Степен с рационален показател

Наборът от рационални числа включва цели числа и дробни числа.

Определение 1

Степента на число $a$ с целочислена степен $n$е резултат от умножаване на числото $a$ само по себе си $n$ пъти и: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, за $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, за $n

Определение 2

Степента на число $a$ с дробен показател $\frac(m)(n)$се нарича $n$-ти корен на $a$ на степен на $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, където $a>0 $, $ n$ е естествено число, $m$ е цяло число.

Определение 3

Степента на нула с дробен показател $\frac(m)(n)$се дефинира както следва: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, където $m$ е цяло число, $m>0$, $n$ е естествено номер.

Има и друг подход за определяне на степента на число с дробен показател, който показва възможността за съществуване на степен на отрицателно число или отрицателен дробен показател.

Например изразите $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ или $\sqrt((-7)^(-10))$ имат смисъл, следователно и изразите $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ и $(-7)^\frac(-10)(6) $ трябва да има смисъл, докато според дефиницията на степен с степен под формата на дроб с отрицателна основа те не съществуват.

Нека дадем друго определение:

Степента на $a$ с дробен показател $\frac(m)(n)$се нарича $\sqrt[n](a^m)$ в следните случаи:

За всяко реално число $a$, цяло число $m>0$ и нечетно положително цяло число $n$.

Например $13.4^\frac(7)(3)=\sqrt(13.4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 )$.

За всяко ненулево реално число $a$, цяло число отрицателно $m$ и нечетно $n$.

Например, $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^(-8))$.

За всяко неотрицателно число $a$, положително цяло число $m$ и дори $n$.

Например, $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

За всяко положително $a$, цяло число отрицателно $m$ и дори $n$.

Например $13,4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13,4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3))$ .

При други условия степента с дробен индикатор не може да бъде определена.

Например $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4) = \sqrt((-11)^5)$.

Освен това при прилагането на това определение е важно, че дробен индикатор$\frac(m)(n)$ беше несводима дроб.

Сериозността на тази забележка е, че степента на отрицателно число с дробно намален показател, например $\frac(10)(14)$ ще бъде положително число, а степента на същото число с вече намален експонент $\frac(5)(7)$ ще бъде отрицателно число.

Например, $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$ и $(-1)^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.

По този начин, когато се извърши намаляването на фракцията $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, равенството $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^ \ frac(5)(7)$.

Забележка 1

Трябва да се отбележи, че по-често се използва по-удобно и просто първо определение на степента с експонента под формата на дроб.

В случай на запис на дробна степен като смесена дроб или десетична, е необходимо да преобразувате степента във формата на обикновена дроб.

Например, $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.

Степен с ирационален и реален показател

Да се валиденчислата включват рационални и ирационални числа.

Нека анализираме понятието степен с ирационален показател, тъй като степен с рационален показател, който разгледахме.

Помислете за поредица от приближения към числото $\alpha$, които са рационални числа. Тези. имаме поредица от рационални числа $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, които определят числото $\alpha$ с произволна степен на точност. Ако изчислим степените с тези експоненти $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, тогава се оказва, че тези числа са приблизителни към някакво число $ b$.

Определение 4

Степен $a>0$ с ирационален показател $\alpha$е израз $a^\alpha$, който има стойност, равна на границата на последователността $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, където $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, ... са последователни десетични приближения на ирационалното число $\alpha$.

Изрази, преобразуване на изрази

Силови изрази (изрази със степени) и тяхната трансформация

В тази статия ще говорим за трансформиране на изрази с мощности. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително изрази за степен, като отварящи скоби, намаляване на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и степента, използване на свойствата на степени и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват изразите за мощност?

Терминът "силови изрази" практически не се среща в училищните учебници по математика, но често се появява в колекции от задачи, специално предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и OGE, например. След анализ на задачи, в които се изисква да се извършат каквито и да е действия с изрази за степен, става ясно, че изразите за степен се разбират като изрази, съдържащи степени в своите записи. Следователно, за себе си, можете да вземете следното определение:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи мощности.

Да донесем примери за изрази за власт. Освен това ще ги представим според това как възгледите се развиват от степен с естествен показател до степен с реален показател.

Както знаете, първо има запознаване със степента на число с естествен показател, на този етап първите най-прости степенни изрази от типа 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изследва степента на число с целочислен показател, което води до появата на степенни изрази с отрицателни цели числа, като следните: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

В старшите класове отново се връщат към степените. Там се въвежда степен с рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и т.н. Накрая се разглеждат степени с ирационални експоненти и съдържащи ги изрази: , .

Въпросът не се ограничава до изброените изрази за степен: по-нататък променливата прониква в експонента и има например такива изрази 2 x 2 +1 или . И след запознаване започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2 lgx −5 x lgx.

И така, разбрахме въпроса какво представляват изразите за сила. След това ще се научим как да ги трансформираме.

Основните видове трансформации на степенни изрази

С мощни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изразите. Например, можете да разгънете скоби, да замените числовите изрази с техните стойности, да добавите подобни термини и т.н. Естествено в този случай е необходимо да се спазва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на израза за степен 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на действията първо изпълняваме действията в скоби. Там, първо, заменяме степента на 4 2 с неговата стойност 16 (вижте, ако е необходимо), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4 . Ние имаме 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

В получения израз заменяме степента на 2 3 с неговата стойност 8 , след което изчисляваме произведението 8·4=32 . Това е желаната стойност.

Така, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Отговор:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Пример.

Опростете изразите за мощност 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3 · a 4 · b − 7 и 2 · a 4 · b − 7 и можем да ги намалим: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със сили като продукт.

Решение.

За да се справите със задачата, позволява представянето на числото 9 като степен на 3 2 и последващото използване на съкратената формула за умножение, разликата на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи на изразите за сила. След това ще ги анализираме.

Работа с основа и степен

Има степени, в основата и/или индикатора на които не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример, нека напишем (2+0,3 7) 5−3,7 и (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

При работа с такива изрази е възможно да се заменят както изразът в основата на степента, така и изразът в индикатора с идентично равен израз върху DPV на неговите променливи. С други думи, според познатите ни правила можем отделно да преобразуваме основата на степента, а отделно - индикатора. Ясно е, че в резултат на това преобразуване се получава израз, който е идентично равен на оригиналния.

Подобни трансформации ни позволяват да опростим изразите със сили или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например, в израза за степен (2+0,3 7) 5−3,7, споменат по-горе, можете да извършвате операции с числа в основата и степента, което ще ви позволи да преминете към степен на 4,1 1,3. И след отваряне на скобите и довеждане на подобни членове в основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) получаваме степенен израз на по-проста форма a 2·(x+1 ) .

Използване на Power Properties

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s имат следните свойства на степените:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Имайте предвид, че за естествени, целочислени и положителни експоненти ограниченията върху числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествени числа m и n равенството a m a n =a m+n е вярно не само за положителни a , но и за отрицателни, и за a=0 .

В училище основното внимание при трансформацията на изразите на степента е насочено именно към способността да се избере подходящото свойство и да се приложи правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което ви позволява да използвате свойствата на степените без ограничения. Същото важи и за трансформацията на изрази, съдържащи променливи в основите на градусите - диапазонът от приемливи стойности на променливите обикновено е такъв, че базите приемат само положителни стойности върху него, което ви позволява свободно да използвате свойствата на градуси. По принцип трябва постоянно да се питате дали е възможно да приложите някакво свойство на градуси в този случай, защото неточното използване на свойствата може да доведе до стесняване на ODZ и други проблеми. Тези точки са разгледани подробно и с примери в статията трансформация на изрази с помощта на свойствата на степени. Тук се ограничаваме до няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a .

Решение.

Първо, преобразуваме втория фактор (a 2) −3 чрез свойството да повишаваме степен в степен: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. В този случай първоначалният израз за мощност ще приеме формата a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени със същата основа, имаме
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 = a 2.

Свойствата на мощността се използват при трансформиране на изрази за мощност както отляво надясно, така и от дясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на израза за степен.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r, приложено отдясно наляво, ви позволява да преминете от оригиналния израз към продукта на формата и по-нататък. И когато се умножават мощностите със същата основа, показателите се сумират: .

Възможно е да се извърши трансформацията на оригиналния израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

Даден е степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6 , въведете нова променлива t=a 0,5 .

Решение.

Степента a 1,5 може да бъде представена като 0,5 3 и по-нататък въз основа на свойството на степента в степента (a r) s =a r s, приложена от дясно наляво, преобразувайте я във формата (a 0,5) 3 . По този начин, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Сега е лесно да се въведе нова променлива t=a 0.5, получаваме t 3 −t−6 .

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите за степен могат да съдържат дроби със степени или да представляват такива дроби. Всяка от основните фракционни трансформации, които са присъщи на дроби от всякакъв вид, е напълно приложима за такива дроби. Тоест дроби, които съдържат степени, могат да бъдат редуцирани, редуцирани до нов знаменател, да работят отделно с техния числител и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате горните думи, разгледайте решенията на няколко примера.

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Този израз на силата е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме израза, получен след това, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И ние също променяме знака на знаменателя, като поставим минус пред дроба: .

Отговор:

.

Намаляването на съдържащите мощности на дробите до нов знаменател се извършва подобно на редуцирането до нов знаменател рационални дроби. В същото време се намира и допълнителен фактор и числителят и знаменателят на дроба се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на DPV. За да се предотврати това да се случи, е необходимо допълнителният фактор да не изчезва за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Доведете дробите до нов знаменател: а) до знаменателя а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да се разбере какъв допълнителен фактор помага за постигане на желания резултат. Това е множител a 0,3, тъй като a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Имайте предвид, че в диапазона от приемливи стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), степента a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на дадена дроб чрез този допълнителен фактор:

б) Като се вгледаме по-внимателно в знаменателя, откриваме, че

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубчета и , Това е, . И това е новият знаменател, към който трябва да доведем оригиналната дроб.

Така че открихме допълнителен фактор. Изразът не изчезва в диапазона от приемливи стойности на променливите x и y, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на дроба по него:

Отговор:

а) , б) .

В редуцирането на дроби, съдържащи степени, също няма нищо ново: числителят и знаменателят се представят като определен брой фактори, а същите фактори на числителя и знаменателя се редуцират.

Пример.

Намалете фракцията: а) , б).

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Освен това, очевидно, можете да намалите с x 0,5 +1 и по . Ето какво имаме:

б) В този случай същите фактори в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на фактори според формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Намаляването на дроби до нов знаменател и редуцирането на дроби се използва главно за извършване на операции с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се събират (изваждат), а знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведение на числителите, а знаменателят е произведение на знаменателите. Делението на дроб е умножение по нейното реципрочно число.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо изваждаме дробите в скоби. За целта ги привеждаме до общ знаменател, който е , след това извадете числителите:

Сега умножаваме дроби:

Очевидно е възможно намаляване със степента x 1/2, след което имаме .

Можете също да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете израза на мощността .

Решение.

Очевидно тази фракция може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дроб . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със степените на х. За да направите това, преобразуваме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да използваме свойството за разделяне на степени със същите основи: . И в края на процеса преминаваме от последна работакъм фракцията.

Отговор:

.

И добавяме, че е възможно и в много случаи желателно да се прехвърлят множители с отрицателни степени от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя чрез смяна на знака на степенната. Такива трансформации често опростяват по-нататъшните действия. Например изразът за степен може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, заедно със степени с дробни експоненти, има и корени. За да преобразувате такъв израз в желаната форма, в повечето случаи е достатъчно да отидете само до корени или само до степени. Но тъй като е по-удобно да се работи с градуси, те обикновено се движат от корени към градуси. Въпреки това е препоръчително да се извърши такъв преход, когато ODZ на променливи за оригиналния израз ви позволява да замените корените с градуси, без да е необходимо да имате достъп до модула или да разделяте ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в статия, преходът от корени към степени и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен с ирационален индикатор, което дава възможност да се говори за степен с произволен реален показател. На този етап училището започва да учи експоненциална функция, което аналитично се дава от степента, в основата на която има число, а в индикатора - променлива. Така че ние сме изправени пред експоненциални изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в експонента - изрази с променливи и естествено възниква необходимостта от извършване на трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаване експоненциални уравненияи експоненциални неравенства, и тези трансформации са доста прости. В по-голямата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени най-вече към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, експонентите, в чиито експоненти се намира сумата от някаква променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с произведения. Това се отнася за първия и последния термин на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това и двете части на равенството се разделят на израза 7 2 x , който приема само положителни стойности на ODZ на променливата x за оригиналното уравнение (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този вид, ние не сме като говорим за това сега, така че се съсредоточете върху последващи трансформации на изрази с мощности ):

Сега дробите със степени се отменят, което дава .

И накрая, съотношението на степените със същите експоненти се заменя със степените на съотношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно на . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която свежда решението на оригиналното експоненциално уравнение до решението на квадратното уравнение

И. В. Бойков, Л. Д. РомановаСборник със задачи за подготовка за изпита. Част 1. Пенза 2003г.

Изразът a n (степен с целочислена степен) ще бъде дефиниран във всички случаи, с изключение на случая, когато a = 0 и n е по-малко или равно на нула.

Свойства на степента

Основните свойства на степени с целочислен показател:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n \u003d a (m-n) (с ане е равно на нула);

(a m) n = a (m*n);

(a*b) n = a n * b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (за бне е равно на нула);

a 0 = 1 (когато ане е равно на нула);

Тези свойства ще бъдат валидни за всички числа a, b и всякакви цели числа m и n. Също така си струва да се отбележи следното свойство:

Ако m>n, тогава a m > a n, за a>1 и a m

Възможно е да се обобщи концепцията за степента на число за случаите, когато рационалните числа действат като експоненти. В същото време бих желал да бъдат изпълнени всички изброени по-горе свойства или поне някои от тях.

Например, ако свойството (a m) n = a (m*n) е изпълнено, следното равенство ще бъде вярно:

(a (m/n)) n = a m .

Това равенство означава, че числото a (m/n) трябва да бъде n-тият корен на числото a m.

Силата на някакво число a (по-голямо от нула) с рационален показател r = (m/n), където m е някакво цяло число, n е някакво естествено число, по-голямо от едно, се нарича число n√(a m). Въз основа на дефиницията: a (m/n) = n√(a m).

За всички положителни r ще се определи силата на нула. По дефиниция 0 r = 0. Отбелязваме също, че за всяко цяло число, всяко естествено m и n и положително авярно е следното равенство: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Например: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .

Дефиницията на степен с рационален показател директно предполага факта, че за всяко положително a и всяко рационално r числото a r ще бъде положителен.

Основни свойства на степен с рационален показател

За всякакви рационални числа p, q и всякакви a>0 и b>0 са верни следните равенства:

1. (a p)*(a q) = a (p+q);

2. (a p): (b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p*q);

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Тези свойства произтичат от свойствата на корените. Всички тези свойства се доказват по подобен начин, така че се ограничаваме до доказване само на едно от тях, например първото (a p)*(a q) = a (p + q) .

Нека p = m/n и q = k/l, където n, l са някои естествени числа и m, k са някои цели числа. След това трябва да докажете, че:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Първо, привеждаме дробите m/n k/l до общ знаменател. Получаваме дробите (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Пренаписваме лявата страна на уравнението, използвайки тези обозначения и получаваме:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Видео урокът "Степен с рационален индикатор" съдържа нагледно учебен материалда преподавам по тази тема. Видео урокът съдържа информация за понятието степен с рационален показател, свойства, такива степени, както и примери, описващи използването на учебен материал за решаване на практически задачи. Задачата на този видео урок е ясно и ясно да представи учебния материал, да улесни неговото развитие и запомняне от учениците, да формира способност за решаване на задачи, използвайки научените понятия.

Основните предимства на видео урока са възможността за извършване на визуални трансформации и изчисления, възможността за използване на анимационни ефекти за подобряване на ефективността на обучението. Гласовият акомпанимент помага да се развие правилна математическа реч, а също така дава възможност да се замени обяснението на учителя, освобождавайки го за индивидуална работа.

Видеоурокът започва с представяне на темата. Свързващо проучване нова темас предварително проучения материал се предлага да се припомни, че n √ a иначе се означава с 1/n за естествено n и положително a. Това представяне на n-корен се показва на екрана. Освен това се предлага да се разгледа какво означава изразът a m / n, в който a е положително число, а m / n е някаква дроб. Определението на степента, подчертано в полето, е дадено с рационален експонента като a m/n = n √ a m . Отбелязва се, че n може да бъде естествено число, а m е цяло число.

След определяне на степента с рационален показател, нейното значение се разкрива с примери: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Показан е и пример, в който степента, представена от десетичен, се преобразува в обикновена дроб, за да бъде представена като корен: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример за отрицателен показател: 3 -1/ 8 \u003d 8 √3 -1.

Отделно се посочва особеност на конкретен случай, когато основата на степента е нула. Отбелязва се, че тази степен има смисъл само с положителен дробен показател. В този случай стойността му е равна на нула: 0 m/n =0.

Отбелязва се и друга особеност на степента с рационален показател – че степента с дробен показател не може да се разглежда с дробна степен. Дадени са примери за неправилно отбелязване на степента: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

По-нататък във видео урока се разглеждат свойствата на степен с рационален показател. Отбелязва се, че свойствата на степен с целочислен показател ще бъдат валидни и за степен с рационален показател. Предлага се да се припомни списъкът с имоти, които също са валидни в този случай:

1. При умножаване на мощности със същите основи, техните показатели се сумират: a p a q \u003d a p + q.
2. Делението на степени със същите основи се свежда до степен с дадена основа и разликата в степените: a p:a q =a p-q .
3. Ако вдигнем степента до определена степен, тогава в резултат получаваме степента с дадената основа и произведението на степените: (a p) q =a pq .

Всички тези свойства са валидни за степени с рационални експоненти p, q и положителна основа a>0. Също така трансформациите на степените остават верни при отваряне на скоби:

1. (ab) p =a p b p - издигането на произведение от две числа на определена степен с рационален показател се свежда до произведение на числа, всяко от които се повишава до дадена степен.
2. (a/b) p =a p /b p - степенуването с рационален показател на дроб се свежда до дроб, чийто числител и знаменател се повишават до дадена степен.

Видеоурокът обсъжда решението на примери, които използват разглежданите свойства на степени с рационален показател. В първия пример се предлага да се намери стойността на израз, който съдържа променливите x на дробна степен: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Въпреки сложността на израза, използвайки свойствата на степените, той се решава доста просто. Решаването на задачата започва с опростяване на израза, при което се използва правилото за вдигане на степен с рационален показател на степен, както и умножаване на степени със същата основа. След заместване на дадената стойност x=8 в опростения израз x 1/3 +48, ​​е лесно да се получи стойността - 50.

Във втория пример се изисква да се намали дроб, чийто числител и знаменател съдържат степени с рационален показател. Използвайки свойствата на степента, избираме коефициента x 1/3 от разликата, който след това се намалява в числителя и знаменателя и използвайки формулата за разликата на квадратите, числителят се разлага на фактори, което дава повече намаления на същите фактори в числителя и знаменателя. Резултатът от такива трансформации е къса дроб x 1/4 +3.

Видео урокът „Степен с рационален показател” може да се използва вместо учителят да обяснява новата тема на урока. Също така, това ръководство съдържа достатъчно информация за самоподготовкастудент. Материалът може да бъде полезен при дистанционно обучение.

MBOU „Сидорская

общообразователно училище"

Разработване на план-очерк открит урок

по алгебра в 11 клас по темата:

Подготвени и проведени

учител по математика

Исхакова Е.Ф.

Схема на открит урок по алгебра в 11 клас.

Предмет : "Степен с рационален показател".

Тип урок : Изучаване на нов материал

Цели на урока:

Да запознае студентите с понятието степен с рационален показател и основните му свойства, въз основа на предварително проучен материал (степен с целочислен показател).

Развийте изчислителни умения и способност за преобразуване и сравняване на числа с рационален показател.

Да възпитава математическа грамотност и математически интерес у учениците.

Оборудване : Карти със задачи, презентация на ученик по степен с целочислен индикатор, презентация на учител по степен с рационален индикатор, лаптоп, мултимедиен проектор, екран.

По време на часовете:

Организиране на времето.

Проверка на усвояването на темата, обхваната от индивидуални карти със задачи.

Задача номер 1.

=2;

Б) = х + 5;

Решете системата ирационални уравнения: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Задача номер 2.

Решете ирационалното уравнение: = - 3;

Б) = x - 2;

Решете система от ирационални уравнения: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Представяне на темата и целите на урока.

Темата на днешния ни урок Степен с рационален показател».

Обяснение на нов материал на примера на предварително изучен.

Вече сте запознати с концепцията за степен с целочислен показател. Кой може да ми помогне да ги запомня?

Повторение с презентация Степен с целочислен показател».

За всякакви числа a , b и всякакви цели числа m и n са верни равенства:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

а 1 = а; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Днес ще обобщим понятието степен на число и ще придадем смисъл на изрази, които имат дробен показател. Да се ​​представим определениеградуси с рационален индикатор (Презентация "Степен с рационален индикатор"):

Степента на а > 0 с рационален показател r = , където м е цяло число и н - естествено ( н > 1), наречен номер м .

Така че, по дефиниция, получаваме това = м .

Нека се опитаме да приложим това определение при изпълнение на задача.

ПРИМЕР №1

Изразявам като корен от число израза:

НО) Б) AT) .

Сега нека се опитаме да приложим това определение обратно

II Изразете израза като степен с рационален показател:

НО) 2 Б) AT) 5 .

Силата на 0 е дефинирана само за положителни експоненти.

0 r= 0 за всеки r> 0.

Използвайки това определение, Къщище завършите #428 и #429.

Нека сега покажем, че горното определение на степен с рационален показател запазва основните свойства на степени, които са верни за всеки показател.

За всякакви рационални числа r и s и всякакви положителни a и b равенствата са верни:

1 0 . а r а с =a r+s ;

ПРИМЕР: *

20 . a r: a s =a r-s ;

ПРИМЕР: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

ПРИМЕР: ( -2/3

4 0 . ( аб) r = а r б r ; 5 0 . ( = .

ПРИМЕР: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИМЕР за използването на няколко свойства едновременно: * : .

Fizkultminutka.

Поставихме химикалки на бюрото, изправихме гърбовете и сега протягаме напред, искаме да докоснем дъската. И сега се повдигахме и се накланяхме надясно, наляво, напред, назад. Показаха ми писалките, а сега ми покажи как пръстите ти могат да танцуват.

Работете върху материала

Отбелязваме още две свойства на степени с рационални показатели:

60 . Нека бъде r е рационално число и 0< a < b . Тогда

а r < b rв r> 0,

а r < b rв r< 0.

7 0 . За всякакви рационални числаrи сот неравенството r> сследва това

а r> а rза a > 1,

а r < а rна 0< а < 1.

ПРИМЕР: Сравнете числа:

И ; 2 300 и 3 200 .

Резюме на урока:

Днес в урока си припомнихме свойствата на степен с целочислен показател, научихме определението и основните свойства на степен с рационален показател, разгледахме приложението на този теоретичен материал на практика при изпълнение на упражнения. Искам да обърна внимание на факта, че темата „Степен с рационален показател“ е задължителна в ИЗПОЛЗВАЙТЕ задачи. В подготовка домашна работа ( No 428 и No 429