Модулът е едно от онези неща, за които сякаш всички са чували, но в действителност никой не разбира. Затова днес ще има голям урок, посветен на решаването на уравнения с модули.
Ще кажа веднага: урокът няма да е труден. И като цяло модулите са относително проста тема. „Да, разбира се, не е сложно! Поразява ме!“ - ще кажат много студенти, но всички тези мозъчни счупвания се случват поради факта, че повечето хора нямат знания в главите си, а някакви глупости. И целта на този урок е да превърне глупостите в знания. :)
Малко теория
И така, да вървим. Да започнем с най-важното: какво е модул? Нека ви напомня, че модулът на едно число е просто същото число, но взето без знака минус. Това е например $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \надясно|=$129,5.
Толкова ли е просто? Да, просто. Тогава каква е абсолютната стойност на положително число? Тук е още по-просто: модулът на положително число е равен на самото това число: $\left| 5 \right|=5$; $\ляво| 129,5 \right|=$129,5 и т.н.
Оказва се любопитно нещо: различни номера могат да имат един и същ модул. Например: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\ляво| -129,5 \дясно|=\ляво| 129,5\вдясно|=$129,5. Лесно е да се види какви са тези числа, чиито модули са еднакви: тези числа са противоположни. По този начин отбелязваме за себе си, че модулите на противоположните числа са равни:
\[\ляво| -a \дясно|=\ляво| a\right|\]
Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен. Каквото и число да вземем – било то положително или отрицателно – модулът му винаги се оказва положителен (или в краен случай нула). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойностчисла.
Освен това, ако комбинираме дефиницията на модула за положително и отрицателно число, получаваме глобална дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на числото е равен на самото число, ако числото е положително (или нула), или равен на противоположното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:
Има и нулев модул, но винаги е такъв равно на нула. Освен това нулата е единственото число, което няма противоположност.
Така, ако разгледаме функцията $y=\left| x \right|$ и опитайте да начертаете неговата графика, ще получите нещо подобно:
Графика на модула и пример за решаване на уравнението
От тази снимка веднага става ясно, че $\left| -m \дясно|=\ляво| m \right|$ и графиката на модула никога не пада под оста x. Но това не е всичко: червената линия маркира правата $y=a$, която при положително $a$ ни дава два корена едновременно: $((x)_(1))$ и $((x) _(2)) $, но ще говорим за това по-късно. :)
Освен чисто алгебрична дефиниция, има геометрични. Да кажем, че има две точки на числовата ос: $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$. В този случай изразът $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ е просто разстоянието между посочените точки. Или, ако предпочитате, дължината на отсечката, свързваща тези точки:
Модулът е разстоянието между точките на числова ос Това определение също предполага, че модулът винаги е неотрицателен. Но стига дефиниции и теория - да преминем към реални уравнения. :)
Основна формула
Добре, подредихме определението. Но това не го направи по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи точно този модул?
Спокойно, само спокойно. Да започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:
\[\ляво| x\надясно|=3\]
Така че модулът на $x$ е 3. На какво може да бъде равно $x$? Е, съдейки по дефиницията, ние сме доста доволни от $x=3$. Наистина ли:
\[\ляво| 3\надясно|=3\]
Има ли други номера? Cap сякаш намеква, че има. Например $x=-3$ също е $\left| -3 \right|=3$, т.е. изискваното равенство е изпълнено.
Така че може би, ако търсим и мислим, ще намерим повече числа? Но нека си признаем: няма повече числа. Уравнение $\left| x \right|=3$ има само два корена: $x=3$ и $x=-3$.
Сега нека усложним малко задачата. Нека функцията $f\left(x \right)$ виси под знака за модул вместо променливата $x$ и поставете произволно число $a$ на мястото на тройката отдясно. Получаваме уравнението:
\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\]
И така, как можем да разрешим това? Нека ви напомня: $f\left(x \right)$ е произволна функция, $a$ е произволно число. Тези. Каквото и да било! Например:
\[\ляво| 2x+1 \надясно|=5\]
\[\ляво| 10x-5 \right|=-65\]
Нека обърнем внимание на второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Всичко е правилно: защото изисква модулът да е равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.
Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има два варианта: или има положителен израз под знака за модул и след това $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ или този израз все още е отрицателен и след това $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:
\[\ляво| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]
И изведнъж се оказва, че подмодулният израз $2x+1$ наистина е положителен - той е равен на числото 5. Т.е. можем безопасно да решим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:
Тези, които са особено недоверчиви, могат да опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че под модула наистина има положително число.
Сега нека да разгледаме случая на отрицателен подмодулен израз:
\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Стрелка надясно 2x+1=-5\]
Опа! Отново всичко е ясно: приехме, че $2x+1 \lt 0$, и в резултат получихме, че $2x+1=-5$ - наистина, този израз е по-малък от нула. Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:
Общо отново получихме два отговора: $x=2$ и $x=3$. Да, количеството изчисления се оказа малко по-голямо, отколкото в много простото уравнение $\left| x \right|=3$, но нищо фундаментално не се е променило. Така че може би има някакъв универсален алгоритъм?
Да, такъв алгоритъм съществува. И сега ще го анализираме.
Отървете се от знака за модул
Нека ни е дадено уравнението $\left| f\left(x \right) \right|=a$ и $a\ge 0$ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от знака за модул, като използвате следното правило:
\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Така нашето уравнение с модул се разделя на две, но без модул. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Да започнем с това
\[\ляво| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Нека разгледаме отделно кога има десет плюс отдясно и отделно кога има минус. Ние имаме:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Дясна стрелка 5x=-14\Дясна стрелка x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\край (подравняване)\]
Това е всичко! Имаме два корена: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Цялото решение отне буквално два реда.
Добре, няма въпрос, нека да разгледаме нещо малко по-сериозно:
\[\ляво| 7-5x\надясно|=13\]
Отново отваряме модула с плюс и минус:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Стрелка надясно -5x=-20\Стрелка надясно x=4. \\\край (подравняване)\]
Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо сложно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова продължаваме напред и започваме с наистина по-сложни задачи.
Случаят на променлива от дясната страна
Сега разгледайте това уравнение:
\[\ляво| 3x-2 \надясно|=2x\]
Това уравнение е фундаментално различно от всички предишни. как? И фактът, че вдясно от знака за равенство е изразът $2x$ - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.
Какво да направите в този случай? Първо, трябва да разберем това веднъж завинаги ако дясната страна на уравнението се окаже отрицателна, тогава уравнението няма да има корени- вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.
И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да действате точно по същия начин, както преди: просто отворете модула отделно със знак плюс и отделно със знак минус.
Така формулираме правило за произволни функции $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :
\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Във връзка с нашето уравнение получаваме:
\[\ляво| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Е, все някак ще се справим с изискването $2x\ge 0$. В крайна сметка можем глупаво да заместим корените, които получаваме от първото уравнение и да проверим дали неравенството е валидно или не.
Така че нека решим самото уравнение:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Стрелка надясно 3x=0\Стрелка надясно x=0. \\\край (подравняване)\]
Е, кой от тези два корена удовлетворява изискването $2x\ge 0$? Да и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $x=(4)/(3)\;$ и $x=0$. Това е решението. :)
Подозирам, че някои от учениците вече започват да скучаят? Е, нека да разгледаме още по-сложно уравнение:
\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]
Въпреки че изглежда зло, всъщност това все още е същото уравнение във формата „модул е равно на функция“:
\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
И се решава по абсолютно същия начин:
\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Ще се занимаваме с неравенството по-късно - то е някак си твърде зло (всъщност е просто, но няма да го решаваме). Засега е по-добре да се справите с получените уравнения. Нека разгледаме първия случай - това е, когато модулът е разширен със знак плюс:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Е, няма смисъл да съберете всичко отляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. И ето какво се случва:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\край (подравняване)\]
Изваждаме общия множител $((x)^(2))$ извън скобите и получаваме много просто уравнение:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Тук се възползвахме от едно важно свойство на произведението, в името на което разложихме оригиналния полином: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.
Сега нека се справим с второто уравнение по абсолютно същия начин, което се получава чрез разширяване на модула със знак минус:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\наляво(-3x+2 \надясно)=0. \\\край (подравняване)\]
Отново същото: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Ние имаме:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Е, имаме три корена: $x=0$, $x=1,5$ и $x=(2)/(3)\;$. Е, кое от този набор ще влезе в окончателния отговор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение под формата на неравенство:
Как да вземем предвид това изискване? Нека просто заместим намерените корени и да проверим дали неравенството е валидно за тези $x$ или не. Ние имаме:
\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Стрелка надясно x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\край (подравняване)\]
Така коренът $x=1,5$ не ни устройва. И в отговор ще има само два корена:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Както можете да видите, дори в този случай нямаше нищо сложно - уравненията с модули винаги се решават с помощта на алгоритъм. Просто трябва да имате добро разбиране на полиномите и неравенствата. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.
Уравнения с два модула
Досега сме изучавали само най-простите уравнения - имаше един модул и нещо друго. Изпратихме това „нещо друго“ в друга част от неравенството, далеч от модула, така че накрая всичко да се сведе до уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или още по-просто $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Но детска градинаприключи - време е да помислим за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения като това:
\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]
Това е уравнение във формата „модул е равен на модул“. Основно важният момент е липсата на други условия и фактори: само един модул отляво, още един модул отдясно - и нищо повече.
Сега някой ще си помисли, че такива уравнения са по-трудни за решаване от това, което сме изучавали досега. Но не: тези уравнения са още по-лесни за решаване. Ето формулата:
\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Всичко! Ние просто приравняваме подмодулни изрази, като поставяме знак плюс или минус пред един от тях. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравности и т.н. Всичко е много просто.
Нека се опитаме да разрешим този проблем:
\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\]
Елементарно Уотсън! Разширяване на модулите:
\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Нека разгледаме всеки случай поотделно:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ляво(2x-7 \дясно)\Дясна стрелка 2x+3=-2x+7. \\\край (подравняване)\]
Първото уравнение няма корени. Защото кога $3=-7$? При какви стойности на $x$? „Какво, по дяволите, е $x$? Накаменен ли си? Там изобщо няма $x$“, казвате вие. И ще бъдеш прав. Получихме равенство, което не зависи от променливата $x$, а в същото време самото равенство е неправилно. Затова няма корени. :)
С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:
Както можете да видите, всичко беше решено буквално в няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейно уравнение. :)
В резултат крайният отговор е: $x=1$.
И как? Труден? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:
\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]
Отново имаме уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Затова незабавно го пренаписваме, разкривайки знака на модула:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Може би сега някой ще попита: „Ей, какви глупости? Защо „плюс-минус“ се появява в израза отдясно, а не вляво?“ Спокойно, сега ще обясня всичко. Наистина, по добър начин трябваше да пренапишем нашето уравнение, както следва:
След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове от едната страна на знака за равенство (тъй като уравнението очевидно ще бъде квадратно и в двата случая) и след това да намерите корените. Но трябва да признаете: когато „плюс-минус“ се появява пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратичен израз), изглежда някак си по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ се появява само преди два термина.
Но нищо не ни пречи да пренапишем оригиналното уравнение, както следва:
\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]
Какво стана? Нищо особено: те просто размениха лявата и дясната страна. Малко нещо, което в крайна сметка ще направи живота ни малко по-лесен. :)
Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\край (подравняване)\]
Първото уравнение има корени $x=3$ и $x=1$. Вторият обикновено е точен квадрат:
\[((x)^(2))-2x+1=((\ляво(x-1 \дясно))^(2))\]
Следователно има само един корен: $x=1$. Но ние вече получихме този корен по-рано. Така само две числа ще влязат в крайния отговор:
\[((x)_(1))=3;\квадрат ((x)_(2))=1.\]
Мисията е завършена! Можете да вземете пай от рафта и да го изядете. Те са 2, твоето е средното. :)
Важна забележка. Наличието на еднакви корени за различни вариантиразширяването на модула означава, че оригиналните полиноми са факторизирани и сред тези фактори определено ще има общ. Наистина ли:
\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \ляво| x-1 \дясно|=\ляво| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\край (подравняване)\]
Едно от свойствата на модула: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модулът на продукта равно на произведениетомодули), така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:
\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \надясно|\]
Както виждате, наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, можете да извадите този фактор от скобата:
\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \вдясно|; \\& \ляво| x-1 \дясно|-\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \ляво| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\край (подравняване)\]
Е, сега не забравяйте, че произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]
Така първоначалното уравнение с два модула е сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения могат да бъдат решени буквално в няколко реда. :)
Тази забележка може да изглежда ненужно сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много по-сложни проблеми от тези, които разглеждаме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации способността да се намали общата степен на уравнението чрез изваждане на нещо извън скоби може да бъде много, много полезна. :)
Сега бих искал да разгледам друго уравнение, което на пръв поглед може да изглежда налудничаво. Много студенти се забиват в него, дори и тези, които смятат, че разбират добре модулите.
Това уравнение обаче е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разберете защо, ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.
Така че уравнението е:
\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]
Не, това не е печатна грешка: това е плюс между модулите. И трябва да намерим при колко $x$ сумата от два модула е равна на нула. :)
Какъв е проблемът все пак? Но проблемът е, че всеки модул е положително число или, в краен случай, нула. Какво се случва, ако съберете две положителни числа? Очевидно отново положително число:
\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\край (подравняване)\]
Последният ред може да ви даде идея: единственият път, когато сборът на модулите е нула, е ако всеки модул е нула:
\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]
А кога модулът е равен на нула? Само в един случай - когато подмодулният израз е равен на нула:
\[((x)^(2))+x-2=0\Дясна стрелка \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]
Така имаме три точки, в които първият модул се нулира: 0, 1 и −1; както и две точки, в които вторият модул се нулира на нула: −2 и 1. Трябва обаче и двата модула да бъдат нулирани едновременно, така че сред намерените числа трябва да изберем тези, които са включени в двата комплекта. Очевидно има само едно такова число: $x=1$ - това ще бъде окончателният отговор.
Метод на разцепване
Е, вече покрихме куп проблеми и научихме много техники. Мислите ли, че това е всичко? Но не! Сега ще разгледаме крайната техника - и в същото време най-важната. Ще говорим за разделяне на уравнения с модул. За какво изобщо ще говорим? Нека се върнем малко назад и да разгледаме едно просто уравнение. Например това:
\[\ляво| 3x-5 \надясно|=5-3x\]
По принцип ние вече знаем как да решим такова уравнение, защото то е стандартна конструкция от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но нека се опитаме да погледнем това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, разгледайте израза под знака за модул. Нека ви напомня, че модулът на всяко число може да бъде равен на самото число или може да бъде противоположен на това число:
\[\ляво| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като числото под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положително или отрицателно.
Но какво ще стане, ако първоначално изисквате това число да е положително? Например изискваме $3x-5 \gt 0$ - в този случай гарантирано ще получим положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от същия модул:
Така нашето уравнение ще се превърне в линейно, което лесно може да бъде решено:
Вярно е, че всички тези мисли имат смисъл само при условие $3x-5 \gt 0$ - ние сами въведохме това изискване, за да разкрием недвусмислено модула. Следователно, нека заместим намереното $x=\frac(5)(3)$ в това условие и да проверим:
Оказва се, че за посочената стойност на $x$ нашето изискване не е изпълнено, т.к изразът се оказа равен на нула и трябва да е строго по-голям от нула. Тъжно. :(
Но няма страшно! В края на краищата има още една опция $3x-5 \lt 0$. Освен това: има и случай $3x-5=0$ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. И така, разгледайте случая $3x-5 \lt 0$:
Очевидно модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: и отляво, и отдясно в оригиналното уравнение ще стърчи един и същ израз:
Чудя се при колко $x$ изразът $5-3x$ ще бъде равен на израза $5-3x$? Дори капитан Очевидност би се задавил със слюнка от подобни уравнения, но знаем: това уравнение е тъждество, т.е. вярно е за всяка стойност на променливата!
Това означава, че всеки $x$ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:
С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:
И накрая, остава още един случай за разглеждане: $3x-5=0$. Тук всичко е просто: под модула ще има нула, а модулът на нула също е равен на нула (това следва директно от определението):
Но тогава първоначалното уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ще бъде пренаписано както следва:
Вече получихме този корен по-горе, когато разгледахме случая $3x-5 \gt 0$. Освен това този корен е решение на уравнението $3x-5=0$ - това е ограничението, което ние сами въведохме, за да нулираме модула. :)
Така, освен с интервала, ще се задоволим и с числото, лежащо в самия край на този интервал:
Комбиниране на корени в уравнения по модул Общ окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не е много обичайно да видите такива глупости в отговора на доста просто (по същество линейно) уравнение с модул, Е, свикнете с това: трудността на модула е, че отговорите в такива уравнения могат да се окажат напълно непредвидими.
Нещо друго е много по-важно: току-що анализирахме универсален алгоритъм за решаване на уравнение с модул! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:
- Приравнете всеки модул в уравнението на нула. Получаваме няколко уравнения;
- Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата ос. В резултат на това правата линия ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които всички модули се разкриват уникално;
- Решете оригиналното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите си.
Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим с корените, получени в стъпка 1? Да кажем, че имаме два корена: $x=1$ и $x=5$. Те ще разделят числовата линия на 3 части:
Разделяне на числовата линия на интервали с помощта на точки И така, какви са интервалите? Ясно е, че те са три:
- Най-ляво: $x \lt 1$ — самата единица не е включена в интервала;
- Централна: $1\le x \lt 5$ - тук единица е включена в интервала, но пет не са включени;
- Най-вдясно: $x\ge 5$ - пет са включени само тук!
Мисля, че вече разбирате модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния.
На пръв поглед подобно влизане може да изглежда неудобно, нелогично и като цяло някаква лудост. Но повярвайте ми: след малко практика ще откриете, че този подход е най-надеждният и не пречи на недвусмисленото отваряне на модулите. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия/десния край на текущия интервал или го „хвърлете“ в следващия.
Това приключва урока. Изтегляне на задачи за независимо решение, практикувайте, сравнявайте с отговорите - и ще се видим в следващия урок, който ще бъде посветен на неравенства с модули. :)
Уравнения с модули, методи за решаване. Част 1.
Преди да се впуснете в директно изучаване на техники за решаване на такива уравнения, е важно да разберете същността на модула и неговото геометрично значение. Именно в разбирането на дефиницията на модула и неговия геометричен смисъл се залагат основните методи за решаване на такива уравнения. Така нареченият метод на интервали при отваряне на модулни скоби е толкова ефективен, че с помощта му е възможно да се реши абсолютно всяко уравнение или неравенство с модули. В тази част ще проучим подробно два стандартни метода: интервален метод и метод на заместване на популацията.
Въпреки това, както ще видим, тези методи винаги са ефективни, но не винаги удобни и могат да доведат до дълги и дори не много удобни изчисления, които естествено изискват повече време за решаване. Следователно е важно да се знаят онези методи, които значително опростяват решаването на определени структури на уравнения. Поставяне на квадрат на двете страни на уравнение, метод за въвеждане на нова променлива, графичен метод, решаване на уравнения, съдържащи модул под знака за модул. Ще разгледаме тези методи в следващата част.
Определяне на модула на число. Геометрично значениемодул.
Първо, нека се запознаем с геометричното значение на модула:
Модул на числата a (|a|)наричаме разстоянието на числовата линия от началото (точка 0) до точката A(a).
Въз основа на това определение, нека да разгледаме някои примери:
|7| - това е разстоянието от 0 до точка 7, разбира се е равно на 7. → | 7 |=7
|-5|- товаразстояние от 0 до точка -5 и е равно на: 5. → |-5| = 5
Всички разбираме, че разстоянието не може да бъде отрицателно! Следователно |x| ≥ 0 винаги!
Нека решим уравнението: |x |=4
Това уравнение може да се прочете така: разстоянието от точка 0 до точка x е 4. Да, оказва се, че от 0 можем да се движим както наляво, така и надясно, което означава да се движим наляво на разстояние равно на 4 ще стигнем до точката: -4, а като се движим надясно ще стигнем до точката: 4. Наистина, |-4 |=4 и |4 |=4.
Следователно отговорът е x=±4.
Ако внимателно проучите предишното уравнение, ще забележите, че: разстоянието вдясно по числовата ос от 0 до точката е равно на самата точка, а разстоянието вляво от 0 до числото е равно на противоположното номер! Разбирайки, че числата отдясно на 0 са положителни, а числата отляво на 0 са отрицателни, формулираме дефиниция на модула на число: модулът (абсолютна стойност) на число х(|x|) е самото число х, ако x ≥0, и число – х, ако x<0.
Тук трябва да намерим набор от точки на числовата права, разстоянието от 0 до която ще бъде по-малко от 3, нека си представим числова права, точка 0 върху нея, отидете наляво и пребройте едно (-1), две (-2) и три (-3), спрете. Следват точките, които се намират по-далеч от 3 или разстоянието, до което от 0 е по-голямо от 3, сега отиваме надясно: едно, две, три, спрете отново. Сега избираме всички наши точки и получаваме интервала x: (-3;3).
Важно е да видите това ясно, ако все още не можете, нарисувайте го на хартия и погледнете така, че тази илюстрация да ви е напълно ясна, не бъдете мързеливи и се опитайте да видите решенията на следните задачи наум :
|x |=11, x=? |x|=-5, x=?
|x |<8, х-? |х| <-6, х-?
|x |>2, x-? |x|> -3, x-?
|π-3|=? |-x²-10|=?
|√5-2|=? |2х-х²-3|=?
|x²+2|=? |x²+4|=0
|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0
Забелязахте ли странните задачи във втората колона? Наистина, разстоянието не може да бъде отрицателно, следователно: |x|=-5- няма решения, разбира се, не може да бъде по-малко от 0, следователно: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 са всички числа.
След като се научите бързо да виждате картини с решения, прочетете нататък.
По същия начин разликата z 1 - z 2 на комплексните числа z 1 и z 2 съответства на разликата на векторите, съответстващи на числата z 1 и z 2. Модулът на две комплексни числа z 1 и z 2, по дефиниция на модула , е дължината на вектора z 1 - z 2. Нека построим вектор , като сбор от два вектора z 2 и (- z 1). Получаваме вектор, равен на вектора. Следователно има дължина на вектора, тоест модулът на разликата на две комплексни числа е разстоянието между точките на комплексната равнина, които съответстват на тези числа.
6. Комплексни числови аргументи. Аргументът на комплексно число z= a + ib е големината на ъгъла между положителната посока на реалната ос и вектора z; ъгълът се счита за положителен, ако броенето се извършва обратно на часовниковата стрелка, и отрицателен, ако броенето се извършва по посока на часовниковата стрелка.
За да посочите факта, че числото j е аргументът на числото z= a+ ib, напишете j=argz или j=arg (a+ib).
За числото z=0 аргументът не е дефиниран. Следователно, във всички следващи аргументи, свързани с концепцията за аргумент, ние ще приемем, че Обърнете внимание, че чрез посочване на модула и аргумента комплексното число се определя еднозначно; числото z=0 е единственото число, което се определя чрез посочване само на неговия модул.
От друга страна, ако е дадено комплексно число, тогава очевидно модулът на това число винаги е уникално дефиниран, за разлика от аргумента, който винаги се определя нееднозначно: ако j е някакъв аргумент на числото z, тогава ъгли j + 2pk също са аргументи на числото z.
От дефиницията на тригонометричните функции следва, че ако j=arg (a+ib), тогава е валидна следната система
Пример 4. Колко решения има системата от уравнения?
а) Да представим в една комплексна равнина числата, чиито модули са равни на 3 и 1
намерете модул 1- аз: .
Обърнете внимание, че няма точка в по-големия кръг
е близо до по-малкия на разстояние равно на ,
от което следва, че системата няма корени.
При изместване с 3 азсамо една точка от по-малката окръжност, която получаваме, върху която попада тази точка
друг кръг.
Тази точка ще бъде решението на системата.
в) Да представим в една комплексна равнина числата, чиито модули са равни на 1.
Обърнете внимание, че когато преместим само две точки с една наляво, ние се озоваваме на една и съща окръжност, което означава, че тези две числа ще бъдат решенията на системата.
7. Алгебрични и тригонометрични форми на комплексни числа. Извиква се запис на комплексно число z във формата a +ib алгебрична формакомплексно число.
Нека разгледаме други форми на писане на комплексни числа. Нека r е модул и j е всеки от аргументите на комплексно число z= a+ ib, т.е. r = ,j=arg (a+ib). Тогава от формула (5) следва, че и, следователно,
Записването на комплексно число във формата се нарича ee тригонометрична форма.
За да преминете от алгебричната форма на комплексно число a+ib към тригонометричната, е достатъчно да намерите неговия модул и един от аргументите.
Пример 5. Какъв набор от точки на комплексната равнина е даден от условието
а) Трябва да конструираме точки, които, когато се изместят надолу с ази надясно с 1 ще бъде научено, че е на равно разстояние от началото, откъде
за да конструираме набор от точки, отговарящи на това условие, трябва:
1) конструирайте набор от точки, еднакво отдалечени от началото на координатите с 2
2) преместете го 1 наляво и на азнагоре
б) Трябва да изградим точки, които ще бъдат разположени по-близо до точката - азотколкото да 2i,Тези точки са посочени на фигурата.
в) Това уравнение е еквивалентно на уравнението
Тоест тези числа ще бъдат премахнати с разстояние
1 надясно. В този случай, ако второто условие е изпълнено, ще се получи ъгълът, показан на фигурата.
Тоест, това ще бъдат точки, отдалечени от началото на координатите с не повече от 1 и в същото време изключвайки числото 0. Като вземем предвид второто и третото условие, получаваме:
|
|
|||
е) За да се построят точки, които отговарят на първото условие, е необходимо да се преместят отстранените точки с разстояние 1,
1 надясно. Освен това, като вземем предвид други условия, получаваме
необходимия набор от точки.
Пример 6. Следните изрази в тригонометрична форма ли са?
Тригонометричната форма на записване на число ще бъде само израз a), тъй като само той отговаря на дефиницията на тригонометричната форма на записване на число (и за всички тригонометрични функции ъглите трябва да са равни, а също и ако изчислите стойността на израза , тогава трябва да е равен).
8. Умножение и деление на комплексни числа в тригонометрична форма. Позволявам
По този начин, модулът и произведението на две комплексни числа е равен на произведението на модулите на множителите, а сумата от аргументите на множителите е аргументът на произведението.
Нека тогава
По този начин, Модулът на частното на две комплексни числа е равен на частното на модулите на делителя и делителя, а разликата между аргументите на делителя и делителя е аргумент на частното.
9. Степенуване и извличане на корен. Формула (6) за произведението на две комплексни числа може да се обобщи за случая на множители. Използвайки метода на математическата индукция, не е трудно да се покаже, че ако са аргументите на числата, съответно, тогава
Оттук, като частен случай, получаваме формула, която дава правилото за повдигане на комплексно число на положителна цяло число:
По този начин, Когато комплексно число се повдига на степен с естествена степен, модулът му се повдига на степен със същата степен и аргументът се умножава по степента.
Формула (8) се нарича формула на Моавър.
Числото се нарича корен на степента на числото w(посочено, ако
Ако w=0, след това за всякакви нуравнението има едно и само едно решение z= 0.
Нека сега си представим zИ wв тригонометрична форма:
Тогава уравнението ще приеме формата
Две комплексни числа са равни тогава и само ако техните модули са равни и аргументите се различават с кратно на 2 стр.следователно
Така всички решения на уравнението са дадени с формулата
Всъщност даването на номера квъв формула (9) цели числа, различни от 0, 1, …, ( н-1), не получаваме други комплексни числа.
Формула (9) се нарича Втората формула на Моавър.
По този начин, ако , тогава има точно нкорени на степен нот номера w: всички те се съдържат във формула (9).
По-специално, ако =2, тогава уравнението има два корена:
това означава, че тези корени са симетрични относно произхода.
Също така от формула (9) не е трудно да се получи, че ако тогава точките, представляващи всички корени на уравнението, са върховете на правилната н-триъгълник, вписан в окръжност с център в z=0 и радиус .
От горното следва, че символът няма ясно значение. Следователно, когато го използвате, трябва ясно да разберете какво означава. Например, когато използвате нотацията, трябва да се внимава да стане ясно дали означава двойка комплексни числа азИ -и, или един, и ако е един, кой.
Пример 7. Запишете в тригонометрична форма:
б) Тъй като, тогава, откъде.
От , тогава къде
в) Тъй като, тогава, откъде.
10. Квадратни уравнения. Квадратните уравнения бяха обсъдени в училищния курс по алгебра.
с реални коефициенти a, b, c.Там беше показано, че ако дискриминантът на уравнение (10) е неотрицателен, тогава решенията на такова уравнение се дават по формулата
Ако , беше казано, че уравнението няма решения.
За да изведем формула (11), използвахме техниката на изолиране на квадрата на тринома и след това разлагане на лявата страна на линейни множители:
откъдето идва формула (11). Очевидно всички тези изчисления остават валидни в случай, когато a, b, cса комплексни числа, а корените на уравнението се намират в набора от комплексни числа.
По този начин в набора от комплексни числа уравнението
винаги разрешими. Ако едно уравнение има един корен;, уравнението има два корена. Във всички случаи формулата е валидна за корените на квадратното уравнение
където се подразбират всички значения на корена.
Пример 8. Решете уравнението
а) Това уравнение е квадратно.
и следователно хИ гзадоволяват системата
и хИ г
забележи това х
Когато получим:
Нека решим уравнението (*): х 4 +15x 2 -16 =0 – квадратно уравнение по отношение на х 2, от къде
Да се върнем към системата:
б) Това уравнение е квадратно.
Използвайки формулата за корените на квадратно уравнение, имаме:
За да определим всички стойности, задаваме
и следователно хИ гзадоволяват системата
и хИ греални числа. Нека решим системата:
забележи това х=0 не е решение на системата.
Когато получим:
Нека решим уравнението (*): х 4 -16x 2 -225=0 – квадратно уравнение спрямо х 2, от къде
Да се върнем към системата:
Пример 9. Решете уравнението
а) Нека , тогава уравнението приема формата:
Откъде, използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме
връщане към z, получаваме
1) . Забележи това. Използвайки втората формула на Moivre, получаваме:
следователно
2) . Забележи това. Използвайки втората формула на Moivre, получаваме:
следователно
б) Нека трансформираме уравнението:
Забележи това . Използвайки втората формула на Moivre, получаваме:
Пример 10. Решете уравнението:
Нека решим уравнението като квадратно по отношение на z 2: D=
Позволявам z=a+ib,тогава , и уравнението има формата
Нека тогава от къде
Нека тогава, което означава, че получаваме, и тогава получаваме това
Терминът (модул) в буквален превод от латински означава „мярка“. Това понятие е въведено в математиката от английския учен Р. Котс. И немският математик К. Вайерщрас въведе знака за модул - символ, който обозначава това понятие при писане.
Във връзка с
За първи път това понятие се изучава по математика в учебната програма за 6 клас на средното училище. Според едно определение модулът е абсолютната стойност на реално число. С други думи, за да разберете модула на реално число, трябва да изхвърлите неговия знак.
Графично абсолютна стойност Аозначен като |а|.
Основната отличителна черта на това понятие е, че то винаги е неотрицателна величина.
Числата, които се различават едно от друго само по знак, се наричат противоположни числа. Ако една стойност е положителна, тогава нейната противоположност е отрицателна, а нула е нейната противоположност.
Геометрично значение
Ако разгледаме концепцията за модул от гледна точка на геометрията, тогава той ще означава разстоянието, което се измерва в единични сегменти от началото на координатите до дадена точка. Това определение напълно разкрива геометричния смисъл на изучавания термин.
Графично това може да се изрази по следния начин: |a| = ОА.
Свойства с абсолютна стойност
По-долу ще разгледаме всички математически свойства на това понятие и начините за записването му под формата на буквални изрази:
Характеристики на решаване на уравнения с модул
Ако говорим за решаване на математически уравнения и неравенства, които съдържат модул, тогава трябва да помним, че за решаването им ще трябва да отворите този знак.
Например, ако знакът на абсолютна стойност съдържа някакъв математически израз, тогава преди отваряне на модула е необходимо да се вземат предвид текущите математически определения.
|A + 5| = A + 5, ако A е по-голямо или равно на нула.
5-А, ако стойността е по-малка от нула.
В някои случаи знакът може да бъде разкрит недвусмислено за всяка стойност на променливата.
Нека да разгледаме друг пример. Нека построим координатна линия, върху която маркираме всички числени стойности, чиято абсолютна стойност ще бъде 5.
Първо трябва да начертаете координатна линия, да маркирате началото на координатите върху нея и да зададете размера на единичния сегмент. Освен това правата линия трябва да има посока. Сега на тази линия е необходимо да приложите маркировки, които ще бъдат равни на размера на единичен сегмент.
По този начин можем да видим, че на тази координатна линия ще има две точки от интерес за нас със стойности 5 и -5.
Модул на числатасамото това число се нарича, ако е неотрицателно, или същото число с обратен знак, ако е отрицателно.
Например, модулът на числото 5 е 5, а модулът на числото –5 също е 5.
Тоест модулът на числото се разбира като абсолютната стойност, абсолютната стойност на това число, без да се взема предвид неговият знак.
Означава се както следва: |5|, | х|, |А| и т.н.
правило:
Обяснение:
|5| = 5
Той се чете така: модулът на числото 5 е 5.
|–5| = –(–5) = 5
Той се чете така: модулът на числото –5 е 5.
|0| = 0
Той се чете така: модулът на нула е нула.
Свойства на модула:
1) Модулът на числото е неотрицателно число: |А| ≥ 0 2) Модулите на противоположните числа са равни: |А| = |–А| 3) Квадратът на модула на числото е равен на квадрата на това число: |А| 2 = 2 4) Модулът на произведението на числата е равен на произведението на модулите на тези числа: |А · b| = |А| · | b| 6) Модулът на частното число е равен на отношението на модулите на тези числа: |А : b| = |А| : |b| 7) Модулът на сумата от числата е по-малък или равен на сумата от техните модули: |А + b| ≤ |А| + |b| 8) Модулът на разликата между числата е по-малък или равен на сумата от техните модули: |А – b| ≤ |А| + |b| 9) Модулът на сбора/разликата на числата е по-голям или равен на модула на разликата на техните модули: |А ± b| ≥ ||А| – |b|| 10) Постоянният положителен множител може да бъде изваден от знака за модул: |м · а| = м · | А|, м >0 11) Степента на число може да бъде извадена от знака за модул: |А k | = | А| k, ако k съществува 12) Ако | А| = |b|, тогава а = ± b |
Геометрично значение на модула.
Модулът на число е разстоянието от нула до това число.
Например, нека отново вземем числото 5. Разстоянието от 0 до 5 е същото като от 0 до –5 (фиг. 1). И когато за нас е важно да знаем само дължината на отсечката, тогава знакът има не само значение, но и смисъл. Това обаче не е съвсем вярно: ние измерваме разстоянието само с положителни числа - или неотрицателни числа. Нека делението на нашата везна е 1 см. Тогава дължината на отсечката от нула до 5 е 5 см, от нула до –5 също е 5 см.
На практика разстоянието често се измерва не само от нулата - референтната точка може да бъде всяко число (фиг. 2). Но това не променя същността. Запис на формата |a – b| изразява разстоянието между точките АИ bна числовата ос.
Пример 1. Решете уравнението | х – 1| = 3.
Решение .
Значението на уравнението е, че разстоянието между точките хи 1 е равно на 3 (фиг. 2). Следователно от точка 1 броим три деления наляво и три деления надясно - и ясно виждаме и двете стойности х:
х 1 = –2, х 2 = 4.
Можем да го изчислим.
│х – 1 = 3
│х – 1 = –3
│х = 3 + 1
│х = –3 + 1
│х = 4
│ х = –2.
Отговор : х 1 = –2; х 2 = 4.
Пример 2. Модул за намиране на израз:
Решение .
Първо, нека разберем дали изразът е положителен или отрицателен. За да направим това, преобразуваме израза така, че да се състои от еднородни числа. Да не търсим корен от 5 - доста е трудно. Нека го направим по-просто: нека повдигнем корена на 3 и 10. След това сравнете големината на числата, които съставляват разликата:
3 = √9. Следователно, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
Виждаме, че първото число е по-малко от второто. Това означава, че изразът е отрицателен, тоест отговорът му е по-малък от нула:
3√5 – 10 < 0.
Но според правилото модулът на отрицателно число е същото число с противоположен знак. Имаме отрицателен израз. Следователно е необходимо да се промени знакът му на противоположния. Обратният израз за 3√5 – 10 е –(3√5 – 10). Нека отворим скобите в него и да получим отговора:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Отговор .
