Визначення 1 . Числовою віссю ( числової прямої, координатної прямої) Ox називають пряму лінію, на якій точка O обрана початком відліку (початком координат)(рис.1), напрямок
O → x
вказано як позитивного спрямуванняі відзначено відрізок, довжина якого прийнята за одиницю довжини.
Визначення 2 . Відрізок, довжина якого прийнята за одиницю довжини називають масштабом .
Кожна точка числової осі має координату , що є речовим числом. Координата точки O дорівнює нулю. Координата довільної точки A, що лежить на промені Ox, дорівнює довжині відрізка OA.
Координата довільної точки A числової осі, що не лежить на промені Ox негативна, а по абсолютній величині дорівнює довжині відрізка OA . Визначення 3 .Прямокутною декартовою системою координат Oxy на площині називають дві взаємноперпендикулярних числових осі Ox і Oy зоднаковими масштабами ізагальним початком відліку у точці O , причому таких, що поворот від променя Ox на кут 90 ° до променя Oy здійснюється у напрямкупроти ходу годинникової стрілки
(Рис.2). Зауваження. Прямокутну декартову систему координат Oxy , зображену малюнку 2, називаютьправою системою координат , на відміну відлівих систем координат , В яких поворот променя Ox на кут 90 ° до променя Oy здійснюється в напрямку по ходу годинникової стрілки. У цьому довіднику мирозглядаємо лише праві системи координат
, не обговорюючи цього особливо. Якщо на площині ввести якусь систему прямокутних декартових координат Oxy, то кожна точка площини придбає – дві координатиоднаковими масштабами абсцисуординату , що обчислюються наступним чином. Нехай A – довільна точка площини. Опустимо з точки A перпендикуляри AA , що обчислюються наступним чином. Нехай A – довільна точка площини. Опустимо з точки A перпендикуляри 1 і
2 на прямі Ox та Oy відповідно (рис.3). Визначення 4 . Абсцисою точки A називають координату точки A Визначення 4 . Абсцисою точки A називають координату точки 1 на числовій осі Ox ординатою точки A називають координату точки
2 на числовій осі Oy. Позначення.Координати (абсцису та ординату) точки Визначення 4 . Абсцисою точки A називають координату точки(x;A у прямокутній декартовій системі координат Oxy (рис.4) прийнято позначати) y Визначення 4 . Абсцисою точки A називають координату точки = (x; або).
y Зауваження. Точка O, званапочатком координат O(0 ; 0) .
, має координати
Визначення 6 . Кожна прямокутна декартова система координат ділить площину на 4 чверті (квадранту), нумерація яких показана малюнку 5.
Визначення 7 . Площина, на якій задана прямокутна декартова система координат, називають координатною площиною.
Зауваження. Вісь абсцис задається на координатній площині рівнянням або= 0 , вісь ординат задається на координатній площині рівнянням x = 0.
Твердження 1 . Відстань між двома точкамикоординатної площини
Визначення 4 . Абсцисою точки A називають координату точки 1 (x 1 ;A у прямокутній декартовій системі координат Oxy (рис.4) прийнято позначати 1) однаковими масштабами Визначення 4 . Абсцисою точки A називають координату точки 2 (x 2 ;A у прямокутній декартовій системі координат Oxy (рис.4) прийнято позначати 2)
обчислюється за формулою
Доведення . Розглянемо рисунок 6.
Побудувати функцію
Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на які належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.
Переваги побудови графіків онлайн
- Візуальне відображення функцій, що вводяться
- Побудова дуже складних графіків
- Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
- Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
- Управління масштабом, кольором ліній
- Можливість побудови графіків за точками, використання констант
- Побудова одночасно кількох графіків функцій
- Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))
З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення в Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.
Якщо розташувати одиничне числове коло на координатній площині, то її точок можна знайти координати. Числове коло розташовують так, щоб її центр збігся з точкою початку координат площини, тобто точкою O (0; 0).
Зазвичай на одиничному числовому колі відзначають точки, що відповідають від початку відліку на колі.
- чвертям - 0 або 2π, π/2, π, (2π)/3,
- серединам чвертей - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- третинам чвертей - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
На координатній площині при зазначеному вище розташування на ній одиничного кола можна знайти координати, що відповідають цим точкам кола.
Координати кінців чвертей знайти дуже легко. У точки 0 кола координата x дорівнює 1, а y дорівнює 0. Можна позначити так A (0) = A (1; 0).
Кінець першої чверті розташовуватиметься на позитивній півосі ординат. Отже, B(π/2) = B(0; 1).
Кінець другої чверті знаходиться на негативній півосі абсцис: C(π) = C(-1; 0).
Кінець третьої чверті: D((2π)/3) = D(0;-1).
Але як знайти координати середини чвертей? Для цього будують прямокутний трикутник. Його гіпотенузою є відрізок від центру кола (або початку координат) до точки середини чверті кола. Це радіус кола. Оскільки коло одиничне, то гіпотенуза дорівнює 1. Далі проводять перпендикуляр з точки кола до будь-якої осі. Нехай буде до осі x. Виходить прямокутний трикутник, довжини катетів якого - це координати x і y точки кола.
Чверть кола становить 90º. А половина чверті становить 45 º. Оскільки гіпотенуза проведена до точки середини чверті, то кут між гіпотенузою та катетом, що виходить із початку координат, дорівнює 45º. Але сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 º. Отже, на кут між гіпотенузою та іншим катетом залишається 45º. Виходить рівнобедрений прямокутний трикутник.
З теореми Піфагора отримуємо рівняння x 2 + y 2 = 12. Оскільки x = y, а 1 2 = 1, то рівняння спрощується до x 2 + x 2 = 1. Вирішивши його, отримуємо x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Таким чином, координати точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
У координатах точок середин інших чвертей будуть змінюватися тільки знаки, а модулі значень залишатимуться такими ж, оскільки прямокутний трикутник тільки перевертатиметься. Отримаємо:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
При визначенні координат третіх частин чверті кола також будують прямокутний трикутник. Якщо брати точку π/6 і проводити перпендикуляр до осі x, то кут між гіпотенузою та катетом, що лежить на осі x, становитиме 30º. Відомо, що катет, що лежить проти кута в 30 º, дорівнює половині гіпотенузи. Значить, ми знайшли координату y вона дорівнює ½.
Знаючи довжини гіпотенузи та одного з катетів, за теоремою Піфагора знаходимо інший катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Таким чином, T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Для точки другої третини першої чверті (π/3) перпендикуляр на вісь краще провести осі y. Тоді кут на початку координат також буде 30º. Тут уже координата x дорівнюватиме ½, а y відповідно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Для інших точок третин чвертей змінюватимуться знаки та порядок значень координат. Усі точки, які ближче розташовані до осі x будуть мати за модулем значення координати x, що дорівнює √3/2. Ті точки, які ближче до осі y, матимуть за модулем значення y, що дорівнює √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Аналітична геометрія дає однакові прийоми розв'язання геометричних завдань. Для цього всі задані та шукані точки та лінії відносять до однієї системи координат.
У системі координат можна кожну точку охарактеризувати її координатами, а кожну лінію – рівнянням із двома невідомими, графіком якого ця лінія є. Таким чином, геометричне завдання зводиться до алгебраїчної, де добре відпрацьовані всі прийоми обчислень.
Коло є геометричне місце точок з однією певною властивістю (кожна точка кола рівновіддалена від однієї точки, називається центром). Рівняння кола має відображати цю властивість, задовольняти цю умову.
Геометрична інтерпретація рівняння кола – це лінія кола.
Якщо помістити коло в систему координат, то всі точки кола задовольняють одній умові - відстань від них до центру кола має бути однаковим і рівним колу.
Коло з центром у точці А та радіусом R помістимо в координатну площину.
Якщо координати центру (а; b) , а координати будь-якої точки кола (х; у) , то рівняння кола має вигляд:
Якщо квадрат радіуса кола дорівнює сумі квадратів різниць відповідних координат будь-якої точки кола та її центру, це рівняння є рівнянням кола в плоскій системі координат.
Якщо центр кола збігається з точкою початку координат, то квадрат радіуса кола дорівнює сумі квадратів координат будь-якої точки кола. У цьому випадку рівняння кола набуває вигляду:
Отже, будь-яка геометрична постать як геометричне місце точок визначається рівнянням, що зв'язує координати її точок. І навпаки, рівняння, що зв'язує координати х однаковими масштабами у , Визначають лінію як геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють даному рівнянню.
Приклади розв'язання задач рівняння кола
Завдання. Скласти рівняння заданого кола
Складіть рівняння кола з центром у точці O (2;-3) та радіусом 4.Рішення.
Звернемося до формули рівняння кола:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2
Підставимо значення формулу.
Радіус кола R = 4
Координати центру кола (відповідно до умови)
a = 2
b = -3
Отримуємо:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
або
( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 .
Завдання. Чи належить точка рівняння кола
Перевірити, чи належить точка A(2;3)рівнянню кола (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .Рішення.
Якщо точка належить колу, її координати задовольняють рівнянню окружности.
Щоб перевірити, чи належить кола точка із заданими координатами, підставимо координати точки в рівняння заданого кола.
В рівняння ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
підставимо, за умовою, координати точки А(2;3), тобто
x = 2
y = 3
Перевіримо істинність отриманої рівності
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 рівність невірна
Таким чином, задана точка не належитьзаданому рівнянню кола.
