"Середня лінія трапеції" - Середня лінія трапеції. A. MN – середня лінія трапеції ABCD. У трикутнику можна побудувати... середні лінії. Середня лінія трикутника має властивість … MN = ? AB. Визначення середньої лінії трапеції. Теорема про середню лінію трапеції. D. Продовжіть пропозицію: MN || AB.
«Рівняння еліпса» - Автори: Гололобова О. 9 клас Негрова О. 9 клас Долгова К. 9 клас. Визначення еліпса. Як властивості еліпса пов'язані з властивостями інших «чудових» кривих? 2. Вивели канонічне рівняння еліпса. Хід дослідження. Результати дослідження: 4. Визначити основні параметри еліпса: Ціль: Дослідження основних параметрів еліпса. 3. Збудували еліпс.
«Теорема Фалеса» - Вважається, що Фалес першим вивчив рух Сонця по небесній сфері. Теорема Фалес. Ім'ям Фалеса названо геометричну теорему. Проведемо через точку В2 пряму ЕF, паралельну до прямої А1А3. Астрономія. Геометрія. За якістю паралелограма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Мілетський матеріаліст. І оскільки А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е. Фалес широко відомий як геометр.
«Завдання про коло та коло» - 2. Відповідь: S = 25? см2; З = 10? див. Розв'язання задач. 1. Довжина кола та площа кола.
«Правильні багатокутники геометрія» - Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, причому лише одну. Виведемо формулу для обчислення кута аn правильного n-кутника. Візьмемо будь-які три вершини багатокутника A1A2...An, наприклад, A1, A2, А3. Доведемо тепер єдиність такого кола. Центр правильного багатокутника. Теорема про центр правильного багатокутника. Єдиність такого кола випливає з єдиності кола, описаного біля трикутника.
«Рух геометрія 9 клас» - Осьова. Осьова симетрія. Центральна та осьова симетрія. Теорема. Види рухів. Поворот. Накладення. Будь-який рух є накладенням. Осьова симетрія Центральна симетріяПаралельне перенесення Поворот. Паралельне перенесення. Рухи. Центральна симетрія. Концепція руху. Геометрія 9 клас. Центральна. Під час руху відрізок відображається на відрізок.
Слово "рух" вам знайоме. Але в геометрії воно має особливе значення. Який саме, про це ви дізнаєтеся з цього розділу. А поки що відзначимо, що за допомогою рухів вдається знаходити гарні рішення багатьох геометричних завдань. Приклади таких рішень ви знайдете у цьому розділі.
Уявімо, що кожній точці площини зіставляється (ставиться у відповідність) якась точка цієї площини, причому будь-яка точка площини виявляється зіставленою деякою точкою. Тоді кажуть, що дано відображення площини на себе.
Фактично ми вже зустрічалися з відображеннями площини на себе – згадаємо осьову симетрію (див. п. 48). Вона дає нам приклад такого відображення. Справді, нехай а – вісь симетрії (рис. 321). Візьмемо довільну точку М, яка не лежить на прямій а, і побудуємо симетричну точку М 1 щодо прямої а. Для цього потрібно провести перпендикуляр МР до прямої а і відкласти на прямий МР відрізок РМ 1 , що дорівнює відрізку МР, так як показано на малюнку 321. Точка М 1 і буде шуканою. Якщо точка М лежить на прямий а, то симетрична їй точка М 1 збігається з точкою М. Ми бачимо, що за допомогою осьової симетрії кожної точки М площині зіставляється точка М цієї ж площини. У цьому будь-яка точка М 1 виявляється зіставленої певної точці М. Це ясно з малюнка 321.
Мал. 321
Отже, осьова симетрія є відображенням площини на себе.
Розглянемо тепер центральну симетрію поверхні (див. п. 48). Нехай О – центр симетрії. Кожній точці М площині зіставляється точка М 1 симетрична точці М щодо точки О (рис. 322). Спробуйте самостійно переконатись у тому, що центральна симетрія площини також є відображенням площини на себе.
Мал. 322
Поняття руху
Осьова симетрія має наступну важливу властивість - це відображення площини на себе, яке зберігає відстані між точками.
Пояснимо, що це означає. Нехай М і N - якісь точки, а М 1 і N 1 - симетричні їм точки щодо прямої а (рис. 323). З точок N та N 1 проведемо перпендикуляри NP та N 1 P 1 до прямої ММ 1 . Прямокутні трикутники MNP і M1N1P1 рівні за двома катетами: МР = М1Р1 і NP = N1P1 (поясніть, чому ці катети рівні). Тому гіпотенузи MN і M1N1 також рівні.
Мал. 323
Отже, відстань між точками М і N дорівнює відстані між симетричними ним точками М 1 і N 1. Інші випадки розташування точок М, N та М 1 , N 1 розгляньте самостійно та переконайтеся в тому, що і в цих випадках MN = M 1 N 1 (рис. 324). Таким чином, осьова симетрія є відображенням, яке зберігає відстань між точками. Будь-яке відображення, що має цю властивість, називається рухом (або переміщенням).
Мал. 324
Отже, рух площини - це відображення площини на себе, що зберігає відстань.
Чому відображення, що зберігає відстані називають рухом (або переміщенням), можна пояснити на прикладі осьової симетрії. Її можна як поворот площині у просторі на 180° навколо осі а. На малюнку 325 показано, як відбувається такий поворот.
Мал. 325
Відмітимо, що центральна симетрія площини також є рухом(користуючись малюнком 326, переконайтеся у цьому самостійно).
Мал. 326
Доведемо таку теорему:
Теорема
| Під час руху відрізок відображається на відрізок. |
Доведення
Нехай при заданому русі площини кінці М та N відрізка MN відображаються у точках М 1 та N 1 (рис. 327). Доведемо, що весь відрізок MN відображається на відрізок M1N1. Нехай Р - довільна точка відрізка MN, Р 1 - точка, яку відображається точка Р. Тоді МР + PN = MN. Так як при русі відстані зберігаються, то
M 1 N 1 = MN, М 1 Р 1 = МР та N 1 P 1 = NP. (1)
Мал. 327
З рівностей (1) отримуємо, що М 1 Р 1 + P 1 N 1 = M 1 N 1 і, отже, точка Р 1 лежить на відрізку M 1 N 1 (якщо припустити, що це не так, то виконуватиметься нерівність М1Р1+P1N1> M1N1). Отже, точки відрізка MN відображаються в точках відрізка M 1 N 1 .
Потрібно ще довести, що у кожну точку Р 1 відрізка M 1 N 1 відображається якась точка Р відрізка MN. Доведемо це. Нехай Р 1 - довільна точка відрізка M 1 N 1 і точка Р при заданому русі відображається в точку Р 1 . Зі співвідношення (1) і рівності M 1 N 1 = М 1 Р 1 + P 1 N 1 випливає, що МР + PN = MN, і, отже, точка Р лежить на відрізку MN. Теорему доведено.
Слідство
Справді, з доведеної теореми під час руху кожна сторона трикутника відображається на рівний їй відрізок, тому трикутник відображається на трикутник з відповідно рівними сторонами, тобто. рівний трикутник.
Користуючись доведеною теоремою, неважко переконатися, що під час руху пряма відображається на пряму, промінь - на промінь, а кут - на рівний йому кут.
Накладення та рухи
Нагадаємо, що у нашому курсі геометрії рівність фігур визначається за допомогою накладень. Ми говоримо, що фігура Ф дорівнює фігурі Фп, якщо фігуру Ф можна поєднати накладенням із фігурою Ф 1 . Поняття накладання у нашому курсі належить до основним поняттям геометрії, тому визначення накладання немає. Під накладенням фігури Ф на фігуру Ф 1 ми розуміємо деяке відображення фігури Ф на фігуру Ф 1 Більше того, ми вважаємо, що при цьому не тільки точки фігури Ф, але і будь-яка точка площини відображається певну точку площини, тобто. накладання - це відображення площини на себе.
Проте чи всяке відображення площини він називаємо накладенням. Накладення - це такі відображення площини на себе, які мають властивості, виражені в аксіомах (див. додаток 1, аксіоми 7-13). Ці аксіоми дозволяють довести всі властивості накладень, які ми собі уявляємо наочно і якими користуємося при доказі теорем і вирішенні завдань. Доведемо, наприклад, що при накладенні різні точки відображаються у різні точки.
Насправді, припустимо, що це не так, тобто при деякому накладенні якісь дві точки А і В відображаються в одну і ту ж точку С. Тоді фігура Ф 1 , що складається з точок А і В, дорівнює фігурі Ф 2 , що складається з однієї точки С. Звідси випливає, що Ф 2 = Ф 1 (аксіома 12), тобто при деякому накладення фігура Ф 2 відображається фігуру Ф 1 . Але це неможливо, тому що накладення - це відображення, а при будь-якому відображенні точки С ставиться у відповідність тільки одна точка площини.
З доведеного твердження випливає, що з накладення відрізок відображається на рівний йому відрізок. Дійсно, нехай при накладенні кінці А і відрізка АВ відображаються в точки А 1 і В 1 . Тоді відрізок АВ відображається на відрізок А 1 В 1 (аксіома 7), отже, відрізок АВ дорівнює відрізку А 1 В 1 . Оскільки рівні відрізки мають рівні довжини, то накладення є відображенням площини він, що зберігає відстані, тобто. будь-яке накладення є рухом площини.
Доведемо, що є вірним і зворотне твердження.
Теорема
Доведення
Розглянемо довільний рух (позначимо його літерою g) та доведемо, що він є накладенням. Візьмемо якийсь трикутник АВС. При русі g він відображається на рівний йому трикутник А1В1С1. За визначенням рівних трикутників існує накладення §, при якому точки А, В і З відображаються відповідно в точки А1, В1 і С1.
Доведемо, що рух g збігається із накладенням ƒ. Припустимо, що це негаразд. Тоді на площині знайдеться хоча б одна така точка М, яка при русі g відображається в точку М„ а при накладанні - в іншу точку М2. Так як при відображеннях u g зберігаються відстані, то AM = А 1 М 1 , AM = А 1 М 2 тому A 1 M 1 = А 1 М 2 , тобто точка А 1 рівновіддалена від точок М 1 і М 2 (Рис. 328). Аналогічно доводиться, що точки 1 і 1 рівновіддалені від точок М 1 і М 2 . Звідси випливає, що точки А 1 1 і 1 лежать на серединному перпендикулярі до відрізка М 1 М 2 . Але це неможливо, тому що вершини трикутника А1В1С1 не лежать на одній прямій. Отже, відображення ƒ u g збігаються, т. е. рух g є накладенням. Теорему доведено.
Мал. 328
Слідство
Завдання
1148. Доведіть, що за осьової симетрії площини:
а) пряма, паралельна осі симетрії, що відображається на пряму, паралельну осі симетрії;
б) пряма, перпендикулярна до осі симетрії, відображається він.
1149. Доведіть, що за центральної симетрії площини:
а) пряма, яка проходить через центр симетрії, відображається на паралельну їй пряму;
б) пряма, що проходить через центр симетрії, відображається він.
1150. Доведіть, що при русі кут відображається на рівний йому кут.
Нехай при цьому русі кут АОВ відображається на кут A 1 O 1 B 1 , причому точки А, О, відображаються відповідно в точки A 1 , О 1 , В 1 . Так як при русі зберігаються відстані, то ОА = О 1 А 1 , ОВ = О 1 В 1 . Якщо кут АОВ нерозгорнутий, то трикутники АОВ і А 1 О 1 В 1 дорівнюють по трьох сторонах, і, отже, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 . Якщо кут АОВ розгорнутий, то і кут А1О1В1 розгорнутий (доведіть це), тому ці кути рівні.
1151. Доведіть, що під час руху паралельні прямі відображаються на паралельні прямі.
1152. Доведіть, що під час руху: а) паралелограм відображається на паралелограм; б) трапеція відображається на трапецію; в) ромб відображається на ромб; г) прямокутник відображається прямокутник, а квадрат - на квадрат.
1153. Доведіть, що при русі коло відображається на коло того ж радіуса.
1154. Доведіть, що відображення площини, у якому кожна точка відображається, є накладенням.
1155. АВС та А 1 В 1 С 1 - довільні трикутники. Доведіть, що існує не більше одного руху, при якому точки А, В і С відображаються в А 1 , В 1 , С 1 .
1156. У трикутниках АВС і А1В1С1АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1. Доведіть, що існує рух, при якому точки А, В і С відображаються в А 1 , В 1 і С 1 , і до того ж тільки одне.
За умовою задачі трикутники АВС і А1В1С1 рівні по трьох сторонах. Отже, існує накладення, т. Е. Рух, при якому точки А, В і З відображаються відповідно в точки А 1, В1 і С1. Цей рух є єдиним рухом, при якому точки А, В і З відображаються відповідно в точки А 1 1 і 1 (завдання 1155).
1157. Доведіть, що два паралелограми рівні, якщо суміжні сторони та кут між ними одного паралелограма відповідно дорівнюють суміжним сторонам та куту між ними іншого паралелограма.
1158. Дано дві прямі а і b. Побудуйте пряму, яку відображається пряма b при осьової симетрії з віссю а.
1159. Дано пряму а і чотирикутник ABCD. Побудуйте фігуру F, на яку відображається цей чотирикутник при осьовій симетрії з віссю а. Що таке фігура F?
1160 Дано точку О і пряму b. Побудуйте пряму, яку відображається пряма b при центральної симетрії з центром О.
1161 Наведено точку О і трикутник АВС. Побудуйте фігуру F, на яку відображається трикутник АВС при центральній симетрії з центром О. Що таке фігура F?
Відповіді до завдань
1151. Вказівка. Довести шляхом протилежного.
1154. Вказівка. Скористатися теоремою п. 119.
1155. Вказівка. Доказ провести методом протилежного (див. доказ теореми п. 119).
1157. Вказівка. Скористатися завданнями 1156 та 1051.
1158. Вказівка. Спочатку побудувати образи якихось двох точок прямої b.
1159. F – чотирикутник.
1160. Вказівка. Завдання вирішується аналогічно до завдання 1158.
1161. F – трикутник.
