = 0.
Рішення.
Розкладемо на множники ліву частину рівняння.
(x - 3y) (x + 3y) = 0, тобто y = x/3 або y = -x/3.
Відповідь: рисунок 1.
Особливе місце займає завдання фігур на площині рівняннями, що містять знак абсолютної величини, на яких ми докладно зупинимося. Розглянемо етапи побудови графіків рівнянь виду | y | = f(x) та |y| = | f (x) |.
Перше рівняння рівносильне системі
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) або y = -f(x).
Тобто його графік складається з графіків двох функцій: y = f(x) та y = -f(x), де f(x) ≥ 0.
Для побудови графіка другого рівняння будують графіки двох функцій: y = f(x) та y = -f(x).
приклад 2.
Побудувати графік рівняння | y | = 2+х.
Рішення.
Задане рівняння рівносильне системі
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 або y = -x - 2).
Будуємо безліч точок.
Відповідь: рисунок 2.
приклад 3.
Побудувати графік рівняння | y - x | = 1.
Рішення.
Якщо y ≥ x то y = x + 1, якщо y ≤ x, то y = x – 1.
Відповідь: рисунок 3.
При побудові графіків рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, зручно та раціонально використовувати метод областей, заснований на розбиття координатної площини на частини, у яких кожне підмодульне вираз зберігає свій знак.
приклад 4.
Побудувати графік рівняння x + | x | + y + | y | = 2.
Рішення.
У цьому прикладі знак кожного підмодульного виразу залежить від координатної чверті.
1) У першій координатній чверті x ≥ 0 та y ≥ 0. Після розкриття модуля задане рівняння матиме вигляд:
2x + 2y = 2, а після спрощення x + y = 1.
2) У другій чверті, де х< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) У третій чверті x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) У четвертій чверті, за x ≥ 0, а y< 0 получим, что x = 1.
Графік цього рівняння будуватимемо по чвертях.
Відповідь: рисунок 4.
Приклад 5.
Зобразити безліч точок, які координати задовольняють рівності |x – 1| + | y - 1 | = 1.
Рішення.
Нулі підмодульних виразів x = 1 та y = 1 розбивають координатну площину на чотири області. Розкриємо модулі по областях. Оформимо це у вигляді таблиці.
| Область |
Знак підмодульного виразу |
Отримане рівняння після розкриття модуля |
| I | x ≥ 1 та y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 та y< 1 | x - y = 1 |
Відповідь: рисунок 5.
На координатній площині фігури можуть задаватися і нерівностями.
Графіком нерівностііз двома змінними називається безліч усіх точок координатної площини, координати яких є рішеннями цієї нерівності.
Розглянемо алгоритм побудови моделі розв'язків нерівності з двома змінними:
- Записати рівняння, що відповідає нерівності.
- Побудувати графік рівняння із пункту 1.
- Вибрати довільну точку в одній із напівплощин. Перевірити, чи задовольняють координати обраної точки даної нерівності.
- Зобразити графічно множину всіх розв'язків нерівності.
Розглянемо, перш за все, нерівність ax + bx + c > 0. Рівняння ax + bx + c = 0 задає пряму площину, що розбиває, на дві напівплощини. У кожному їх функція f(x) = ax + bx + c зберігає знак. Для визначення цього знака достатньо взяти будь-яку точку, що належить напівплощині, та обчислити значення функції у цій точці. Якщо знак функції збігається зі знаком нерівності, то ця напівплощина і буде розв'язанням нерівності.
Розглянемо приклади графічного розв'язання нерівностей, що найчастіше зустрічаються, з двома змінними.
1) ax + bx + c ≥ 0. Малюнок 6.
2)
|х| ≤ a, a > 0. Малюнок 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Малюнок 8.
4) y ≥ x 2 . Малюнок 9.
5)
xy ≤ 1. Малюнок 10. 
Якщо у вас виникли питання або ви хочете попрактикуватися зображати на площині моделі безлічі всіх розв'язків нерівностей із двома змінними за допомогою математичного моделювання, ви можете провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетитором після того, як зареєструєтесь. Для подальшої роботи з викладачем у вас буде можливість обрати відповідний тарифний план.
Залишились питання? Не знаєте як зобразити фігуру на координатній площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
