Методи за решаване на алгебрични уравнения от по-високи степени.
Хабибулина Алфия Якубовна ,
учител по математика от най-висока категория MBOU средно училище №177
град Казан, Почетен учител на Република Татарстан,
кандидат на педагогическите науки.
Определение 1. Алгебрично уравнение от степен n е уравнение от вида P n (x)=0, където P n (x) е полином от степен n, т.е. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.
Определение 2. корен уравнение - числената стойност на променливата x, която, когато се замести в това уравнение, дава истинско равенство.
Определение 3. Реши уравнение означава да се намерят всичките му корени или да се докаже, че няма такива.
аз Метод за разлагане на полином на множители с последващо разделяне.
Уравнението може да бъде разложено на множители и решено чрез метода на разделяне, тоест чрез разделянето му на набор от уравнения с по-малки степени.
Коментирайте: като цяло, когато решавате уравнение чрез метода на разделяне, не трябва да забравяте, че продуктът е равен на нула, ако и само ако поне един от факторите нуладокато други остават значими.
Начини за факторизиране на полином:
1. Изваждане на общия множител извън скоби.
2.
Квадрат тричленможе да се факторизира с помощта на ах формули 2
+ in + c \u003d a (x-x 1
)(x-x 2
),
къде 
0, x 1 и x 2 са корените на квадратен тричлен.
3. Използване формули за съкратено умножение :
a n - в n \u003d (a - c) (a n-1 + Cn- 2 a n-2 c + Cn- 3 a n-3 c + ... + C 1 a в n-2 + в n- 1), n 
Н.
Пълна квадратна селекция. Полиномът може да бъде разложен на множители с помощта на формулата за разликата на квадратите, като преди това е маркиран пълният квадрат на сумата или разликата на изразите.
4. групиране(в комбинация с изваждане на общия множител извън скоби).
5. Използване на следствието от теоремата на Безу.
1) ако уравнението a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0, a 0 0 с цели коефициенти има рационален корен x 0 = 
(където - несъкратима дроб, т 
р 
), тогава p е делителя на свободния член a n и q е делителя на водещия коефициент a 0 .
2) ако x \u003d x 0 е коренът на уравнението P n (x) \u003d 0, тогава P n (x) \u003d 0 е еквивалентен на уравнението
(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0, където P n-1 (x) е полином, който може да бъде намерен чрез разделяне
P n (x) на (x - x 0) "ъгъл" или по метода на неопределените коефициенти.
II . Метод за въвеждане на нова променлива (заместване )
Разгледайте уравнението f(x)=g(x). Това е еквивалентно на уравнението f (x) -g (x) \u003d 0. Нека обозначим разликата f (x) - g (x) \u003d h (p (x)), и 
. Нека въведем промяната t=p(x) (извиква се функцията t=p(x). заместване
). След това получаваме уравнението h (p (x)) \u003d 0 или h (t) \u003d 0, решавайки последното уравнение, намираме t 1, t 2, ... Връщайки се към заместването p (x) \u003d t 1, p (x) \u003d t 2 ,…, намираме стойностите на променливата x.
III Метод на строга монотонност.
Теорема.Ако y = f(x) е строго монотонно върху P, тогава уравнението f(x) = a (a - const) има най-много един корен в множеството P. (Функцията е строго монотонна: или само намаляваща, или само нарастваща)
Коментирайте.Можете да използвате модификация на този метод. Разгледайте уравнението f(x)=g(x). Ако функцията y= f(x) е монотонно намаляваща върху P, а функцията y= g(x) е монотонно намаляваща върху P (или обратно), тогава уравнението f(x)=g(x) има най-много един корен от множеството P.
IV. Метод за сравняване на набор от стойности на двете части на уравнението (метод на оценка)
ТеоремаАко за всяко x от множеството P неравенствата f(x) 
a и g(x) 
a, то уравнението f(x)=g(x) върху множеството Р е еквивалентно на системата 
.
Последица: Ако на снимачната площадка P 
или 
, тогава уравнението f(x)=g(x) няма корени.
Този метод е доста ефективен при решаване на трансцендентни уравнения
V. Методът за изброяване на делители на екстремни коефициенти
Разгледайте уравнението a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0
Теорема.Ако x 0 = 
е корен на алгебрично уравнение от степен n и i са цели коефициенти, тогава p е делител на свободния член a n и q е делител на водещия коефициент a 0 . Когато a 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (делителят на свободния член).
ПоследицаТеорема на Безу: Ако x 0 е коренът на алгебрично уравнение, тогава P n (x) се дели на (x-x 0) без остатък, т.е. P n (x) \u003d (x-x 0)Q n-1 (x) .
VI Метод на неопределените коефициенти.
Тя се основава на следните твърдения:
два полинома са идентично равни тогава и само ако техните коефициенти са равни при еднакви степени на x.
всеки полином от трета степен се разлага на произведение на два фактора: линеен и квадратен.
всеки полином от четвърта степен се разлага на произведение от два полинома
втора специалност.
VII. Схема на Хорнер .
Използвайки таблицата на коефициентите според алгоритъма на Horner, чрез селекция се намират корените на уравнението между делителите на свободния член.
VIII . Производен метод.
Теорема.Ако 2 полинома P(x) и Q(x) имат идентично равни производни, тогава има C-const, така че P(x)=Q(x)+C за 
х 
Р.
Теорема. Ако 
(x) и 
(x) се делят на 
, тогава (x) се дели на 
.
Последица: Ако (x) и (x) се разделят на полинома R(x) , тогава (x) се дели на 
(x) и най-големия общ делител на полиноми (x) и (х) 
има корени, които са само корени на полинома (x) с кратност най-малко 2.
IX . Симетрични, реципрочни уравнения .
Определение. Уравнението a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 се нарича симетричен
, ако 
1. Разгледайте случая, когато n е четно, n =2k. Ако 
, то x = 0 не е корен на уравнението, което дава право да разделим уравнението на 
0 
+
+
+
=0 Нека въведем промяната t= 
и, като вземем предвид лемата, решаваме квадратно уравнениепо отношение на променливата t. Обратното заместване ще даде решение за променливата x.
2. Разгледайте случая, когато n е нечетно, n=2k+1. Тогава 
= -1 е коренът на уравнението. Разделете уравнението на 
и получаваме случай 1. Обратното заместване ви позволява да намерите стойностите на x. Обърнете внимание, че за m=-1 уравнението се нарича Transform алгебрично уравнение P n (x)=0 (където P n (x) е полином от степен n) в уравнение от вида f(x)=g(x). Задайте функциите y=f(x), y=g(x); ние описваме техните свойства и начертаваме графики в една координатна система. Абсцисите на пресечните точки ще бъдат корените на уравнението. Проверката се извършва чрез заместване в оригиналното уравнение.
Обмисли решаване на уравнения с една променлива със степен по-висока от втората.
Степента на уравнението P(x) = 0 е степента на полинома P(x), т.е. най-голямата от степените на неговите членове с различен от нула коефициент.
Така например уравнението (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 има пета степен, тъй като след операциите за отваряне на скоби и привеждане на подобни, получаваме еквивалентно уравнение x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 от пета степен.
Припомнете си правилата, които ще са необходими за решаване на уравнения със степен по-висока от втората.
Изявления за корените на полином и неговите делители:
1. Полином n-тистепен има брой корени, които не надвишават числото n, а корените с кратност m се срещат точно m пъти.
2. Полином с нечетна степен има поне един реален корен.
3. Ако α е коренът на Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), където Q n – 1 (x) е полином от степен (n – 1) .
4.
5. Редуциран полином с цели коефициенти не може да има дробни рационални корени.
6. За полином от трета степен
P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d е възможно едно от двете неща: или се разлага на продукт от три бинома
P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) или се разлага на произведение на бином и квадратен трином P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).
7. Всеки полином от четвърта степен се разширява в произведението на два квадратни тринома.
8. Полином f(x) се дели на полином g(x) без остатък, ако съществува полином q(x), такъв че f(x) = g(x) q(x). За разделяне на полиноми се прилага правилото за "деление с ъгъл".
9. За да може полиномът P(x) да се дели на бинома (x – c), е необходимо и достатъчно числото c да бъде корен на P(x) (следствие от теоремата на Безу).
10. Теорема на Виета: Ако x 1, x 2, ..., x n са реалните корени на полинома
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, тогава са валидни следните равенства:
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,
x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.
Решение на примери
Пример 1
Намерете остатъка след разделянето на P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 на (x - 1/3).
Решение.
Съгласно следствието от теоремата на Безу: "Остатъкът от деленето на полином на бином (x - c) е равен на стойността на полинома в c." Нека намерим P(1/3) = 0. Следователно остатъкът е 0 и числото 1/3 е коренът на полинома.
Отговор: R = 0.
Пример 2
Разделете "ъгъла" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 на (x + 2). Намерете остатъка и непълното частно. 
Решение:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| х + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Отговор: R = 3; частно: 2x 2 - x.
Основни методи за решаване на уравнения от по-високи степени
1. Въвеждане на нова променлива
Методът за въвеждане на нова променлива вече е познат от примера на биквадратни уравнения. Състои се във факта, че за решаване на уравнението f (x) \u003d 0 се въвежда нова променлива (заместване) t \u003d x n или t \u003d g (x) и f (x) се изразява чрез t, получавайки ново уравнение r (t). След това решавайки уравнението r(t), намерете корените:
(t 1, t 2, …, t n). След това се получава набор от n уравнения q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, от които се намират корените на първоначалното уравнение.
Пример 1
(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
Решение:
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.
Заместване (x 2 + x + 1) = t.
t 2 - 3t + 2 = 0.
t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Обратна замяна:
x 2 + x + 1 = 2 или x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 или x 2 + x = 0;
Отговор: От първото уравнение: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, от второто: 0 и -1.
2. Факторизиране по метода на групирането и формулите за съкратено умножение
Основата на този метод също не е нова и се състои в групиране на термини по такъв начин, че всяка група да съдържа общ фактор. За да направите това, понякога трябва да използвате някои изкуствени трикове.
Пример 1
x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.
Решение.
Представете си - 3x 2 = -2x 2 - x 2 и групирайте:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.
(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.
(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.
x 2 - x + 1 \u003d 0 или x 2 + x - 3 \u003d 0.
Отговор: В първото уравнение няма корени, от второто: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.
3. Факторизация по метода на неопределените коефициенти
Същността на метода е, че оригиналният полином се разлага на множители с неизвестни коефициенти. Използвайки свойството, че полиномите са равни, ако техните коефициенти са равни при еднакви степени, се намират неизвестните коефициенти на разширение.
Пример 1
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Решение.
Полином от 3-та степен може да се разложи на произведение на линейни и квадратни множители.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.
Решаване на системата:
(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,
(a = -1,
(b=3,
(c = 2, т.е.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
Корените на уравнението (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 се намират лесно.
Отговор: -1; -2.
4. Методът за избор на корена по най-високия и свободен коефициент
Методът се основава на прилагането на теореми:
1) Всеки корен от цяло число на полином с цели коефициенти е делител на свободния член.
2) За да може несъкратимата дроб p / q (p е цяло число, q е естествено) да бъде корен на уравнение с цели коефициенти, е необходимо числото p да е цяло число делител на свободния член a 0 и q е естествен делител на най-високия коефициент.
Пример 1
6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.
Решение:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Следователно p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
След като намерим един корен, например - 2, ще намерим други корени, като използваме разделяне на ъгъл, метода на неопределените коефициенти или схемата на Хорнер.
Отговор: -2; 1/2; 1/3.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
По принцип уравнение, което има степен по-висока от 4, не може да бъде решено в радикали. Но понякога все още можем да намерим корените на полинома отляво в уравнението от най-висока степен, ако го представим като произведение на полиноми в степен не по-висока от 4. Решението на такива уравнения се основава на разлагането на полинома на фактори, така че ви съветваме да прегледате тази тема, преди да изучавате тази статия.
Най-често трябва да се работи с уравнения от по-високи степени с цели коефициенти. В тези случаи можем да се опитаме да намерим рационални корени и след това да факторизираме полинома, така че след това да можем да го преобразуваме в уравнение от по-ниска степен, което ще бъде лесно за решаване. В рамките на този материал ще разгледаме точно такива примери.
Уравнения от по-висока степен с цели коефициенти
Всички уравнения от формата a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0, можем да редуцираме до уравнение от същата степен, като умножим двете страни по a n n - 1 и променим променливата във формата y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Получените коефициенти също ще бъдат цели числа. Така ще трябва да решим редуцираното уравнение от n-та степен с цели коефициенти, което има формата x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Изчисляваме целите корени на уравнението. Ако уравнението има цели числа, трябва да ги търсите сред делителите на свободния член a 0. Нека ги запишем и ги заместим едно по едно в първоначалното равенство, като проверим резултата. След като сме получили идентичност и сме намерили един от корените на уравнението, можем да го запишем във формата x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Тук x 1 е коренът на уравнението, а P n - 1 (x) е частното от x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0, делено на x - x 1 .
Заместете останалите делители в P n - 1 (x) = 0, като започнете с x 1, тъй като корените могат да се повтарят. След получаване на идентичността, коренът x 2 се счита за намерен и уравнението може да бъде записано като (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. Тук P n - 2 (x ) ще бъде частно от деленето на P n - 1 (x) на x - x 2 .
Продължаваме да сортираме делителите. Намерете всички цели корени и означете техния брой като m. След това оригиналното уравнение може да бъде представено като x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Тук P n - m (x) е полином от n - m -та степен. За изчисление е удобно да се използва схемата на Хорнер.
Ако първоначалното ни уравнение има цели коефициенти, не можем да получим дробни корени.
В резултат на това получихме уравнението P n - m (x) = 0, чиито корени могат да бъдат намерени по всеки удобен начин. Те могат да бъдат ирационални или сложни.
Да покажем конкретен примеркак се прилага такава схема на решение.
Пример 1
Състояние:намерете решението на уравнението x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Решение
Нека започнем с намирането на цели числа.
Имаме пресечна точка, равна на минус три. Има делители, равни на 1, -1, 3 и -3. Нека ги заместим в първоначалното уравнение и да видим кое от тях ще даде идентичности като резултат.
За x, равно на едно, получаваме 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, което означава, че едно ще бъде коренът на това уравнение.
Сега нека разделим полинома x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на (x - 1) в колона:
Така че x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0
Получихме идентичност, което означава, че намерихме друг корен на уравнението, равен на -1.
Разделяме полинома x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (x + 1) в колона:
Разбираме това
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Заместваме следващия делител в уравнението x 2 + x + 3 = 0, започвайки от - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Получените равенства ще бъдат неправилни, което означава, че уравнението вече няма цели корени.
Останалите корени ще бъдат корените на израза x 2 + x + 3 .
D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0
От това следва, че този квадратен тричлен няма реални корени, но има комплексно спрегнати: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Нека уточним, че вместо разделяне на колона може да се използва схемата на Хорнер. Това става така: след като сме определили първия корен на уравнението, попълваме таблицата.
В таблицата с коефициенти веднага можем да видим коефициентите на частното от разделянето на полиноми, което означава x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
След като намерим следващия корен, равен на - 1, получаваме следното:
Отговор: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
Пример 2
Състояние:решете уравнението x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.
Решение
Свободният член има делители 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.
Нека ги проверим по ред:
1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0
Така че x = 2 ще бъде коренът на уравнението. Разделете x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на x - 2, като използвате схемата на Horner:
В резултат на това получаваме x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0
Така че 2 отново ще бъде корен. Разделете x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2:
В резултат на това получаваме (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .
Проверката на останалите делители няма смисъл, тъй като равенството x 2 + 3 x + 3 = 0 е по-бързо и по-удобно за решаване с помощта на дискриминанта.
Нека решим квадратното уравнение:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0
Получаваме комплексно спрегната двойка корени: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Отговор: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Пример 3
Състояние:намерете реалните корени на уравнението x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.
Решение
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Извършваме умножението 2 3 на двете части на уравнението:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0
Заменяме променливите y = 2 x:
2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
В резултат на това получихме стандартно уравнение от 4-та степен, което може да бъде решено по стандартната схема. Нека проверим делителите, разделим и накрая получаваме, че има 2 реални корена y \u003d - 2, y \u003d 3 и два комплексни. Тук няма да представяме цялото решение. По силата на замяната реалните корени на това уравнение ще бъдат x = y 2 = - 2 2 = - 1 и x = y 2 = 3 2 .
Отговор: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Уравненията са били използвани от човека от древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. В математиката уравненията от по-високи степени с цели коефициенти са доста често срещани. За да разрешите този вид уравнение, трябва:
Определете рационалните корени на уравнението;
Извадете полинома, който е от лявата страна на уравнението;
Намерете корените на уравнението.
Да предположим, че ни е дадено уравнение следния вид:
Нека намерим всичките му истински корени. Умножете лявата и дясната страна на уравнението по \
Нека променим променливите \
По този начин получихме намалено уравнение от четвърта степен, което се решава по стандартния алгоритъм: проверяваме делителите, извършваме разделяне и в резултат откриваме, че уравнението има два реални корена \ и два комплексни нечий. Получаваме следния отговор на нашето уравнение от четвърта степен:
Къде мога да реша онлайн уравнение с по-високи степени с програма за решаване?
Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкцията и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.
