Види числових інтервалів. Числові проміжки. Основні характеристики функції: монотонність, парність, періодичність

Відповідь - Безліч (-∞;+∞) називається числовою прямою, а будь-яке число - точкою цієї прямої. Нехай a - довільна точка числової прямої та δ

Додатне число. Інтервал (a-δ; a+δ) називається δ-околицею точки а.

Багато Х обмежено зверху (знизу), якщо існує таке число c, що для будь-якого x ∈ X виконується нерівність x≤с (x≥c). Число з у цьому випадку називається верхньою (нижньою) гранню множини Х. Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженою. Найменша (найбільша) з верхніх (нижніх) граней множини називається точною верхньою (нижньою) гранню цієї множини.

Числовим проміжком називається пов'язане безліч дійсних чисел, тобто таке, що якщо 2 числа належать цій множині, то всі числа укладені між ними також належать цій множині. Існує кілька в певному сенсі різних типів непустих числових проміжків: Пряма, відкритий промінь, замкнутий промінь, відрізок, напівінтервал, інтервал

Числова пряма

Безліч всіх дійсних чисел називають ще числовою прямою. Пишуть.

Насправді немає необхідності розрізняти поняття координатної чи числової прямий в геометричному сенсі і поняття числової прямий, введене цим визначенням. Тому ці різні поняття позначаються тим самим терміном.

Відкритий промінь

Безліч чисел таких, що або називають відкритим числовим променем. Пишуть або відповідно: .

Замкнений промінь

Безліч чисел таких, що називають замкнутим числовим променем. Пишуть або відповідно:.

Безліч чисел таких, що називають числовим відрізком.

Зауваження. У визначенні не зазначено, що . Передбачається, що випадок можливий. Тоді числовий проміжок перетворюється на точку.

Інтервал

Безліч чисел, таких що називають числовим інтервалом.

Зауваження. Збіг позначень відкритого променя, прямий та інтервалу не випадково. Відкритий промінь можна розуміти як інтервал, один з кінців якого віддалений в нескінченність, а числову пряму - як інтервал, обидва кінці якого видалені в нескінченність.

Напівінтервал

Безліч чисел, таких що або називають числовим напівінтервалом.

Пишуть чи, відповідно,

3. Функція. Графік функції. Способи завдання функції.

Відповідь - Якщо дано дві змінні х і y, то кажуть, що змінна y є функцією від змінної х, якщо задана така залежність між цими змінними, яка дозволяє кожному значення ходнозначно визначити значення у.

Запис F = у(х) означає, що розглядається функція, що дозволяє для будь-якого значення незалежної змінної х (з числа тих, які аргумент х взагалі може приймати) знаходити відповідне значення залежної змінної у.

Способи завдання функції.

Функція може бути задана формулою, наприклад:

у = 3х2 - 2.

Функція може бути задана графіком. За допомогою графіка можна встановити яке значення функції відповідає вказаному значенню аргументу. Зазвичай, це наближене значення функції.

4.Основні характеристики функції: монотонність, парність, періодичність.

Відповідь -Періодичність Визначення. Функція f називається періодичною, якщо існує таке число
що f(x+
)=f(x), всім x D(f). Природно, що таких чисел існує безліч. Найменше позитивне число Т називається періодом функції. приклади. А. у = соs х, Т = 2 . Ст у = tg х, Т = . С. у = (х), Т = 1. D. у = ця функція не є періодичною. Визначення. Функція f називається парною, якщо всім х з D(f) виконується властивість f(-х) = f(х). Якщо f(-х) = -f(х), то функція називається непарною. Якщо жодне із зазначених співвідношень не виконується, то функція називається функцією загального виду. приклади. А. у = соs (х) – парна; Ст у = tg (х) - непарна; С. у = (х); y = sin (x + 1) - функції загального виду. Монотонність Визначення. Функція f: X -> R називається зростаючою (убутною), якщо для будь-яких
виконується умова:
Визначення. Функція Х -> R називається монотонною на X, якщо вона на X зростаюча або спадна. Якщо f монотонна на деяких підмножинах з X, вона називається кусочно-монотонной. приклад. у = cos х - шматково-монотонна функція.

«Таблиці з алгебри 7 клас» - Різниця квадратів. Вирази. Зміст. Таблиці алгебри.

«Числові функції» - Безліч Х називають областю завдання або область визначення функції f і позначають D (f). Графік функції. Проте чи всяка лінія є графіком певної функції. Приклад 1. Парашутист стрибає із «завислого» вертольота. Лише одне число. Шматкове завдання функцій. Явища природи тісно пов'язані друг з одним.

"Числові послідовності" - Урок-конференція. «Числові послідовності». Геометрична прогресія. Методи завдання. Арифметична прогресія. Числові послідовності.

«Межа числової послідовності» - Рішення: Способи завдання послідовностей. Обмеженість числової послідовності. Розмір уn називається загальним членом послідовності. Межа числової послідовності. Безперервність функції у точці. Приклад: 1, 4, 9, 16, …, п2, … – обмежена знизу 1. Завданням аналітичної формули. Властивості меж.

Числова послідовність - Числова послідовність (числовий ряд): числа, виписані в певному порядку. 2. Методи завдання послідовностей. 1. Визначення. Позначення послідовності. Послідовності. 1. Формула n-го члена послідовності: - Дозволяє знайти будь-який член послідовності. 3. Графік числової послідовності.

«Таблиці» - Видобуток нафти та газу. Таблиця 2. Таблиця 5. Табличні інформаційні моделі. Порядок побудови таблиці типу ОС. Таблиця 4. Річні оцінки. Табличний номер. Таблиці типу "Об'єкти - об'єкти". Учні 10 "Б" класу. Структура таблиці. Таблиці типу об'єкти-властивості. Описуються пари об'єктів; Властивість лише одна.

До числових проміжків відносяться промені, відрізки, інтервали та напівінтервали.

Види числових проміжків

В таблиці aі b- це граничні точки, а x- змінна, яка може приймати координату будь-якої точки, що належить числовому проміжку.

Гранична точка- Це точка, що визначає межу числового проміжку. Гранична точка може як належати числовому проміжку, так і не належати йому. На кресленнях граничні точки, що не належать числовому проміжку, що розглядається, позначають незафарбованим кругом, а належать - зафарбованим кругом.

Відкритий і замкнутий промінь

Відкритий промінь- це безліч точок прямої, що лежать по один бік від граничної точки, яка не входить у цю множину. Відкритим промінь називається саме через граничну точку, яка йому не належить.

Розглянемо безліч точок координатної прямої, що мають координату, велику 2, а, значить, розташованих правіше точки 2:

Така множина можна задати нерівністю x> 2. Відкриті промені позначаються з допомогою круглих дужок - (2; +∞), цей запис читається так: відкритий числовий промінь від двох до плюс нескінченності.

Безліч, якій відповідає нерівність x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Замкнений промінь- це безліч точок прямої, що лежать по одну сторону від граничної точки, що належить даній множині. На кресленнях граничні точки, що належать множині, позначаються зафарбованим колом.

Замкнуті числові промені задаються несуворими нерівностями. Наприклад, нерівності x 2 та x 2 можна зобразити так:

Позначаються дані замкнені промені так: , Читається це так: числовий промінь від двох до плюс нескінченності і числовий промінь від мінус нескінченності до двох. Квадратна дужка у позначенні показує, що точка 2 належить числовому проміжку.

Відрізок

Відрізок- це безліч точок прямої, що лежать між двома граничними точками, що належать даній множині. Такі множини задаються подвійними нестрогими нерівностями.

Розглянемо відрізок координатної прямої з кінцями в точках -2 та 3:

Безліч точок, з яких складається даний відрізок, можна задати подвійною нерівністю -2 x 3 або позначити [-2; 3], такий запис читається так: відрізок від мінус двох до трьох.

Інтервал та напівінтервал

Інтервал- це безліч точок прямої, що лежать між двома граничними точками, що не належать даній множині. Такі множини задаються подвійними суворими нерівностями.

Розглянемо відрізок координатної прямої з кінцями в точках -2 та 3:

Безліч точок, з яких складається цей інтервал, можна задати подвійною нерівністю -2< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Напівінтервал- це безліч точок прямої, що лежать між двома граничними точками, одна з яких належить множині, а інша не належить. Такі множини задаються подвійними нерівностями:

Позначаються дані напівінтервали так: (-2; 3] та [-2; 3). Читається це так: напівінтервал від мінус двох до трьох, включаючи 3 і напівінтервал від мінус двох до трьох, включаючи мінус два.

Серед числових множин, тобто множин, об'єктами яких є числа, що виділяють так звані числові проміжки. Їхня цінність у тому, що дуже легко уявити безліч, що відповідає зазначеному числовому проміжку, і навпаки. Тому з їхньою допомогою зручно записувати безліч рішень нерівності.

У статті ми розберемо всі види числових проміжків. Тут ми дамо їх назви, введемо позначення, зобразимо числові проміжки на координатній прямій, а також покажемо, які найпростіші нерівності відповідають їм. На закінчення наочно представимо всю інформацію як таблиці числових проміжків.

Навігація на сторінці.

Види числових проміжків

Кожному числовому проміжку притаманні чотири нерозривно пов'язані між собою речі:

• назва числового проміжку,
• відповідальна йому нерівність або подвійна нерівність,
• позначення,
• та його геометричний образ у вигляді зображення на координатній прямій.

Будь-який числовий проміжок може бути заданий будь-яким із трьох останніх за списком способів: або нерівністю, або позначенням, або його зображення координатної прямої. Причому за цим способом завдання, наприклад, по нерівності, легко відновлюються й інші (у разі позначення і геометричний образ).

Переходимо до конкретики. Опишемо всі числові проміжки із зазначених вище чотирьох сторін.

Почнемо з опису числового проміжку, який отримав назву відкритий числовий промінь. Зауважимо, що прикметник «числовий» опускають, залишаючи назву відкритий промінь.

Цьому числовому проміжку відповідають найпростіші нерівності з одного змінного виду x a , де a – деяке дійсне число. Тобто, відповідно до змісту записаних нерівностей, відкритий числовий промінь становлять усі , які менші від числа a (у разі нерівності x a).

Безліч чисел, що задовольняють нерівності x a як (a, +∞) .

Залишилося показати геометричне зображення відкритого променя, з нього стане видно, що таку назву числовий проміжок, що розглядається, отримав не випадково. Звернемося до . Відомо, що між її точками та дійсними числамимає місце взаємно однозначна відповідність, що дозволяє координатну пряму називати числовою прямою. А при розмові про порівняння чиселми відзначили, що більша кількість розташовується на координатній прямій правіше меншого, а менше – лівіше більшого. Виходячи з цих міркувань, нерівності x a – точки, що лежать правіше точки a . Саме число a не задовольняє ці нерівності, щоб підкреслити це на кресленні її зображують точкою з порожнім центром. Над точками, яким відповідають числа, що задовольняють нерівності, зображують похилий штрих:

З наведених креслень видно, що даним числовим проміжкам відповідають частини числової прямої, що являють собою променіз початком у точці a, але виключаючи саму точку a. Інакше кажучи, це промені без початку. Звідси і назва – відкритий числовий промінь.

Наведемо кілька конкретних прикладіввідкритих числових променів. Так сувора нерівність x>-3 задає відкритий числовий промінь. Його ж ставить запис (−3, ∞) . А на координатній прямий цей числовий проміжок є безліч точок, що лежать правіше точки з координатою −3 , не включаючи саму цю точку. Ще приклад: нерівність x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Переходимо до числових проміжків наступного виду – числовим променям. У геометричному плані їхня відмінність від відкритих променів у тому, що початок променя не відкидається. Іншими словами, геометричний образ числових проміжків цього виду є повноцінним промінням.

Що ж до завдання числових променів з допомогою нерівностей, їм відповідають нестрогі нерівності x≤a чи x≥a . Їх прийняті позначення (−∞, a] і . А геометричний образ числового відрізка є відрізок разом із його кінцями:


Наприклад, числовий відрізок, який задається подвійною нерівністю, можна позначити як , на координатній прямій йому відповідає відрізок з кінцями в точках, що мають координати корінь з двох і корінь з трьох.

Залишилося лише сказати про числові проміжки, звані напівінтервалами. Вони являють собою, якщо так можна висловитися, проміжний варіант між інтервалом і відрізком, оскільки включають одну з граничних точок. Напівінтервали задаються подвійними нерівностями a

Таблиця числових проміжків

Отже, у попередньому пункті ми визначили та описали наступні числові проміжки:

• відкритий числовий промінь;
• числовий промінь;
• інтервал;
• напівінтервал.

Для зручності зведемо всі дані про числові проміжки в таблицю. Занесемо до неї назву числового проміжку, відповідну йому нерівність, позначення та зображення на координатній прямій. Отримуємо наступну таблицю числових проміжків:

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.