Ще кажем, че естествено число и ощеотколкото естествено число b(и обозначете a > b), ако има естествено число k такова, че a = b + k.

Теорема 1. Едно не е по-голямо от всяко естествено число.

Наистина, условието 1 > a води до 1 = a + k, което е невъзможно: за k = 1 получаваме 1 = a /, което противоречи на първата аксиома естествени числа; за k ¹ 1 намираме неговия предшественик и отново стигаме до същото противоречие.

Това отношение „повече“ е антирефлекс(не е вярно, че a > a) и преходен(a > b /\ b > c => a > c), т.е отношение на строг ред. Освен това тази връзка е връзка от линеен ред, тоест за множеството от естествени числа е валидна теоремата за трихотомията:

Теорема за трихотомията:За всеки две естествени числа едно и само едно от следните три твърдения е вярно:

Доказателство: Първо показваме, че нито едно от трите условия не е изпълнено едновременно. Да приемем, че са изпълнени условия 1 и 2. Тогава

a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,

което противоречи на антирефлексивността на отношението „повече”. По същия начин се установява несъвместимостта на условия 2 и 3 и условия 1 и 3.

Сега ще докажем, че едно от трите условия непременно е изпълнено за произволни числа a и b. Използваме математическа индукция върху b. За b = 1, в зависимост от a: или a = 1 = b, или за a има предшественик, тогава

a = c / = c + 1 = 1 + c = b + c => a > b.

Следователно за b = 1 теоремата е вярна. Нека направим индукционно предположение, че теоремата е валидна за някакво x, а именно, че x е сравнимо с числото a, тоест възможни са три варианта: или a > x, или x > a, или x = a. След това доказваме, че x/ също е сравнимо с a. В първия случай a > x, тоест a = x + k. В зависимост от това дали даденото k е равно на 1 или не, получаваме

а) a = x + 1 = x / (теоремата е вярна)

б) a = x + c / = x + c + 1 = x + 1 + c = x / + c => a > x / .

Във втория случай x > a, но тогава

x / = (a + m) +1 = a + (m + 1),

тоест x / > a. По същия начин, за x = a, x / = x + 1 = a + 1, тоест отново x / > a. Теоремата е напълно доказана.

Сега можете да въведете понятията<, £, ³.

а< b ó b >а;

a £ b ó a< b \/ a = b

a ³ b ó a > b \/ a = b.

Свойства на монотонността:

За операцията за добавяне:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a + c > b + c => a > b;

3) a > b /\ c > d=> a + c > b + d.

<, £, ³.

За операцията умножение:

4) a > b => a×c > b×c;

5) Закон за свиване: ac = bc => a = b

6) ac > bc => a > b;

7) a > b /\ c > d=> ac > bd.

Същите свойства се срещат и при други знаци<, £, ³.

Нека дадем като пример доказателството на свойства 4 и 5. Тъй като a > b, по дефиниция a = b + k, тогава a×c = (b + k)×c = b×c + k×c, което означава че a ×c > b×c и свойство 4 е доказано. Доказваме свойство 5 от противно. Нека ac = bc, но да предположим, че a ≠ b, но тогава, съгласно теоремата за трихотомията, или a > b, или b > a, но това означава, съгласно свойство 4, че или ac > bc, или bc > ac, което противоречи на условието (ac = bc).

Теорема за дискретност.Не можете да вмъкнете естествено число между две съседни естествени числа:

(" a, x О N) не е вярно, че a< x < a /

Доказателство(по метода на противоречието). Нека a< x < a / . Тогда х = а + k,

a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.

Последното равенство е невъзможно, тъй като противоречи на теоремата, че единица не е по-голяма от всяко естествено число.

Кулата на Архимед.За всякакви естествени числа a и b съществува естествено число n, такова че a< bn.

Провеждаме доказателството чрез индукция по b. За b = 1, n = a / . Нека направим индуктивно предположение, че за b = k съществува търсеното n, тоест a< kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.

Най-малкият елемент от множеството Mще наречем елемент с О М такъв, че за всякакви елементи m О M е в сила неравенството: с ≤ m.

Теорема за най-малкия елемент. Всяко непразно подмножество на множеството от естествени числа има най-малък елемент.

Доказателство: Ако M е подмножество на N, съдържащо 1, тогава 1 ще бъде желаният най-малък елемент. Ако 1 не е включено в множеството M, тогава разгледайте спомагателното множество A, състоящо се от всички естествени числа, по-малки от всички естествени числа от множеството M:

A = (a О н| (" m О M) а< m}.

От тази конструкция, в частност, следва, че множествата A и M нямат общи елементи. Освен това A не е празно, тъй като 1 Î A. В A също има елемент b, такъв че b / Ï A. Всъщност, ако нямаше такъв елемент, тогава чрез аксиомата на индукцията би било възможно да се докаже че A = н, но тогава M би било празно, което не отговаря на условията на теоремата. Елементът b / = c ще бъде именно най-малкият елемент в множеството M. Действително, c £ m за всяко m ОМ (ако това не беше така, тогава неравенството c > m би било вярно за поне едно естествено m, но b О A , така че b< m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.

Обърнете внимание, че не всяко подмножество на множеството от естествени числа има най-голям елемент, но ако това подмножество е крайно, тогава то също има най-голям елемент. Обратното също е вярно. Ако подмножество от множеството естествени числа има най-големия елемент, то това подмножество е крайно. Възможно е да се докаже още по-общо твърдение: непразно подмножество на множеството от естествени числа е ограничено отгоре тогава и само ако е крайно (има най-големия елемент).

Задачи за независимо решение

№ 1.8. Докажете, че релацията „повече от” е антирефлексивна и транзитивна върху множеството от естествени числа.

№ 1.9. Докажете свойствата на монотонност 1, 2, 3, 6, 7 от този раздел.

№ 1.10. Да се докажат неравенства за всички естествени числа n

а) 5 n > 7n – 3;

б) 2n +2> 2n + 5;

Както знаете, наборът от естествени числа може да бъде подреден чрез връзката „по-малко от“. Но правилата за конструиране на аксиоматична теория изискват това отношение да бъде не само дефинирано, но и направено въз основа на понятия, които вече са дефинирани в тази теория. Това може да стане чрез дефиниране на връзката „по-малко от“ чрез добавяне.

Определение. Числото a е по-малко от числото b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При тези условия се казва още, че броят bПовече ▼ Аи пиши b > a.

Теорема 12.За всякакви естествени числа АИ bима едно и само едно от трите отношения: a = b, a > b, А < b.

Пропускаме доказателството на тази теорема.. От тази теорема следва, че ако

a¹ b,или А< b, или a > b,тези. отношението "по-малко" има свойството на свързаност.

Теорема 13.Ако А< b И b< с. Че А< с.

Доказателство. Тази теорема изразява свойството транзитивност на отношението „по-малко от“.

защото А< b И b< с. тогава, по дефиницията на връзката „по-малко от“, има естествени числа Да сеКакво от това? b = a + k и c = b + I.Но след това c = (a + k)+ / и въз основа на свойството за асоциативност на добавянето получаваме: c = a + (k +/). Тъй като к + аз -естествено число, тогава според дефиницията на „по-малко от“, А< с.

Теорема 14. Ако А< b, това не е вярно b< а. Доказателство. Тази теорема изразява свойството антисиметрия"по-малко" връзка.

Нека първо докажем, че за нито едно естествено число Ане ти-!>! ■ )нейното отношение А< А.Да приемем обратното, т.е. Какво А< а възниква. Тогава, по дефиницията на отношението „по-малко от“, има естествено число с,Какво А+ с= а,и това противоречи на теорема 6.

Нека сега докажем, че ако А< b, тогава не е вярно това b < А.Да приемем обратното, т.е. какво ако А< b , Че b< а изпълнени. Но от тези равенства, по Теорема 12 имаме А< а, което е невъзможно.

Тъй като релацията „по-малко от“, която дефинирахме, е антисиметрична и транзитивна и има свойството на свързаност, тя е релация от линеен ред и множеството от естествени числа линейно подредено множество.

От определението за „по-малко от“ и неговите свойства можем да изведем известните свойства на набора от естествени числа.

Теорема 15.От всички естествени числа едно е най-малкото число, т.е. аз< а для любого натурального числа a¹1.

Доказателство. Позволявам А -всяко естествено число. Тогава са възможни два случая: а = 1 и a ¹ 1. Ако а = 1, тогава има естествено число б,следван от a: a = b " = b + I = 1 + б,т.е. по дефиницията на отношението „по-малко от“, 1< А.Следователно всяко естествено число е равно на 1 или по-голямо от 1. Или едно е най-малкото естествено число.

Отношението „по-малко от“ се свързва със събирането и умножаването на числа чрез свойствата на монотонността.

Теорема 16.

a = b => a + c = b + c и a c = b c;

А< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c и ac > bc.

Доказателство. 1) Валидността на това твърдение следва от уникалността на събирането и умножението.

2) Ако А< b, тогава има такова естествено число к,Какво А + k = b.
Тогава b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Да се)= (a + c) + k.Равенство b+ c = (a + c) + kозначава, че a + c< b + с.

По същия начин се доказва, че А< b =>асо< bс.

3) Доказателството е подобно.

Теорема 17(обратното на теорема 16).

1) А+ c = b + cили ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с или асо< пр.н.еÞ А< Ь:

3) a + c > b+ с или ac > bcÞ a > b.

Доказателство. Нека докажем например, че от асо< bс Трябва А< b Да приемем обратното, т.е. че заключението на теоремата не е в сила. Тогава не може да е така a = b.тъй като тогава равенството ще бъде изпълнено ac = bc(теорема 16); не може да бъде А> б,защото тогава би било ac > bc(Теорема!6). Следователно, съгласно теорема 12, А< b.

От теореми 16 и 17 можем да изведем добре познатите правила за почленно събиране и умножение на неравенства. Изпускаме ги.

Теорема 18. За всякакви естествени числа АИ b; има естествено число n такова, че p b> a.

Доказателство. За всеки Аима такъв номер П, Какво n > a.За да направите това е достатъчно да вземете n = a + 1. Умножаване на неравенства член по член П> АИ b> 1, получаваме pb > А.

От разгледаните свойства на отношението “по-малко” следват важни характеристики на множеството от естествени числа, които представяме без доказателство.

1. Не за всяко естествено число Аняма такова естествено число П,Какво А< п < а + 1. Това свойство се нарича Имот
дискретностнабори от естествени числа и числа АИ а + 1 се обади съседни.

2. Всяко непразно подмножество от естествени числа съдържа
най-малкото число.

3. Ако М- непразно подмножество на множеството от естествени числа
и има такъв номер б,че за всички числа x от Мне е изпълнено
равенство x< б,тогава в изобилие МИма най-голям брой.

Нека илюстрираме свойства 2 и 3 с пример. Позволявам М- набор от двуцифрени числа. защото Ме подмножество от естествени числа и за всички числа в това множество неравенството x< 100, то в множестве Ме най-голямото число 99. Най-малкото число, съдържащо се в даден набор М, -номер 10.

По този начин връзката „по-малко от“ направи възможно разглеждането (а в някои случаи и доказването) на значителен брой свойства на набора от естествени числа. По-специално, той е линейно подреден, дискретен и има най-малкото число 1.

Учениците от началното училище се запознават с връзката „по-малко от” („по-голямо от”) за естествените числа още в самото начало на своето обучение. И често, наред с неговата теоретико-множествена интерпретация, имплицитно се използва определението, дадено от нас в рамките на аксиоматичната теория. Например учениците могат да обяснят, че 9 > 7, защото 9 е 7+2. Косвеното използване на свойствата на монотонност на събиране и умножение също е често срещано. Например, децата обясняват, че „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

Упражнения

1, Защо наборът от естествени числа не може да бъде подреден чрез връзката „незабавно следване“?

Определете отношението a > bи докажете, че е транзитивна и антисиметрична.

3. Докажете, че ако a, b, cса естествени числа, тогава:

а) А< b Þ ас < bс;

б) А+ с< b + сÞ> А< Ь.

4. Какви теореми за монотонността на събирането и умножението могат
използване младши ученици, изпълнявайки задачата „Сравнете без извършване на изчисления“:

а) 27 + 8 ... 27 + 18;

б) 27-8 ... 27 -18.

5. Какви свойства на набора от естествени числа се използват имплицитно от учениците в началното училище при изпълнение на следните задачи:

А) Запишете числата, които са по-големи от 65 и по-малки от 75.

Б) Назовете предходните и следващите числа спрямо числото 300 (800 609 999).

В) Назовете най-малкото и най-голямото трицифрено число.

Изваждане

В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа изваждането обикновено се определя като обратна операция на събиране.

Определение. Изваждането на естествените числа a и b е операция, която удовлетворява условието: a - b = c тогава и само ако b + c = a.

Номер а - бсе нарича разлика между числата a и б,номер А– умалено, число б-самоучастие.

Теорема 19.Разлика на естествените числа А- bсъществува тогава и само ако b< а.

Доказателство. Нека разликата А- bсъществува. Тогава, по дефиницията на разликата, има естествено число с,Какво b + c = a,което означава, че b< а.

Ако b< а, тогава, по дефиницията на отношението „по-малко от“, има естествено число c такова, че b + c = a.Тогава, по дефиницията на разликата, c = a - b,тези. разлика а - бсъществува.

Теорема 20. Ако разликата на естествените числа АИ bсъществува, значи е уникален.

Доказателство. Да предположим, че има две различни стойности на разликата между числата АИ b;: а – б= s₁И а - б= s₂, и s₁ ¹ s₂.Тогава, по дефиниция на разликата, имаме: a = b + c₁,И a = b + c₂ : .Оттук следва, че b+ c ₁ = b + c₂ :и въз основа на теорема 17 заключаваме, с₁ = с₂..Стигнахме до противоречие с предположението, което означава, че е невярно, но тази теорема е вярна.

Въз основа на определението за разликата на естествените числа и условията за нейното съществуване е възможно да се обосноват добре известните правила за изваждане на число от сбор и сбор от число.

Теорема 21. Позволявам А. bИ с- цели числа.

и ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b.

б) Ако b > c. след това (a + b) - c - a + (b - c).

в) Ако a > c и b > c.тогава можете да използвате всяка от тези формули.
Доказателство. В случай а) разликата на числата АИ ° Ссъществува, защото a > s.Нека го обозначим с x: a - c = x.където a = c + x. Ако (А+ b) - c = y.тогава, по дефиницията на разликата, А+ b = с+ при. Вместо това нека заместим в това равенство Аизразяване c + x:(c + x) + b = c + y.Нека използваме свойството за асоциативност на събирането: c + (x + b) = c+ при. Нека преобразуваме това равенство въз основа на свойството монотонност на събирането и получаваме:

x + b = г..Заменяйки x в това равенство с израза а - в,ще има (А - G) + b = y.Така доказахме, че ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b

Доказателството се извършва по подобен начин в случай b).

Доказаната теорема може да бъде формулирана под формата на правило, което е удобно за запомняне: за да извадите число от сума, достатъчно е да извадите това число от един член на сумата и да добавите друг член към получения резултат.

Теорема 22.Позволявам a, b и c -цели числа. Ако a > b+ s, тогава А- (b + c) = (a - b) - cили a - (b + c) = (a - c) - b.

Доказателството на тази теория е подобно на доказателството на теорема 21.

Теорема 22 може да се формулира като правило: за да се извади сумата от числа от число, достатъчно е да се извади от това число всеки член един по един.

IN начално образованиематематическа дефиниция на изваждането като обратна на събирането в общ изглед, като правило, не се дава, но се използва постоянно, като се започне с извършване на операции с едноцифрени числа. Учениците трябва ясно да разберат, че изваждането е свързано със събирането и да използват тази връзка в изчисленията. Изваждайки например числото 16 от числото 40, учениците разсъждават по следния начин: „Изваждането на числото 16 от 40 означава да се намери такова число, че когато се добави към числото 16, резултатът е 40; това число ще бъде 24, тъй като 24 + 16 = 40. И така. 40 - 16 = 24."

Правилата за изваждане на число от сбор и сбор от число в основния курс по математика са теоретична основаразлични методи за изчисление. Например стойността на израза (40 + 16) - 10 може да се намери не само чрез изчисляване на сумата в скоби и след това изваждане на числото 10 от нея, но и по този начин;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

Упражнения

1. Вярно ли е, че всяко естествено число се получава от непосредствено следващото чрез изваждане на единица?

2. Какво е особеното в логическата структура на теорема 19? Може ли да се формулира с думите „необходимо и достатъчно“?

3. Докажете, че:

и ако b > c,Че (a + b) - c = a + (b - c);

б) ако a > b + c, Че а - (б+ в) = (a - b) - c.

4. Възможно ли е, без да се правят изчисления, да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14 ),

б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14; д) 50 - 16-14.

5. Какви свойства на изваждането са теоретичната основа за следните изчислителни техники, изучавани в началния курс по математика:

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 = 16-6 - P;

в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишете възможните начини за оценка на стойността на израз на формата. а - б- си ги илюстрирайте с конкретни примери.

7. Докажете, че когато b< а и всяко естествено c равенството е вярно (a – b) c = ac - bc.

Забележка. Доказателството се основава на аксиома 4.

8. Определяне на стойността на израз без извършване на писмени изчисления. Обосновете отговорите си.

а) 7865 × 6 – 7865 × 5: б) 957 × 11 – 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.

дивизия

В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа делението обикновено се определя като обратна операция на умножението.

Определение. Деленето на естествените числа a и b е операция, която удовлетворява условието: a: b = c тогава и само акоДа се когато b× c = a.

Номер а:бНаречен частенчисла АИ б,номер Аделимо, число b- делител.

Както е известно, деление върху множеството от естествени числа не винаги съществува и няма такъв удобен знак за съществуването на частно, както съществува за разлика. Има само необходимо условие за съществуването на частното.

Теорема 23.За да има частно от две естествени числа АИ b, необходимо е това b< а.

Доказателство. Нека частното на естествените числа АИ bсъществува, т.е. има естествено число c такова, че bc = a.Тъй като за всяко естествено число 1 неравенството 1 £ с,след това умножете двете му части по естествено число b, получаваме b£ пр.н.е.Но bc = a,следователно, b£ А.

Теорема 24.Ако частното на естествените числа АИ bсъществува, значи е уникален.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теоремата за единствеността на разликата на естествените числа.

Въз основа на дефиницията на частното на естествените числа и условията за неговото съществуване е възможно да се обосноват добре известните правила за разделяне на сума (разлика, продукт) на число.

Теорема 25.Ако числата АИ bделимо на число с,тогава тяхната сума a + bразделено на c, и частното, получено чрез разделяне на сумата А+ bна брой с,равна на сбора от частните, получени при разделянето АНа сИ bНа с, т.е. (a + b):c = a:c + b:с.

Доказателство. Тъй като броят Аразделена на с,тогава има естествено число x = А;това е a = cx.По същия начин има такова естествено число y = b:с,Какво

b= су.Но след това a + b = cx+ su = - c(x + y).Означава, че a + bсе дели на c, а частното, получено чрез разделяне на сумата А+ bпо числото c, равно на x + y,тези. брадва + b: c.

Доказаната теорема може да се формулира като правило за разделяне на сбор на число: за да се раздели сборът на число, достатъчно е всеки член да се раздели на това число и да се съберат получените резултати.

Теорема 26.Ако естествените числа АИ bделимо на число сИ a > b,тогава разликата а - бе разделено на c, а частното, получено чрез разделяне на разликата на числото c, е равно на разликата на частните, получени чрез разделяне АНа сИ bкъм c, т.е. (a - b):c = a:c - b:c.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на предишната теорема.

Тази теорема може да се формулира като правило за разделяне на разликата с число: ЗаЗа да разделите разликата на число, достатъчно е да разделите умаляваното и изважданото на това число и да извадите второто от първото частно.

Теорема 27.Ако естествено число Асе дели на естествено число c, то за всяко естествено число bработа абсе разделя на п. В този случай частното, получено чрез разделяне на продукта абкъм номер s , равно на произведението на частното, получено чрез разделяне АНа с,и числа b: (a × b): c - (a: c) × b.

Доказателство. защото Аразделена на с,тогава има естествено число x такова, че a:c= x, където a = cx.Умножавайки двете страни на равенството по б,получаваме ab = (cx)b.Тъй като умножението е асоциативно, тогава (cx) b = c(x b).Оттук (a b):c = x b= (a:c) b.Теоремата може да се формулира като правило за разделяне на продукт на число: за да се раздели продукт на число, достатъчно е да се раздели един от факторите на това число и полученият резултат да се умножи по втория фактор.

В началното обучение по математика дефиницията на деленето като обратна операция на умножението по правило не се дава в общ вид, но се използва постоянно, като се започне от първите уроци на запознаване с делението. Учениците трябва ясно да разберат, че делението е свързано с умножението и да използват тази връзка, когато правят изчисления. Когато делят например 48 на 16, учениците разсъждават така: „Да се раздели 48 на 16 означава да се намери число, което, умножено по 16, дава 48; такова число би било 3, тъй като 16×3 = 48. Следователно, 48: 16 = 3.

Упражнения

1. Докажете, че:

а) ако частното на естествените числа а и бсъществува, значи е уникален;

б) ако числата а и бсе разделят на сИ a > b,Че (a - b): c = a: c - b: c.
2. Може ли да се каже, че всички тези равенства са верни:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850:170 =850:10:17.

Кое правило обобщава тези случаи? Формулирайте го и го докажете.

3. Какви свойства на разделянето са теоретичната основа за
изпълняване на следните задачи, предлагани на учениците начално училище:

Възможно ли е, без да се извършва деление, да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;

б) (30 + 16):3; g)(21+27):3; е) 48:2;

Верни ли са равенствата:

а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Опишете възможните начини за изчисляване на стойността на израз
Тип:

а) (А+ b):c;б) А:b: С; V) ( a × b): С .

Илюстрирайте предложените методи с конкретни примери.

5. Намерете смисъла на израза по рационален начин; техен
оправдайте действията си:

а) (7 × 63):7; в) (15 × 18):(5× 6);

б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.

6. Обосновете следните методи за деление на двуцифрено число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

7. Без да разделяте с ъгъл, намерете най-рационалното
частно; Обосновете избрания метод:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9; д) 455:65.

Лекция 34. Свойства на множеството от цели неотрицателни числа

1. Множеството от неотрицателни цели числа. Свойства на множеството от неотрицателни цели числа.

2. Концепцията за сегмент от естествена редица от числа и броене на елементи от крайно множество. Поредни и кардинални естествени числа.

Упражнения

1.. Използвайки определението за умножение, намерете значенията на изразите:
а) 3 3; 6) 3 4; в) 4 3.

2. Запишете разпределителното свойство на умножението вляво по отношение на събирането и го докажете. Какви трансформации на изрази са възможни въз основа на него? Защо стана необходимо да се вземе предвид лявата и дясната дистрибутивност на умножението спрямо събирането?

3. Докажете асоциативното свойство на умножението на естествените числа. Какви трансформации на изрази са възможни въз основа на него? Проучва ли се този имот в начално училище?

4. Докажете комутативността на умножението. Дайте примери за използването му в начален курс по математика.

5. Какви свойства на умножението могат да се използват при намиране на стойността на израз:

а) 5 (10 + 4); 6) 125 15 6; в) (8 379) 125?

6. Известно е, че 37 3 = 111. Използвайки това равенство, изчислете:

а) 37 18; 6) 185 12.

Обосновете всички извършени трансформации.

7. Определяне на стойността на израз без извършване на писмени изчисления. Обосновете отговора си:

а) 8962 8 + 8962 2; б) 63402 3 + 63402 97; в) 849 +849 9.

8.. Какви свойства на умножението ще използват учениците от началното училище, когато изпълняват следните задачи:

Възможно ли е без пресмятане да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) 3 7 + 3 5; 6) 7 (5 + 3): в) (7 + 5) 3?

Верни ли са равенствата:

а) 18 5 2 = 18 (5 2); в) 5 6 + 5 7 = (6 + 7) 5;

б) (3 10) 17 = 3 10 17; г) 8 (7 + 9) = 8 7 + 9 8?
Възможно ли е да се сравнят стойностите на изразите без извършване на изчисления:

а) 70 32 + 9 32 ...79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?

Лекция 33. Изваждане и деление на цели неотрицателни числа

1. Ред на множеството от естествени числа.

2. Определение за изваждане на цели неотрицателни числа

3. Деление на цели неотрицателни числа. Невъзможност за деление на нула. Деление с остатък.

При тези условия се казва още, че броят bПовече ▼ Аи пиши b > a.

Теорема 12.За всякакви естествени числа АИ bима едно и само едно от трите отношения: a = b, a > b, А < b.

Пропускаме доказателството на тази теорема.. От тази теорема следва, че ако

a¹ b,или А< b, или a > b,тези. отношението "по-малко" има свойството на свързаност.

Теорема 13.Ако А< b И b< с. Че А< с.

Доказателство. Тази теорема изразява свойството транзитивност на отношението „по-малко от“.

Нека първо докажем, че за нито едно естествено число Ане ти-!>! ■ )нейното отношение А< А.Да приемем обратното, т.е. Какво А< а възниква. Тогава по дефиницията на отношението „по-малко от“ има такова естествено число с,Какво А+ с= а,и това противоречи на теорема 6.

Теорема 15.От всички естествени числа едно е най-малкото число, т.е. аз< а для любого натурального числа a¹1.

Поръчани комплекти

Определение 1.Няколко МНаречен поръчан, ако се установи някаква връзка между неговите елементи а b(" апредшестван b"), имащи следните свойства: 1) между всеки два елемента аИ bима една и само една от трите връзки: а = b, аб, bа; 2) за всеки три елемента а, bИ ° Сот аб, b c следва а° С.

Празен комплект се счита за поръчан.

Коментирайте.Ние винаги разбираме знака = в смисъл на идентичност, съвпадение на елементи. Записвайте а = bпросто означава, че в букви аИ bобозначава същия елемент от множеството М. Следователно от свойство 1) следва, че между два различни елемента съществува едно и само едно от двете отношения а b или bа.

Ако апредшестван b, тогава те казват, че bследва аи напиши: b > а.

Поведение а > bТой има, както може лесно да се провери, свойства, подобни на 1) и 2). Тя може да се приеме за основна, след което чрез нея да се определи връзката а b.

Ако е в подреден комплект Мсменете ролите на връзката, т.е аб пишете а > b, и обратно, получаваме нов поръчан комплект М", чийто ред се казва, че е обратен на реда М. Например, за горния ред в набора от естествени числа, редът ще бъде обърнат:

Две подредени множества, съставени от едни и същи елементи, но подредени в различен ред, се считат за различни. Следователно, когато се дефинира подредено множество чрез неговите елементи, е необходимо да се посочи техният ред. Ще приемем, че записът отляво надясно съответства на реда на елементите и ще запазим предишното обозначение с фигурни скоби. Един и същ комплект може да се нареди по различни начини (ако съдържа поне два елемента). Така наборът от естествени числа може да бъде подреден по обичайния начин или в обратен ред; нечетните числа могат да бъдат поставени пред четните числа или обратно, подреждайки и двете във възходящ или низходящ ред. Получаваме поръчани комплекти

Законите за добавяне на сили в механиката Раздел във физиката на добавяне на сили

Евгений Онегин Татяна идеалът за руска жена