Методи на пресмятане". Презентация към урока "Неопределен интеграл. Изчислителни методи "Презентация лекция 7 първоизводна и неопределен интеграл

GBOU SPO "Навашински корабен механичен колеж" Неопределен интеграл. Методи за изчисление

Евдокс от Книдос c. 408 - ок. 355 пр.н.е д. Интегралното смятане се появява през древния период от развитието на математическата наука и започва с метода на изчерпване, който е разработен от математиците Древна Гърция, и беше набор от правила, разработени от Евдокс от Книд. Тези правила бяха използвани за изчисляване на площи и обеми.

Лайбниц Готфрид Вилхелм (1646-1716) Символът ∫ е въведен от Лайбниц (1675). Този знак е разновидност на латинската буква S (първата буква от думата summa).

Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) Исак Нютон (1643 - 1727) Нютон и Лайбниц независимо откриват факт, известен като формулата на Нютон-Лайбниц.

Августин Луи Коши (1789 - 1857) Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас (1815 1897) Работата на Коши и Вайерщрас обобщава вековното развитие на интегралното смятане.

Руски математици взеха участие в разработването на интегрално смятане: M.V. Остроградски (1801 - 1862) В.Я. Буняковски (1804 - 1889) П.Л. Чебишев (1821 - 1894)

НЕОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ Неопределен интеграл на непрекъсната функция f(x) в интервала (a; b) е всяка от нейните първоизходни функции. Където C е произволна константа (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Съвпадение. Намерете такъв обща формапримитивен, което съответства дадена функция. tgx +С

Интегрални свойства

Интегрални свойства

Основни методи на интегриране Табличен. 2. Свеждане до таблично преобразуване на подинтегралната функция в сума или разлика. 3. Интегриране чрез промяна на променлива (заместване). 4. Интегриране по части.

Намерете първоизводни за функции: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x

Вярно ли е, че: а) в) б) г)

Пример 1. Интеграл на сумата от изрази е равно на суматаинтеграли на тези изрази Постоянният множител може да бъде изваден от интегралния знак

Пример 2. Проверете решението Запишете решението:

Пример 3. Проверете решение Запишете решение:

Пример 4 . Проверете решението. Запишете решението: Въведете нова променлива и изразете диференциалите:

Пример 5. Проверете решение Запишете решение:

C търсене на домашни неопределен интегралПроверете решението Ниво „A“ (с „3“) Ниво „B“ (с „4“) Ниво „C“ (с „5“)

Задача Установете съответствие. Намерете такава обща форма на първоизводната, която съответства на дадената функция.

слайд 1

слайд 2

Историческа информация Интегралното смятане възниква от необходимостта да се създаде общ метод за намиране на площи, обеми и центрове на тежестта. В зародишната си форма този метод е използван от Архимед. Получава системно развитие през 17 век в трудовете на Кавалиери, Торичели, Фермам и Паскал. През 1659 г. И. Бароу установява връзка между задачата за намиране на площ и задачата за намиране на допирателна. Нютон и Лейб-Ниц през 70-те години на 17 век отклоняват тази връзка от споменатите частни геометрични проблеми. Така се установява връзка между интегралното и диференциалното смятане. Тази връзка е използвана от Нютон, Лайбниц и техните ученици, за да развият техниката на интегриране. Интеграционните методи достигат до сегашното си състояние главно в трудовете на Л. Ойлер. Работите на М. В. Остроградско-Го и П. Л. Чебишев завършиха развитието на тези методи.

слайд 3

Понятието интеграл. Нека правата MN е дадена от уравнението И трябва да намерим площта F на криволинейния трапец aABb. Нека разделим сегмента ab на n части (равни или неравни) и конструираме стъпаловидна фигура, показана чрез щриховка на Фиг. 1. Нейната площ, нейната площ е равна на (1) Ако въведем обозначението Тогава формула (1) ще вземе формата (3) Желаната площ е границата на сумата ( 3) за безкрайно големи n. Лайбниц въвежда обозначението за тази граница (4) В която (курсив s) е началната буква на думата summa (сума), изразът E показва типичната форма на отделните термини. Лайбниц започва да нарича израза интеграл – от латинската дума integralis – интегрален. Ж. Б. Фурие подобри нотацията на Лайбниц, като й придаде формата Тук началните и крайните стойности на x са изрично посочени.

слайд 4

Връзка между интеграция и диференциация. Нека разгледаме константа и b променлива. Тогава интегралът ще бъде функция на b. Диференциалът на тази функция е

слайд 5

примитивна функция. Нека функцията е производна на функция, T.S. Има функционален диференциал: тогава функцията се нарича антипроизводна за функцията

слайд 6

Пример за намиране на антипроизводно. Функцията е антипроизводното от T.S. Има диференциал на функцията Функцията е първоизводна на функцията

Слайд 7

Неопределен интеграл. Неопределеният интеграл на даден израз е най-общата форма на неговата първообразна функция. Неопределеният интеграл на израза се означава. Изразът се нарича подинтегрален израз, функцията се нарича подинтегрална функция, променливата x е променливата на интегриране. Намирането на неопределен интеграл на дадена функция се нарича интегриране.Аношина О.В.

Основна литература

1. Шипачев В.С. висша математика. Основен курс: учебник и
семинар за бакалаври [Сертификат на Министерството на образованието на Руската федерация] / V. S.
Шипачев; изд. А. Н. Тихонова. - 8-мо изд., преработено. и допълнителни Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. В. С. Шипачев, Висша математика. Пълен курс: учебник
за акад. Бакалавърска степен [Удостоверение за УМО] / В. С. Шипачев; изд. А.
Н. Тихонова. - 4-то издание, Рев. и допълнителни - Москва: Юрайт, 2015. - 608
с
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. висша математика
в упражнения и задачи. [Текст] / P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевников. В 2 часа - М .: висше училище, 2007. - 304+415c.

Докладване

1.
Тест. Изпълнява се в съответствие с:
Задачи и насокиза извършване на контролна работа
в дисциплината "ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА", Екатеринбург, FGAOU
ВО „Руско държавно професионално педагогическо училище
университет“, 2016 – 30-те години.
опция контролна работаизберете по последната цифра
записна книга.
2.
Изпит

Неопределен интеграл, неговите свойства и изчисляване. Първопроизводен и неопределен интеграл

Определение. Извиква се функцията F x
антипроизводна функция f x дефинирана върху
някакъв интервал ако F x f x за
всеки x от този интервал.
Например функцията cos x е
примитивен грях функции x, защото
cos x sin x.

Очевидно, ако F x е антипроизводно
функции f x , тогава F x C , където C е някаква константа, също е
първоизводна функция f x .
Ако F x е някаква антипроизводна
функция f x , тогава всяка функция от формата
F x F x C също е
антипроизводна функция f x и произволна
примитивът може да бъде представен в тази форма.

Определение. Съвкупността от всички
първоизводни на функцията f x ,
определени на някои
между тях се нарича
неопределен интеграл от
функции f x на този интервал и
означена с f x dx .

Ако F x е някаква антипроизводна на функцията
f x , тогава те пишат f x dx F x C , въпреки че
по-правилно би било да се пише f x dx F x C .
Ние, според установената традиция, ще пишем
f x dx F x C .
Така същият символ
f x dx ще означава като цяло
набор от първоизводни на функцията f x ,
и всеки елемент от това множество.

Интегрални свойства

Производната на неопределения интеграл е
интегрант и неговия диференциал към интегранта. Наистина ли:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Интегрални свойства

3. Неопределен интеграл от
диференциал непрекъснато (x)
диференцируемата функция е равна на себе си
тази функция до константа:
d (x) (x) dx (x) C,
тъй като (x) е антипроизводно на (x).

Интегрални свойства

4. Ако функциите f1 x и f 2 x имат
първоизводни, тогава функцията f1 x f 2 x
също има антипроизводно и
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx Kf x dx;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
а 1
х
2. x a dx
C, (a 1) .
а 1
dx
3. ln x C .
х
х
а
4.a x dx
° С.
в а
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8.2 ctgx C .
грях х
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Таблица на неопределените интеграли

11.
dx
arcsin x C.
1x2
dx
1
х
12. 2 2 арктан C .
а
а
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
х
arcsin C ..
а
dx
1
x a
вътре
° С
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
х2 а
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
ш х

Свойства на диференциалите

При интегриране е удобно за използване
свойства: 1
1. dx d (брадва)
а
1
2. dx d (ax b),
а
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

Примери

Пример. Изчислете cos 5xdx.
Решение. В таблицата на интегралите намираме
cos xdx sin x C .
Нека трансформираме този интеграл в табличен,
възползвайки се от факта, че d ax adx .
Тогава:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Примери

Пример. Изчислете x
3x x 1 dx.
Решение. Тъй като под интегралния знак
тогава е сумата от четири члена
разгънете интеграла като сбор от четири
интеграли:
2
3
2
3
2
3
х
3
х
х
1
dx
х
dx
3
х
dx xdx dx.
x3
х4 х2
3
x C
3
4
2

Независимост на вида на променливата

При изчисляване на интеграли е удобно
използвайте следните свойства
интеграли:
Ако f x dx F x C , тогава
f x b dx F x b C .
Ако f x dx F x C , тогава
1
f ax b dx F ax b C .
а

Пример

Изчислете
1
6
2
3
х
dx
2
3
х
° С
.
3 6
5

Методи на интегриране Интегриране по части

Този метод се основава на формулата udv uv vdu.
По метода на интегриране по части се вземат следните интеграли:
а) x n sin xdx, където n 1,2...k;
b) x n e x dx , където n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , където n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , където n 0, 1, 2,... k .
При изчисляване на интегралите a) и b) въведете
n 1
нотация: x n u, след това du nx dx и, например
sin xdx dv, тогава v cos x.
При изчисляване на интегралите c), d) означаваме за u функцията
arctgx, ln x, а за dv вземат x n dx.

Примери

Пример. Изчислете x cos xdx.
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Примери

Пример. Изчисли
x ln xdx
dx
u ln x, du
х
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
в х
=
2
2 х
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
в х
° С.
=
2
2
2
2 2

Метод на променлива замяна

Нека се изисква да се намери f x dx и
директно вземете примитивното
за f x не можем, но знаем това
тя съществува. Често срещан
антипроизводно чрез въвеждане на нова променлива,
според формулата
f x dx f t t dt, където x t и t е новото
променлива

Интегриране на функции, съдържащи квадратен тричлен

Разгледайте интеграла
axb
dx,
x px q
съдържащ квадратен тричлен в
знаменателят на интегранта
изрази. Взима се и такъв интеграл
метод за промяна на променливите,
идентифициран преди това в
знаменателят е пълен квадрат.
2

Пример

Изчисли
dx
.
х4х5
Решение. Нека трансформираме x 2 4 x 5,
2
избиране на пълен квадрат по формулата a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогава получаваме:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
х 2 т
dx
dx
дт
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
х4х5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Пример

намирам
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 т
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 т
2
дт
1 т
1 т
d (t 2 1)
T
2
1
2
2tdt
2
дт
log(t 1) 2 dt 2
2
1 т
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 т
2
дт

Определен интеграл, неговите основни свойства. Формула на Нютон-Лайбниц. Приложения на определен интеграл.

Концепцията за определен интеграл води до
проблемът за намиране на площта на криволинейна
трапец.
Нека на някакъв интервал е даден
непрекъсната функция y f (x) 0
Задача:
Начертайте неговата графика и намерете F площта на фигурата,
ограничени от тази крива, две прави линии x = a и x
= b, а отдолу - отсечка от абсцисната ос между точките
x = a и x = b.

Фигурата aABb се нарича
криволинеен трапец

Определение

b
f(x)dx
Под определен интеграл
а
от дадена непрекъсната функция f(x) нататък
този сегмент се разбира
съответното увеличение
примитивно, т.е
F (b) F (a) F (x) /
b
а
Числата a и b са границите на интегриране,
е интервалът на интегриране.

правило:

Определеният интеграл е равен на разликата
стойности на първоизводния интегранд
функции за горна и долна граница
интеграция.
Въвеждане на обозначението за разликата
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
а
Формула на Нютон-Лайбниц.

Основни свойства на определен интеграл.

1) Стойността на определен интеграл не зависи от
нотация на интегрирана променлива, т.е.
b
b
а
а
f (x)dx f (t)dt
където x и t са произволни букви.
2) Определен интеграл със същ
навън
интеграцията е нулева
а
f (x)dx F (a) F (a) 0
а

3) При пренареждане на границите на интеграция
определеният интеграл обръща знака си
b
а
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
а
b
(свойство на адитивност)
4) Ако интервалът се раздели на крайно число
частични интервали, след това определения интеграл,
взето през интервала е равно на сумата от дефинираните
интеграли, взети по всички негови частични интервали.
b
° С
b
f(x)dx f(x)dx
° С
а
а
f(x)dx

5) Може да се извади постоянен множител
за знака на определен интеграл.
6) Определен интеграл на алгебриката
суми от краен брой непрекъснати
функции е равно на същата алгебрична
сумата от определени интеграли от тях
функции.

3. Замяна на променлива в определен интеграл.

3. Замяна на променлива в определена
интегрална.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
а
a(), b(), (t)
Където
за t[; ] , функциите (t) и (t) са непрекъснати върху;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
х 1 5
t04
х 1 т
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Неправилни интеграли.

Неправилни интеграли.
Определение. Нека функцията f(x) е дефинирана върху
безкраен интервал, където b< + . Если
съществува
b
лим
f(x)dx,
b
а
тогава тази граница се нарича неправилна
интеграл на функцията f(x) върху интервала
}