Формула за площта на успоредник
Площта на успоредник е равна на произведението на неговата страна и височината на тази страна.
Доказателство
Ако успоредникът е правоъгълник, тогава равенството е изпълнено от теоремата за площта на правоъгълник. След това приемаме, че ъглите на успоредника не са прави.
Нека $\angle BAD$ е остър ъгъл в успоредник $ABCD$ и $AD > AB$. В противен случай ще преименуваме върховете. Тогава височината $BH$ от върха $B$ до правата $AD$ се пада върху страната $AD$, тъй като катетът $AH$ е по-къс от хипотенузата $AB$ и $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.
Нека сравним площта на успоредника $ABCD$ и площта на правоъгълника $HBCK$. Площта на успоредник е по-голяма с площ $\триъгълник ABH$, но по-малка с площ $\триъгълник DCK$. Тъй като тези триъгълници са равни, техните площи са равни. Това означава, че площта на успоредник е равна на площта на правоъгълник с дължина на страните и височината на успоредника.
Формула за площта на успоредник с помощта на страни и синус
Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях.
Доказателство
Височината на успоредника $ABCD$, пусната върху страната $AB$, е равна на произведението на отсечката $BC$ и синуса на ъгъла $\angle ABC$. Остава да приложим предишното твърдение.
Формула за площта на успоредник с помощта на диагоналите
Площта на успоредника е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях.
Доказателство
Нека диагоналите на успоредника $ABCD$ се пресичат в точка $O$ под ъгъл $\alpha$. Тогава $AO=OC$ и $BO=OD$ по свойството на успоредник. Синусите на ъглите, които се събират до $180^\circ$, са равни, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Това означава, че синусите на ъглите при пресичане на диагоналите са равни на $\sin \alpha$.
$S_(ABCD)=S_(\триъгълник AOB) + S_(\триъгълник BOC) + S_(\триъгълник COD) + S_(\триъгълник AOD)$
според аксиомата за измерване на площ. Прилагаме формулата за площ на триъгълник $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ за тези триъгълници и ъгли, когато диагоналите се пресичат. Страните на всеки са равни на половината от диагоналите и синусите също са равни. Следователно площите на всичките четири триъгълника са равни на $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Обобщавайки всичко по-горе, получаваме
$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$
При решаване на задачи по тази тема, в допълнение към основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:
- Симетралата на вътрешен ъгъл на успоредник отсича от него равнобедрен триъгълник
- Симетрали вътрешни ъглисъседна на една от страните на взаимно перпендикулярен успоредник
- Симетралите, идващи от противоположните вътрешни ъгли на успоредник, са успоредни една на друга или лежат на една и съща права линия
- Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
- Площта на успоредник е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях
Нека разгледаме проблемите, в които се използват тези свойства.
Задача 1.
Симетралата на ъгъл C на успоредник ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.
Решение.
1. Триъгълник CMD е равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.
2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Периметър ABCD = 20 cm.
Отговор. 20 см.
Задача 2.
В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че този четириъгълник е успоредник.
Решение.
1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.
2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна спрямо правата AD. BE = CF. Следователно правата BC || от н.е. (*)
3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа CD, то височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.
4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна спрямо права CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)
5. От условия (*), (**) следва, че ABCD е успоредник.
Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.
Задача 3.
Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точки M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,
Решение.
1. В триъгълник DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В правоъгълен триъгълник DHC Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Задача 4. Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал. Решение.
1. AO = 2√6. 2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Отговор: 12.
Задача 5. За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите. Решение.
Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ. 1. Нека преброим две различни S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Нека създадем система: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото. Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24. Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24. Отговор: 24.
Задача 6. Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45o. Намерете площта на успоредника. Решение.
1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD. Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имаме система Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта. Отговор: 10. Задача 7. Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал. Решение.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата. Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5. 2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5. 3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD. ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Отговор: 145.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача? blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника. При решаване на задачи по тази тема, в допълнение към основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното: Нека разгледаме проблемите, в които се използват тези свойства. Задача 1. Симетралата на ъгъл C на успоредник ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3. Решение.
1. Триъгълник CMD е равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm. 2. Триъгълник EAM е равнобедрен. 3. AD = AM + MD = 7 cm. 4. Периметър ABCD = 20 cm. Отговор. 20 см.
Задача 2. В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че този четириъгълник е успоредник. Решение.
1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF. 2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна спрямо правата AD. BE = CF. Следователно правата BC || от н.е. (*) 3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа CD, то височините на тези триъгълници са равни. AL = BK. 4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна спрямо права CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**) 5. От условия (*), (**) следва, че ABCD е успоредник. Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.
Задача 3. Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точки M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о, Решение.
1. В триъгълник DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о. 2. В правоъгълен триъгълник DHC Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Задача 4. Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал. Решение.
1. AO = 2√6. 2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Отговор: 12.
Задача 5. За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите. Решение.
Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ. 1. Нека преброим две различни S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Получаваме равенството 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Нека създадем система: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножете второто уравнение на системата по 2 и го добавете към първото. Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24. Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24. Отговор: 24.
Задача 6. Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45o. Намерете площта на успоредника. Решение.
1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD. Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имаме система Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта. Отговор: 10. Задача 7. Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал. Решение.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата. Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5. 2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5. 3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD. ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Отговор: 145.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача? уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника. Теорема 1.Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височината: Теорема 2.Диагоналите на трапеца го разделят на четири триъгълника, два от които са подобни, а другите два имат еднаква площ: Теорема 3.Площта на успоредника е равна на произведението на основата и височината, спусната от дадена основа, или произведението на двете страни и синуса на ъгъла между тях: Теорема 4.В успоредника сборът от квадратите на диагоналите е равен на сбора от квадратите на неговите страни: Теорема 5.Площта на произволен изпъкнал четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях: Теорема 6.Площта на четириъгълник, описан около кръг, е равна на произведението от полупериметъра на този четириъгълник и радиуса на дадения кръг: Теорема 7.Четириъгълник, чиито върхове са средните точки на страните на произволен изпъкнал четириъгълник, е успоредник, чиято площ е равна на половината от площта на оригиналния четириъгълник: Теорема 8.Ако изпъкнал четириъгълник има диагонали, които са взаимно перпендикулярни, тогава сборът от квадратите на противоположните страни на този четириъгълник е равен: AB2 + CD2 = BC2 + AD2. Статията е публикувана с подкрепата на компанията "DKROST". Детски пързалки, къщички, пясъчници и много други - производство и продажба на детски площадки на едро и дребно. Най-ниски цени, отстъпки, кратки срокове за изработка, посещение и консултация на специалист, гаранция за качество. Можете да научите повече за компанията, да разгледате продуктовия каталог, цени и контакти на уебсайта, който се намира на адрес: http://dkrost.ru/. Доказателства на някои теореми Доказателство на теорема 2. Нека ABCD е даден трапец, AD и BC неговите основи, O пресечната точка на диагонали AC и BD на този трапец. Нека докажем, че триъгълниците AOB и COD имат една и съща площ. За да направите това, спуснете перпендикулярите BP и CQ от точки B и C до линията AD. Тогава площта на триъгълника ABD е И площта на триъгълника ACD е Тъй като BP = CQ, тогава S∆ABD = S∆ACD. Но площта на триъгълника AOB е разликата между площите на триъгълниците ABD и AOD, а площта на триъгълника COD е разликата между площите на триъгълниците ACD и AOD. Следователно площите на триъгълниците AOB и COD са равни, както се иска да се докаже. Доказателство на теорема 4. Нека ABCD е успоредник, AB = CD = а, AD = BC = b, Доказателство на теорема 5. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, E е пресечната точка на неговите диагонали, AE = а, BE = b, Q.E.D. Доказателство на теорема 6. Нека ABCD е произволен четириъгълник, описан около окръжност, O е центърът на тази окръжност, OK, OL, OM и ON са перпендикулярите, прекарани от точка O върху правите съответно AB, BC, CD и AD. Ние имаме: където r е радиусът на окръжността, а p е полупериметърът на четириъгълника ABCD. Доказателство на теорема 7. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, K, L, M и N са средите съответно на страните AB, BC, CD и AD. Тъй като KL е средната линия на триъгълник ABC, тогава правата KL е успоредна на правата AC и по същия начин правата MN е успоредна на правата AC и следователно KLMN е успоредник. Да разгледаме триъгълника KBL. Площта му е равна на една четвърт от площта на триъгълника ABC. Площта на триъгълника MDN също е равна на една четвърт от площта на триъгълника ACD. следователно по същия начин, Означава, че откъде следва това Доказателство на теорема 8. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни, нека E е пресечната точка на неговите диагонали, Решения на проблеми Проблем 1. Около окръжността е описан трапец с ъгли при основата α и β. Намерете съотношението на площта на трапеца към площта на кръга. Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD са неговите основи, DK и CM са перпендикулярите, прекарани от точки C и D към правата AB. Необходимото съотношение не зависи от радиуса на окръжността. Следователно ще приемем, че радиусът е 1. Тогава площта на кръга е равна на π, нека намерим площта на трапеца. Тъй като триъгълникът ADK е правоъгълен, тогава По същия начин, от правоъгълния триъгълник BCM намираме, че Тъй като окръжност може да бъде вписана в даден трапец, сумите на противоположните страни са равни: Така че площта на трапеца е и търсеното съотношение е равно на Проблем 2. В изпъкнал четириъгълник ABCD ъгъл A е равен на 90°, а ъгъл C не надвишава 90°. От върховете B и D перпендикуляри BE и DF са пуснати върху диагонал AC. Известно е, че AE = CF. Докажете, че ъгъл C е прав. Доказателство. Тъй като ъгъл А е 90°, откъде получаваме това, което трябваше да бъде доказано. Проблем 3. Периметърът на равнобедрен трапец, описан около окръжност, е равен на p. Намерете радиуса на тази окръжност, ако е известно, че острият ъгъл при основата на трапеца е равен на α. следователно От правоъгълния триъгълник ABH намираме, Отговор: Проблем 4. Даден е трапец ABCD с основи AD и BC. Диагоналите AC и BD се пресичат в точка O, а правите AB и CD се пресичат в точка K. Правата KO пресича страните BC и AD съответно в точки M и N, а ъгъл BAD е 30°. Известно е, че в трапеца ABMN и NMCD може да се впише окръжност. Намерете отношението на повърхнините на триъгълника BKC и трапеца ABCD. Решение. Както е известно, за произволен трапец, права линия, свързваща точката на пресичане на диагоналите и точката на пресичане на разширенията на страничните страни, разделя всяка от основите наполовина. Така че BM = MC и AN = ND. Освен това, тъй като окръжност може да бъде вписана в трапеца ABMN и NMCD, тогава Трябва да изчислим съотношението: Тук използвахме факта, че площите на триъгълниците AKD и BKC се отнасят като квадратите на страните KN и KM, тоест като x2. Отговор: Задача 5.В изпъкнал четириъгълник ABCD точките E, F, H, G са среди съответно на страните AB, BC, CD, DA, а O е пресечната точка на отсечките EH и FG. Известно е, че EH = а, FG = b, Намерете дължините на диагоналите на четириъгълника. Решение. Известно е, че ако свържете средните точки на страните на произволен четириъгълник последователно, ще получите успоредник. В нашия случай EFHG е успоредник и O е пресечната точка на неговите диагонали. Тогава Нека приложим косинусовата теорема към триъгълника FOH: Тъй като FH е средната линия на триъгълник BCD, тогава По подобен начин, прилагайки косинусовата теорема към триъгълника EFO, получаваме това Отговор: Задача 6.Страничните страни на трапеца са 3 и 5. Известно е, че в трапец може да се впише окръжност. Средната линия на трапеца го разделя на две части, съотношението на техните площи е равно на Намерете основите на трапеца. Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB = 3 и CD = 5 са неговите странични страни, точките K и M са средите съответно на страните AB и CD. Нека, за определеност, AD> BC, тогава площта на трапеца AKMD ще бъде по-голяма от площта на трапеца KBCM. Тъй като KM е средната линия на трапеца ABCD, трапецът AKMD и KBCM имат равни височини. Тъй като площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината, е вярно следното равенство: Освен това, тъй като окръжност може да бъде вписана в трапеца ABCD, тогава AD + BC = AB + CD = 8. Тогава KM = 4 като средната линия на трапеца ABCD. Нека BC = x, тогава AD = 8 – x. Ние имаме: Отговор: 1 и 7. Проблем 7. Основата AB на трапеца ABCD е два пъти по-дълга от основата CD и два пъти по-дълга от страната AD. Дължината на диагонала AC е а, а дължината на страната BC е равна на b. Намерете площта на трапеца. Решение. Нека E е пресечната точка на продълженията на страничните страни на трапеца и CD = x, тогава AD = x, AB = 2x. Отсечката CD е успоредна на отсечката AB и е половината от нейната дължина, което означава, че CD е средната линия на триъгълник ABE. Следователно CE = BC = b и DE = AD = x, следователно AE = 2x. И така, триъгълникът ABE е равнобедрен (AB = AE) и AC е неговата медиана. Следователно AC е и надморската височина на този триъгълник, което означава Тъй като триъгълник DEC е подобен на триъгълник AEB с коефициент на подобие, тогава Отговор: Проблем 8. Диагоналите на трапеца ABCD се пресичат в точка E. Намерете лицето на триъгълника BCE, ако дължините на основите на трапеца са AB = 30, DC = 24, страни AD = 3 и ъгъл DAB е 60°. Решение. Нека DH е височината на трапеца. От триъгълника ADH намираме това Тъй като височината на триъгълник ABC, паднала от върха C, е равна на височината DH на трапеца, имаме: Отговор: Проблем 9. В трапеца средната линия е 4, а ъглите при една от основите са 40° и 50°. Намерете основите на трапеца, ако отсечката, свързваща средите на основите, е равна на 1. Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD неговите основи (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому Това означава AB = 3 и CD = 5. Отговор: 3 и 5. Проблем 10. Изпъкналият четириъгълник ABCD е описан около окръжност с център в точка O, като AO = OC = 1, BO = OD = 2. Намерете периметъра на четириъгълника ABCD. Решение. Нека K, L, M, N са допирателните точки на окръжността със страни съответно AB, BC, CD, DA и r е радиусът на окръжността. Тъй като допирателната към окръжност е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране, триъгълниците AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO са правоъгълни. Прилагайки Питагоровата теорема към тези триъгълници, получаваме това Следователно AB = BC = CD = DA, тоест ABCD е ромб. Диагоналите на ромба са перпендикулярни един на друг, а точката на тяхното пресичане е центърът на вписаната окръжност. От тук лесно намираме, че страната на ромба е равна и следователно периметърът на ромба е равен на Отговор: Задачи за самостоятелно решаване S-1.Равностранен трапец ABCD е описан около окръжност с радиус r. Нека E и K са точките на допиране на тази окръжност със страните на трапеца. Ъгълът между основата AB и страната AD на трапеца е 60°. Докажете, че EK е успореден на AB и намерете лицето на трапеца ABEK. S-10.В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагоналите AC и BD. Известно е, че Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (раздел успоредник). Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук, пишете за това във форума. За да се укаже действието на извличане на квадратен корен в решенията на проблема, се използва символът √ или sqrt(), като радикалният израз е посочен в скоби. Обяснения за формулите за намиране на площта на успоредник: Решение.
AB 2 = BK 2 + AK 2 Нека удължим горната основа на успоредника BC и спуснем към нея височината AN от долната му основа. AN = BK като страните на правоъгълника ANBK. Нека намерим катета NC на получения правоъгълен триъгълник ANC. Сега нека намерим по-голямата основа BC на успоредника ABCD. Площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината на тази основа. Отговор: 99 см 2 . Решение.
По този начин площта на успоредника е равна на площта на посочените триъгълници. Това е Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката. Където
(
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30°, е равен на половината от хипотенузата).
начини неговата площ.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!
Следователно AE = AM = 4 cm.
(
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30°, е равен на половината от хипотенузата).
начини неговата площ.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Нека приложим косинусовата теорема към триъгълник ABD:
Сега прилагайки косинусовата теорема към триъгълник ACD, получаваме:
Събирайки получените равенства член по член, получаваме това Q.E.D.
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Ние имаме:
AE = а, BE = b, CE = c, DE = d. Нека приложим Питагоровата теорема към триъгълниците ABE и CDE:
AB2 = AE2 + BE2 = а 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
следователно,
AB2 + CD2 = а 2 + b2 + c2 + d2.
Сега прилагайки Питагоровата теорема към триъгълници ADE и BCE, получаваме:
AD2 = AE2 + DE2 = а 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
откъде следва това
AD2 + BC2 = а 2 + b2 + c2 + d2.
Това означава AB2 + CD2 = AD2 + BC2, което трябваше да се докаже.
AB + CD = AD + BC,
от къде го намираме?
Отговор:
и ъгъл C не надвишава 90°, тогава точките E и F лежат на диагонала AC. Без загуба на общост можем да приемем, че AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. За нас е достатъчно да докажем, че α + β + γ + δ = π. защото
Решение. Нека ABCD е даден равнобедрен трапец с основи AD и BC, нека BH е височината на този трапец, изпусната от върха B.
Тъй като в даден трапец може да се впише окръжност, тогава
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
От това следва, че AB = CD, тоест трапецът ABCD е равнобедрен. Необходимото съотношение на площта не зависи от мащаба, така че можем да приемем, че KN = x, KM = 1. От правоъгълните триъгълници AKN и BKM получаваме, че Записвайки отново вече използваната по-горе връзка
BM + AN = AB + MN ⇔
Така че BC = 1 и AD = 7.
AB + CD = 8. Продължете страните DA и CB до пресечната точка в точка E. Да разгледаме триъгълника ABE, в който ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
следователно ∠AEB = 90°. Медианата EM на този триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: EM = AM. Нека EM = x, тогава AM = x, DN = 4 – x. Съгласно условието на задачата MN = 1, следователно,
EN = x + 1. От подобието на триъгълници AEM и DEN имаме:
S-2.В трапец диагоналите са 3 и 5, а сегментът, свързващ средните точки на основите, е 2. Намерете площта на трапеца.
S-3. Може ли да се опише окръжност около четириъгълник ABCD, ако ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
S-4.В трапеца ABCD (AB е основата) стойностите на ъглите DAB, BCD, ADC, ABD и ADB образуват аритметична прогресия (в реда, в който са записани). Намерете разстоянието от върха C до диагонала BD, ако височината на трапеца е h.
S-5.Даден е равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност и около която е описана окръжността. Отношението на височината на трапеца към радиуса на описаната окръжност е Намерете ъглите на трапеца.
S-6.Площта на правоъгълника ABCD е 48, а дължината на диагонала е 10. В равнината, в която се намира правоъгълникът, е избрана точка O, така че OB = OD = 13. Намерете разстоянието от точка O до върха на правоъгълника, който е най-отдалечен от него.
S-7. Периметърът на успоредника ABCD е 26. Ъгълът ABC е 120°. Радиусът на окръжността, вписана в триъгълник BCD, е Намерете дължините на страните на успоредника, ако е известно, че AD > AB.
S-8.Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с център в точка O. Радиусът OA е перпендикулярен на радиуса OB, а радиусът OC е перпендикулярен на радиуса OD. Дължината на перпендикуляра, пуснат от точка C до правата AD, е равна на 9. Дължината на отсечката BC е половината от дължината на отсечката AD. Намерете площта на триъгълника AOB.
S-9.В изпъкнал четириъгълник ABCD върховете A и C са срещуположни, а дължината на страната AB е 3. Ъгъл ABC е равен на ъгъл BCD е равен на Намерете дължината на страната AD, ако знаете, че лицето на четириъгълника е
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, а разстоянието между пресечната точка на ъглополовящата на триъгълник ABD и пресечната точка на ъглополовящата на триъгълник ACD е Намерете дължината на страната BC.
S-11.Нека M е пресечната точка на диагоналите на изпъкнал четириъгълник ABCD, в който страните AB, AD и BC са равни. Намерете ъгъла CMD, ако е известно, че DM = MC,
и ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12.В четириъгълника ABCD знаем, че ∠A = 74°, ∠D = 120°. Намерете ъгъла между ъглополовящите на ъгли B и C.
S-13.В четириъгълника ABCD може да се впише окръжност. Нека K е пресечната точка на неговите диагонали. Известно е, че AB > BC > KC, а периметърът и лицето на триъгълника BKC са съответно 14 и 7. Намерете DC.
S-14.В трапец, описан около окръжност, е известно, че BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Намерете AB, ако лицето на трапеца ABCD е 10.
S-15.В трапеца ABCD с основи AB и CD е известно, че ∠CAB = 2∠DBA. Намерете площта на трапеца.
S-16.В успоредника ABCD знаем, че AC = а, ∠CAB = 60°. Намерете площта на успоредника.
S-17. В четириъгълника ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка K. Точките L и M са среди съответно на страните BC и AD. Отсечката LM съдържа точка K. Четириъгълникът ABCD е такъв, че в него може да се впише окръжност. Намерете радиуса на тази окръжност, ако AB=3 и LK:KM=1:3.
S-18.В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагоналите AC и BD. В този случай ∠BAC =
= ∠BDC, а площта на окръжността, описана около триъгълника BDC, е равна на
а) Намерете радиуса на окръжността, описана около триъгълник ABC.
б) Като знаете, че BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, намерете лицето на четириъгълника ABCD.Теоретичен материал
Задачи за намиране на лицето на успоредник
Задача.
В успоредник по-късата височина и по-късата страна са съответно 9 см и коренът от 82. По-големият диагонал е 15 см. Намерете лицето на успоредника.
Нека означим с BK по-малката височина на успоредника ABCD, спусната от точка B към по-голямата основа AD.
Намерете стойността на катета на правоъгълен триъгълник ABK, образуван от по-малка височина, по-малка страна и част от по-голяма основа. Според теоремата на Питагор:
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12
BC = NC - NB
Тогава нека вземем предвид, че NB = AK като страни на правоъгълника
BC = 12 - 1 = 11
S = ах
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99Задача
В успоредника ABCD перпендикулярът BO е спуснат върху диагонала AC. Намерете лицето на успоредника, ако AO=8, OC=6 и BO=4.
Нека пуснем друг перпендикуляр DK върху диагонала AC.
Съответно триъгълниците AOB и DKC, COB и AKD са равни по двойки. Една от страните е противоположната страна на успоредника, един от ъглите е прав ъгъл, тъй като е перпендикулярен на диагонала, а един от останалите ъгли е вътрешен кръст, лежащ за успоредните страни на успоредника и секущата диагонал.
Паралел = 2S AOB +2S BOC
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Отговор: 56 см 2 .