Решаване на матрици чрез разлагане на ред или колона. Приложение на теоремата на Лаплас за изчисляване на детерминанти от n-ти ред (разгъване на ред или колона). Основни определения и най-прости свойства

Често в университета се натъквате на задачи, свързани с висша математика, при което е необходимо изчисляване на детерминанта на матрица. Между другото детерминантата може да бъде само в квадратни матрици. По-долу ще разгледаме основните дефиниции, какви свойства има детерминантата и как да я изчислим правилно.Също така ще покажем подробно решение с помощта на примери.

Какво представлява детерминантата на матрица: изчисляване на детерминантата с помощта на дефиницията

Матрична детерминанта

Вторият ред е число.

Детерминантата на матрицата се обозначава – (съкратено от латинското наименование на детерминантите), или .

Ако:, тогава се оказва

Нека си припомним още няколко спомагателни определения:

Определение

Подреден набор от числа, който се състои от елементи, се нарича пермутация на ред.

За набор, който съдържа елементи, има факториел (n), който винаги се означава с удивителен знак: . Пермутациите се различават една от друга само по реда, в който се появяват. За да стане по-ясно, нека дадем пример:

Помислете за набор от три елемента (3, 6, 7). Има общо 6 пермутации, тъй като .:

Определение

Инверсия в пермутация на реда е подреден набор от числа (нарича се още биекция), където две от тях образуват вид разстройство. Това е, когато по-голямото число в дадена пермутация е разположено отляво на по-малкото число.

По-горе разгледахме пример с инверсия на пермутация, където имаше числа. И така, нека вземем втория ред, където съдейки по тези числа се оказва, че , a , тъй като вторият елемент е по-голям от третия елемент. Да вземем за сравнение шестия ред, където са разположени числата: . Тук има три двойки: , и , тъй като title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Представено от QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Няма да изучаваме самата инверсия, но пермутациите ще ни бъдат много полезни при по-нататъшното разглеждане на темата.

Определение

Детерминанта на матрица x – число:

е пермутация на числа от 1 до безкрайно число и е броят на инверсиите в пермутацията. По този начин детерминантата включва термини, които се наричат „термини на детерминантата“.

Можете да изчислите детерминантата на матрица от втори, трети и дори четвърти ред. Също така си струва да се спомене:

Определение

Детерминантата на матрицата е числото, което е равно

За да разберем тази формула, нека я опишем по-подробно. Определящо квадратна матрица x е сума, която съдържа членове и всеки член е произведение на определен брой матрични елементи. Освен това във всеки продукт има елемент от всеки ред и всяка колона на матрицата.

Може да се появи преди определен термин, ако елементите на матрицата в продукта са подредени (по номер на ред) и броят на инверсиите при пермутацията на много номера на колони е нечетен.

По-горе беше споменато, че детерминантата на матрицата се обозначава с или, т.е. детерминантата често се нарича детерминанта.

И така, нека се върнем към формулата:

От формулата става ясно, че детерминантата на матрица от първи ред е елемент от същата матрица.

Изчисляване на детерминанта на матрица от втори ред

Най-често на практика детерминантата на матрицата се решава с помощта на методи от втори, трети и по-рядко четвърти ред. Нека да разгледаме как се изчислява детерминантата на матрица от втори ред:

В матрица от втори ред следва, че факториелът е . Преди да приложите формулата

Необходимо е да се определи какви данни получаваме:

2. пермутации на множества: и ;

3. брой инверсии в пермутацията : и , тъй като title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. съответни произведения: и.

Оказва се:

Въз основа на горното получаваме формула за изчисляване на детерминанта на квадратна матрица от втори ред, т.е. x:

Нека да разгледаме конкретен пример, как да изчислим детерминантата на квадратна матрица от втори ред:

Пример

Задача

Изчислете детерминантата на матрицата x:

Решение

И така, получаваме , , , .

За да решите, трябва да използвате обсъдената по-рано формула:

Заменяме числата от примера и намираме:

Отговор

Детерминант на матрица от втори ред = .

Изчисляване на детерминанта на матрица от трети ред: пример и решение по формулата

Определение

Детерминантата на матрица от трети ред е число, получено от девет дадени числа, подредени в квадратна таблица,

Детерминантата от трети ред се намира по почти същия начин като детерминантата от втори ред. Единствената разлика е във формулата. Следователно, ако разбирате добре формулата, тогава няма да има проблеми с решението.

Помислете за квадратна матрица от трети ред *:

Въз основа на тази матрица разбираме, че съответно факториел = , което означава, че общите пермутации са

За да приложите правилно формулата, трябва да намерите данните:

И така, общите пермутации на набора са:

Броят на инверсиите в пермутацията е , а съответните продукти = ;

Брой инверсии в пермутация title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Инверсии в пермутация title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; инверсии в пермутация title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; инверсии в пермутация title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Сега получаваме:

Така имаме формула за изчисляване на детерминанта на матрица от ред x:

Намиране на матрица от трети ред с помощта на правилото на триъгълника (правило на Сарус)

Както бе споменато по-горе, елементите на детерминанта от 3-ти ред са разположени в три реда и три колони. Ако въведете обозначението общ елемент, тогава първият елемент обозначава номера на реда, а вторият елемент от индексите обозначава номера на колоната. Има главен (елементи) и вторичен (елементи) диагонали на детерминантата. Членовете от дясната страна се наричат членове на детерминантата).

Може да се види, че всеки член на детерминантата е в диаграмата само с един елемент във всеки ред и всяка колона.

Можете да изчислите детерминантата, като използвате правилото на правоъгълника, което е изобразено под формата на диаграма. Членовете на определителя от елементите на главния диагонал са маркирани в червено, както и членовете от елементите, които са във върха на триъгълници, които имат една страна, успоредна на главния диагонал (лява диаграма), взети със знака .

Членове със сини стрелки от елементи на страничния диагонал, както и от елементи, които са във върховете на триъгълници, които имат страни, успоредни на страничния диагонал (дясна диаграма), се вземат със знака.

Използвайки следния пример, ще научим как да изчисляваме детерминантата на квадратна матрица от трети ред.

Пример

Задача

Изчислете детерминантата на матрица от трети ред:

Решение

В този пример:

Ние изчисляваме детерминантата, като използваме формулата или схемата, обсъдена по-горе:

Отговор

Детерминанта на матрица от трети ред =

Основни свойства на детерминанти на матрица от трети ред

Въз основа на предишните определения и формули, нека разгледаме основните свойства на матричната детерминанта.

1. Размерът на детерминантата няма да се промени при замяна на съответните редове и колони (такава замяна се нарича транспониране).

Използвайки пример, ще се уверим, че детерминантата на матрицата е равна на детерминантата на транспонираната матрица:

Нека си припомним формулата за изчисляване на детерминантата:

Транспонирайте матрицата:

Изчисляваме детерминантата на транспонираната матрица:

Проверихме, че детерминантата на транспортираната матрица е равна на оригиналната матрица, което показва правилното решение.

2. Знакът на детерминантата ще се промени на противоположния, ако две от нейните колони или два реда се разменят.

Да разгледаме един пример:

Дадени са две матрици от трети ред (x):

Необходимо е да се покаже, че детерминантите на тези матрици са противоположни.

Решение

Редовете в матрицата и в матрицата са се променили (третият от първия и от първия към третия). Според второто свойство детерминантите на две матрици трябва да се различават по знак. Тоест, едната матрица има положителен знак, а втората е с отрицателен знак. Нека проверим това свойство, като използваме формулата за изчисляване на детерминантата.

Имотът е верен, защото .

3. Една детерминанта е равна на нула, ако има еднакви съответни елементи в два реда (колони). Нека детерминантата има еднакви елементи от първата и втората колона:

Разменяйки еднакви колони, ние, съгласно свойство 2, получаваме нова детерминанта: = . От друга страна, новата детерминанта съвпада с оригиналната, тъй като елементите имат еднакви отговори, т.е. = . От тези равенства получаваме: = .

4. Детерминантата е равна на нула, ако всички елементи на един ред (колона) са нула. Това твърдение произтича от факта, че всеки член на детерминантата съгласно формула (1) има един и само един елемент от всеки ред (колона), който има само нули.

Да разгледаме един пример:

Нека покажем, че детерминантата на матрицата равно на нула:

Нашата матрица има две еднакви колони (втора и трета), следователно, въз основа на това свойство, детерминантата трябва да е равна на нула. Да проверим:

Действително, детерминантата на матрица с две еднакви колони е равна на нула.

5. Общият фактор на елементите на първия ред (колона) може да бъде изваден от детерминантния знак:

6. Ако елементите на един ред или една колона на детерминанта са пропорционални на съответните елементи на втория ред (колона), тогава такава детерминанта е равна на нула.

Действително, следвайки свойство 5, коефициентът на пропорционалност може да бъде изваден от знака на детерминантата и тогава може да се използва свойство 3.

7. Ако всеки от елементите на редовете (колоните) на детерминантата е сумата от два члена, то тази детерминанта може да се представи като сума от съответните детерминанти:

За да проверите, достатъчно е да напишете в разширена форма според (1) детерминантата, която е от лявата страна на равенството, след което да групирате отделно термините, които съдържат елементите и , Всяка от получените групи термини ще бъде, респ. , първата и втората детерминанта от дясната страна на равенството.

8. Стойностите на дефиницията няма да се променят, ако съответните елементи на втория ред (колона) се добавят към елемент от един ред или колона, умножени по същото число:

Това равенство се получава въз основа на свойства 6 и 7.

9. Детерминантата на матрицата, , е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки ред или колона и техните алгебрични допълнения.

Тук означава алгебричното допълнение на матричен елемент. С помощта на това свойство можете да изчислявате не само матрици от трети ред, но и матрици от по-високи редове (x или x). С други думи, това е рекурентна формула, която е необходима, за да се изчисли детерминантата на матрица от всякакъв ред . Запомнете го, тъй като често се използва на практика.

Струва си да се каже, че с помощта на деветото свойство е възможно да се изчислят детерминантите на матрици не само от четвърти ред, но и от по-високи редове. В този случай обаче трябва да извършите много изчислителни операции и да бъдете внимателни, тъй като най-малката грешка в знаците ще доведе до неправилно решение. Най-удобно е да се решават матрици от по-високи порядки по метода на Гаус и ще говорим за това по-късно.

10. Детерминанта на произведението на матрици от един и същи ред равно на произведениетотехните детерминанти.

Да разгледаме един пример:

Пример

Задача

Уверете се, че детерминантата на две матрици и е равна на произведението на техните детерминанти. Дадени са две матрици:

Решение

Първо, намираме произведението на детерминантите на две матрици и .

Сега нека умножим двете матрици и по този начин да изчислим детерминантата:

Отговор

Уверихме се в това

Изчисляване на детерминанта на матрица по метода на Гаус

Матрична детерминантаактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru

При решаване на задачи по висша математика много често възниква необходимостта изчисляване на детерминанта на матрица. Детерминантата на матрица се появява в линейната алгебра, аналитична геометрия, математически анализ и други раздели на висшата математика. По този начин е просто невъзможно да се направи без умението за решаване на детерминанти. Също така за самопроверка можете да изтеглите безплатно калкулатор на детерминанти; той няма да ви научи как да решавате детерминанти сам, но е много удобен, тъй като винаги е полезно да знаете правилния отговор предварително!

Няма да давам строго математическо определение на детерминантата и като цяло ще се опитам да минимизирам математическата терминология; това няма да улесни повечето читатели. Целта на тази статия е да ви научи как да решавате детерминанти от втори, трети и четвърти ред. Целият материал е представен в проста и достъпна форма и дори пълен (празен) чайник във висшата математика, след внимателно изучаване на материала, ще може да реши правилно детерминантите.

На практика най-често можете да намерите детерминанта от втори ред, например: и детерминанта от трети ред, например: .

Детерминанта от четвърти ред Освен това не е антика и ще стигнем до нея в края на урока.

Надявам се всички да разберат следното:Числата вътре в детерминантата живеят сами и за изваждане не може да става дума! Номерата не могат да се разменят!

(По-специално, възможно е да се извършват двойни пренареждания на редове или колони на детерминанта с промяна на неговия знак, но често това не е необходимо - вижте следващия урок Свойства на детерминанта и понижаване на неговия ред)

Следователно, ако е даден детерминант, тогава Не пипаме нищо вътре!

Наименования: Ако е дадена матрица , тогава детерминантата му се обозначава. Също така много често детерминантата се обозначава с латинска буква или гръцка.

1)Какво означава да се реши (намери, разкрие) детерминанта?Да изчислиш детерминантата означава ДА НАМЕРИШ ЧИСЛОТО. Въпросителните знаци в горните примери са напълно обикновени числа.

2) Сега остава да разберем КАК да намеря този номер?За да направите това, трябва да приложите определени правила, формули и алгоритми, които ще бъдат обсъдени сега.

Да започнем с определителя "две" по "две":

ТОВА ТРЯБВА ДА СЕ ЗАПОМНИ, поне докато учите висша математика в университет.

Нека веднага да разгледаме един пример:

Готов. Най-важното е ДА НЕ СЕ ОБРЪКВАТЕ В ЗНАЦИТЕ.

Детерминант на матрица три по триможе да се отвори по 8 начина, 2 от които са прости и 6 са нормални.

Нека започнем с два прости начина

Подобно на детерминантата две по две, детерминантата три по три може да бъде разширена с помощта на формулата:

Формулата е дълга и е лесно да се направи грешка поради невнимание. Как да избегнем досадните грешки? За тази цел е изобретен втори метод за изчисляване на детерминантата, който всъщност съвпада с първия. Нарича се метод на Sarrus или метод на „успоредни ивици“.
Долният ред е, че вдясно от детерминантата задайте първата и втората колона и внимателно начертайте линии с молив:

Множителите, разположени на „червените“ диагонали, са включени във формулата със знак „плюс“.
Множителите, разположени на „сините“ диагонали, са включени във формулата със знак минус:

Пример:

Сравнете двете решения. Лесно е да се види, че това е СЪЩОТО нещо, просто във втория случай факторите на формулата са леко пренаредени и най-важното е, че вероятността да направите грешка е много по-малка.

Сега нека разгледаме шестте нормални начина за изчисляване на детерминантата

Защо нормално? Тъй като в по-голямата част от случаите квалификаторите трябва да бъдат разкрити по този начин.

Както забелязахте, детерминантата три по три има три колони и три реда.
Можете да решите определителя, като го отворите от всеки ред или от която и да е колона.
По този начин има 6 метода, като във всички случаи се използват същия типалгоритъм.

Матрична детерминанта равно на суматапроизведения на елементите на ред (колона) по съответните алгебрични допълнения. Страшен? Всичко е много по-просто, ще използваме ненаучен, но разбираем подход, достъпен дори за човек, далеч от математиката.

В следващия пример ще разширим детерминантата на първия ред.
За това се нуждаем от матрица от знаци: . Лесно се забелязва, че знаците са подредени в шахматен ред.

внимание! Знаковата матрица е мое собствено изобретение. Тази концепция не е научна, не е необходимо да се използва при окончателния дизайн на задачите, тя само ви помага да разберете алгоритъма за изчисляване на детерминантата.

Първо ще дам пълното решение. Взимаме нашата експериментална детерминанта отново и извършваме изчисленията:

И основният въпрос: КАК да получите това от детерминанта „три по три“:
?

И така, детерминантата „три по три“ се свежда до решаването на три малки детерминанти, или както още се наричат, МИНОРОВ. Препоръчвам да запомните термина, особено след като е запомнящ се: незначителен - малък.

След като се избере методът на разлагане на детерминантата на първия ред, явно всичко се върти около нея:

Елементите обикновено се разглеждат отляво надясно (или отгоре надолу, ако е избрана колона)

Хайде, първо се занимаваме с първия елемент на реда, тоест с един:

1) От матрицата на знаците изписваме съответния знак:

2) След това пишем самия елемент:

3) МИСЛЕНО задраскайте реда и колоната, в които се появява първият елемент:

Останалите четири числа образуват детерминантата „две по две“, която се нарича НЕЗНАЧИТЕЛЕНна даден елемент (единица).

Нека да преминем към втория елемент на линията.

4) От матрицата на знаците изписваме съответния знак:

5) След това напишете втория елемент:

6) УМСТВЕНО задраскайте реда и колоната, в които се появява вторият елемент:

Е, третият елемент от първия ред. Без оригиналност:

7) От матрицата на знаците изписваме съответния знак:

8) Запишете третия елемент:

9) Мислено задраскайте реда и колоната, които съдържат третия елемент:

Записваме останалите четири числа в малка детерминанта.

Останалите действия не създават никакви затруднения, тъй като вече знаем как да преброим детерминантите две по две. НЕ СЕ БЪРКАЙТЕ В ЗНАЦИТЕ!

По същия начин детерминантата може да бъде разширена върху всеки ред или във всяка колона.Естествено и в шестте случая отговорът е един и същ.

Детерминантата четири по четири може да се изчисли с помощта на същия алгоритъм.
В този случай нашата матрица от знаци ще се увеличи:

В следващия пример разширих детерминантата според четвъртата колона:

Как се случи, опитайте се да разберете сами. Повече информация ще дойде по-късно. Ако някой иска да реши детерминантата докрай, правилният отговор е: 18. За практика е по-добре да реши детерминантата по друга колона или друг ред.

Упражняването, разкриването, правенето на изчисления е много добро и полезно. Но колко време ще отделите за голямата квалификация? Няма ли по-бърз и надежден начин? Предлагам ви да се запознаете с ефективни методиизчисления на детерминанти във втори урок – Свойства на детерминантата. Намаляване на реда на детерминантата.

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!

В общия случай правилото за изчисляване на детерминанти от $n$-ти ред е доста тромаво. За детерминанти от втори и трети ред има рационални начини за изчисляването им.

Изчисления на детерминанти от втори ред

За да изчислите детерминантата на матрица от втори ред, трябва да извадите произведението на елементите на вторичния диагонал от произведението на елементите на главния диагонал:

$$\ляво| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Пример

Упражнение.Изчислете детерминанта от втори ред $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Решение.$\ляво| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Отговор.$\ляво| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Методи за изчисляване на детерминанти от трети ред

Съществуват следните правила за изчисляване на детерминанти от трети ред.

Правило на триъгълника

Схематично това правило може да се изобрази по следния начин:

Продуктът на елементите в първата детерминанта, които са свързани с прави линии, се приема със знак плюс; аналогично за втората детерминанта съответните произведения се вземат със знак минус, т.е.

$$\ляво| \begin(масив)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Пример

Упражнение.Изчислете детерминантата на $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|$ с помощта на метода на триъгълника.

Решение.$\ляво| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Отговор.

Правилото на Сарус

Вдясно от детерминантата добавете първите две колони и вземете продуктите на елементите на главния диагонал и на успоредните му диагонали със знак плюс; и произведенията на елементите на вторичния диагонал и диагоналите, успоредни на него, със знак минус:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Пример

Упражнение.Изчислете детерминантата на $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|$ използвайки правилото на Sarrus.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Отговор.$\ляво| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|=54$

Разширяване на детерминантата по ред или колона

Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите от реда на детерминантата и техните алгебрични допълнения. Обикновено се избира редът/колоната, който съдържа нули. Редът или колоната, по които се извършва разлагането, ще бъдат обозначени със стрелка.

Пример

Упражнение.Разширявайки първия ред, изчислете детерминантата $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Решение.$\ляво| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

Отговор.

Този метод позволява изчисляването на детерминантата да се сведе до изчисляване на детерминанта от по-нисък порядък.

Пример

Упражнение.Изчислете детерминантата на $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Решение.Нека извършим следните трансформации на редовете на детерминанта: от втория ред изваждаме първите четири, а от третия първия ред, умножен по седем, в резултат на това според свойствата на детерминанта получаваме детерминанта равен на дадения.

$$\ляво| \begin(масив)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(масив) \дясно|=\ляво| \begin(масив)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(масив)\right|=$$

$$=\ляво| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ край (масив)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(масив)\right|=0$$

Детерминантата е нула, защото вторият и третият ред са пропорционални.

Отговор.$\ляво| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=0$

За изчисляване на детерминанти от четвърти ред и по-висок се използва или разширение в ред/колона, или редукция до триъгълна форма, или използване на теоремата на Лаплас.

Разлагане на детерминантата на елементи от ред или колона

Пример

Упражнение.Изчислете детерминантата на $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , разлагайки го на елементи от някакъв ред или някаква колона.

Решение.Нека първо извършим елементарни трансформации на редовете на детерминанта, като направим възможно най-много нули в реда или в колоната. За да направите това, първо извадете девет трети от първия ред, пет трети от втория и три трети от четвъртия, получаваме:

$$\ляво| \begin(масив)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\край (масив)\right|=\left| \begin(масив)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ наляво| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Нека разложим получената детерминанта на елементите от първата колона:

$$\ляво| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ край (масив)\right|+0$$

Също така ще разширим получения детерминант от трети ред в елементите на реда и колоната, като преди това сме получили нули, например в първата колона. За да направите това, извадете вторите два реда от първия ред и втория ред от третия:

$$\ляво| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ край (масив)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( масив)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Отговор.$\ляво| \begin(масив)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\край (масив)\right|=0$

Коментирайте

Последната и предпоследната детерминанти не могат да бъдат изчислени, но веднага се заключава, че са равни на нула, тъй като съдържат пропорционални редове.

Намаляване на детерминантата до триъгълна форма

С помощта на елементарни трансформации над редове или колони детерминантата се редуцира до триъгълна форма и тогава стойността му, според свойствата на детерминантата, е равна на произведението на елементите по главния диагонал.

Пример

Упражнение.Изчислете детерминантата $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$, намалявайки го до триъгълна форма.

Решение.Първо правим нули в първата колона под главния диагонал. Всички трансформации ще бъдат по-лесни за изпълнение, ако елементът $a_(11)$ е равен на 1. За да направим това, ще разменим първата и втората колона на детерминантата, което според свойствата на детерминантата ще го предизвика за да промените знака му на противоположния:

$$\Делта=\наляво| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

След това получаваме нули във втората колона на мястото на елементите под главния диагонал. Отново, ако диагоналният елемент е равен на $\pm 1$, тогава изчисленията ще бъдат по-прости. За да направите това, разменете втория и третия ред (и в същото време променете на противоположния знак на детерминантата):

$$\Делта=\наляво| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Нека си припомним теоремата на Лаплас:
Теорема на Лаплас:

Нека k реда (или k колони) са произволно избрани в детерминанта d от ред n, . Тогава сумата от произведенията на всички минори от k-ти ред, съдържащи се в избраните редове и техните алгебрични допълнения, е равна на детерминантата d.

За да се изчислят детерминанти, в общия случай k се приема равно на 1. Тоест, в детерминанта d от ред n произволно се избира ред (или колона). Тогава сумата от произведенията на всички елементи, съдържащи се в избрания ред (или колона) и техните алгебрични допълнения е равна на детерминантата d.

Пример:
Изчислителна детерминанта

Решение:

Нека изберем произволен ред или колона. Поради причина, която ще стане очевидна малко по-късно, ще ограничим избора си или до третия ред, или до четвъртата колона. И да спрем на третия ред.

Нека използваме теоремата на Лаплас.

Първият елемент от избрания ред е 10, той се появява в третия ред и първата колона. Нека изчислим алгебричното допълнение към него, т.е. Нека намерим детерминантата, получена чрез задраскване на колоната и реда, на които стои този елемент (10), и разберем знака.

„плюс, ако сборът от числата на всички редове и колони, в които се намира второстепенното М, е четен, и минус, ако този сбор е нечетен.“
И взехме второстепенното, състоящо се от един единствен елемент 10, който е в първата колона на третия ред.

Така:

Четвъртият член на тази сума е 0, поради което си струва да изберете редове или колони с максимален брой нулеви елементи.

Отговор: -1228

Пример:
Изчислете детерминантата:

Решение:
Нека изберем първата колона, защото... два елемента в него са равни на 0. Нека разгърнем детерминантата по първата колона.

Ние разширяваме всяка от детерминантите от трети ред по първия втори ред

Ние разширяваме всяка от детерминантите от втори ред по първата колона

Отговор: 48
коментар:при решаването на този проблем не са използвани формули за изчисляване на детерминанти от 2-ри и 3-ти ред. Използвано е само разлагане на ред или колона. Което води до намаляване на реда на детерминантите.

Формулиране на проблема

Задачата изисква потребителят да се запознае с основните понятия на числените методи, като детерминанта и обратна матрица, и различни начини за тяхното изчисляване. Този теоретичен доклад първо въвежда основните понятия и дефиниции на прост и достъпен език, въз основа на които се извършват по-нататъшни изследвания. Потребителят може да няма специални познания в областта на числените методи и линейната алгебра, но може лесно да използва резултатите от тази работа. За нагледност е дадена програма за изчисляване на детерминанта на матрица по няколко метода, написана на езика за програмиране C++. Програмата се използва като лабораторен стенд за създаване на илюстрации към доклада. Провежда се и изследване на методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Безполезността на изчисляването на обратната матрица е доказана, така че работата предоставя по-оптимални начини за решаване на уравнения, без да се изчислява. Той обяснява защо има толкова много различни методи за изчисляване на детерминанти и обратни матрици и обсъжда техните недостатъци. Отчитат се и грешките при изчисляване на детерминантата и се оценява постигнатата точност. В допълнение към руските термини, работата използва и техните английски еквиваленти, за да разбере под какви имена да търсите числените процедури в библиотеките и какво означават техните параметри.

Основни определения и най-прости свойства

Определящо

Нека въведем дефиницията на детерминантата на квадратна матрица от произволен ред. Това определение ще бъде рецидивиращ, тоест, за да установите каква е детерминантата на матрицата на подредбата, трябва вече да знаете каква е детерминантата на матрицата на подредбата. Обърнете внимание също, че детерминантата съществува само за квадратни матрици.

Ще обозначим детерминантата на квадратна матрица с или det.

Определение 1. Определящоквадратна матрица извиква се номер на втори ред .

Определящо квадратна матрица от ред , се нарича число

където е детерминантата на матрицата на реда, получена от матрицата чрез изтриване на първия ред и колона с номер.

За по-голяма яснота, нека запишем как можете да изчислите детерминантата на матрица от четвърти ред:

Коментирайте.Действителното изчисляване на детерминантите за матрици над трети ред въз основа на дефиницията се използва в изключителни случаи. Обикновено изчислението се извършва с помощта на други алгоритми, които ще бъдат обсъдени по-късно и които изискват по-малко изчислителна работа.

Коментирайте.В Дефиниция 1 би било по-точно да се каже, че детерминантата е функция, дефинирана върху набор от квадратни матрици от ред и приемащи стойности в набора от числа.

Коментирайте.В литературата вместо понятието „детерминанта“ се използва и понятието „детерминанта“, което има същото значение. От думата „детерминант“ се появява обозначението дет.

Нека разгледаме някои свойства на детерминантите, които ще формулираме под формата на твърдения.

Твърдение 1.При транспониране на матрица детерминантата не се променя, т.е.

Твърдение 2.Детерминантата на произведението на квадратни матрици е равна на произведението на детерминантите на факторите, т.е.

Твърдение 3.Ако два реда в една матрица се разменят, нейният детерминант ще промени знака.

Твърдение 4.Ако една матрица има два еднакви реда, тогава нейният детерминант е нула.

В бъдеще ще трябва да добавяме низове и да умножаваме низ по число. Ще изпълняваме тези действия върху редове (колони) по същия начин, както действията върху матрици на редове (матрици на колони), тоест елемент по елемент. Резултатът ще бъде ред (колона), който по правило не съвпада с редовете на оригиналната матрица. Ако има операции за добавяне на редове (колони) и умножаването им по число, можем да говорим и за линейни комбинации от редове (колони), тоест суми с числови коефициенти.

Твърдение 5.Ако ред от матрица се умножи по число, тогава неговият детерминант ще бъде умножен по това число.

Твърдение 6.Ако една матрица съдържа нулев ред, тогава нейният детерминант е нула.

Твърдение 7.Ако един от редовете на матрицата е равен на друг, умножен по число (редовете са пропорционални), тогава детерминантата на матрицата е равна на нула.

Твърдение 8.Нека i-тият ред в матрицата има формата . Тогава , където матрицата се получава от матрицата чрез замяна на i-тия ред с реда , а матрицата се получава чрез замяна на i-тия ред с реда .

Твърдение 9.Ако добавите друг ред към един от редовете на матрицата, умножен по число, тогава детерминантата на матрицата няма да се промени.

Твърдение 10.Ако един от редовете на матрицата е линейна комбинация от другите й редове, тогава детерминантата на матрицата е равна на нула.

Определение 2. Алгебрично допълнениекъм матричен елемент е число, равно на , където е детерминантата на матрицата, получена от матрицата чрез изтриване на i-тия ред и j-тата колона. Алгебричното допълнение на матричен елемент се означава с .

Пример.Позволявам . Тогава

Коментирайте.Използвайки алгебрични допълнения, дефиницията на 1 детерминанта може да бъде записана по следния начин:

Твърдение 11. Разгъване на детерминантата в произволен низ.

Формулата за детерминанта на матрицата е

Пример.Изчисли .

Решение.Нека използваме разширението по третия ред, това е по-изгодно, тъй като в третия ред две от трите числа са нули. Получаваме

Твърдение 12.За квадратна матрица от ред при , отношението е валидно: .

Твърдение 13.Всички свойства на детерминантата, формулирани за редове (изявления 1 - 11), са валидни и за колони, по-специално декомпозицията на детерминантата в j-тата колона е валидна и равенство при .

Твърдение 14.Детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на елементите на главния й диагонал.

Последица.Детерминантата на матрицата на идентичност е равна на едно, .

Заключение.Свойствата, изброени по-горе, позволяват да се намерят детерминанти на матрици от достатъчно високи порядки с относително малко количество изчисления. Алгоритъмът за изчисление е както следва.

Алгоритъм за създаване на нули в колона.Да предположим, че трябва да изчислим детерминантата на реда. Ако , тогава разменете първия ред и всеки друг ред, в който първият елемент не е нула. В резултат на това детерминантата , ще бъде равна на детерминантата на новата матрица с обратен знак. Ако първият елемент на всеки ред е равен на нула, тогава матрицата има нулева колона и съгласно твърдения 1, 13 нейният детерминант е равен на нула.

И така, ние вярваме, че вече в оригиналната матрица . Оставяме първия ред непроменен. Добавете към втория ред първия ред, умножен по числото. Тогава първият елемент от втория ред ще бъде равен на .

Означаваме останалите елементи от новия втори ред с , . Детерминантата на новата матрица съгласно твърдение 9 е равна на . Умножете първия ред по число и го добавете към третия. Първият елемент от новия трети ред ще бъде равен на

Означаваме останалите елементи от новия трети ред с , . Детерминантата на новата матрица съгласно твърдение 9 е равна на .

Ще продължим процеса на получаване на нули вместо първите елементи на линиите. Накрая умножете първия ред по число и го добавете към последния ред. Резултатът е матрица, нека я обозначим , която има формата

и . За да изчислим детерминантата на матрицата, използваме разширение в първата колона

От тогава

От дясната страна е детерминантата на матрицата на реда. Прилагаме към него същия алгоритъм и изчисляването на детерминантата на матрицата ще се сведе до изчисляване на детерминантата на матрицата на реда. Повтаряме процеса, докато достигнем детерминанта от втори ред, която се изчислява по дефиниция.

Ако матрицата няма специфични свойства, тогава не е възможно значително да се намали количеството на изчисленията в сравнение с предложения алгоритъм. Друг добър аспект на този алгоритъм е, че е лесно да се използва за създаване на компютърна програма за изчисляване на детерминанти на матрици от големи поръчки. Стандартните програми за изчисляване на детерминанти използват този алгоритъм с незначителни промени, свързани с минимизиране на влиянието на грешки при закръгляване и грешки при въвеждане на данни при компютърни изчисления.

Пример.Изчисляване на детерминанта на матрица .

Решение.Оставяме първия ред непроменен. Към втория ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. Към третия ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. Към четвъртия ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. В резултат на това получаваме

Използвайки същия алгоритъм, изчисляваме детерминантата на матрицата от ред 3, разположена вдясно. Оставяме първия ред непроменен, добавяме първия ред, умножен по числото, към втория ред :

Към третия ред добавяме първия, умножен по числото :

В резултат на това получаваме

Отговор. .

Коментирайте.Въпреки че при изчисленията са използвани дроби, резултатът се оказва цяло число. Наистина, използвайки свойствата на детерминантите и факта, че оригиналните числа са цели числа, операциите с дроби могат да бъдат избегнати. Но в инженерната практика числата изключително рядко са цели числа. Следователно, като правило, елементите на детерминантата ще бъдат десетични дроби и е неуместно да се използват каквито и да било трикове за опростяване на изчисленията.

обратна матрица

Определение 3.Матрицата се нарича обратна матрицаза квадратна матрица, ако .

От дефиницията следва, че обратната матрица ще бъде квадратна матрица от същия ред като матрицата (в противен случай един от продуктите или няма да бъде дефиниран).

обратна матрицаза матрица се означава с . Следователно, ако съществува, тогава .

От определението за обратна матрица следва, че матрицата е обратна на матрицата, т.е. Можем да кажем за матриците, че те са обратни една на друга или взаимно обратни.

Ако детерминантата на матрица е нула, тогава нейната обратна не съществува.

Тъй като за намиране на обратната матрица е важно дали детерминантата на матрицата е равна на нула или не, въвеждаме следните определения.

Определение 4.Нека наречем квадратната матрица изродениили специална матрица, ако неизродениили неособена матрица, Ако .

Изявление.Ако обратната матрица съществува, тогава тя е уникална.

Изявление.Ако квадратната матрица е неособена, тогава нейната обратна съществува и (1) където са алгебрични допълнения към елементите.

Теорема.Обратна матрица за квадратна матрица съществува тогава и само ако матрицата е неособена, обратната матрица е уникална и формула (1) е валидна.

Коментирайте.Особено внимание трябва да се обърне на местата, заети от алгебрични добавки във формулата на обратната матрица: първият индекс показва числото колона, а второто е числото линии, в който трябва да напишете изчисленото алгебрично събиране.

Пример. .

Решение.Намиране на определителя

Тъй като , тогава матрицата е неизродена и нейната обратна съществува. Намиране на алгебрични допълнения:

Съставяме обратната матрица, като поставяме намерените алгебрични добавки така, че първият индекс да съответства на колоната, а вторият на реда: (2)

Получената матрица (2) служи като отговор на проблема.

Коментирайте.В предишния пример би било по-точно да напишете отговора така:
(3)

Нотацията (2) обаче е по-компактна и е по-удобно да се извършват допълнителни изчисления с нея, ако е необходимо. Следователно записването на отговора във формата (2) е за предпочитане, ако елементите на матрицата са цели числа. И обратното, ако матричните елементи са десетични знаци, тогава е по-добре да напишете обратната матрица без фактор отпред.

Коментирайте.Когато намирате обратната матрица, трябва да извършите доста изчисления и правилото за подреждане на алгебрични добавки в крайната матрица е необичайно. Следователно има голяма вероятност за грешка. За да избегнете грешки, трябва да проверите: изчислете произведението на оригиналната матрица и крайната матрица в един или друг ред. Ако резултатът е единична матрица, тогава обратната матрица е намерена правилно. В противен случай трябва да потърсите грешка.

Пример.Намерете обратното на матрица .

Решение. - съществува.

Отговор: .

Заключение.Намирането на обратната матрица с помощта на формула (1) изисква твърде много изчисления. За матрици от четвърти ред и по-висок това е неприемливо. Действителният алгоритъм за намиране на обратната матрица ще бъде даден по-късно.