Розділ 6. Безперервні випадкові величини.
§ 1. Щільність та функція розподілу безперервної випадкової величини.
Безліч значень безперервної випадкової величини незліченна і зазвичай є деяким проміжком кінцевий або нескінченний.
Випадкова величина x(w),задана в імовірнісному просторі (W, S,P), називається безперервний(абсолютно безперервної) W, якщо існує невід'ємна функція така, що при будь-яких функцію розподілу Fx(x) можна представити у вигляді інтеграла
Функція називається функцією щільності розподілу ймовірностей.
З визначення випливають властивості функції щільності розподілу:
1..gif" width="97" height="51">
3. У точках безперервності щільність розподілу дорівнює похідної функції розподілу: .
4. Щільність розподілу визначає закон розподілу випадкової величини, тому що визначає ймовірність попадання випадкової величини на інтервал:
5.Вероятность те, що безперервна випадкова величина прийме конкретне значення дорівнює нулю: . Тому справедливі такі рівності:
Графік функції густини розподілу називається кривою розподілу, і площа, обмежена кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці. Тоді геометрично значення функції розподілу Fx(x) у точці х0 є площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис і ліворуч, що лежить точки х0.
Завдання 1.Функція щільності безперервної випадкової величини має вигляд:
Визначити константу C, побудувати функцію розподілу Fx(x) і визначити ймовірність .
Рішення.Константа C знаходиться з умови Маємо:
звідки C=3/8.
Щоб побудувати функцію розподілу Fx(x), відзначимо, що інтервал ділить область значень аргументу x (числову вісь) на три частини: width="264" " height="49">
оскільки щільність x півосі дорівнює нулю. У другому випадку
Нарешті, у разі, коли x>2,
Так як щільність звертається в нуль на півосі. Отже, отримано функцію розподілу
Ймовірність обчислимо за формулою. Таким чином,
§ 2. Числові характеристикибезперервної випадкової величини
Математичне очікуваннядля безперервно розподілених випадкових величин визначається за формулою https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205"
якщо інтеграл, що стоїть праворуч, абсолютно збігається.
Дисперсія x може бути обчислена за формулою 
, А також, як і в дискретному випадку, за формулою.
Усі властивості математичного очікування і дисперсії, наведені у розділі 5 для дискретних випадкових величин, справедливі й у безперервних випадкових величин.
Завдання 2. Для випадкової величини x із завдання 1 обчислити математичне очікуваннята дисперсію .
Рішення.
Отже,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Графік густини рівномірного розподілудив. на рис. .
6.2. Функція розподілу та щільність розподілу. рівномірного закону
Функція розподілу Fx(x) рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює
Fx(x)= 
Математичне очікування та дисперсія; .
Показовий (експоненеціальний) розподіл.Безперервна випадкова величина x, що набуває невід'ємних значень, має показовий розподіл з параметром l>0, якщо щільність розподілу ймовірностей випадкової величини дорівнює
рx(x)= 
Рис. 6.3. Функція розподілу та щільність розподілу показового закону.
Функція розподілу показового розподілу має вигляд
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> і якщо її щільність розподілу дорівнює
.
Через позначається безліч всіх випадкових величин, розподілених за нормальним законом із параметрами параметрами і .
Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини дорівнює
.
Рис. 6.4. Функція розподілу та щільність розподілу нормального закону
Параметри нормального розподілу суть математичне очікування width="64 height=24" height="24">
В окремому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальний розподіл називається стандартним, і клас таких розподілів позначається width="119" height="49">,
а функція розподілу
Такий інтеграл не обчислимо аналітично (не береться в «квадратурах»), тому для функції складені таблиці. Функція пов'язана із введеною в розділі 4 функцією Лапласа
,
наступним співвідношенням 
. У разі довільних значень параметрів https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> функція розподілу випадкової величини пов'язана з функцією Лапласа за допомогою співвідношення:
.
Тому ймовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини на інтервал можна обчислювати за формулою
.
Невід'ємна випадкова величина x називається логарифмічно нормально розподіленою, якщо її логарифм h=lnx підпорядкований нормальному закону. Математичне очікування та дисперсія логарифмічно нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють Мx= та Dx=.
Завдання 3.Нехай задана випадкова величина.
Рішення.Тут і https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573"
Розподіл Лапласузадається функцією і ексцес дорівнює gx=3.
6.5. Функція густини розподілу Лапласа.
Випадкова величина x розподілена по закону Вейбулла, якщо вона має функцію щільності розподілу, що дорівнює https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Розподіл Вейбулла підпорядковуються часи безвідмовної роботи багатьох технічних пристроїв. У задачах даного профілю важливою характеристикою є інтенсивність відмови (коефіцієнт смертності) l(t) досліджуваних елементів віку t, що визначається співвідношенням l(t)=. Якщо a=1, то розподіл Вейбулла перетворюється на експоненційний розподіл, а якщо a=2 - на так званий розподіл Релея.
Математичне очікування розподілу Вейбулла: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219", де Г(а) - функція Ейлера.
У різних завданнях прикладної статистики часто зустрічаються так звані «усічені» розподіли. Наприклад, податкові органи цікавляться розподілом доходів тих осіб, річний дохід яких перевищує певний поріг С0, встановлений законами про оподаткування. Ці розподіли виявляються приблизно збігаються з розподілом Парето. Розподіл Паретозадається функціями
Fx(x)=P(x
Тут https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Завдання 4.Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти щільність випадкової величини.
Рішення.З умови завдання випливає, що
Далі, функція є монотонною та диференційованою функцією на відрізку та має зворотну функцію 
, похідна якої дорівнює Отже,
§ 5. Пара безперервних випадкових величин
Нехай задані дві безперервні випадкові величини x та h. Тоді пара (x, h) визначає "випадкову" точку на площині. Пару (x, h) називають випадковим векторомабо двовимірною випадковою величиною.
Спільною функцією розподілувипадкових величин x і h і називається функція F(x, y) = . Спільною щільністюрозподілу ймовірностей випадкових величин x і h називається така функція, що 
.
Сенс такого визначення спільної густини розподілу полягає в наступному. Імовірність того, що "випадкова точка" (x, h) потрапить в область на площині, обчислюється як об'єм тривимірної фігури - "криволинійного" циліндра, обмеженого поверхнею https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
Найпростішим прикладом спільного розподілу двох випадкових величин є двовимірне рівномірний розподіл на безлічіA. Нехай задано обмежену множину М з площею Воно визначається як розподіл пари (x, h), що задається за допомогою наступної спільної густини:
Завдання 5.Нехай двовимірний випадковий вектор (x, h) рівномірно розподілено всередині трикутника. Обчислити ймовірність нерівності x>h.
Рішення.Площа вказаного трикутника дорівнює (див. рис. №?). З огляду на визначення двомірного рівномірного розподілу спільна щільність випадкових величин x, h дорівнює
Подія відповідає безлічі 
на площині, тобто напівплощини. Тоді ймовірність
На півплощині B спільна щільність дорівнює нулю поза множиною. Таким чином, напівплощина B розбивається на дві множини. і , причому другий інтеграл дорівнює нулю, Оскільки там спільна щільність дорівнює нулю. Тому
Якщо задана спільна густина розподілу для пари (x, h), то густини та складових x і h називаються приватними щільностямиі обчислюються за формулами:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Для безперервно розподілених випадкових величин із щільностями рx(х), рh(у) незалежність означає, що
Завдання 6.В умовах попереднього завдання визначити, чи незалежні складові випадкового вектора x та h?
Рішення. Обчислимо приватні щільності та . Маємо:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Очевидно, що в нашому випадку - спільна щільність величин x і h, а j(х, у) - функція двох аргументів, тоді
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Завдання 7.У разі попередньої завдання обчислити .
Рішення.Відповідно до зазначеної вище формули маємо:
.
Представивши трикутник у вигляді
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Щільність суми двох безперервних випадкових величин
Нехай x і h - незалежні випадкові величини з щільністю http://www.pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" формулі згортки
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Обчислити щільність суми.
Рішення.Оскільки x і h розподілені за показовим законом із параметром , їх щільності рівні
Отже,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Якщо x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">негативний, і тому . Тому, якщо ж я можу сказати, що це таке.
Таким чином, ми отримали відповідь:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально розподілена з параметрами 0 і 1. Випадкові величини x1 і x2 незалежні і мають нормальні розподіли з параметрами а1, і а2, відповідно Довести, що x1 + x2 має нормальне розподілення.
.
Знайти функцію розподілу та щільність розподілу величин:
а) h1 = min (x1, x2, ... xn); б) h(2) = max (x1, x2, ... xn)
Випадкові величини x1, x2, ... xn незалежні та рівномірно розподілені на відрізку [а, b]. Знайти функції розподілу та функції щільності розподілу величин
x(1) = min (x1, x2, ... xn) і x (2) = max (x1, x2, ... xn).
Довести, що Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176".
Випадкова величина розподілена за законом Коші Знайти: а) коефіцієнт а; б) функцію розподілу; в) можливість попадання на інтервал (-1, 1). Показати, що математичне очікування не існує. Випадкова величина підпорядкована закону Лапласа з параметром l(l>0): Знайти коефіцієнт а; побудувати графіки щільності розподілу та функції розподілу; знайти Mx та Dx; знайти ймовірність подій (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Написати формулу для щільності розподілу, знайти Мx та Dx.
Обчислювальні завдання.
Випадкова точка А має у колі радіуса R рівномірний розподіл. Знайти математичне очікування та дисперсію відстані r точки до центру кола. Показати, що величина r2 рівномірно розподілена на відрізку . 
Щільність розподілу випадкової величини має вигляд: 
Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність 
Щільність розподілу випадкової величини має вигляд: 
Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність 
Щільність розподілу випадкової величини має вигляд: 
Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), дисперсію та ймовірність Випадкова величина має функцію розподілу 
Обчислити щільність випадкової величини, математичне очікування, дисперсію та ймовірність Перевірити, що функція = 
то, можливо функцією розподілу випадкової величини. Знайти числові характеристики цієї величини: Mx та Dx. Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Виписати густину розподілу. Знайти функцію розподілу. Знайти ймовірність попадання випадкової величини на відрізок та на відрізок. Щільність розподілу x дорівнює
.
Знайти постійну с, щільність розподілу h = та ймовірність
Р (0,25 Час безвідмовної роботи ЕОМ розподілено за показовим законом із параметром l = 0,05 (відмови на годину), тобто має функцію щільності р(х) = Вирішення певної задачі вимагає безвідмовної роботи машини протягом 15 хвилин. Якщо за час розв'язання завдання стався збій, то помилка виявляється лише після закінчення розв'язання, і завдання вирішується наново. Знайти: а) ймовірність того, що за час розв'язання задачі не відбудеться жодного збою; б) середній час, за який буде вирішено завдання. Стрижень довжини 24 див ламають дві частини; будемо вважати, що точка зламу розподілена рівномірно по всій довжині стрижня. Чому дорівнює середня довжина більшої частини стрижня? Відрізок довжини 12 см випадково розрізається на дві частини. Крапка розрізу рівномірно розподілена по всій довжині відрізка. Чому дорівнює середня довжина малої частини відрізка? Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти густину розподілу випадкової величини а) h1 = 2x + 1; б) h2 = -ln (1-x); в) h3 = . Показати, що якщо x має безперервну функцію розподілу F(x) = P(x Знайти функцію щільності та функцію розподілу суми двох незалежних величин x та h c рівномірними законами розподілу на відрізках та відповідно. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках і відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках і відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках і відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини незалежні і мають показовий розподіл із щільністю Як відомо, випадковою величиною
називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні. Дискретною випадковою величиною
називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями. Законом розподілу дискретної випадкової величини
називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними їм ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів. 1
. Закон розподілу може бути заданий таблицею:
де λ>0, k = 0, 1, 2, …. в)за допомогою функції розподілу F(x)
, що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x). Властивості функції F(x) 3
. Закон розподілу може бути заданий графічно
– багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3). Зазначимо, що для вирішення деяких завдань не обов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини. Основні числові характеристики дискретної випадкової величини
: Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток. Рішення.
За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500. Кількість квитків без виграшу одно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тоді P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці: Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини. Рішення.
1.
Дискретна випадкова величина X=(число елементів, що відмовили в одному досвіді) має наступні можливі значення: х 1 =0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи ) і х 4 = 3 (відмовили три елементи). Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірність відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі
. Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень: Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд: По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а по осі ординат - відповідні ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається. 3.
Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х Графік функції F(x) 4.
Для біномного розподілу Х: Випадкова величина Хмає нормальний розподіл (або розподіл згідно із законом Гауса), якщо її щільність ймовірності має вигляд: Рис. 2.13 Мал. 2.14 Функцією розподілу випадкової величини X називається функція F(x), що виражає для кожного х ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше х
приклад 2.5. Дано ряд розподілу випадкової величини Знайти та зобразити графічно її функцію розподілу. Рішення. Відповідно до визначення F(jc) = 0 при хх F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 за х > 5. Отже (див. рис. 2.1): Властивості функції розподілу: 1. Функція розподілу випадкової величини є невід'ємною функцією, укладеною між нулем і одиницею: 2. Функція розподілу випадкової величини є незменшною функцією по всій числової осі, тобто. при х 2
>х 3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, плюс нескінченності - дорівнює одиниці, тобто. 4. Імовірність влучення випадкової величини Xв інтервалдорівнює певному інтегралу від її густини ймовірності в межах від адо b(див. рис. 2.2), тобто. Рис. 2.2 3. Функція розподілу безперервної випадкової величини (див. рис. 2.3) може бути виражена через густину ймовірності за формулою: F(x)= Jp (*) *. (2.10) 4. Невласний інтеграл у нескінченних межах від щільності ймовірності безперервної випадкової величини дорівнює одиниці: Геометричні властивості / і 4
густини ймовірності означають, що її графік - крива розподілу - лежить не нижче осі абсцис, та повна площа фігури, обмеженою кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці. Для безперервної випадкової величини Xматематичне очікування М(Х)та дисперсія D(X)визначаються за формулами: (якщо інтеграл абсолютно сходиться); або (якщо наведені інтеграли сходяться). Поряд із зазначеними вище числовими характеристиками для опису випадкової величини використовується поняття квантилей та відсоткових точок. Квантилем рівня q(або q-квантилем) називається таке значенняx qвипадкової величини, при якому функція її розподілу набуває значення, рівне q,тобто. За даними прикладу 2.6 знайти квантиль xqj і 30%-ну точку випадкової величини X.
Рішення. За визначенням (2.16) F(xo t3) = 0,3, тобто. ~Y~ = 0,3, звідки квантиль х 0 3 = 0,6. 30%-на точка випадкової величини X, або квантиль Х)_о,з = xoj»знаходиться аналогічно з рівняння ^ = 0,7. звідки * = 1,4. ? Серед числових характеристик випадкової величини виділяють початкові v* та центральнір* моменти до-го порядку, що визначаються для дискретних та безперервних випадкових величин за формулами: ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН Випадкові величини, їх класифікація та способи опису. Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, але яке саме заздалегідь не відомо. Для випадкової величини, таким чином, можна вказати лише значення, одне з яких вона обов'язково набуде результату досвіду. Ці значення надалі називатимемо можливими значеннями випадкової величини. Оскільки випадкова величина кількісно характеризує випадковий результат досвіду, може розглядатися як кількісна характеристика випадкового події. Випадкові величини зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад, X..Y..Z, які можливі значення- відповідними малими буквами. Розрізняють три типи випадкових величин: Дискретні; Безперервні; Змішані. Дискретнийназивається така випадкова величина, число можливих значень якої утворює лічильну множину. У свою чергу, лічильним називається безліч, елементи якого можна пронумерувати. Слово "дискретний" походить від латинського discretus, що означає "переривчастий, що складається з окремих частин". Приклад 1. Дискретною випадковою величиною є число бракованих деталей Х партії з nтук. Справді, можливими значеннями цієї випадкової величини є цілих чисел від 0 до n. Приклад 2. Дискретною випадковою величиною є число пострілів до першого влучення в ціль. Тут, як і прикладі 1, можливі значення можна пронумерувати, хоча у граничному разі можливе значення є нескінченно великим числом. Безперервнийназивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал числової осі, іноді званий інтервалом існування цієї випадкової величини. Таким чином, на будь-якому кінцевому інтервалі існування число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно велике. Приклад 3. Безперервною випадковою величиною є витрата електроенергії на підприємстві протягом місяця. Приклад 4. Безперервною випадковою величиною є помилка виміру висоти за допомогою висотоміру. Нехай із принципу роботи висотоміра відомо, що помилка лежить у межах від 0 до 2 м. Тому інтервалом існування цієї випадкової величини є інтервал від 0 до 2 м. Закон розподілу випадкових величин. Випадкова величина вважається повністю заданою, якщо на числовій осі вказано її можливі значення та встановлено закон розподілу. Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями. Про випадкову величину говорять, що вона розподілена за цим законом, або підпорядкована цьому закону розподілу. Як закони розподілу використовуються ряд ймовірностей, функція розподілу, щільність ймовірності, характеристична функція. Закон розподілу дає повний ймовірний опис випадкової величини. За законом розподілу можна судити до досвіду про те, які можливі значення випадкової величини будуть з'являтися частіше, а які - рідше. Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий як таблиці, аналітично (як формули) і графічно. Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто. Така таблиця називається поруч розподілу дискретної випадкової величини. 1 Події Х 1 , Х 2 ,..., Х n , які в тому, що в результаті випробування випадкова величина X прийме відповідно значення х 1 , x 2 ,... х n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини, тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Таким чином, для будь-якої дискретної випадкової величини (Ця одиниця якось розподілена між значеннями випадкової величини, звідси термін «розподіл»). Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо по осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис. 1). ПрикладУ лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток. Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу однією квиток - рівні 0-7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначення ймовірності, отримаємо.
.
. Знайти густину розподілу їх суми. Знайти розподіл суми незалежних випадкових величин x і h де x має рівномірний на відрізку розподіл, а h має показовий розподіл з параметром l. Знайти Р 
якщо x має: а) нормальний розподіл з параметрами а і s2 ; б) показовий розподіл із параметром l; в) рівномірний розподіл на відрізку [-1; 1]. Спільний розподіл x, h є рівномірним у квадраті
К = (х, у): | х | +|у|£ 2). Знайти ймовірність 
. Чи є x та h незалежними? Пара випадкових величин x та h рівномірно розподілена всередині трикутника K=. Обчислити густину x і h. Чи є ці випадкові величини незалежними? Знайти ймовірність. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та [-1,1]. Знайти ймовірність. Двовимірна випадкова величина (x, h) рівномірно розподілена у квадраті з вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Знайти значення спільної функції розподілу у точці (1, -1). Випадковий вектор (x, h) рівномірно розподілено всередині кола радіусу 3 з центром на початку координат. Написати вираз для спільної густини розподілу. Визначити, чи залежать ці випадкові величини. Обчислити ймовірність. Пара випадкових величин x і h рівномірно розподілена всередині трапеції з вершинами в точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Знайти спільну щільність розподілу цієї пари випадкових величин і щільності складових. Чи залежать x і h? Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена всередині півкола. Знайти густини x і h, досліджувати питання їх залежності. Спільна щільність двох випадкових величин x та h дорівнює 
.
Знайти густини x, h. Дослідити питання залежності x і h. Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена на множині . Знайти густини x і h, досліджувати питання їх залежності. Знайти М(xh). Випадкові величини x і h незалежні та розподілені за показовим законом із параметром Знайти
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λПриклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»
Завдання 1.
Завдання 3.
P 3 (0) = З 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = З 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = З 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = З 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 = 0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна. 
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
,
де параметри а– будь-яке дійсне число та σ >0.
Графік диференціальної функції нормального розподілу називають нормальною кривою (кривою Гауса). Нормальна крива (рис. 2.12) симетрична щодо прямої х =а, має максимальну ординату , а в точках х = а± σ – перегин.
Рис. 2.12
Доведено, що параметр ає математичним очікуванням (також модою та медіаною), а σ – середнім квадратичним відхиленням. Коефіцієнти асиметрії та ексцесу для нормального розподілу дорівнюють нулю: As = Ex = 0.
Встановимо тепер, як впливає зміна параметрів ата σ на вигляд нормальної кривої. При зміні параметра аформа нормальної кривої не змінюється. У цьому випадку, якщо математичне очікування (параметр а) зменшилося або збільшилося, графік нормальної кривої зсувається вліво або вправо (рис. 2.13).
При зміні параметра змінюється форма нормальної кривої. Якщо цей параметр збільшується, то максимальне значення функції зменшується, і навпаки. Оскільки площа, обмежена кривою розподілу та віссю Ох, Повинна бути постійною і рівною 1, то зі збільшенням параметра σ крива наближається до осі Охі розтягується вздовж неї, а зі зменшенням σ крива стягується до прямої х = а(Рис. 2.14).
Функція щільності нормального розподілу? х) з параметрами а= 0, σ = 1 називається щільністю стандартної нормальної випадкової величини
, А її графік – стандартною кривою Гауса.
Функція щільності нормальної стандартної величини визначається формулою, та її графік зображений на рис. 2.15.
З властивостей математичного очікування та дисперсії випливає, що для величини , D(U)=1, M(U) = 0. Тому стандартну нормальну криву можна розглядати як криву розподілу випадкової величини , де Х- Випадкова величина, підпорядкована нормальному закону розподілу з параметрами ата σ.
Нормальний закон розподілу випадкової величини в інтегральній формі має вигляд
(2.10)
Вважаючи в інтегралі (3.10) , отримаємо
,
де. Перше доданок дорівнює 1/2 (половині площі криволінійної трапеції, зображеної на рис. 3.15). Другий доданок
(2.11)
називається функцією Лапласа
, і навіть інтегралом ймовірності.
Оскільки інтеграл у формулі (2.11) не виражається через елементарні функції, для зручності розрахунків складено для z≥ 0 таблиця функції Лапласа. Щоб визначити функцію Лапласа для негативних значень z, необхідно скористатися непарністю функції Лапласа: Ф(– z) = - Ф ( z). Остаточно отримуємо розрахункову формулу
Звідси отримуємо, що з випадкової величини Х, що підкоряється нормальному закону, ймовірність її попадання на відрізок [ α, β] є
(2.12)
За допомогою формули (2.12) знайдемо ймовірність того, що модуль відхилення нормального розподілу величини Хвід її центру розподілу аменше 3?. Маємо
Р(| x – a| < 3 s) =P(а-3 s< X< а+3 s) = Ф (3) - Ф (-3) = 2Ф (3) »0,9973.
Значення Ф(3) отримано таблиці функції Лапласа.
Прийнято вважати подію практично достовірним
якщо його ймовірність близька до одиниці, і практично неможливим, якщо його ймовірність близька до нуля.
Ми отримали так зване правило трьох сигм
: для нормального розподілу подія (| x–a| < 3σ) практически достоверно.
Правило трьох сигм можна сформулювати інакше: хоча нормальна випадкова величина розподілена по всій осі х, інтервал її практично можливих значень є(a-3σ, a+3σ).
Нормальний розподіл має ряд властивостей, що роблять його одним із найуживаніших у статистиці розподілів.
Якщо надається можливість розглядати деяку випадкову величину як суму досить великої кількості інших випадкових величин, то ця випадкова величина зазвичай підпорядковується нормальному закону розподілу. Сумовані випадкові величини можуть підпорядковуватися будь-яким розподілам, але при цьому повинна виконуватися умова їх незалежності (або слабкої незалежності). Також жодна з сумованих випадкових величин має різко відрізнятися з інших, тобто. кожна з них повинна відігравати у загальній сумі приблизно однакову роль і не мати винятково великої порівняно з іншими величинами дисперсії.
Цим пояснюється широка поширеність нормального розподілу. Воно виникає у всіх явищах, процесах, де розсіювання випадкової досліджуваної величини викликається великою кількістю випадкових причин, вплив кожної з яких окремо розсіювання мізерно мало.
Більшість випадкових величин, що зустрічаються на практиці (таких, наприклад, як кількості продажів деякого товару, помилка виміру; відхилення снарядів від мети за дальністю або за напрямком; відхилення дійсних розмірів деталей, оброблених на верстаті, від номінальних розмірів і т.д.) може бути представлено як сума великої кількості незалежних випадкових величин, що надають рівномірно малий вплив на розсіювання суми. Такі випадкові величини прийнято вважати нормально розподіленими. Гіпотеза про нормальність подібних величин знаходить своє теоретичне обґрунтування у центральній граничній теоремі та отримала численні практичні підтвердження.
Уявімо, що певний товар реалізується у кількох торгових точках. Через випадкового впливу різних факторів кількості продажів товару в кожній точці будуть дещо різнитися, але середнє всіх значень буде наближатися до справжнього середнього числа продажів.
Відхилення числа продажів у кожній торговій точці від середнього утворюють симетричну криву розподілу, близьку до кривої нормального розподілу. Будь-який систематичний вплив будь-якого фактора виявиться в асиметрії розподілу.
Завдання. Випадкова величина розподілена нормально з параметрами а= 8, σ = 3. Знайти ймовірність того, що випадкова величина в результаті досвіду набуде значення, укладеного в інтервалі (12,5; 14).
Рішення. Скористайтеся формулою (2.12). Маємо
Завдання. Число проданого за тиждень товару певного виду Хможна вважати розподіленою нормально. Математичне очікування кількості продажів
тис. прим. Середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини = 0,8 тис. шт. Знайти ймовірність, що за тиждень буде продано від 15 до 17 тис. шт. товару.
Рішення.Випадкова величина Хрозподілено нормально з параметрами а= М( Х) = 15,7; σ = 0,8. Потрібно обчислити ймовірність нерівності 15 ≤ X≤ 17. За формулою (2.12) отримуємо
