РЕЗЮМЕ 20

20.1 ОТКАЗ ОТ ОТГОВОРНОСТ ЗА НЕСИГУРНОСТ

Пример 1

Решете границата Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дроб: В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило:ако има полиноми в числителя и знаменателя и има несигурност на формата, тогава за нейното разкриване множете числителя и знаменателя.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и (или) да използвате съкратени формули за умножение.

Нека разложим числителя на множители.

Пример 2

Изчислете лимита

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител знаменател: ,

Методът за умножаване на числителя и знаменателя с присъединения израз

Продължаваме да разглеждаме несигурността на формата

Следващият тип ограничения е подобен на предишния тип. Единственото нещо, в допълнение към полиномите, ще добавим корени.

Пример 3

Намерете границата

Умножете числителя и знаменателя по свързания израз.

20.2 ОТКАЗ ОТ ОТГОВОРНОСТ ЗА НЕСИГУРНОСТ

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, в числителя и знаменателя на която са полиноми

Пример 4

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функция. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме така наречената неопределеност на формата. Може да се мисли така и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и трябва да се приложи някакво решение, което сега ще разгледаме.

Как да решим ограниченията от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност: Най-голямата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и намираме най-високата степен: Най-голямата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

Така че методът на решение е: за разкриване на несигурносттаразделете числителя и знаменателя нав старша степен.

Разделете числителя и знаменателя на

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е важно при вземането на решение?

Първо, посочваме несигурността, ако има такава.

Второ, желателно е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той не носи никакво математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в границата е желателно да се отбележи какво и къде клони. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи така: За бележки е по-добре да използвате обикновен молив.

Разбира се, можете да не направите нищо от това, но тогава може би учителят ще забележи недостатъците в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси по заданието. А имате ли нужда от него?

Пример 5

Намерете границата Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен: Максимална степен в числителя: 3 Максимална степен в знаменателя: 4 Избери най великстойност, в този случай четири. Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на. Пълното задание може да изглежда така:

Пример 6

Намерете границата Максималната степен на "x" в числителя: 2 Максималната степен на "x" в знаменателя: 1 (може да се запише като) За да разрешите несигурността, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на. Едно чисто решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Записът не означава деление на нула (невъзможно е да се дели на нула), а деление на безкрайно малко число.

Така при разкриване на неопределеността на формата можем да получим крайно число, нула или безкрайност.

РАБОТИЛНИЦА 20

ЗАДАЧА № 1

Решение:Ако вместо променлива поставим стойността 7, към която тя се стреми, тогава получаваме несигурност на формата тогава

ЗАДАЧА № 2Тема: Разкриване на несигурност от нула до нула

Решение:Ако вместо променлива поставим стойността 0, към която тя се стреми, тогава получаваме несигурност на формата тогава

ЗАДАЧА N 3Тема: Разкриване на несигурност от нула до нула

Решение:Ако вместо променлива поставим стойността 6, към която тя се стреми, тогава получаваме несигурност на формата тогава

ЗАДАЧА N 4

Решение:защото и

ЗАДАЧА № 5Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

Решение:защото и тогава има несигурност на формата.За нейното разкриване е необходимо всеки член на числителя и знаменателя да се раздели на. Тогава, знаейки, че получаваме:

САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА 20

ЗАДАЧА № 1Тема: Разкриване на несигурност от нула до нула

ЗАДАЧА № 2Тема: Разкриване на несигурност от нула до нула

ЗАДАЧА N 3Тема: Разкриване на несигурност от нула до нула

ЗАДАЧА N 4Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

ЗАДАЧА № 5Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"Ограничение на функцията се равнява...

ЗАДАЧА N 6Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

Тази несигурност се „сервира“ втора прекрасна граница, а във втората част на този урок разгледахме много подробно стандартни примери за решения, които се срещат на практика в повечето случаи. Сега картината с изложители ще бъде завършена, освен това последните задачи на урока ще бъдат посветени на границите-"трикове", в които изглежда, че е необходимо да се приложи втората прекрасна граница, въпреки че това изобщо не е случай.

Недостатъкът на двете работещи формули на втората забележителна граница е, че аргументът трябва да клони към "плюс безкрайност" или към нула. Но какво ще стане, ако аргументът клони към различно число?

На помощ идва универсалната формула (която всъщност е следствие от второто забележително ограничение):

Несигурността може да се елиминира по формулата:

Някъде, както вече обясних какво означават квадратните скоби. Нищо особено, скобите са си просто скоби. Обикновено те се използват за ясно подчертаване на математическа нотация.

Нека подчертаем основните точки на формулата:

1) Става въпрос за само относно сигурността и нищо друго.

2) Аргументът "x" може да клони към произволна стойност(и не само до нула или), по-специално до "минус безкрайност" или до всекикрайно число.

Използвайки тази формула, можете да решите всички примери от урока Забележителни граници, които спадат към 2-ра забележителна граница. Например, нека изчислим лимита:

В такъв случай , и по формулата :

Вярно е, че не ви съветвам да правите това, по традиция все още използвате „обичайния“ дизайн на решението, ако може да се приложи. въпреки това използването на формулата е много удобно за проверка"класически" примери до 2-ра прекрасна граница.

Всичко това е добре, нали, но сега в кадъра има още любопитни кадри:

Пример 18

Изчислете лимита

На първата стъпка, няма да се уморя да повтарям, заместваме стойността на "x" в израза под знака за граница. Ами ако изобщо няма несигурност? Случва се! Но не и в този момент. Заменяйки "тройката", стигаме до извода, че има несигурност

Използваме формулата

За да не носите буквата „e“ със себе си и да не се свивате, индикаторът по-удобно е да се изчисли отделно:

В такъв случай:

По този начин:

От гледна точка на изчислителната техника всичко е рутинно: първо привеждаме първия член към общ знаменател, след това изваждаме константите и извършваме редукции, освобождавайки се от несигурността 0:0.

Като резултат:

Обещаният подарък с разлика от логаритми и несигурност:

Пример 19

Изчислете лимита

Първо пълното решение, след това коментарите:

(1)-(2) В първите две стъпки използваме формулите . При сложни производниние „разбиваме“ логаритми, но тук, напротив, те трябва да бъдат „събрани“.

(3) Преместете иконата на границата под логаритъма. Това може да се направи, защото дадения логаритъм непрекъснатодо минус безкрайност. Освен това ограничението се отнася до "пълнежа" на логаритъма.

(4)-(5) Стандартната техника, обсъдена в основния урок за прекрасни граници, трансформираме несигурността във формата .

(6) Използваме формулата .

(7) Експоненциалната и логаритмичната функции са взаимно обратни функции, така че и "e", и логаритъмът могат да бъдат премахнати. Действително, според свойството на логаритъма: . Добавяме минуса преди дробта към знаменателя:

(8) Без коментар =)

Разглежданият тип лимит не е толкова рядък, вкъщи намерих 30-40 примера.

Пример 20

Изчислете лимита

Това е пример за „направи си сам“. В допълнение към използването на формулата, човек може да представи границата във формуляра и чрез заместване редуцирайте решението на случая .

В заключение, нека разгледаме "фалшивите" ограничения.

Да се ​​върнем към несигурността. Тази несигурност не винагиможе да се сведе до несигурност и да се използва втората забележителна граница или формулата-следствие. Трансформацията е възможна, ако числител и знаменател на основната степен - еквивалентенбезкрайни функции. Например: .

Нека се отклоним от индикатора и изчислим границата на основата:

В лимита получени мерна единица, така че числителят и знаменателят не само от същия ред на растеж, но и еквивалентен. На урока Забележителни граници. Примери за решениясведохме този пример до несигурност без никакви проблеми и получихме отговора.

Има много подобни ограничения:
и т.н.

Частите от тези примери са обединени от горната характеристика: . В други случаи с несигурност 2-ро прекрасно ограничение не е приложимо.

Пример 21

Намерете граници

Колкото и да се опитвате, не можете да превърнете несигурността в несигурност.

Ето числителите и знаменателите на основите същия ред на растеж, но не еквивалентен: .

Така втората забележителна граница и особено формулата НЕ СЕ ПРИЛАГА.

! Забележка: не бъркайте с Пример #18, в който числителят и знаменателят на основата не са еквивалентни. Има готова несигурност, но тук говорим за несигурност.

Методът за решаване на границите-"фалшификати" е прост и знаков: имате нужда от числител и знаменател основанияразделете на "x" на най-висока степен (независимо от индикатора):

Ако числителят и знаменателят на основата са от различен ред на растеж, тогава решението е абсолютно същото:

Пример 22

Намерете граници

Това са кратки примери за самостоятелно обучение

Понякога несигурността може изобщо да не съществува:

Такива трикове са особено обичани от съставителите на колекцията Кузнецов. Ето защо е много важно ВИНАГИ да извършвате заместването на "x" в израза под знака за граница на първата стъпка!

Пример 2

Най-висока степен на числителя: 2; най-високата степен на знаменателя: 3.
:

Пример 4

Разделете числителя и знаменателя на :


Забележка : последното действие умножи числителя и знаменателя по за да се освободим от ирационалността в знаменателя.

Пример 6

Разделете числителя и знаменателя на :

Пример 8

Разделете числителя и знаменателя на :

Забележка : срок клонят към нула по-бавно от , Ето защо е "водещата" нула на знаменателя. .

Пример 22


Забележка : безкрайно малка функция клони към нула по-бавно от , така че "по-голямата" нула на знаменателя играе решаваща роля:

Производната на функцията не пада далеч и в случая с правилата на L'Hopital тя попада точно там, където пада оригиналната функция. Това обстоятелство помага за разкриването на несигурности от формата 0/0 или ∞/∞ и някои други несигурности, възникващи при изчислението лимитсъотношение на две безкрайно малки или безкрайно големи функции. Изчислението е значително опростено от това правило (всъщност две правила и бележки към тях):

Както показва формулата по-горе, когато се изчислява границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции, границата на съотношението на две функции може да бъде заменена с границата на съотношението на техните производнии по този начин да получите определен резултат.

Нека да преминем към по-точни формулировки на правилата на L'Hopital.

Правилото на L'Hopital за случай на граница на две безкрайно малки стойности. Нека функциите f(х) и ж(х а. И то в самата точка а апроизводна на функция ж(х) не е равно на нула ( ж"(х аса равни помежду си и равни на нула:

.

Правилото на L'Hôpital за случай на граница на две безкрайно големи количества. Нека функциите f(х) и ж(х) имат производни (т.е. те са диференцируеми) в някаква околност на точката а. И то в самата точка ате могат или не могат да имат производни. При това в околностите на пункта апроизводна на функция ж(х) не е равно на нула ( ж"(х)≠0 ) и границите на тези функции, когато x клони към стойността на функцията в точката аса равни помежду си и равни до безкрайност:

.

Тогава границата на съотношението на тези функции е равна на границата на съотношението на техните производни:

С други думи, за несигурности от формата 0/0 или ∞/∞, границата на съотношението на две функции е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последното съществува (крайно, т.е. равно на a определено число или безкрайно, тоест равно на безкрайност).

Забележки.

1. Правилата на L'Hopital са приложими и когато функциите f(х) и ж(х) не са дефинирани в х = а.

2. Ако при изчисляване на границата на отношението на производните на функциите f(х) и ж(х) отново стигаме до несигурност от формата 0/0 или ∞/∞, тогава правилата на L'Hopital трябва да се прилагат многократно (поне два пъти).

3. Правилата на L'Hopital са приложими и когато аргументът на функциите (x) клони към некрайно число аи до безкрайност ( х → ∞).

Несигурностите от други видове също могат да бъдат сведени до несигурности от типа 0/0 и ∞/∞.

Разкриване на несигурности от типа "нула, разделена на нула" и "безкрайност, разделена на безкрайност"

Пример 1

х=2 води до неопределеност на формата 0/0. Следователно, производната на всяка функция и ние получаваме

В числителя се изчислява производната на полинома, а в знаменателя - производна на комплексна логаритмична функция. Преди последния знак за равенство, обичайното лимит, замествайки двойка вместо x.

Пример 2Изчислете границата на отношението на две функции, като използвате правилото на L'Hospital:

Решение. Заместване във функция с дадена стойност х

Пример 3Изчислете границата на отношението на две функции, като използвате правилото на L'Hospital:

Решение. Заместване във функция с дадена стойност х=0 води до неопределеност на формата 0/0. Следователно изчисляваме производните на функциите в числителя и знаменателя и получаваме:

Пример 4Изчисли

Решение. Заместването на стойността на x, равна на плюс безкрайност, в дадена функция води до неопределеност под формата ∞/∞. Затова прилагаме правилото на L'Hopital:

Коментирайте. Нека да преминем към примери, в които правилото на L'Hopital трябва да се приложи два пъти, тоест да се стигне до границата на съотношението на вторите производни, тъй като границата на съотношението на първите производни е несигурност на формата 0/0 или ∞/∞.

Разкриване на несигурности от формата "нула, умножена по безкрайност"

Пример 12.Изчисли

.

Решение. Получаваме

Този пример използва тригонометричната идентичност.

Разкриване на несигурности от типа "нула на степен нула", "безкрайност на степен нула" и "един на степен безкрайност"

Несигурностите на формата или обикновено се редуцират до формата 0/0 или ∞/∞, като се използва логаритъм на функция от формата

За да се изчисли границата на израза, трябва да се използва логаритмичното тъждество, чийто специален случай е свойството на логаритъма .

Като се използва логаритмичната идентичност и свойството за непрекъснатост на функцията (за преминаване отвъд знака на границата), границата трябва да се изчисли, както следва:

Отделно трябва да се намери границата на израза в експонента и да се изгради ддо намерената степен.

Пример 13

Решение. Получаваме

.

.

Пример 14Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital

Решение. Получаваме

Изчислете границата на израза в степента

.

.

Пример 15Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital

В предишната статия говорихме за това как да изчислим правилно границите на елементарни функции. Ако вземем по-сложни функции, тогава ще имаме изрази с неопределена стойност в нашите изчисления. Те се наричат ​​несигурности.

Има следните основни видове несигурност:

1. Разделете 0 на 0 0 0 ;
2. Деление на една безкрайност с друга ∞ ∞ ;

0 повдигнато на степен 0 0 ;

3. безкрайност, повдигната на нулева степен ∞ 0 .

Изброихме всички основни несигурности. Други изрази могат да приемат крайни или безкрайни стойности при различни условия, така че не могат да се считат за несигурност.

Разкриване на несигурности

Несигурността може да бъде разкрита:

1. Чрез опростяване на вида на функцията (използване на формули за съкратено умножение, тригонометрични формули, допълнително умножение чрез спрегнати изрази и последваща редукция и др.);

С прекрасни граници;

С помощта на правилото на L'Hopital;

Чрез замяна на един безкрайно малък израз с неговия еквивалентен израз (като правило това действие се извършва с помощта на таблица с безкрайно малки изрази).

Цялата информация, представена по-горе, може да бъде визуализирана под формата на таблица. От лявата страна показва вида на несигурността, отдясно - подходящ метод за нейното разкриване (намиране на границата). Тази таблица е много удобна за използване при изчисления, свързани с намиране на граници.

Несигурност	Метод за разкриване на несигурност
1. Разделете 0 на 0	Трансформация и последващо опростяване на израза. Ако изразът има формата sin (k x) k x или k x sin (k x), тогава трябва да използвате първата забележителна граница. Ако такова решение не е подходящо, използваме правилото на L'Hopital или таблица с еквивалентни безкрайно малки изрази
2. Деление безкрайност по безкрайност	Трансформация и опростяване на израз или използване на правилото на L'Hospital
3. Умножение на нула по безкрайност или намиране на разликата между две безкрайности	Трансформация до 0 0 или ∞ ∞, последвана от прилагане на правилото на L'Hospital
4. Едно на степен безкрайност	Използване на втората прекрасна граница
5. Повдигане на нула или безкрайност на степен нула	Логаритъм на израз, използващ равенството lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x)

Нека да разгледаме няколко въпроса. Тези примери са доста прости: в тях отговорът се получава веднага след замяната на стойностите и не възниква несигурност.

Пример 1

Изчислете границата lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Решение

Извършваме заместване на стойности и получаваме отговора.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Отговор: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Пример 2

Изчислете границата lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

Решение

Имаме експоненциална степенна функция, в основата на която трябва да заместим x = 0 .

(x 2 + 2, 5) x \u003d 0 \u003d 0 2 + 2, 5 \u003d 2, 5

Така че можем да трансформираме границата в следния израз:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2

Сега нека се справим с експонентата - степенна функция 1 x 2 \u003d x - 2. Нека да разгледаме таблицата с граници за степенни функции с показател по-малък от нула и да получим следното: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Така можем да запишем, че lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

Сега вземаме таблицата с граници на експоненциални функции с бази по-големи от 0 и получаваме:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

Отговор: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .

Пример 3

Изчислете границата lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Решение

Извършваме подмяна на стойности.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

В резултат на това имаме несигурност. Използвайте таблицата по-горе, за да изберете метод на решение. Казва, че трябва да опростите израза.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) (x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) x - 1 = = 1 + 1 1 - 1 = 2 0 = 0

Както виждаме, опростяването доведе до разкриване на несигурност.

Отговор: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Пример 4

Изчислете границата lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Решение

Заменяме стойността и получаваме запис от следната форма.

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Стигнахме до необходимостта да разделим нула на нула, което е несигурност. Нека да разгледаме желания метод на решение в таблицата - това е опростяване и трансформация на израза. Нека извършим допълнително умножение на числителя и знаменателя с израза, спрегнат на знаменателя 12 - x + 6 + x:

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Умножението на знаменателя се извършва, за да можете по-късно да използвате формулата за съкратено умножение (разлика на квадратите) и да извършите редукция.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Както виждаме, в резултат на тези действия успяхме да се освободим от несигурността.

Отговор: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Важно е да се отбележи, че при решаването на такива задачи много често се използва подходът на умножение, затова ви съветваме да запомните как точно се прави това.

Пример 5

Изчислете границата lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Решение

Извършваме замяната.

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

В резултат на това имаме несигурност. Препоръчителният начин за решаване на проблема в този случай е опростяване на израза. Тъй като при стойност x, равна на едно, числителят и знаменателят се превръщат в 0, тогава можем да ги разложим и след това да ги намалим с x - 1, и тогава несигурността ще изчезне.

Извършваме разлагането на числителя на фактори:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2x - 3 = x + 3x - 1

Сега правим същото със знаменателя:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Имаме следния лимит:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

Както виждаме, по време на трансформацията успяхме да се отървем от несигурността.

Отговор: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

След това трябва да разгледаме случаите на граници при безкрайност на степенните изрази. Ако показателите на тези изрази са по-големи от 0, тогава границата в безкрайността също ще бъде безкрайна. В този случай най-голямата степен е от първостепенно значение, а останалите могат да бъдат пренебрегнати.

Например, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .

Ако имаме дроб със степенни изрази в числителя и знаменателя под граничния знак, тогава при x → ∞ имаме несигурност от вида ∞ ∞ . За да се отървем от тази несигурност, трябва да разделим числителя и знаменателя на дробта на x m a x (m , n) . Нека дадем пример за решаване на такъв проблем.

Пример 6

Изчислете границата lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Решение

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Степените на числителя и знаменателя са 7. Разделяме ги на х 7 и получаваме:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

Отговор: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Пример 7

Изчислете границата lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Решение

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Числителят има степен 8 3, а знаменателят 2 . Нека разделим числителя и знаменателя на x 8 3:

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Отговор: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Пример 8

Изчислете границата lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Имаме числител на степен 3 и знаменател на степен 10 3 . Така че трябва да разделим числителя и знаменателя на x 10 3:

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Отговор: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

заключения

В случай на ограничение на връзката има три основни опции:

Ако степента на числителя е равна на степента на знаменателя, тогава границата ще бъде равна на отношението на коефициентите при по-високи степени.

Ако степента на числителя е по-голяма от степента на знаменателя, тогава границата ще бъде равна на безкрайност.

Ако степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя, тогава границата ще бъде нула.

Ще обсъдим други методи за разкриване на несигурности в отделни статии.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Методи за решаване на граници. Несигурности.
Ред на нарастване на функцията. Метод на замяна

Пример 4

Намерете границата

Това е по-опростен пример за решение „направи си сам“. В предложения пример, отново, несигурност (от по-висок порядък на растеж от корена).

Ако "x" клони към "минус безкрайност"

Призракът на "минус безкрайността" отдавна витае в тази статия. Помислете за граници с полиноми, в които . Принципите и методите на решение ще бъдат абсолютно същите като в първата част на урока, с изключение на редица нюанси.

Помислете за 4 чипа, които ще са необходими за решаване на практически задачи:

1) Изчислете границата

Стойността на лимита зависи само от срока, тъй като той има най-висок ред на нарастване. Ако , тогава безкрайно голям модулотрицателно число на ЧЕТНА степен, в случая - в четвъртата, е равно на "плюс безкрайност": . Постоянно ("две") положителен, Ето защо:

2) Изчислете границата

Ето я отново висшата степен дори, Ето защо: . Но има "минус" отпред ( отрицателенконстанта –1), следователно:

3) Изчислете границата

Стойността на лимита зависи само от. Както си спомняте от училище, "минус" "изскача" изпод нечетната степен, така че безкрайно голям модулотрицателно число на НЕЧЕТНА степене равно на "минус безкрайност", в този случай: .
Постоянно ("четири") положителен, означава:

4) Изчислете границата

Първият момък в селото отново има странностепен, при това в пазвата отрицателенконстанта, което означава: Така:
.

Пример 5

Намерете границата

Използвайки горните точки, заключаваме, че тук има несигурност. Числителят и знаменателят са от един и същ ред на нарастване, което означава, че в ограничението ще се получи крайно число. Научаваме отговора, като изхвърлим цялото пържене:

Решението е тривиално:

Пример 6

Намерете границата

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

И сега, може би най-финият от случаите:

Пример 7

Намерете границата

Имайки предвид старшите условия, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят е от по-висок порядък на растеж от знаменателя, така че веднага можем да кажем, че границата е безкрайност. Но каква безкрайност, "плюс" или "минус"? Рецепцията е същата - в числителя и знаменателя ще се отървем от малките неща:

Ние решаваме:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 15

Намерете границата

Това е пример за „направи си сам“. Приблизителна проба за завършване в края на урока.

Още няколко интересни примера по темата за заместване на променливи:

Пример 16

Намерете границата

Заместването на едно в границата води до несигурност. Замяната на променливата вече предполага, но първо преобразуваме тангенса с помощта на формулата. Наистина, защо се нуждаем от допирателна?

Отбележете, че следователно. Ако не е напълно ясно, погледнете синусовите стойности в тригонометрична таблица. Така незабавно се отърваваме от фактора , освен това получаваме по-познатата несигурност 0:0. Би било хубаво, ако нашата граница също клонеше към нула.

Да заменим:

Ако , тогава

Под косинуса имаме "x", което също трябва да бъде изразено чрез "te".
От замяната изразяваме: .

Завършваме решението:

(1) Извършване на замяната

(2) Разгънете скобите под косинуса.

(4) Да организира първата прекрасна граница, изкуствено умножете числителя по и реципрочната на .

Задача за самостоятелно решение:

Пример 17

Намерете границата

Пълно решение и отговор в края на урока.

Това бяха прости задачи в техния клас; на практика всичко е по-лошо и в допълнение към формули за намаляване, човек трябва да използва различни тригонометрични формули, както и други трикове. В статията Комплексни граници анализирах няколко реални примера =)

В навечерието на празника най-накрая ще изясним ситуацията с още една често срещана неизвестност:

Елиминиране на несигурността "едно на степен на безкрайност"

Тази несигурност се „сервира“ втора прекрасна граница, а във втората част на този урок разгледахме много подробно стандартни примери за решения, които се срещат на практика в повечето случаи. Сега картината с изложители ще бъде завършена, освен това последните задачи на урока ще бъдат посветени на границите-"трикове", в които изглежда, че е необходимо да се приложи втората прекрасна граница, въпреки че това изобщо не е случай.

Недостатъкът на двете работещи формули на втората забележителна граница е, че аргументът трябва да клони към "плюс безкрайност" или към нула. Но какво ще стане, ако аргументът клони към различно число?

На помощ идва универсалната формула (която всъщност е следствие от второто забележително ограничение):

Несигурността може да се елиминира по формулата:

Някъде, както вече обясних какво означават квадратните скоби. Нищо особено, скобите са си просто скоби. Обикновено те се използват за ясно подчертаване на математическа нотация.

Нека подчертаем основните точки на формулата:

1) Става въпрос за само за несигурността и нищо друго.

2) Аргументът "x" може да клони към произволна стойност(и не само до нула или), по-специално до "минус безкрайност" или до всекикрайно число.

Използвайки тази формула, можете да решите всички примери от урока Забележителни граници, които спадат към 2-ра забележителна граница. Например, нека изчислим лимита:

В такъв случай , и по формулата :

Вярно е, че не ви съветвам да правите това, по традиция все още използвате „обичайния“ дизайн на решението, ако може да се приложи. въпреки това използването на формулата е много удобно за проверка"класически" примери до 2-ра прекрасна граница.