Слайд 1
Слайд 2
Историческа информация Интегралното смятане възниква от необходимостта да се създаде общ метод за намиране на площи, обеми и центрове на тежестта. Този метод е използван в ембрионалната си форма от Архимед. Получава системно развитие през 17 век в произведенията на Кавалиери, Торичели, Фермаме и Паскал. През 1659 г. И. Бароу установява връзка между задачата за намиране на площта и задачата за намиране на тангентата. Нютон и Лейб-Ниц през 70-те години на 17 век отклониха тази връзка от споменатите конкретни геометрични проблеми. Така се установява връзка между интегралното и диференциалното смятане. Тази връзка е използвана от Нютон, Лайбниц и техните ученици, за да развият техниката на интегриране. Интеграционните методи достигат до сегашното си състояние главно в трудовете на Л. Ойлер. Работите на М. В. Остроградски-Го и П. Л. Чебишев завършват развитието на тези методи.
Слайд 3
Понятието интеграл. Нека правата MN е дадена от уравнението И трябва да намерим площта F на криволинейния трапец aABb. Нека разделим отсечката ab на n части (равни или неравни) и построим стъпаловидна фигура, показана със щриховка на чертеж 1. Нейната площ, нейната площ е равна на (1) Ако въведем обозначението, тогава формула (1) ще приеме формата (3) Търсената площ е границата на сумата ( 3) за безкрайно голямо n. Лайбниц въвежда обозначението за тази граница (4) В което (курсив s) е началната буква на думата summa (сума), E изразът показва типичната форма на отделните термини. Лайбниц започва да нарича израза интеграл – от латинската дума integralis – интегрален. Дж. Б. Фурие подобри нотацията на Лайбниц, като й даде формата Тук началната и крайната стойност на x са изрично посочени.
Слайд 4
Връзката между интеграция и диференциация. Ще считаме a за константа, а b за променлива. Тогава интегралът ще бъде функция на b. Диференциалът на тази функция е равен на
Слайд 5
Антипроизводна функция. Нека функцията е производна на функцията, T.S. Има диференциал на функция: тогава функцията се нарича антипроизводна на функцията
Слайд 6
Пример за намиране на антипроизводно. Функцията е антипроизводна от T.S. Има диференциал на функция Функцията е първоизводна на функция.
Слайд 7
Неопределен интеграл. Неопределеният интеграл на даден израз се нарича най обща форманеговата примитивна функция. Неопределеният интеграл на израз се обозначава. Изразът се нарича интегранд израз, функцията се нарича интегранд функция, а променливата x се нарича интегрална променлива. Намирането на неопределен интеграл на дадена функция се нарича интегриране.
GBOU SPO "Navashinsky Marine Mechanical College" Неопределен интеграл. Методи за изчисление
Евдокс от Книд c. 408 - прибл. 355 пр.н.е д. Интегралното смятане се появява през древния период на развитие на математическата наука и започва с метода на изчерпване, който е разработен от математиците Древна Гърция, и беше набор от правила, разработени от Евдокс от Книд. С помощта на тези правила бяха изчислени площите и обемите
Лайбниц Готфрид Вилхелм (1646-1716) Символът ∫ е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е модификация на латинската буква S (първата буква на думата summa).
Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) Исак Нютон (1643 - 1727) Нютон и Лайбниц независимо откриват факт, известен като формулата на Нютон-Лайбниц.
Августин Луи Коши (1789 - 1857) Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас (1815 1897) Трудовете на Коши и Вайерщрас обобщават многовековното развитие на интегралното смятане.
Руски математици взеха участие в разработването на интегрално смятане: M.V. Остроградски (1801 – 1862) В.Я. Буняковски (1804 – 1889) П.Л. Чебишев (1821 – 1894)
ИНДЕМИНТЕН ИНТЕГРАЛ Неопределен интеграл на непрекъсната функция f(x) в интервала (a; b) е всяка от нейните първоизводни функции. Където C е произволна константа (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx Задайте съответствието. Намерете обща форма на противопроизводната, която съответства дадена функция. tg x +C
Свойства на интеграла
Свойства на интеграла
Основни методи на интегриране Табличен. 2. Привеждане в таблица чрез трансформиране на подинтегралната функция в сума или разлика. 3. Интегриране с помощта на заместване на променливи (заместване). 4.Интегриране по части.
Намерете първоизводни за функциите: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x ² 6) f(x) = 3-2x
Вярно ли е, че: а) в) б) г)
Пример 1. Интеграл на сумата от изрази равно на суматаинтеграли на тези изрази Постоянният множител може да бъде изваден от знака на интеграла
Пример 2. Проверете решението Запишете решението:
Пример 3. Проверете решението Запишете решението:
Пример 4. Проверете решението Напишете решението: Въведете нова променлива и изразете диференциалите:
Пример 5. Проверете решението Запишете решението:
C самостоятелна работа Нам неопределен интегралПроверете решението Ниво „A“ (при „3“) Ниво „B“ (при „4“) Ниво „C“ (при „5“)
Задача Установете съответствие. Намерете обща форма на първоизводна, която съответства на дадената функция.
Антипроизводно. Задача на диференциалното смятане: дадена функция, намерете нейната производна. Проблем с интегралното смятане: намерете функция, като знаете нейната производна. Функция F(x) се нарича първоизводна за функция f(x) на даден интервал, ако за всеки x от този интервал е вярно равенството F ʹ (x)=f(x).
Теорема. Ако функция F(x) е първоизводна за функция f(x) на определен интервал, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата F(x)+C, където C R. y x 0 Геометрично: F (x)+C е семейна крива, получена от всяка от тях паралелен трансферпо оста на операционния усилвател. C интегрална крива
Пример 2. Намерете всички първообразни функции f(x)=2x и ги изобразете геометрично. y x
Интегранд - интегранд - знак на неопределения интеграл x - променлива на интегриране F(x) + C - множество от всички първоизводни C - константа на интегриране Процесът на намиране на функция с първообразно се нарича интегриране, а разделът на математиката се нарича интегрално смятане .
Свойства на неопределения интеграл Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта, а производната на неопределения интеграл е равен на интегранта:
Основни методи на интегриране. Метод на директна интеграция. Директното интегриране е метод за изчисляване на интеграли, при който те се свеждат до таблични чрез прилагане към тях на основните свойства на неопределения интеграл. В този случай функцията интегранд обикновено се трансформира съответно.
