Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними їм ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.
1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:
де λ>0, k = 0, 1, 2, ….
в)за допомогою функції розподілу F(x) , що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).
Властивості функції F(x)
3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).
Зазначимо, що для вирішення деяких завдань не обов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.
Основні числові характеристикидискретної випадкової величини :
- Математичне очікування
(Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ - Дисперсія
дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ - Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).
Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»
Завдання 1.
Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.
Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.
Кількість квитків без виграшу одно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тоді P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:
Знайдемо математичне очікуваннявеличини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Завдання 3.
Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.
Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X=(число елементів, що відмовили в одному досвіді) має наступні можливі значення: х 1 =0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи ) і х 4 = 3 (відмовили три елементи).
Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірність відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі
. Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = З 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = З 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = З 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = З 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 = 0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:
По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а по осі ординат - відповідні ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.
3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х
Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.
 |
Графік функції F(x)
4.
Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Дисперсіябезперервної випадкової величини X , можливі значення якої належать до всієї осі Ох, визначається рівністю: 
Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).
Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .
Задано щільність розподілу f(x): 
Задано функцію розподілу F(x): 
Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей 
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).
Випадкову величину X називають безперервний
якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей влучення випадкової величини в заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу
безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.
Властивості щільності розподілу
1. Щільність розподілу випадкової величини невід'ємна (f(x) ≥ 0) за всіх значень x.2. Умова нормування:
Геометричний зміст умови нормування: площа під кривою щільності розподілу дорівнює одиниці.
3. Імовірність влучення випадкової величини X у проміжок від α до β може бути обчислена за формулою
Геометрично ймовірність попадання безперервної випадкової величини X у проміжок (α, β) дорівнює площі криволінійної трапеції під кривою щільності розподілу, що спирається на цей проміжок.
4. Функція розподілу виражається через щільність так:
Значення щільності розподілу в точці x не дорівнює можливості прийняти це значення, для безперервної випадкової величини може йтися тільки про можливість попадання в заданий інтервал. Нехай (рис. 5.4). Знайти аналітичний вираз для щільності ймовірності f(x) по всій числової осі.
Рис. 5.4 Мал. 5.5
5.16. Випадкова величина Хрозподілено за законом "прямокутного трикутника" в інтервалі (0; 4) (рис. 5.5). Знайти аналітичний вираз для щільності ймовірності f(x) по всій числової осі.
Відповіді
P (-1/2<X<1/2)=2/3.
P(2π /9<Х< π /2)=1/2.
5.3. а) з=1/6, б) М(Х)=3 , в) D(X)=26/81.
5.4. а) з=3/2, б) М(Х)=3/5, в) D(X)=12/175.
б) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( Х)= /3.
б) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( Х)= 1,893.
5.7. а) с =; б)
5.8. а) з= 1/2; б)
5.9. а) 1/4; б) 0.
5.10. а) 3/5; б) 1.
5.11. а) з= 2; б) М(Х)= 2; в 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. а) М(Х)= π /2; б) 1/2
………………………………………………………
Аn – випадкова величина Х прийняла значення An.
Очевидно, що сума подій A1 A2, . , An є достовірною подією, тому що хоча б одне із значень x1, x2, xn випадкова величина обов'язково набуває.
Тому P (A1 È А2 È . È Аn) = 1.
Крім того, події А1, А2, ., An - несумісні, тому що випадкова величина при одноразовому здійсненні досвіду може прийняти тільки одне із значень х1, х2, ., xn. По теоремі складання для несумісних подій отримуємо
Р(А1)+Р(А2)+.+Р(Аn)=1,
тобто p1 + p2 +. +pn = 1, або, коротше,
Отже, сума всіх чисел, розташованих у другому рядку Таблиці 1, що дає закон розподілу випадкової величини X, повинна дорівнювати одиниці.
ПРИКЛАД 1. Нехай випадкова величина Х - число очок, що випали під час підкидання гральної кістки. Знайти закон розподілу (як таблиці).
Випадкова величина Х набуває значення
x1=1, х2=2, … , x6=6
з ймовірностями
р1 = р2 = … = р6 =
Закон розподілу задається таблицею:
Таблиця 2
ПРИКЛАД 2.Біномінальний розподіл. Розглянемо випадкову величину Х - число появи події А в серії із незалежних дослідів, у кожному з яких А настає з ймовірністю р.
Випадкова величина Х може, очевидно, набувати одного з наступних значень:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Імовірність події, що полягає в тому, що випадкова величина Х набуде значення, що дорівнює k, визначається формулою Бернуллі:
Рn(k)= де q=1-р.
Такий розподіл випадкової величини називається біномним розподілом або розподілом Бернуллі. Розподіл Бернуллі повністю визначається двома параметрами: числом n всіх дослідів і ймовірністю р, з якою подія відбувається в кожному окремому досвіді.
Умова для біномного розподілу набуває вигляду:
Для доказу справедливості цієї рівності достатньо в тотожності
(q+рх)n= 
покласти x=1.
ПРИКЛАД 3.Розподіл Пуассон. Так називається розподіл ймовірностей виду:
Р(k)= 
.
Воно визначається одним єдиним (позитивним) параметром. Якщо ξ – випадкова величина, що має розподіл Пуассона, то відповідний параметр а є середнє значення цієї випадкової величини:
а = М? =, де М - математичне очікування.
Випадкова величина дорівнює:
ПРИКЛАД 4.Показовий розподіл.
Якщо час є випадковою величиною, позначимо його τ, таке, що
де 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
Середнє значення випадкової величини t є:
Щільність розподілу має вигляд:
4) Нормальний розподіл
Нехай - незалежні, однаково розподілені випадкові величини та нехай 
Якщо доданки досить малі, а число n досить велике, - якщо при n à ∞ математичне очікування випадкової величини Мξ і дисперсія Dξ дорівнює Dξ=M(ξ–Мξ)2, такі, що Мξ~а, Dξ~σ2, то
- нормальний або гаусовий розподіл
.
5) Геометричний розподіл. Позначимо ξ кількість випробувань, що передують настанню першого "успіху". Якщо вважати, що кожне випробування триває одиницю часу, можна вважати ξ часом очікування до першого "успіху". Розподіл має вигляд:
P(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Гіпергеометричний розподіл.
Є N – об'єктів серед яких n – "особливих об'єктів". Серед усіх об'єктів випадково вибирається k-об'єктів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних об'єктів знаходиться r - "особливих об'єктів". Розподіл має вигляд:
7) Розподіл Паскаля.
Нехай x - загальна кількість "невдач", що передують надходженню r-го "успіху". Розподіл має вигляд:
Функція розподілу має вигляд:
Рівноймовірне розподіл передбачає, що випадкова величина x може приймати будь-які значення на відрізку з однаковою ймовірністю. Щільність розподілу при цьому обчислюється як 
Графіки щільності розподілу та функція розподілу представлені нижче.
Перед тим, як пояснити поняття «білий шум», необхідно надати ряд визначень.
Випадковою функцією називають функцію невипадкового аргументу t, яка при кожному фіксованому значенні аргументу є випадковою величиною. Наприклад, якщо U – довільна величина, то функція X(t)=t2U – довільна.
Перетином випадкової функції називають випадкову величину, яка відповідає фіксованому значенню аргументу випадкової функції. Отже, випадкову функцію можна як сукупність випадкових величин (X(t)), залежних від параметра t.
