При същия брой уравнения, колкото е броят на неизвестните с главната детерминанта на матрицата, която не е равна на нула, коефициентите на системата (за такива уравнения има решение и е само едно).
Теорема на Крамър.
Когато детерминантата на матрицата на квадратна система е различна от нула, това означава, че системата е последователна и има едно решение и то може да бъде намерено чрез Формули на Крамер:
където Δ - детерминанта на системната матрица,
Δ азе детерминантата на системната матрица, в която вместо азТата колона съдържа колоната с десни страни.
Когато детерминантата на една система е нула, това означава, че системата може да стане кооперативна или несъвместима.
Този метод обикновено се използва за малки системи с обширни изчисления и ако е необходимо да се определи една от неизвестните. Сложността на метода е, че трябва да се изчислят много детерминанти.
Описание на метода на Крамер.
Има система от уравнения:
Система от 3 уравнения може да бъде решена с помощта на метода на Крамер, който беше обсъден по-горе за система от 2 уравнения.
Съставяме детерминанта от коефициентите на неизвестните:
Ще бъде системна детерминанта. Кога D≠0, което означава, че системата е последователна. Сега нека създадем 3 допълнителни детерминанти:
,
,
Ние решаваме системата чрез Формули на Крамер:
Примери за решаване на системи от уравнения по метода на Крамер.
Пример 1.
Дадена система:
Нека го решим с помощта на метода на Крамър.
Първо трябва да изчислите детерминантата на системната матрица:
защото Δ≠0, което означава, че от теоремата на Крамър системата е последователна и има едно решение. Изчисляваме допълнителни детерминанти. Детерминантата Δ 1 се получава от детерминантата Δ чрез замяна на нейната първа колона с колона със свободни коефициенти. Получаваме:
По същия начин получаваме детерминантата на Δ 2 от детерминантата на системната матрица, като заместваме втората колона с колона със свободни коефициенти:
Габриел Крамер е швейцарски математик, ученик и приятел на Йохан Бернули, един от създателите на линейната алгебра. Крамър разглежда система от произволен брой линейни уравнения с квадратна матрица. Той представи решението на системата като колона от дроби с общ знаменател – детерминантата на матрицата. Методът на Cramer се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения, което значително ускорява процеса на решаване. Този метод може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Основното е, че детерминантата на системата не е равна на „0“, тогава методът на Cramer може да се използва в решението, ако „0“ - този метод не може да се използва. Този метод може да се използва и за решаване на системи от линейни уравнения с уникално решение.
Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите на това неизвестно със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.
Да предположим, че ни е даден SLAE от този тип:
\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matrix)\right.\]
Според теоремата на Крамър получаваме:
Отговор: \
Къде мога да реша уравнение, използвайки метода на Cramer, използвайки онлайн програма за решаване?
Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкции и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.
Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.
Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамър може да се използва в решението, но ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.
Определение. Детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни, се нарича детерминанта на системата и се обозначава (делта).
Детерминанти
се получават чрез заместване на коефициентите на съответните неизвестни със свободни членове:
;
.
Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите на това неизвестно със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.
Пример 1.Решете система от линейни уравнения:
Според Теорема на Крамърние имаме:
И така, решението на система (2):
онлайн калкулатор, метод на решаване на Cramer.
Три случая при решаване на системи от линейни уравнения
Както става ясно от Теорема на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:
Първи случай: система от линейни уравнения има уникално решение
(системата е последователна и категорична)
Втори случай: система от линейни уравнения има безкраен брой решения
(системата е последователна и несигурна)
** 
,
тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.
Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения
(системата е непоследователна)
Така че системата млинейни уравнения с ннаречени променливи неставни, ако тя няма нито едно решение, и става, ако има поне едно решение. Нарича се едновременна система от уравнения, която има само едно решение определени, и повече от един – несигурен.
Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер
Нека се даде системата
.
Въз основа на теоремата на Крамър
………….
,
Където 
-
системна детерминанта. Получаваме останалите детерминанти, като заменяме колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни условия:
Пример 2.
Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите
Използвайки формулите на Cramer намираме:
И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.
Ако в система от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните елементи са равни на нула! Това е следващият пример.
Пример 3.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:
.
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните
Използвайки формулите на Cramer намираме:
И така, решението на системата е (2; -1; 1).
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.
Най-горе на страницата
Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Cramer
Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите на неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.
Пример 6.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, ние изчисляваме детерминанти за неизвестни
Детерминантите на неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.
При задачи, включващи системи от линейни уравнения, има и такива, в които освен букви, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви представляват число, най-често реално. На практика такива уравнения и системи от уравнения се дължат на проблеми за търсене на общи свойства на всякакви явления или обекти. Тоест вие сте изобретили някакъв нов материал или устройство и за да опишете свойствата му, които са общи, независимо от размера или количеството на образеца, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има писма. Не е нужно да търсите далеч за примери.
Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи определено реално число, се увеличава.
Пример 8.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Намиране на детерминанти за неизвестни
Методът на Cramer се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), в които броят на неизвестните променливи е равен на броя на уравненията и детерминантата на основната матрица е различна от нула. В тази статия ще анализираме как се намират неизвестни променливи с помощта на метода на Крамър и ще получим формули. След това нека да преминем към примери и да опишем подробно решението на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.
Навигация в страницата.
Метод на Крамер - извеждане на формули.
Нека трябва да решим система от линейни уравнения от вида
Където x 1, x 2, …, x n са неизвестни променливи, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- числови коефициенти, b 1, b 2, ..., b n - свободни членове. Решение на SLAE е такъв набор от стойности x 1, x 2, …, x n, за които всички уравнения на системата стават идентичности.
В матрична форма тази система може да бъде записана като A ⋅ X = B, където 
- основната матрица на системата, нейните елементи са коефициентите на неизвестни променливи, - матрицата е колона от свободни термини и - матрицата е колона от неизвестни променливи. След намиране на неизвестните променливи x 1, x 2, …, x n, матрицата става решение на системата от уравнения и равенството A ⋅ X = B става тъждество.
Ще приемем, че матрица A е неособена, т.е. нейният детерминант е различен от нула. В този случай системата от линейни алгебрични уравнения има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър. (Методите за решаване на системи за са обсъдени в раздела решаване на системи от линейни алгебрични уравнения).
Методът на Cramer се основава на две свойства на детерминанта на матрицата:
И така, нека започнем да намираме неизвестната променлива x 1. За да направим това, ние умножаваме двете части на първото уравнение на системата по A 1 1, двете части на второто уравнение по A 2 1 и така нататък, двете части на n-то уравнение по A n 1 (тоест ние умножете уравненията на системата по съответните алгебрични добавки на първата колона A на матрицата): 
Нека съберем всички леви страни на системното уравнение, групирайки членовете за неизвестни променливи x 1, x 2, ..., x n, и приравним тази сума към сумата от всички десни страни на уравненията: 
Ако се обърнем към споменатите по-горе свойства на детерминантата, имаме 
и предишното равенство приема формата 
където 
По същия начин намираме x 2. За да направим това, ние умножаваме двете страни на системните уравнения по алгебричните допълнения на втората колона на матрица A: 
Събираме всички уравнения на системата, групираме членовете за неизвестни променливи x 1, x 2, ..., x n и прилагаме свойствата на детерминантата: 
Където 
.
Останалите неизвестни променливи се намират по подобен начин.
Ако обозначим
Тогава получаваме формули за намиране на неизвестни променливи по метода на Cramer 
.
Коментирайте.
Ако системата от линейни алгебрични уравнения е хомогенна, т.е 
, то има само тривиално решение (при ). Наистина, за нула свободни членове, всички детерминанти 
ще бъдат равни на нула, тъй като ще съдържат колона от нулеви елементи. Следователно, формулите ще даде .
Алгоритъм за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.
Нека го запишем алгоритъм за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.
Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.
Нека да разгледаме решенията на няколко примера.
Пример.
Намерете решение на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения, като използвате метода на Крамер 
.
Решение.
Основната матрица на системата има формата . Нека изчислим детерминантата му по формулата 
:
Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, SLAE има уникално решение и то може да бъде намерено по метода на Cramer. Нека запишем детерминантите и . Заменяме първата колона от основната матрица на системата с колона от свободни членове и получаваме детерминантата 
. По същия начин заменяме втората колона на основната матрица с колоната със свободни термини и получаваме .
Ние изчисляваме тези детерминанти: 
Намерете неизвестните променливи x 1 и x 2, като използвате формулите 
:
Да проверим. Нека заместим получените стойности x 1 и x 2 в оригиналната система от уравнения: 
И двете уравнения на системата стават идентичности, следователно решението е намерено правилно.
Отговор:
.
Някои елементи от основната матрица на SLAE могат да бъдат равни на нула. В този случай съответните неизвестни променливи ще отсъстват от уравненията на системата. Нека разгледаме един пример.
Пример.
Намерете решение на система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер 
.
Решение.
Нека пренапишем системата във формата 
, така че основната матрица на системата да стане видима 
. Нека намерим неговия детерминант, използвайки формулата 
Ние имаме 
Детерминантата на основната матрица е различна от нула, следователно системата от линейни уравнения има уникално решение. Нека го намерим с помощта на метода на Крамър. Нека изчислим детерминантите 
:
По този начин, 
Отговор:
Означенията на неизвестни променливи в уравненията на системата могат да се различават от x 1, x 2, ..., x n. Това не засяга процеса на вземане на решение. Но редът на неизвестните променливи в уравненията на системата е много важен при съставянето на основната матрица и необходимите детерминанти на метода на Крамер. Нека изясним тази точка с пример.
Пример.
Използвайки метода на Крамер, намерете решение на система от три линейни алгебрични уравнения с три неизвестни 
.
Решение.
В този пример неизвестните променливи имат различна нотация (x, y и z вместо x1, x2 и x3). Това не засяга решението, но внимавайте с променливите етикети. НЕ МОЖЕТЕ да го приемете като основна матрица на системата 
. Необходимо е първо да се подредят неизвестните променливи във всички уравнения на системата. За да направим това, пренаписваме системата от уравнения като 
. Сега основната матрица на системата е ясно видима 
. Нека изчислим неговата детерминанта: 
Детерминантата на основната матрица е различна от нула, следователно системата от уравнения има уникално решение. Нека го намерим с помощта на метода на Крамър. Нека запишем детерминантите 
(обърнете внимание на нотацията) и ги изчислете: 
Остава да намерим неизвестните променливи с помощта на формулите 
:
Да проверим. За да направите това, умножете основната матрица по полученото решение (ако е необходимо, вижте раздела): 
В резултат на това получихме колона от свободни членове на оригиналната система от уравнения, така че решението беше намерено правилно.
Отговор:
x = 0, y = -2, z = 3.
Пример.
Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер 
, където a и b са някои реални числа.
Решение.
Отговор:
Пример.
Намерете решението на системата от уравнения 
по метода на Крамър, - някакво реално число.
Решение.
Нека изчислим детерминантата на основната матрица на системата: . изразът е интервал, следователно за всякакви реални стойности. Следователно системата от уравнения има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър. Изчисляваме и: 
Методи КрамерИ Гаус- един от най-популярните методи за решение СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес ще разгледаме решението с помощта на метода на Cramer. В крайна сметка решаването на система от линейни уравнения с помощта на метода на Крамър е много полезно умение.
Системи линейни алгебрични уравнения
Система от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:
Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в идентичности, се нарича решение на системата, а И b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена наум или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (xes) в SLAE и тук прости училищни манипулации не са достатъчни. Какво да правя? Например, решете SLAE с помощта на метода на Cramer!
И така, нека системата се състои от н уравнения с н неизвестен.
Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма
Тук А – основната матрица на системата, х И б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.
Решаване на SLAE по метода на Cramer
Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.
Според метода на Крамер решението се намира по формулите:
Тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х nth – детерминанта, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-та колона с колона от свободни членове.
Това е цялата същност на метода Крамер. Заместване на стойностите, намерени с горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви помогнем бързо да разберете същността, по-долу даваме пример за подробно решение на SLAE, използвайки метода на Cramer:
Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да чупите SLAU като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се занимавате с тетрадка, да решавате тромави изчисления и да записвате ядрото. Можете лесно да решите SLAE, като използвате метода на Cramer онлайн, просто като замените коефициентите в готовата форма. Можете да изпробвате онлайн калкулатор за решение, използвайки метода на Cramer, например на този уебсайт.
И ако системата се окаже упорита и не се предаде, винаги можете да се обърнете за помощ към нашите автори, например към. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и навреме!
