Безплатни вибрациисе осъществяват под действието на вътрешните сили на системата, след като системата е била изведена от равновесно състояние.
Да сесвободните вибрации са направени съгласно хармоничния закон, необходимо е силата, стремяща се да върне тялото в равновесно положение, да бъде пропорционална на изместването на тялото от равновесното положение и насочена в посока, обратна на изместването (виж § 2.1):
Силите от всяко друго физическо естество, които отговарят на това условие, се наричат квазиеластичен .
По този начин, товар с някаква маса мприкрепен към втвърдяващата пружина к, чийто втори край е фиксиран неподвижно (фиг. 2.2.1), представляват система, способна да извършва свободни хармонични трептения при липса на триене. Масата на пружината се нарича линеен хармоник осцилатор.
Кръговата честота ω 0 на свободните вибрации на товар върху пружина се намира от втория закон на Нютон:
При хоризонтално разположение на системата за пружинно натоварване, силата на гравитацията, приложена към товара, се компенсира от силата на реакция на опората. Ако товарът е окачен на пружина, тогава силата на гравитацията е насочена по линията на движение на товара. В равновесно положение пружината се разтяга с известно количество х 0 равно на
Следователно вторият закон на Нютон за товар върху пружина може да бъде написан като
Извиква се уравнение (*). уравнението на свободните вибрации . Трябва да се отбележи, че физическите свойства на осцилаторната система определят само собствената честота на трептенията ω 0 или периода T . Такива параметри на процеса на трептене като амплитуда х m и началната фаза φ 0 се определят от начина, по който системата е била изведена от равновесие в началния момент от време.
Ако, например, товарът е изместен от равновесното положение на разстояние Δ ли след това навреме T= 0 се освобождава без начална скорост, тогава х m = ∆ л, φ 0 = 0.
Ако обаче началната скорост ± υ 0 беше придадена на товара, който беше в равновесно положение, с помощта на рязък тласък, тогава,
Така че амплитудата х m свободни трептения и началната му фаза φ 0 се определят начални условия .
Има много разновидности на механични осцилаторни системи, които използват силите на еластичните деформации. На фиг. 2.2.2 е показан ъглов аналог на линеен хармоничен осцилатор. Хоризонтално разположен диск виси на еластична нишка, фиксирана в центъра на масата му. Когато дискът се завърти на ъгъл θ, възниква момент на силите Меластично усукване:
където аз = аз C - инерционният момент на диска около оста, минаваща през центъра на масата, ε - ъглово ускорение.
По аналогия с натоварването на пружината можете да получите:
Безплатни вибрации. Математическо махало
Математическо махалонаречено тяло с малки размери, окачено на тънка неразтеглива нишка, чиято маса е незначителна в сравнение с масата на тялото. В равновесно положение, когато махалото виси на отвес, силата на гравитацията се балансира от силата на опън на конеца. Когато махалото се отклони от равновесното положение с определен ъгъл φ, се появява тангенциална компонента на гравитацията Е τ = - мг sin φ (фиг. 2.3.1). Знакът минус в тази формула означава, че тангенциалната компонента е насочена в посока, противоположна на отклонението на махалото.
Ако се обозначава с хлинейно изместване на махалото от равновесното положение по дъгата на окръжност с радиус л, тогава ъгловото му преместване ще бъде равно на φ = х / л. Вторият закон на Нютон, написан за проекциите на векторите на ускорението и силата върху посоката на тангентата, дава:
 |
Тази връзка показва, че математическото махало е комплекс нелинейнисистема, тъй като силата, стремяща се да върне махалото в равновесното му положение, е пропорционална на неотместването х, а
Само в случай малки колебаниякогато е близоможе да се замени с математическо махало е хармоничен осцилатор, т.е. система, способна да извършва хармонични трептения. На практика това приближение е валидно за ъгли от порядъка на 15-20°; докато стойността се различава от не повече от 2%. Трептенията на махалото при големи амплитуди не са хармонични.
За малки трептения на математическо махало вторият закон на Нютон се записва като
Тази формула изразява собствена честота на малки трептения на математическо махало .
Следователно,
|
Всяко тяло, монтирано на хоризонтална ос на въртене, е способно да извършва свободни трептения в гравитационното поле и следователно също е махало. Такова махало се нарича физически (фиг. 2.3.2). Тя се различава от математическата само по разпределението на масите. В положение на стабилно равновесие центърът на масата ° Сна физическото махало е под оста на въртене O по вертикалата, минаваща през оста. Когато махалото се отклони под ъгъл φ, възниква момент на гравитация, стремящ се да върне махалото в равновесно положение:
и вторият закон на Нютон за физическо махало става (вижте §1.23)
Тук ω 0 - собствена честота на малки трептения на физическо махало .
Следователно,
Следователно уравнението, изразяващо втория закон на Нютон за физическо махало, може да бъде написано като
Накрая, за кръговата честота ω 0 на свободните трептения на физическото махало се получава следният израз:
|
Енергийни трансформации при свободни механични вибрации
При свободни механични вибрации кинетичната и потенциалната енергия се променят периодично. При максималното отклонение на тялото от равновесното положение неговата скорост, а оттам и кинетичната енергия, се равнява на нула. В това положение потенциалната енергия на трептящото тяло достига максималната си стойност. За товар върху пружина потенциалната енергия е енергията на еластичната деформация на пружината. За едно математическо махало това е енергията в гравитационното поле на Земята.
Когато тялото при своето движение преминава през равновесното положение, неговата скорост е максимална. Тялото прескача равновесното положение според закона на инерцията. В този момент той има максимална кинетична и минимална потенциална енергия. Увеличаването на кинетичната енергия става за сметка на намаляване на потенциалната енергия. При по-нататъшно движение потенциалната енергия започва да нараства поради намаляването на кинетичната енергия и т.н.
Така по време на хармонични трептения възниква периодична трансформация на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно.
Ако в трептящата система няма триене, тогава общата механична енергия по време на свободните вибрации остава непроменена.
За пружинно натоварване(виж §2.2):
В реални условия всяка колебателна система е под въздействието на сили на триене (съпротивление). В този случай част от механичната енергия се преобразува във вътрешната енергия на топлинното движение на атомите и молекулите и вибрациите стават затихване (фиг. 2.4.2).
Скоростта на затихване на трептенията зависи от големината на силите на триене. Интервалът от време τ, през който амплитудата на трептенията намалява д≈ 2,7 пъти, т.нар време на разпад .
Честотата на свободните трептения зависи от скоростта на затихване на трептенията. С увеличаването на силите на триене естествената честота намалява. Промяната в собствената честота обаче става забележима само при достатъчно големи сили на триене, когато собствените трептения бързо затихват.
Важна характеристика на една колебателна система, която извършва свободни затихващи трептения, е качествен фактор Q. Този параметър се определя като число нобщите трептения, направени от системата по време на времето на затихване τ, умножено по π:
По този начин коефициентът на качество характеризира относителната загуба на енергия на осцилаторната система поради наличието на триене за интервал от време, равен на един период на трептене.
Принудителни вибрации. Резонанс. Автоколебания
Наричат се трептения, които възникват под въздействието на външна периодична сила принуден.
Външната сила извършва положителна работа и осигурява приток на енергия към трептящата система. Не позволява трептенията да избледняват, въпреки действието на силите на триене.
Периодичната външна сила може да варира във времето според различни закони. От особен интерес е случаят, когато външна сила, променяща се по хармоничен закон с честота ω, действа върху колебателна система, способна да извършва собствени трептения с определена честота ω 0 .
Ако свободните трептения възникват при честота ω 0, която се определя от параметрите на системата, тогава винаги възникват постоянни принудителни трептения при честота ω на външната сила.
След началото на въздействието на външна сила върху трептящата система известно време Δ Tза установяване на принудени трептения. Времето на установяване е равно по порядък на времето на затихване τ на свободните трептения в трептящата система.
В началния момент в трептящата система се възбуждат и двата процеса - принудени трептения с честота ω и свободни трептения със собствена честота ω 0 . Но свободните вибрации се гасят поради неизбежното наличие на сили на триене. Следователно след известно време в трептящата система остават само стационарни трептения с честотата ω на външната движеща сила.
Да разгледаме като пример принудени вибрации на тяло върху пружина (фиг. 2.5.1). Към свободния край на пружината се прилага външна сила. Той принуждава свободния (вляво на фиг. 2.5.1) край на пружината да се движи по закона
Ако левият край на пружината е изместен на разстояние г, а дясната - на разстояние хот първоначалното им положение, когато пружината не е била деформирана, тогава удължението на пружината Δ лсе равнява:
В това уравнение силата, действаща върху тялото, е представена като два члена. Първият член от дясната страна е еластичната сила, стремяща се да върне тялото в равновесно положение ( х= 0). Вторият термин е външното периодично въздействие върху тялото. Този термин се нарича принуждаваща сила.
Уравнението, изразяващо втория закон на Нютон за тяло върху пружина при наличие на външно периодично действие, може да получи строга математическа форма, ако вземем предвид връзката между ускорението на тялото и неговата координата: Тогава ще бъдат записани във формуляра
Уравнение (**) не отчита действието на силите на триене. За разлика от уравнения за свободни колебания(*) (виж §2.2) уравнение на принудени вибрации(**) съдържа две честоти - честотата ω 0 на свободните трептения и честотата ω на движещата сила.
Равномерните принудителни вибрации на товара върху пружината възникват при честотата на външното въздействие според закона
|
Амплитуда на принудени вибрации х m и началната фаза θ зависят от съотношението на честотите ω 0 и ω и от амплитудата г m външна сила.
При много ниски честоти, когато ω<< ω 0 , движение тела массой м, закрепен към десния край на пружината, повтаря движението на левия край на пружината. При което х(T) = г(T), а пружината остава практически недеформирана. Външната сила, приложена към левия край на пружината, не върши работа, тъй като модулът на тази сила при ω<< ω 0 стремится к нулю.
Ако честотата ω на външната сила се доближи до собствената честота ω 0, има рязко увеличение на амплитудата на принудените трептения. Това явление се нарича резонанс . Амплитудна зависимост х m принудени трептения от честотата ω на движещата сила се нарича резонансна характеристикаили резонансна крива(фиг. 2.5.2).
При резонанс амплитудата х m колебанията на натоварването могат да бъдат многократно по-големи от амплитудата г m трептения на свободния (ляв) край на пружината, причинени от външно въздействие. При липса на триене амплитудата на принудените трептения при резонанс трябва да нараства неограничено. В реални условия амплитудата на стационарните принудителни колебания се определя от условието: работата на външна сила по време на периода на колебания трябва да бъде равна на загубата на механична енергия за същото време поради триене. Колкото по-малко е триенето (т.е. толкова по-висок е качественият фактор Qосцилаторна система), толкова по-голяма е амплитудата на принудените трептения при резонанс.
За осцилаторни системи с не много висок качествен фактор (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Феноменът на резонанса може да причини разрушаване на мостове, сгради и други конструкции, ако естествените честоти на техните трептения съвпадат с честотата на периодично действаща сила, която е възникнала, например, поради въртенето на небалансиран двигател.
Принудителните вибрации са неамортизиранфлуктуации. Неизбежните загуби на енергия поради триене се компенсират чрез доставка на енергия от външен източник на периодично действаща сила. Има системи, в които незатихващите трептения възникват не поради периодично външно влияние, а в резултат на способността на такива системи да регулират потока на енергия от постоянен източник. Такива системи се наричат автоколебателен, и процесът на незатихващи трептения в такива системи - собствени трептения . В една автоколебателна система могат да се разграничат три характерни елемента - трептителна система, източник на енергия и устройство за обратна връзка между трептящата система и източника. Като осцилаторна система може да се използва всяка механична система, способна да извършва собствени затихващи трептения (например махало на стенен часовник).
Източникът на енергия може да бъде енергията на деформация на пружината или потенциалната енергия на товара в гравитационното поле. Устройството за обратна връзка е механизъм, чрез който автоколебателната система регулира потока на енергия от източника. На фиг. 2.5.3 показва диаграма на взаимодействието на различни елементи на самоосцилиращата система.
Пример за механична самоосцилираща система е часовников механизъм с котваход (фиг. 2.5.4). Работно колело с наклонени зъби е здраво закрепено към зъбен барабан, през който се хвърля верига с тежест. Прикрепен към горния край на махалото котва(котва) с две пластини от твърд материал, извити по дъга от окръжност с център върху оста на махалото. В ръчния часовник тежестта е заменена от пружина, а махалото е заменено от балансьор - ръчно колело, закрепено към спирална пружина. Балансьорът извършва усукващи вибрации около оста си. Осцилаторната система в часовника е махало или балансьор.
Източникът на енергия е вдигната тежест или навита пружина. Устройството за обратна връзка е анкер, който позволява на ходовото колело да завърти един зъб за един половин цикъл. Обратната връзка се осигурява от взаимодействието на котвата с движещото се колело. При всяко колебание на махалото зъбът на ходовото колело избутва вилицата на котвата по посока на движението на махалото, като му предава определена част от енергията, която компенсира загубите на енергия от триене. Така потенциалната енергия на тежестта (или усуканата пружина) постепенно, на отделни порции, се предава на махалото.
Механичните автоколебателни системи са широко разпространени в живота около нас и в техниката. Самоколебанията се извършват от парни машини, двигатели с вътрешно горене, електрически звънци, струни на лъкови музикални инструменти, въздушни колони в тръбите на духови инструменти, гласни струни при говор или пеене и др.
 |
| Фигура 2.5.4. Часовников механизъм с махало. |
Кандидат на физико-математическите науки В. ПОГОЖЕВ.
(Край. Начало, вижте "Наука и живот" бр.)
Публикуваме последната част от задачите по темата "Механика". Следващата статия ще бъде посветена на трептенията и вълните.
Проблем 4 (1994). От хълм, плавно преминаващ в хоризонтална равнина, от височина чсе плъзга от малка гладка шайба от маса м. Върху равнината има гладък подвижен хълм от маса Ми височина з> ч. Сеченията на плъзгачите от вертикална равнина, минаваща през центровете на масата на шайбата и подвижния плъзгач, имат формата, показана на фигурата. Каква е максималната височина хМоже ли шайбата да се качи нагоре по фиксираната пързалка, след като се плъзне от движещата се пързалка за първи път?
Решение.Плъзгачът, върху който първоначално е била разположена шайбата, е неподвижен по условието на задачата и следователно е здраво закрепен към Земята. Ако, както обикновено се прави при решаването на такива проблеми, се вземат предвид само силите на взаимодействие на шайбата с плъзгачите и силата на гравитацията, проблемът може да бъде решен с помощта на законите за запазване на механичната енергия и импулса. Лабораторната референтна рамка, както вече беше отбелязано в решението на предишни проблеми (виж "Наука и живот" № ), може да се счита за инерционна. Ще разделим решението на проблема на три етапа. На първия етап шайбата започва да се плъзга от фиксиран плъзгач, на втория етап взаимодейства с подвижен плъзгач и на последния етап се издига нагоре по фиксирания плъзгач. От условията на задачата и направените предположения следва, че шайбата и подвижният плъзгач могат да се движат напред само така, че центровете им на маса остават през цялото време в една и съща вертикална равнина.
Като се има предвид горното и фактът, че шайбата е гладка, системата "Земя с фиксиран хълм - шайбата" през първия етап трябва да се счита за изолирана и консервативна. Следователно, според закона за запазване на механичната енергия, кинетичната енергия на шайбата У k = мв 1 2 /2, когато се движи по хоризонтална равнина след плъзгане надолу по хълма, трябва да бъде равно на mgh, където ж- величината на ускорението на свободното падане.
По време на втория етап шайбата първо ще започне да се издига по протежение на подвижния плъзгач и след това, достигайки определена височина, ще се плъзне от него. Това твърдение следва от факта, че в резултат на взаимодействието на шайбата с подвижния плъзгач, последният, както вече беше споменато, до края на втория етап трябва да се движи напред с определена скорост u, отдалечавайки се от фиксирана пързалка, тоест по посока на скоростта v 1 шайба в края на първия етап. Следователно, дори ако височината на подвижния слайд е равна на ч, шайбата не би могла да го преодолее. Като се има предвид, че силата на реакция от страната на хоризонталната равнина към подвижния плъзгач, както и силите на гравитацията, действащи върху този плъзгач и шайбата, са насочени вертикално, въз основа на закона за запазване на импулса, може да се твърди, че проекция v 2 скорости на шайбата в края на втория етап за всяка посока на скоростта v 1 шайба в края на първия етап трябва да отговаря на уравнението
mυ 1 = mυ 2 + M и (1)
От друга страна, според закона за запазване на механичната енергия, тези скорости са свързани по отношение
, (2)
тъй като системата "Земя - подвижна пързалка - шайба" се оказва изолирана консервативна при направените предположения и нейната потенциална енергия в началото и в края на втория етап е една и съща. Като се има предвид, че след взаимодействие с подвижен слайд, скоростта на шайбата в общия случай трябва да се промени ( v 1 - v 2 ≠ 0), а използвайки формулата за разликата на квадратите на две величини, от отношения (1) и (2) получаваме
υ 1 + υ 2 = и (3)
и след това от (3) и (1) определяме проекцията на скоростта на шайбата в края на втория етап върху посоката на нейната скорост преди началото на взаимодействието с движещия се плъзгач
От съотношението (4) се вижда, че v 1 ≠ v 2 при м≠ Ми шайбата ще се придвижи към фиксирания хълм, след като се плъзне от подвижния само когато м< М.
Прилагайки отново закона за запазване на механичната енергия за системата "Земя с неподвижен хълм - шайба", ние определяме максималната височина на повдигане на шайбата по фиксиран хълм х =v 2 2 /2ж. След най-простите алгебрични трансформации крайният отговор може да бъде представен като
Задача 5(1996). Гладък блок от маса Мзакрепен към вертикална стена с лека втвърдяваща пружина к. При недеформирана пружина краят на пръта докосва лицето на куба, масата мкоето е много по-малко М.Оста на пружината е хоризонтална и лежи във вертикална равнина, минаваща през центровете на масата на куба и пръта. Чрез изместване на лентата пружината се компресира по оста си със стойността ∆ х, след което блокът се освобождава без начална скорост. Колко ще се премести кубът след напълно еластичен удар, ако коефициентът на триене на куба върху равнината е достатъчно малък и равен на μ?
Решение.Ще приемем, че стандартните предположения са изпълнени: лабораторната референтна система, спрямо която всички тела първоначално са били в покой, е инерционна и върху разглежданите тела действат само силите на взаимодействие между тях и гравитацията, и освен това , равнината на контакт между пръта и куба е перпендикулярна на оста на пружината. Тогава, като вземем предвид положението на оста на пружината и центровете на масата на пръта и куба, дадени в условието, можем да приемем, че тези тела могат да се движат само напред.
След освобождаване, лентата започва да се движи под действието на компресирана пружина. В момента, в който щангата докосне куба, според състоянието на проблема пружината трябва да стане недеформирана. Тъй като блокът е гладък и се движи по хоризонтална равнина, силите на гравитацията и реакциите на равнината не действат върху него. Съгласно условието масата на пружината (и следователно кинетичната енергия на нейните движещи се части) може да бъде пренебрегната. Следователно, кинетичната енергия на постъпателно движещ се прът в момента, в който докосне куба, трябва да стане равна на потенциалната енергия на пружината в момента, в който прътът се освободи, и следователно скоростта на пръта в този момент трябва да бъде равна на .
Когато лентата докосне куба, те се сблъскват. В този случай силата на триене, действаща върху куба, се променя от нула на m мг, където ж- величината на ускорението на свободното падане. Ако приемем, както обикновено, че времето на удар на пръта и куба е малко, можем да пренебрегнем импулса на силата на триене, действаща върху куба от страната на равнината, в сравнение с импулса на силата, действаща върху куба от страната на щангата по време на удара. Тъй като изместването на щангата по време на удара е малко и в момента, в който кубът докосне пружината, не се деформира според състоянието на проблема, приемаме, че пружината не действа върху щангата по време на удара. Следователно системата "бар - куб" по време на сблъсъка може да се счита за затворена. Тогава, съгласно закона за запазване на импулса, отношението
Мv= М U + м u, (1)
където Uи u- съответно скоростта на лентата и куба непосредствено след сблъсъка. Работата на силите на гравитацията и нормалната компонента на силите на реакция на равнината, действащи върху куба и пръта, е равна на нула (тези сили са перпендикулярни на възможните им премествания), ударът на пръта върху куба е идеален еластичен и поради кратката продължителност на сблъсъка, изместването на куба и пръта (и следователно работните сили на триене и деформация на пружината) могат да бъдат пренебрегнати. Следователно механичната енергия на разглежданата система трябва да остане непроменена и равенството се осъществява
M υ 2/2 = MU 2/2 + мили 2 /2 (2)
Определяне от (1) скоростта на щангата Uи замествайки го в (2), получаваме 2 Мvu=(М+м)u 2 , а тъй като по условието на задачата м << М, след това 2 vu=u 2. Оттук, като се вземе предвид възможната посока на движение, следва, че кубът след сблъсъка придобива скорост, чиято стойност
(3)
и скоростта на блока остава непроменена и равна на v. Следователно след удара скоростта на куба трябва да надвишава скоростта на лентата два пъти. Следователно, след удара на куба в хоризонтална посока, докато спре, само силата на триене при плъзгане μ мги следователно кубът ще се движи равномерно с ускорение μ ж. На щангата след сблъсъка в хоризонтална посока действа само еластичната сила на пружината (щангата е гладка). Следователно скоростта на блока се променя според хармоничния закон и докато кубът се движи, той е пред блока. От горното следва, че прътът от равновесното положение може да бъде изместен на разстояние ∆ х. Ако коефициентът на триене μ е достатъчно малък, няма да има повторен сблъсък на пръта с куба и следователно необходимото изместване на куба трябва да бъде
Л = и 2 / 2μg = 2 к(∆x) 2 / μ Мж.
Сравнявайки това разстояние с ∆ х, получаваме, че даденият отговор е правилен за μ ≤ 2 к ∆х/Mg
Задача 6(2000). На ръба на дъската, разположена върху гладка хоризонтална равнина, поставете малка шайба, чиято маса е кпъти по-малко от масата на дъската. Шайбата се щраква в движение към центъра на дъската. Ако тази скорост е по-голяма u, след което шайбата се плъзга от дъската. Колко бързо ще се движи дъската, ако скоростта на шайбата е нпъти повече u (н> 1)?
Решение.При решаването на проблема, както обикновено, ще пренебрегнем влиянието на въздуха и ще приемем, че референтната система, свързана с масата, е инерционна и шайбата се движи напред след удара. Имайте предвид, че това е възможно само ако линията на действие на импулса на външната сила и центърът на масата на шайбата лежат в една и съща вертикална равнина. Тъй като, според условието на проблема, шайбата при начална скорост по-малка от u, не се плъзга от дъската, трябва да се приеме, че когато шайбата се плъзга по дъската, между тях действат сили на триене. Като се има предвид, че след щракване шайбата се движи по дъската до центъра й, а силата на триене при плъзгане е насочена антипаралелно на скоростта, може да се твърди, че дъската също трябва да започне да се движи напред по масата. От горното и закона за запазване на импулса (тъй като дъската е върху гладка хоризонтална равнина) следва, че скоростта на шайбата веднага след щракването е uш, нейната скорост v w и скорост на борда V e в момента на приплъзване шайбите трябва да отговарят на отношението
мu w = М V d + мv w, (1)
където ме масата на шайбата, и М- масата на дъската, ако u w > u. Ако u w ≤ u, тогава според условието на задачата шайбата не се изплъзва от дъската и следователно след достатъчно дълъг период от време скоростите на дъската и шайбата трябва да се изравнят. Приемайки, както обикновено, стойността на силата на сухото триене на плъзгане не зависи от скоростта, пренебрегвайки размерите на шайбата и като вземем предвид, че движението на шайбата спрямо дъската до момента на плъзгане не зависи от началната му скорост, като вземем предвид горното и въз основа на закона за изменение на механичната енергия, можем да твърдим, че какво при u w ≥ u
му w 2 / 2 = MV d 2 / 2 + мυ w 2 / 2 + A,(2)
където НО- работа срещу сили на триене, и при u w > u Vд< v w и при u w = u V d = vш. Като се има предвид, че според условието М/м=к, от (1) и (2) с u w = uслед алгебрични трансформации получаваме
и тъй като при u w = нуот (1) следва, че
υ w 2 = н 2 и 2 + к 2 V d 2 - 2 нки V d (4)
желаната скорост на дъската трябва да отговаря на уравнението
к(к + 1) V d 2 - 2 nkv d + ki 2 /(к + 1) = 0. (5)
Очевидно е, че при н→∞ времето на взаимодействие на шайбата с дъската трябва да клони към нула и следователно желаната скорост на дъската, докато се увеличава н(след като превиши някаква критична стойност) трябва да намалее (до нула). Следователно от двете възможни решения на уравнение (5) условията на задачата са изпълнени от
Задача по физика - 4424
2017-10-21
Лека пружина с твърдост $k$ е прикрепена към прът с маса $m$, лежащ върху хоризонтална равнина, чийто другият край е фиксиран така, че пружината да не се деформира, а оста й е хоризонтална и минава през центъра на Пръчката се смесва по протежение на оста на пружината на разстояние $ \Delta L$ и се освобождава без начална скорост. Намерете максималната скорост на пръта, ако коефициентът му на триене върху равнината е равен на $\mu$.
Решение:
Ще приемем, че при дадено смесване на пръта деформацията на пружината е напълно еластична. Тогава, въз основа на закона на Хук, можем да приемем, че силата $F_(pr) = k \Delta L$, насочена хоризонтално по оста на пружината, действа върху пръта от страната на пружината в момента на освобождаване. Реакционната сила на равнината, действаща върху пръта, може да бъде представена като две компоненти: перпендикулярна и успоредна на тази равнина. Стойността на нормалния компонент на силата на реакция $N$ може да се определи въз основа на втория закон на Нютон, като се приеме, че референтната система, фиксирана спрямо тази равнина, е инерционна и щангата може да се движи само по тази равнина. Пренебрегвайки действието върху "въздушната лента, получаваме: $N - mg = 0$, където $g$ е стойността на ускорението на свободното падане. Според закона на Кулон, при фиксирана лента, максималната стойност на паралела компонент на силата на реакцията - силата на сухо статично триене - е равна на $\mu N $. Следователно, за $k \Delta L \leq \mu mg$, прътът трябва да остане неподвижен след освобождаване. Ако $k \Delta L > \mu mg$, тогава след отпускане на пръта, прътът ще започне да се движи с известно ускорение. Тъй като линията на действие на силата, която е състранична на пружината, минава през центъра на масата на пръта и силата на триене е насочен обратно на скоростта му, прътът ще се движи транслационно.В този случай деформацията на пружината ще намалее и следователно ускорението на пръта също трябва да намалее.В момента, когато сумата от силите, действащи върху лентата се превърне в нула, скоростта на лентата ще стане максимална. Чрез регулиране на масата на пружината в съответствие с условието на проблема, стойността на деформацията $\Delta x$ на пружината в момента, който ни интересува, може лесно да бъде изчислена от връзката $k \Delta x = \ mu mg$. Припомняйки си изразите за изчисляване на кинетичната енергия на постъпателно движещо се твърдо тяло, потенциалната енергия на еластично деформирана пружина и като вземем предвид, че изместването на пръта към този момент ще стане $\Delta L - \Delta x$, базирано относно закона за промяна на механичната енергия, може да се твърди, че максималната скорост $ v_(max)$ на пръта трябва да отговаря на уравнението:
$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(max)^(2))(2) + \ mu mg (\Delta L - \Delta x)$.
От казаното следва, че максималната скорост на щангата при направените предположения трябва да бъде равна на
$v_(max) = \begin(cases) 0, & \text(when) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \left (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \right) & \text(at) k \Delta L > \mu mg \end(cases)$.
