Десетичната дроб се различава от обикновената дроб по това, че нейният знаменател е битова единица.
Например:
Десетичните дроби са отделени от обикновените дроби в отделна форма, което е довело до собствени правила за сравняване, събиране, изваждане, умножение и деление на тези дроби. По принцип можете да работите с десетични дроби според правилата на обикновените дроби. Собствените правила за преобразуване на десетични дроби опростяват изчисленията, а правилата за преобразуване на обикновени дроби в десетични дроби и обратно служат като връзка между тези видове дроби.
Писането и четенето на десетични дроби ви позволява да пишете, сравнявате и оперирате с тях според правила, много подобни на правилата за операции с естествени числа.
Системата от десетични дроби и операциите върху тях е очертана за първи път през 15 век. Самаркандският математик и астроном Джамшид ибн-Масудал-Каши в книгата „Ключът към изкуството на счетоводството“.
Цялата част на десетичната дроб е отделена от дробната част със запетая, в някои страни (САЩ) те поставят точка. Ако десетичната дроб няма цяла част, тогава числото 0 се поставя пред десетичната запетая.
Всеки брой нули може да се добави към дробната част на десетичната дроб вдясно, това не променя стойността на дробта. Дробната част на десетичната запетая се чете при последната значима цифра.
Например:
0,3 - три десети
0,75 - седемдесет и пет стотни
0,000005 - пет милионни.
Четенето на цялата част от десетичната запетая е същото като естествени числа.
Например:
27.5 - двадесет и седем...;
1,57 - един...
След цялата част на десетичната дроб се произнася думата "цяло".
Например:
10,7 - десет цяло и седем
0,67 - нула цяло шестдесет и седем стотни.
Десетичните знаци са цифрите на дробната част. Дробната част се чете не по цифри (за разлика от естествените числа), а като цяло, следователно дробната част на десетичната дроб се определя от последната значима цифра вдясно. Системата за места на дробната част на десетичната запетая е малко по-различна от тази на естествените числа.
- 1-ва цифра след заето - десети цифра
- 2-ри знак след десетичната запетая - стотни
- 3-ти знак след десетичната запетая - хилядни
- 4-ти знак след десетичната запетая - десетхиляден знак
- 5-ти знак след десетичната запетая - стохилядни
- 6-ти знак след десетичната запетая - милионно място
- 7-ият знак след десетичната запетая е десетмилионното място
- Осмият знак след десетичната запетая е стомилионният знак
При изчисленията най-често се използват първите три цифри. Големият разряден капацитет на дробната част на десетичните знаци се използва само в специфични области на знанието, където се изчисляват безкрайно малки количества.
Преобразуване на десетична дроб в смесена дробсе състои от следното: числото пред десетичната запетая се записва като цяла част от смесената дроб; числото след десетичната запетая е числителят на дробната му част, а в знаменателя на дробната част запишете единица с толкова нули, колкото са цифрите след десетичната запетая.
В тази статия ще разгледаме темата " сравняване на десетични числа" Първо, нека обсъдим общия принцип на сравняване на десетични дроби. След това ще разберем какво десетични знациса равни и кои са неравни. След това ще се научим да определяме коя десетична дроб е по-голяма и коя е по-малка. За целта ще изучим правилата за сравняване на крайни, безкрайни периодични и безкрайни непериодични дроби. Ще предоставим цялата теория с примери с подробни решения. В заключение, нека да разгледаме сравнението на десетични дроби с естествени числа, обикновени дроби и смесени числа.
Нека кажем веднага, че тук ще говорим само за сравняване на положителни десетични дроби (вж положителни и отрицателни числа). Други случаи са разгледани в статиите сравнение на рационални числаИ сравнение на реални числа.
Навигация в страницата.
Общ принцип за сравняване на десетични дроби
Въз основа на този принцип на сравнение се извеждат правила за сравняване на десетични дроби, които позволяват да се направи без преобразуване на сравнените десетични дроби в обикновени дроби. Ще обсъдим тези правила, както и примери за тяхното прилагане, в следващите параграфи.
Подобен принцип се използва за сравняване на крайни десетични дроби или безкрайни периодични десетични дроби естествени числа, обикновени дроби и смесени числа: Сравняваните числа се заменят със съответните им обикновени дроби и след това обикновените дроби се сравняват.
Относно сравнения на безкрайни непериодични десетични числа, тогава обикновено се свежда до сравняване на крайни десетични дроби. За да направите това, помислете за броя на знаците на сравняваните безкрайни непериодични десетични дроби, които ви позволяват да получите резултата от сравнението.
Равни и неравни десетични знаци
Първо представяме дефиниции на равни и неравни десетични дроби.
Определение.
Двете крайни десетични дроби се наричат равен, ако съответните им обикновени дроби са равни, в противен случай тези десетични дроби се наричат неравен.
Въз основа на това определение е лесно да се обоснове следното твърдение: ако добавите или изхвърлите няколко цифри 0 в края на дадена десетична дроб, ще получите десетична дроб, равна на нея. Например 0,3=0,30=0,300=… и 140 000=140,00=140,0=140.
Наистина, добавянето или изхвърлянето на нула в края на десетична дроб отдясно съответства на умножаване или деление на 10 на числителя и знаменателя на съответната обикновена дроб. И ние знаем основно свойство на дроб, който гласи, че умножаването или разделянето на числителя и знаменателя на дроб с едно и също естествено число произвежда дроб, равен на оригинала. Това доказва, че добавянето или изхвърлянето на нули вдясно в дробната част на десетичната запетая дава дроб, равен на оригиналния.
Например, десетичната дроб 0,5 съответства на обикновената дроб 5/10, след добавяне на нула вдясно, съответства десетичната дроб 0,50, която съответства на обикновената дроб 50/100, и. Така 0,5=0,50. Обратно, ако в десетичната дроб 0,50 изхвърлим 0 отдясно, тогава получаваме дробта 0,5, така че от обикновената дроб 50/100 стигаме до дробта 5/10, но 
. Следователно 0,50=0,5.
Да преминем към определяне на равни и неравни безкрайни периодични десетични дроби.
Определение.
Две безкрайни периодични дроби равен, ако съответните обикновени дроби са равни; ако съответстващите им обикновени дроби не са равни, то и сравняваните периодични дроби са не е равно.
От това определение следват три извода:
- Ако обозначенията на периодичните десетични дроби напълно съвпадат, тогава такива безкрайни периодични десетични дроби са равни. Например периодичните десетични знаци 0,34(2987) и 0,34(2987) са равни.
- Ако периодите на сравняваните десетични периодични дроби започват от една и съща позиция, първата дроб е с период 0, втората има период 9 и стойността на цифрата, предхождаща период 0, е с единица по-голяма от стойността на цифрата предшестващ период 9, тогава такива безкрайни периодични десетични дроби са равни. Например периодичните дроби 8,3(0) и 8,2(9) са равни, а дробите 141,(0) и 140,(9) също са равни.
- Всякакви други две периодични дроби не са равни. Ето примери за неравни безкрайни периодични десетични дроби: 9,0(4) и 7,(21), 0,(12) и 0,(121), 10,(0) и 9,8(9).
Остава да се справим равни и неравни безкрайни непериодични десетични дроби. Както е известно, такива десетични дроби не могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби (такива десетични дроби представляват ирационални числа), следователно сравнението на безкрайни непериодични десетични дроби не може да се сведе до сравнение на обикновени дроби.
Определение.
Два безкрайни неповтарящи се десетични знака равенако записите им съвпадат точно.
Но има едно предупреждение: невъзможно е да видите „завършения“ запис на безкрайни непериодични десетични дроби, следователно е невъзможно да сте сигурни в пълното съвпадение на техните записи. Как да бъдем?
При сравняване на безкрайни непериодични десетични дроби се взема предвид само краен брой знаци на сравняваните дроби, което позволява да се направят необходимите заключения. По този начин сравнението на безкрайни непериодични десетични дроби се свежда до сравнение на крайни десетични дроби.
При този подход можем да говорим за равенство на безкрайни непериодични десетични дроби само до въпросната цифра. Да дадем примери. Безкрайните непериодични десетични знаци 5,45839... и 5,45839... са равни на най-близките сто хилядни, тъй като крайните десетични знаци 5,45839 и 5,45839 са равни; непериодичните десетични дроби 19.54... и 19.54810375... са равни на най-близката стотна, тъй като са равни на дробите 19.54 и 19.54.
С този подход неравенството на безкрайните непериодични десетични дроби се установява съвсем определено. Например, безкрайните непериодични десетични знаци 5.6789... и 5.67732... не са равни, тъй като разликите в техните обозначения са очевидни (крайните десетични знаци 5.6789 и 5.6773 не са равни). Безкрайните десетични знаци 6,49354... и 7,53789... също не са равни.
Правила за сравняване на десетични дроби, примери, решения
След като установите факта, че две десетични дроби са неравни, често трябва да разберете коя от тези дроби е по-голяма и коя е по-малка от другата. Сега ще разгледаме правилата за сравняване на десетични дроби, което ни позволява да отговорим на поставения въпрос.
В много случаи е достатъчно да се сравнят цели части от сравняваните десетични дроби. Вярно е следното правило за десетично сравнение: колкото по-голяма е десетичната дроб, чиято цяла част е по-голяма, толкова по-малка е десетичната дроб, чиято цяла част е по-малка.
Това правило се прилага както за крайни десетични знаци, така и за безкрайни десетични знаци. Нека разгледаме примери.
Пример.
Сравнете десетичните знаци 9.43 и 7.983023….
Решение.
Очевидно тези десетични дроби не са равни. Цялата част на крайната десетична дроб 9,43 е равна на 9, а цялата част на безкрайната непериодична дроб 7,983023... е равна на 7. От 9>7 (вж сравнение на естествени числа), след това 9,43>7,983023.
Отговор:
9,43>7,983023 .
Пример.
Кое от десетичните числа 49,43(14) и 1045,45029... е по-малко?
Решение.
Цялата част на периодичната дроб 49.43(14) е по-малка от цялата част на безкрайната непериодична десетична дроб 1045.45029..., следователно 49.43(14)<1 045,45029… .
Отговор:
49,43(14) .
Ако целите части на сравняваните десетични дроби са равни, тогава за да разберете коя от тях е по-голяма и коя по-малка, трябва да сравните дробните части. Сравнението на дробни части от десетични дроби се извършва малко по малко- от категорията на десетките към по-ниските.
Първо, нека да разгледаме пример за сравняване на две крайни десетични дроби.
Пример.
Сравнете крайните десетични знаци 0,87 и 0,8521.
Решение.
Целите части на тези десетични дроби са равни (0=0), така че преминаваме към сравняване на дробните части. Стойностите на десетите са равни (8=8), а стойността на стотните на дробта е с 0,87 по-голяма от стойността на стотните на дробта 0,8521 (7>5). Следователно 0,87>0,8521.
Отговор:
0,87>0,8521 .
Понякога, за да се сравнят завършващи десетични дроби с различен брой десетични знаци, дробите с по-малко десетични знаци трябва да бъдат добавени с няколко нули вдясно. Доста удобно е да изравните броя на десетичните знаци, преди да започнете да сравнявате крайните десетични дроби, като добавите определен брой нули вдясно на една от тях.
Пример.
Сравнете крайните десетични знаци 18.00405 и 18.0040532.
Решение.
Очевидно тези дроби са неравни, тъй като техните обозначения са различни, но в същото време имат равни цели числа (18 = 18).
Преди побитово сравнение на дробните части на тези дроби изравняваме броя на десетичните знаци. За да направим това, добавяме две цифри 0 в края на фракцията 18.00405 и получаваме равна стойност десетичен знак 18,0040500 .
Стойностите на десетичните знаци на дробите 18.0040500 и 18.0040532 са равни до сто хилядни, а стойността на милионния знак на дробта е 18.0040500 по-малко от стойносттасъответстваща цифра на дробта 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Отговор:
18,00405<18,0040532 .
При сравняване на крайна десетична дроб с безкрайна, крайната дроб се заменя с равна безкрайна периодична дроб с период 0, след което се прави сравнение по цифра.
Пример.
Сравнете крайния десетичен знак 5.27 с безкрайния непериодичен десетичен знак 5.270013... .
Решение.
Целите части на тези десетични дроби са равни. Стойностите на десетите и стотните цифри на тези дроби са равни и за да извършим по-нататъшно сравнение, заместваме крайната десетична дроб с еднаква безкрайна периодична дроб с период 0 от формата 5,270000.... До петия знак след десетичната запетая стойностите на десетичните знаци 5.270000... и 5.270013... са равни, а на петия знак след десетичната запетая имаме 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Отговор:
5,27<5,270013… .
Сравнението на безкрайни десетични дроби също се извършва по места, и завършва веднага щом стойностите на някои цифри се окажат различни.
Пример.
Сравнете безкрайните десетични знаци 6.23(18) и 6.25181815….
Решение.
Целите части на тези дроби са равни и стойностите на десетите също са равни. И стойността на стотните на периодична дроб 6.23(18) е по-малка от стотните на безкрайна непериодична десетична дроб 6.25181815... следователно 6.23(18)<6,25181815… .
Отговор:
6,23(18)<6,25181815… .
Пример.
Кой от безкрайните периодични десетични знаци 3,(73) и 3,(737) е по-голям?
Решение.
Ясно е, че 3,(73)=3,73737373... и 3,(737)=3,737737737... . На четвъртия знак след десетичната запетая побитовото сравнение завършва, тъй като там имаме 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Отговор:
3,(737) .
Сравнете десетичните числа с естествени числа, дроби и смесени числа.
Резултатът от сравняването на десетична дроб с естествено число може да се получи чрез сравняване на цялата част на дадена дроб с дадено естествено число. В този случай периодичните дроби с периоди 0 или 9 трябва първо да бъдат заменени с равни на тях крайни десетични дроби.
Вярно е следното правило за сравняване на десетични дроби и естествени числа: ако цялата част на десетична дроб е по-малка от дадено естествено число, то цялата дроб е по-малка от това естествено число; ако цялата част на дроб е по-голяма или равна на дадено естествено число, тогава дробта е по-голяма от даденото естествено число.
Нека разгледаме примери за прилагането на това правило за сравнение.
Пример.
Сравнете естественото число 7 с десетичната дроб 8,8329….
Решение.
Тъй като дадено естествено число е по-малко от цялата част на дадена десетична дроб, то това число е по-малко от дадена десетична дроб.
Отговор:
7<8,8329… .
Пример.
Сравнете естественото число 7 и десетичната дроб 7.1.
Десетичната дроб трябва да съдържа запетая. Числовата част на дробта, която се намира вляво от десетичната запетая, се нарича цяла част; вдясно - дробно:
5.28 5 - цяла част 28 - дробна част
Дробната част на десетичната запетая се състои от десетични знаци(десетични знаци):
- десети - 0,1 (една десета);
- стотни - 0,01 (една стотна);
- хилядни - 0,001 (една хилядна);
- десетхилядни - 0,0001 (една десетохилядна);
- сто хилядни - 0,00001 (сто хилядни);
- милионни - 0,000001 (една милионна);
- десетмилионни - 0,0000001 (една десетмилионна);
- стомилионни - 0,00000001 (стомилионни);
- милиардни - 0,000000001 (една милиардна част) и т.н.
- прочетете числото, което съставлява цялата част от дробта и добавете думата " цяло";
- прочетете числото, което съставлява дробната част на дробта и добавете името на най-малката цифра.
Например:
- 0,25 - нула точка двадесет и пет стотни;
- 9.1 - девет цяло и една десета;
- 18.013 - осемнадесет цяло и тринадесет хилядни;
- 100.2834 - сто кома две хиляди осемстотин тридесет и четири десет хилядни.
Писане на десетични знаци
За да напишете десетична дроб:
- запишете цялата част на дробта и поставете запетая (числото означаващо цялата част на дробта винаги завършва с думата " цяло");
- напишете дробната част на дроба по такъв начин, че последната цифра да попадне в желаната цифра (ако няма значими цифри в определени десетични знаци, те се заменят с нули).
Например:
- двадесет и девет - 20,9 - в този пример всичко е просто;
- пет цяло една стотна - 5.01 - думата "стотна" означава, че трябва да има две цифри след десетичната запетая, но тъй като числото 1 няма десето място, то се заменя с нула;
- нула цяло осемстотин осем хилядни - 0,808;
- три цяло и петнадесет десети - такава десетична дроб не може да бъде записана, тъй като е имало грешка в произношението на дробната част - числото 15 съдържа две цифри, а думата "десети" означава само една. Правилно би било три цяло и петнадесет стотни (или хилядни, десет хилядни и т.н.).
Сравнение на десетични дроби
Сравнението на десетични дроби се извършва подобно на сравнението на естествени числа.
- първо се сравняват целите части на дробите - десетичната дроб, чиято цяла част е по-голяма, ще бъде по-голяма;
- ако целите части на дробите са равни, дробните части се сравняват малко по малко, отляво надясно, като се започне от запетаята: десети, стотни, хилядни и т.н. Сравнението се извършва до първото несъответствие - по-голяма ще бъде тази десетична дроб, която ще има по-голяма неравна цифра в съответната цифра на дробната част. Например: 1,2 8 3 > 1,27 9, защото на стотно място първата дроб има 8, а втората има 7.
3.4 Правилна поръчка
В предишния раздел сравнихме числата по позицията им на числовата ос. Това е добър начин за сравняване на величините на числата в десетична система. Този метод винаги работи, но е трудоемко и неудобно да го правите всеки път, когато трябва да сравните две числа. Има още един добър начин да разберете кое от двете числа е по-голямо.
Пример А.
Нека да разгледаме числата от предишния раздел и да сравним 0,05 и 0,2.
За да разберете кое число е по-голямо, първо сравнете целите им части. И двете числа в нашия пример имат еднакъв брой цели числа - 0. След това сравнете техните десети. Числото 0,05 има 0 десети, а числото 0,2 има 2 десети. Това, че числото 0,05 има 5 стотни, няма значение, защото десетите определят, че числото 0,2 е по-голямо. Така можем да напишем:
И двете числа имат 0 цели числа и 6 десети и все още не можем да определим кое е по-голямо. Числото 0,612 обаче има само 1 стотна част, а числото 0,62 има две. Тогава можем да определим това
0,62 > 0,612
Фактът, че числото 0,612 има 2 хилядни, няма значение; все още е по-малко от 0,62.
Можем да илюстрираме това на снимката:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
За да определите кое от две числа в десетичната система е по-голямо, трябва да направите следното:
1. Сравнете цели части. Числото, чиято цяла част е по-голяма, ще бъде по-голямо.
2 . Ако целите части са равни, сравнете десетите части. Числото с повече десети ще бъде по-голямо.
3 . Ако десетите са равни, сравнете стотните. Числото, което има повече стотни части, ще бъде по-голямо.
4 . Ако стотните са равни, сравнете хилядните. Числото, което има повече части на хиляда, ще бъде по-голямо.
