Таблица за представяне на производни на основни елементарни функции. Производни на някои елементарни функции. III. Затвърдяване на придобитите знания

ПРОИЗВОДНА

МОУ Среднесантимирская гимназия

Направено от учител по математика

Сингатуллова Г.Ш.


  • Дефиниция на производна.
  • Физическото значение на производната.
  • .
  • Основни правила за диференциране.
  • Производна на сложна функция.
  • Примери за решаване на задачи по темата производна.

Производна дефиниция

Нека на някакъв интервал (a, b) функцията y= f(x).Вземете всяка точка x 0 от този интервал и задайте аргумента x в точката x 0 на произволно нарастване ∆ x, така че точката x 0 + ∆ x да принадлежи на този интервал. Функцията ще бъде увеличена

производнафункции y= f(x)в точката x \u003d x 0 се нарича границата на съотношението на увеличението на функцията ∆y в тази точка към увеличението на аргумента ∆x, когато увеличението на аргумента клони към нула.

Геометричният смисъл на производната

Нека функцията y= f(x)е дефинирана на някакъв интервал (a, b). Тогава допирателната на наклона на секущата MP към графиката на функцията.

Където  е наклонът на функцията на тангенса f(x)в точката (x 0 , f(x 0)).

Ъгълът между кривите може да се определи като ъгълът между допирателните, начертани към тези криви в дадена точка.

Уравнение на допирателна към крива:

Физическото значение на производната 1. Проблемът за определяне на скоростта на движение на материална частица

Нека точка се движи по някаква права линия по закона s= s(t), където s е изминатото разстояние, t е времето и е необходимо да се намери скоростта на точката в момента t 0 .

Към момента t 0 изминатото разстояние е равно на s 0 = s(t 0), а към момента (t 0 + ∆t) - пътят s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t).

Тогава в интервала ∆t средната скорост ще бъде

Колкото по-малко е ∆t, толкова по-добре средната скорост характеризира движението на дадена точка в момента t 0 . Следователно под скоростта на точката в момента t 0 трябва да се разбира границата на средната скорост за интервала от t 0 до t 0 +∆t, когато ∆t⇾0 , т.е.

2. ПРОБЛЕМЪТ ЗА СКОРОСТТА НА ХИМИКАЛА РЕАКЦИИ

Оставете някакво вещество да влезе в химическа реакция. Количеството на това вещество Q се променя по време на реакцията в зависимост от времето t и е функция на времето. Нека количеството вещество се промени с ∆Q през времето ∆t, тогава съотношението ще изрази средната скорост на химичната реакция за времето ∆t и границата на това съотношение

Текуща скорост на химическа реакция

време t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЯНЕ НА СКОРОСТТА НА РАДИОАКТИВНОТО РАЗПАДАНЕ

Ако m е масата на радиоактивното вещество и t е времето, тогава явлението радиоактивен разпад в момент t, при условие че масата на радиоактивното вещество намалява с времето, се характеризира с функцията m = m(t).

Средната скорост на разпадане във времето ∆t се изразява чрез съотношението

и моментната скорост на затихване в момент t

АЛГОРИТЪМ за изчисляване на производната

Производната на функцията y= f(x) може да се намери, както следва:

1. Нека увеличим ∆x≠0 към аргумента x и намерим натрупаната стойност на функцията y+∆y= f(x+∆x).

2. Намерете нарастването на функцията ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Създаваме връзка

4. Намерете границата на това отношение при ∆x⇾0, т.е.

(ако това ограничение съществува).

Основни правила за диференциране

Позволявам u=u(x)и v=v(x) -диференцируеми функции в точката x.

1) (ф v) =u v

2) (uv) =u v+uv

(cu) = cu

3) , ако v 0

Производна на сложна функция

Теорема. Ако функцията е диференцируема в точка x и функцията

е диференцируема в съответната точка, тогава комплексната функция е диференцируема в точката x и:

тези. производната на сложна функция е равна на произведението на производната на функцията по отношение на междинния аргумент по производната на междинния аргумент по отношение на x.

Задача 1.

Задача 2 .

Задача 3 .

Задача 4 .

Задача 5 .

Задача 6 .

Задача 7 .

Задача 8 .

Подобни документи

    Концепцията, границата и непрекъснатостта на функция на две променливи. Частни производни от първи ред, намиране на общия диференциал. Частични производни от по-висок порядък и екстремум на функция на няколко променливи. Необходими условия за съществуване на екстремум.

    тест, добавен на 02.02.2014 г

    Ъгли и тяхното измерване. Съответствие между ъгли и числови редове. Геометричен смисъл на тригонометричните функции. Свойства на тригонометричните функции. Основно тригонометрично тъждество и последствия от него. Универсално тригонометрично заместване.

    урок, добавен на 18.04.2012 г

    Същността на понятието "дериват". Ускорението като втора производна на функция, която описва движението на тялото. Решаване на задачата за определяне на моментната скорост на точка в даден момент от времето. Производното в реакциите, неговата роля и място. Общ изглед на формулата.

    презентация, добавена на 22.12.2013 г

    Ъгли и тяхното измерване, тригонометрични функции на остър ъгъл. Свойства и признаци на тригонометричните функции. Четни и нечетни функции. Обратни тригонометрични функции. Решаване на най-простите тригонометрични уравнения и неравенства с помощта на формули.

    урок, добавен на 30.12.2009 г

    Изпълнение на интерполация чрез полином на Нютон. Уточняване на стойността на корена на даден интервал чрез три итерации и намиране на грешката на изчислението. Приложение на методите на Нютон, Сампсън и Ойлер при решаване на задачи. Изчисляване на производна на функция.

    тест, добавен на 06/02/2011

    Понятието за производна, нейното геометрично и физическо значение, диференциал. Изследване на функции и чертане. Разлагане на множители, опростяване на изрази. Решаване на неравенства, системи уравнения и доказателство за тъждества. Изчисляване на границите на функция.

    тест, добавен на 16.11.2010 г

    Дефиниция на производната на функция, геометричния смисъл на нейното нарастване. Геометричният смисъл на даденото съотношение. Физическото значение на производната на функция в дадена точка. Числото, към което даденото съотношение клони. Анализ на примери за изчисляване на производни.

    презентация, добавена на 18.12.2014 г

    Преглед на таблицата с производни на елементарни функции. Концепцията за междинен аргумент. Правила за диференциране на сложни функции. Метод за изобразяване на траекторията на точка под формата на промяна в нейните проекции по осите. Диференциране на параметрично зададена функция.

    тест, добавен на 08/11/2009

    Исторически преглед на формирането на тригонометрията като наука от древността до наши дни. Въвеждането на концепцията за тригонометрични функции в уроците по алгебра и началото на анализа според учебниците на A.G. Мордкович, М.И. Башмакова. Решения на линейни диференциални уравнения.

    дисертация, добавена на 07/02/2011

    Исторически преглед на формирането на тригонометрията като наука. Различни начини за въвеждане на понятието тригонометрични функции. Анализ на училищните учебници от M.I. Башмакова и А.Г. Мордкович по тази тема. Перспективи за използване на материала за обучение.

Цели на урока:

  • Образователни:запознаване на учениците с формулите за намиране на производни на елементарни функции; да се научат да намират производни на елементарни функции.
  • Разработване:развиват комуникативни умения, познание, способност за вземане на самостоятелно решение, способност за самоконтрол.
  • Образователни:създаване на условия за ситуация на успех, в резултат на поддържане на интерес към предмета, за култивиране на познавателна активност, комуникативни умения, мобилност, комуникативни умения и обща култура.

Оборудване:компютри, интерактивна дъска.

По време на часовете

I. Организационен момент

- Всички бяха изравнени, всички бяха готови за урока. Здравейте момчета. Седнете.

II. Актуализация на знанията

Презентация "Производна на някои елементарни функции"(Приложение 1)

На екрана слайд 1

Вижте слайда, момчета. какво виждаш тук

– Функции.

– степенна, тригонометрична, логаритмична и експоненциална (имената на функциите се появяват при щракване)

– Как могат да се нарекат тези функции с една дума?

– елементарен.

- Добре. Какъв клон на алгебрата изучаваме в момента? (слайд 2)

– « Производна и нейното приложение.

Какво вече знаем?

– Намерете производната на степенна функция, използвайте правилата за диференциране, намерете моментната скорост.

- Вижте слайда и определителя, който още не знаем? (слайд 3)

– Не знаем как да намираме производни на други елементарни функции.

И така, каква ще бъде темата на нашия урок?

– Производни на някои елементарни функции.

- Определете всеки за себе си целта на урока и се опитайте да я формулирате ..

– Запознайте се с формулите за намиране на производни на някои елементарни функции и се научете как да ги прилагате.

Отворете тетрадките си и запишете днешната дата и темата на урока.

- Днес ще работите с листове за самооценка, те са пред вас, на всеки етап от урока, оценявайте работата си и поставете оценката на листа за самооценка ( Приложение 2).

- За да усвоим успешно темата на урока, ще изпълняваме упражнения за повторение. Моля ви да седнете на компютрите си, да отворите програмата MyTest, да получите тест по мрежата и да го завършите.

(Програмата MyTest може да бъде изтеглена от Интернет, разпространява се свободно, удобно е да се използва, защото можете сами да създадете всеки тест, в края на изпълнението ученикът автоматично получава оценка и резултатът от всеки ученик идва компютърът на учителя, децата виждат всички тези резултати)

Тест.

Въведете верния отговор.

Опция 1.

  1. Производна функция s(t) се нарича ...
  2. Производната на сумата е ....
  3. Намерете производната на функция f(x) = 3x 2 - 5x + 6.
  4. Намерете производната на функция f(x) = -x 2 + 3x + 1.
  5. Намерете производната на функция f (x) \u003d (x - 2) 2 x 3.

Вариант 2.

  1. Производна функция s(t) се нарича...
  2. Може да се извади постоянен множител...
  3. Намерете производната на функцията y \u003d 5x 2 + 6x - 7.
  4. Намерете производната на функцията y \u003d x 2 + x + 1.
  5. Намерете производната на функцията y \u003d (x 2 + 2x) (x - 5).

- Добре. Въз основа на резултатите от теста можете да видите и мисля, че осъзнавате, че всъщност все още имаме върху какво да работим.

- И така, момчета, казахме, че днес ще се запознаем с формулите за намиране на производните на някои елементарни функции. Пред вас има работни листове. Приложение 3), предлагам ви да разгледате тези задачи и да се опитате самостоятелно да определите формулите за намиране на производните на някои елементарни функции. Предлагам да работим по двойки.

- И така, момчета, виждам, че вече сте го направили, нека анализираме и правим изводи.

Предложен отговор от деца:

Определяне на производната на функция y = sinx.

Упражнение 1

Намерете производната на функция

Решение:
(x) =cosx+6х+6

Задача 2

Намерете производната на функция

Решение:

Изход: (sinx)' =___________________

– След като анализираме тази задача и нейното решение, можем да кажем следното: вече знаем как да намерим производната на степенна функция и виждаме, че производната на 3x 2 е 6x, производната на 6x е 6, производната на константата е 0, което означава, че можем да заключим, че производната наsinx е равноcosx. По подобен начин можем да направим това заключение, като анализираме Задача 2.

Момчетата анализират с помощта на интерактивната дъска, подчертават необходимата информация на слайда. В процеса на отговаряне учителят прави корекции, ако е необходимо. Подобна работа за всяка задача. (Слайд 5-12).

- Браво момчета. Вие сами сте дефинирали формули за намиране на производни на някои елементарни функции. Запишете всички тези формули в работните си тетрадки, опитайте се да запомните и ако не работи, погледнете слайда (слайд 13).

III. Затвърдяване на придобитите знания

- И така, вече знаем формулите за намиране на производни на някои елементарни функции, нека се научим да ги прилагаме, когато правим упражнения. Предлагам ви да направите това с помощта на DER тестове, сами. Пътят към теста на дъската.

Тема: „15. Правила за изчисляване на деривати.

Учениците изпълняват задачата по следния начин: Правила за пресмятане на производната / Контролна / Задача 6, Задача 7.

В резултат на изпълнение на задачата учениците автоматично получават оценка, могат да се върнат към онези задачи, които са изпълнили неправилно, да разберат каква е грешката и да я коригират.

IV. Отражение

- Поставете си последна оценка на листа за самооценка.

- Имахте ли проблеми при решаването на упражненията?

– да Как да намерим производната на функцияy=tgx? Днес не изучавахме тази формула, но задачата беше такъв пример.

- Добре. Какво е tgx?

- Това отношениеsinx къмcosx.

– Формулата за намиране на производната sinxзная? (Да). производна cosx?И така, у дома изведете формулата за намиране на производната на функция y=tgx.

V. Обобщение на урока

Оценяване на класната работа. Сравнете със самочувствието.

VI. Домашна работа

§ 5, т. 53, 54, инд. упражнение.

И момчета, все още имаме един въпрос с вас. Не забравяйте, че ми зададохте въпрос: Защо изучаваме тази тема? На всички беше ясно, че задачите, в които се използва производната, са в USE тестовете, а къде другаде се използва производната? И ви предложих сами да намерите отговора на този въпрос. Готови ли сте да отговорите днес? Слушайте студентски презентации.

Самонаблюдение на урока

Класът, в който се проведе урокът е 11 клас. Нивото на знания на учениците е средно. Само една студентка Орехова Наталия може да се каже, че е „силна“, момичето ще влезе в Руския национален институт за национална икономика във Факултета по финанси и кредит, останалите са посредствени.

Вид на урока - изучаване на нов материал. В урока използвах различни форми и методи, технологии на дейностния подход. Мотивацията се изграждаше през целия урок. Когато актуализирахме знанията, с помощта на това, което вече знаем и това, което все още не знаем, момчетата сами определиха темата на урока и всеки от тях определи целта на урока за себе си. За преглед и проверка на домашни работи използвах програмата MyTest. Тестовете си направих сама, като в задачите трябваше да се въведе верният отговор.

Когато изучаваха нов материал, момчетата работиха по двойки, чрез анализ и синтез бяха определени формули за намиране на производните на някои елементарни функции.

На етапа на консолидация използвах DER, тест с избор на отговори. Вярвам, че в началния етап на изучаване на тази тема е препоръчително да се използват тестове с избор на отговори, в бъдеще ще се научим как да прилагаме формули за други задачи.

Проведена е рефлексия, в работата си използвам листове за самооценка, поставени са и коментирани оценки за урока. Домашните се задаваха диференцирано, а някои ученици получиха индивидуална задача.

Опитваме се да определим целта на изучаването на тази тема в живота.


Правила за диференциране ТЕОРЕМА 1. Диференциране на сбор, произведение и частно. Ако функциите f и g са диференцируеми в точка x, тогава f + g, f g, f /g са диференцируеми в тази точка (ако g(x) 0) и освен това нека y = f g. 1) (f (x) + g (x)) "= f" (x) + g "(x); 2) (f (x) g (x))" = f "(x) g (x) + f(x)g "(x); Доказателство. Представяме доказателството на свойство 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g \u003d g (x + x) - g (x) g (x + x) \u003d g (x) + g. g "(x) f" (x) 0 при x 0 (Поради неявната диференциална функция.)


ТЕОРЕМА 2. Диференциране на комплексна функция Нека функцията y = f(u) е диференцируема в точката u 0, y 0 = f(u 0), а функцията u = (x) е диференцируема в точката x 0, u 0 = (x 0). Тогава комплексната функция y \u003d f ((x)) е диференцируема в точката x 0 и f "((x 0)) \u003d f" (u 0) "(x 0) или ЗАБЕЛЕЖКА. Правилото за изчисляване на производна на сложна функция се простира до състава на всеки краен брой функции. Например: (f ((g (x))))" = f "((g (x))) "(g (x)) g " (x). Следствие. Ако f (x) е диференцируема в точката x и C \u003d const, тогава (C f (x))" \u003d C f "(x); (f (x) / C) " \u003d f "(x) / C.


Пример 1. y \u003d cosx, x R. (cosx) \u003d (sin (/ 2 - x)) = cos (/ 2 - x) (/ 2 - x) \u003d - sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Използвайки теореми 1 и 2, намираме производните на тригонометричните функции y = ctgx, x + k, k Z.


ТЕОРЕМА 3. Диференциране на обратната функция. Ако y \u003d f (x) е непрекъснат и строго монотонен на сегмента и има производна f "(x 0), тогава функцията, обратна на него x \u003d g (y) е диференцируема в точката y 0 \u003d f (x 0) и g "( y 0) \u003d 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y \u003d f (x) x \u003d g (y) Нека y е такова, че y 0 + y (,). Означаваме x = g(y 0 + y) - g(y 0) Необходимо е да се докаже, че 0 съществува Доказателство Нека f(x) стриктно нараства с .Нека = f(x 0 -) , = f(x 0 +) Тогава на [, ] обратната функция x = g(y) е дефинирана, непрекъсната и строго нарастваща, и f(x 0) (,).y, тогава и x, тъй като x = g(y) е непрекъснат при y 0.


Пример 2. Намерете производните на обратни тригонометрични функции


0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; четири). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Таблица с производни на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; четири). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !}Таблица на производните на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; четири). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) \u003d 1 / cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; четири). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4) 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9) 10) 11) 12) "\u003e 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; четири). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Таблица с производни на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; четири). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Таблица на производните на елементарни функции 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; четири). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}




Производна от n-ти ред ДЕФИНИЦИЯ. Нека f(x) е дефинирано в U (x 0) и има производна f (x) във всяка точка от този интервал. Ако в точката x 0 има производна на f (x), тогава тя се нарича втора производна на функцията f (x) в тази точка и се обозначава По същия начин производната f (n) (x) на всяка ред n \u003d 1, 2, ... Ако в U (x 0) съществува f (n-1) (x) (в този случай производната от нулев ред означава самата функция), тогава n = 1, 2 , 3, .... Функция, която има производни до n-ти ред включително във всяка точка от множеството X, се нарича n пъти диференцируема върху множеството X.


Нека функциите f(x) и g(x) имат производни от n-ти ред в точката x. Тогава функцията Аf(x) + Вg(x), където А и В са константи, също има производна в точката x и (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). При изчисляване на производни от всякакъв ред често се използват следните основни формули. y=x; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... По-специално, ако = m N, тогава y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y \u003d a x lna, y \u003d a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... По-специално, (e x) (n) \u003d e x. y "= ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …


Y = ln(x+a); y (n) \u003d (-1) n-1 (n-1)! (x + a) -n. y = (x + a) -1, y = - (x + a) -2, y = 2 (x + a) -3, y (4) = - 2 3 (x + a) - 4, ... y = sinαx; y (n) = α n sin(αx+n /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2 / 2) , y = α 3 cos(αx + 2 /2) = α 3 sin(αx+3 /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 / 2), y = – α 3 sin(αx+2 /2) = α 3 cos(αx + 3 /2),...


N-та производна на произведението на две функции (формула на Лайбниц), където Тази формула се нарича формула на Лайбниц. Може да се запише във формата където Нека функциите f(x) и g(x) имат производни от n-ти ред в точката x. Чрез индукция можем да докажем, че (f(x) g(x)) (n) = ?
Пример 5. y \u003d (x 2 + 3x + 5) sin x, y (13) \u003d? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Прилагаме формулата на Лайбниц, поставяйки в нея f (x) \u003d sin x, g (x) \u003d (x 2 + 3x + 5). Тогава