Преподаване без принуда

(Ръководство за очарователния свят на математиката)

Математиката вече тогава трябва да се преподава, че тя привежда ума в ред. (М. В. Ломоносов)

И така, как се учи математика?

Този въпрос интересува мнозина.

Първата стъпка е да запълним пропуските от миналото. Ако сте пропуснали (не сте разбрали, не сте изучавали по принцип и т.н.) някоя тема, рано или късно определено ще стъпите на този рейк. С класически резултат... Така работи математиката.

Независимо дали учиш нова тема, или повторете стария - овладейте математическите определения и термини! Обърнете внимание, аз не казвам - "научи", а казвам "майстор". Това са различни неща. Трябва да разберете, например, какво е знаменател, дискриминант или арксинус на просто, дори примитивно ниво. Какво е това, защо е необходимо и как да се справим с него. Животът ще стане по-лесен.

Ако ви попитам как да използвате устройството за преход на плътна ограничена среда, ще се почувствате неудобно да отговорите, нали? И ако разберете, че точно това устройство е обикновена врата? Всъщност е малко по-забавно.

И, разбира се, трябва да решите. Ако не знаете как да решите, нищо страшно. Трябва да опитате и да опитате. Всички някога не знаеха как. Но тези, които се опитваха и опитваха, макар и неправилно, с грешки, сега знаят как да решат. И който не е опитал, не е учил - никога не се е научил.

Ето трите компонента на отговора на въпроса: "Как да преподавам математика?" Премахнете пропуските, овладете термините на разбираемо ниво и смислено решавайте задачи.

Ако математиката ви се струва джунгла от някакви правила, формули, изрази, в които е невъзможно да се ориентирате, тогава ще ви утеша. Там има пътеки и пътеводни звезди! Ще се настаните, ще свикнете и ще започнете да се възхищавате на тези дива природа ...

математика училищен курсне решава сложни примери, защото не знае как. Тя е добра в решаването на нещо като 5x = 10, квадратно уравнениепрез дискриминанта, а същият прост от тригонометрията, логаритмите и т.н. И цялата сила на математиката е насочена към опростяване на сложни изрази. Именно за това са необходими правила и формули за различни трансформации. Те ни позволяват да напишем оригиналния израз в различна удобна за нас форма, без да променяме същността му.

"Математиката е изкуството да наричаш различни неща с едно и също име." (А. Поанкаре)

Например, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Все още е същото число 8! Записва се само в различни форми. Кой тип да изберете - ние решаваме! Съобразен със задачата и здравия разум.

Основната пътеводна звезда в математиката е способността да се трансформират изрази. Почти всяко решение започва с трансформация на оригиналния израз. С помощта на правила и формули, които изобщо не са толкова безумно количество, колкото си мислите.

Често казваме „Всички формули работят отляво надясно и отдясно наляво“. Да кажем (a + b) почти всеки го записва като a + 2ab + b . Но не всеки (за съжаление) осъзнава, че x + 2x + 1 може да се запише като (x + 1) . И ето какво трябва да знаете! Формулите трябва да се знаят лично! Да могат да ги разпознават в изрази, шифровани от хитри учители, да идентифицират части от формулите, да ги довеждат, ако е необходимо, до завършени.

Преобразуването на изрази в началото е обезпокоително. Изисква труд. В началния етап е необходимо да се провери, където е възможно, правилността на трансформацията чрез обратна трансформация. Разбийте - умножете обратно и донесете подобни. Оказа се оригиналният израз - ура! Намерени са корените на уравнението - заместител в оригиналния израз. Вижте какво се случи. И така нататък.

Затова ви каня да прекрасен святматематика. И нека започнем нашето пътуване, като се запознаем с дробите, така че това е може би най-много уязвимо мястопо-голямата част от учениците.

Късмет!

Урок 1.

Видове фракции. Трансформации.

Който знае дроби, той е силен, той е смел в математиката!

Фракциите са три вида.

1. Обикновени дроби , например: , , , .

Понякога вместо хоризонтална линия поставят наклонена черта: 1/2, 3/7, 19/5. Линия, както хоризонтална (vinculium), така и наклонена (solidus) означава една и съща операция: разделяне на горното число (числител) на долното число (знаменател). И това е! Вместо линия е напълно възможно да се постави знак за деление - две точки. 1/2 = 1:2.

Когато разделянето е напълно възможно, то трябва да се направи. Така че вместо дроб 32/8 е много по-приятно да напишете числото 4. Т.е. 32 се дели просто на 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Не говоря за дроб 4/1, която също е равна на 4. И ако не се дели напълно, го оставяме като фракция. Понякога трябва да направите обратното. Направете дроб от цяло число. Но повече за това по-късно.

2. Десетични знаци , например: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. смесени числа , например: , , , .

Смесените числа практически не се използват в гимназията. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Но определено трябва да знаете как да го направите! И тогава такъв номер ще се срещне в задачата и ще увисне ... От нулата. Но ние помним тази процедура!

Обикновените фракции са най-универсалните. Да започнем с тях. Между другото, ако във дроба има всякакви логаритми, синуси и други букви, това не променя нищо. В смисъл, че всички действия с дробни изрази не се различават от действията с обикновени дроби!

Така че давай! Цялото разнообразие от фракционни трансформации се осигурява от едно свойство! Така се казва основно свойство на дроб. Запомнете: ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число, дробта няма да се промени. Тези:

И ние имаме нужда от него, всички тези трансформации? - ти питаш. И как! Сега ще се убедите сами. Първо, нека използваме основното свойство на дроб, за да намалим дробите. Изглежда, че нещото е елементарно. Делим числителя и знаменателя на едно и също число и това е всичко! Невъзможно е да се обърка! Но... човекът е творческо същество. Можете да правите грешки навсякъде! Особено ако трябва да намалите не част от формата 5/10, а дробно рационален израз.

Обикновено ученикът не мисли да раздели числителя и знаменателя на едно и също число (или израз)! Просто зачерква всичко едно и също отгоре и отдолу! Това е мястото, където се крие типична грешка, blooper ако искаш.

Например, трябва да опростите израза: .

Какво правим? Зачеркваме фактора а по-горе и степента по-долу! Получаваме: .

Всичко е правилно. Но наистина сподели целият числители целият знаменателна множител а.Ако сте свикнали просто да зачертавате, тогава, набързо, можете да зачеркнете буквата а в израза и да получите отново. Което би било категорично погрешно: непростима грешка. Защото тук целият числителна вече не се споделя! Тази фракция не може да бъде намалена.

Когато намалявате, трябва да разделите целия числител и целия знаменател!

Намаляването на дробите прави живота много по-лесен. Някъде ще получите дроб, например 375/1000. И как да работим с нея сега? Без калкулатор? Умножете, кажете, съберете, квадратирайте!? И ако не сте твърде мързеливи, но внимателно намалете с пет, и дори с пет, и дори ... докато се намалява. Получаваме 3/8! Много по-хубаво, нали?

Основното свойство на дроб ви позволява да преобразувате обикновени дроби в десетични и обратно, без калкулатор! Това е важно в КТ, нали?

С десетичните знаци е лесно. Както се чува, така се пише! Да кажем 0,25. Това е нула точка, двадесет и пет стотни. Така че пишем: 25/100. Намаляваме (разделяме числителя и знаменателя на 25), получаваме обикновена дроб: 1/4. Всичко. Случва се и нищо не се намалява. Например 0,3. Това са три десети, т.е. 3/10.

Ами ако целите числа са различни от нула? ОК е. Записваме цялата дроб без запетаи в числителя, а в знаменателя - това, което се чува. Например: 3.17. Това са цели три, седемнадесет стотни. В числителя записваме 317, а в знаменателя 100. Получаваме 317/100. Нищо не се намалява, това означава всичко. Това е отговорът. От всичко казано по-горе, едно полезно заключение: Всяка десетична дроб може да се преобразува в обикновена дроб.

Но обратното преобразуване, обикновено в десетичен, някои не могат без калкулатор. Но трябва! Как ще запишеш отговора? Ние внимателно четем и овладяваме този процес.

Какво е десетична дроб? Нейният знаменател винаги е 10, или 100, или 1000, или 10 000 и т.н. Ако вашата обикновена дроб има такъв знаменател, няма проблем. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. Ами ако резултатът е 1/2? И отговорът трябва да бъде записан в десетичен знак ...

Помним основно свойство на дроб! Математиката благоприятно ви позволява да умножите числителя и знаменателя по едно и също число. За всеки, между другото! Освен нула, разбира се. Нека използваме тази функция в наша полза! По какво може да се умножи знаменателят, т.е. 2, така че да стане 10, или 100, или 1000 (по-малко е по-добре, разбира се...)? 5, очевидно. Чувствайте се свободни да умножите знаменателя по 5. Но тогава числителят също трябва да се умножи по 5. Получаваме 1/2 = 0,5. Това е всичко.

Знаменателите обаче може да са различни. Например, дроб 3/16. След това можете просто да разделите 3 на 16. При липса на калкулатор ще трябва да разделите на ъгъл, както учеха в началните класове. Получаваме 0,1875.

И има някои много лоши знаменатели. Например, дробът 1/3 не може да се превърне в добър десетичен знак. И на калкулатора и при разделяне на ъгъл получаваме 0,3333333 ... Оттук и още едно полезно заключение. Не всяка обикновена дроб се превръща в десетична!

И така, с подредени обикновени и десетични дроби. Остава да се справим със смесени числа. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Как да го направя? Можеш да хванеш петокласник и да го попиташ. Но не винаги петокласник ще бъде наблизо ... Ще трябва да го направите сами. Това не е трудно. Умножете знаменателя на дробната част по цялата част и добавете числителя на дробната част. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Какво ще кажете за знаменателя? Знаменателят ще остане същият. Звучи сложно, но всъщност е доста просто. Да видим пример.

Да предположим, че в задачата сте видели число с ужас:

Спокойно, без паника, спорим. Цялата част е 1. Едно. Дробната част е 3/7. Следователно знаменателят на дробната част е 7. Този знаменател ще бъде знаменателят на обикновената дроб. Помислете за: числител. Умножаваме 7 по 1 (цялата част) и добавяме 3 (числителя на дробната част). Получаваме 10. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Това е всичко. Изглежда още по-просто в математическата нотация:

Лесно? Тогава си осигурете успеха! Преобразувайте тези смесени числа , , в обикновени дроби. Трябва да получите 10/3, 23/10 и 21/4.

Е, почти всичко. Запомнихте видовете дроби и разбрахте как да ги преведете от един тип в друг. Остава въпросът: защо да правим това? Къде и кога да приложим това дълбоко знание?

Всеки пример сам по себе си подсказва необходимите действия. Ако в примера обикновени дроби, десетични дроби и дори смесени числа са смесени в куп, ние превеждаме всичко в обикновени дроби. Винаги може да се направи. Е, ако е написано, например, 0,8 + 0,3, тогава ние мислим така, без никакъв превод. Защо се нуждаем от допълнителна работа? Ние избираме начина за решаване което е удобно за нас!

Ако задачата е изцяло десетични знаци, но хм... едни страшни, отидете на обикновените, опитайте! Може би всичко ще се получи. Например, трябва да квадратирате числото 0,125. Не е толкова лесно, ако не сте загубили навика с калкулатора! Не само трябва да умножите числата в колона, но и да помислите къде да вмъкнете запетаята! Определено не работи в ума ми! А ако отидете на обикновена дроб? 0,125 = 125/1000. Намаляваме с 5 (това е за начало). Получаваме 25/200. Още веднъж на 5. Получаваме 5/40. Все още се свива! Обратно към 5! Получаваме 1/8. Лесно квадратирайте (в ума си!) и вземете 1/64. Всичко!

Нека обобщим нашия урок.

1. Има три вида дроби: обикновени, десетични и смесени числа.

2. Десетичните и смесените числа винаги могат да бъдат превърнати в обикновени дроби. Обратното прехвърляне не винаги е възможно.

3. Изборът на вида на дробите за работа със задачата зависи именно от тази задача. Ако в една задача има различни видове дроби, най-надеждно е да преминете към обикновени дроби.

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е сериозна нужда! По-добре е да напишете два допълнителни реда в чернова, отколкото да направите грешка, когато изчислявате в главата си.

2. В примери с различни видове дроби - преминете към обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби до край.

4. Свеждаме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме деление през две точки (спазваме реда на деление!).

5. Разделяме единицата на дроб в ума си, просто като обръщаме дроба.

Сега се опитайте да приложите теорията на практика.

И така, нека го решим в режим на изпит! Решаваме пример, проверяваме, решаваме следното. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния пример. И тогава разглеждаме отговорите.

Решили? Търсите отговори, които отговарят на вашите. Отговорите са написани в безпорядък, далеч от изкушенията, така да се каже...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

И сега правим изводи. Ако всичко се получи - радвам се за вас! Елементарните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можеш да правиш по-сериозни неща. Ако не... Търпението и работата ще смелят всичко.

Рационалните изрази и дроби са крайъгълният камък на целия курс по алгебра. Тези, които се научат как да работят с такива изрази, да ги опростят и да ги факторизират, всъщност ще могат да решат всеки проблем, тъй като трансформацията на изразите е неразделна част от всяко сериозно уравнение, неравенство и дори словен проблем.

В този видео урок ще видим как правилно да прилагаме съкратени формули за умножение, за да опростим рационалните изрази и дроби. Нека се научим да виждаме тези формули, където на пръв поглед няма нищо. В същото време повтаряме такъв прост трик като разлагането на квадратен трином на фактори чрез дискриминанта.

Както вероятно вече се досещате от формулите зад гърба ми, днес ще изучаваме формулите за съкратено умножение, или по-скоро не самите формули, а тяхното приложение за опростяване и редуциране на сложни рационални изрази. Но преди да преминем към решаването на примери, нека разгледаме по-отблизо тези формули или да ги припомним:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ е разликата на квадратите;
$((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ е квадратът на сумата;
$((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ е квадратната разлика;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \вдясно)$ е сумата от кубчета;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \вдясно)$ е разликата на кубовете.

Искам също така да отбележа, че нашата училищна образователна система е проектирана по такъв начин, че с изучаването на тази тема, т.е. рационални изрази, както и корени, модули, всички ученици имат един и същ проблем, който сега ще обясня.

Факт е, че в самото начало на изучаване на формулите за съкратено умножение и съответно действията за намаляване на дроби (това е за 8 клас), учителите казват нещо подобно: „Ако нещо не ви е ясно, тогава не се притеснявайте , ще се върнем към тази тема повече от веднъж, в гимназията със сигурност. Ще го разберем по-късно." Е, тогава, в края на 9-10 клас, същите учители обясняват на същите ученици, които все още не знаят как да решават рационални дроби, нещо като това: „Къде бяхте предишните две години? Същото се учи по алгебра в 8 клас! Какво може да е неразбираемо тук? Толкова е очевидно!"

За обикновените студенти обаче подобни обяснения не са никак по-лесни: те все още имаха бъркотия в главите си, така че точно сега ще анализираме два прости примера, въз основа на които ще видим как да подчертаем тези изрази в реални задачи, което ще ни доведе до кратки формули за умножение и как да го приложим по-късно за трансформиране на сложни рационални изрази.

Намаляване на прости рационални дроби

Задача №1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Първото нещо, което трябва да научим, е да различаваме точните квадрати и повече в оригиналните изрази. високи градуси, на базата на което след това можем да приложим формулите. Да видим:

Нека пренапишем нашия израз, като вземем предвид тези факти:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \вдясно))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \вдясно))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Отговор: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Задача №2

Да преминем към втората задача:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Тук няма какво да се опростява, тъй като числителят е константа, но аз предложих този проблем точно, за да научите как да разлагате на множители полиноми, съдържащи две променливи. Ако вместо него имаше полином, написан по-долу, как бихме го разложили?

\[((x)^(2))+5x-6=\ляво(x-... \вдясно)\ляво(x-... \вдясно)\]

Нека решим уравнението и намерим $x$, които можем да поставим на мястото на точките:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Можем да пренапишем тричлена, както следва:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Научихме се как да работим с квадратен трином - за това трябваше да запишем този видео урок. Но какво ще стане, ако освен $x$ и константата има и $y$? Нека ги разгледаме като друг елемент от коефициентите, т.е. Нека пренапишем нашия израз, както следва:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Пишем разлагането на нашата квадратна конструкция:

\[\ляво(x-y \вдясно)\ляво(x+6y \вдясно)\]

Като цяло, ако се върнем към оригиналния израз и го пренапишем, като вземем предвид промените, получаваме следното:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Какво ни дава такъв запис? Нищо, защото не може да се намали, не се умножи или раздели с нищо. Въпреки това, веднага след като тази фракция е интегрална частПовече ▼ сложен израз, такова разлагане ще дойде по-удобно. Ето защо, щом видите квадратен трином (независимо дали е натоварен с допълнителни параметри или не), винаги се опитвайте да го разлагате на множители.

Нюанси на решението

Запомнете основните правила за преобразуване на рационални изрази:

Всички знаменатели и числители трябва да бъдат разложени на множители или чрез съкратени формули за умножение, или чрез дискриминанта.
Трябва да работим според този алгоритъм: когато гледаме и се опитваме да подчертаем съкратената формула за умножение, тогава на първо място се опитваме да преведем всичко до максималната възможна степен. След това изваждаме общата степен от скоби.
Много често ще има изрази с параметър: други променливи ще се появяват като коефициенти. Намираме ги с помощта на формулата за квадратично разширение.

По този начин, веднага щом видите рационални дроби, първото нещо, което трябва да направите, е да разложите както числителя, така и знаменателя във фактори (в линейни изрази), докато използваме формулите за намалено умножение или дискриминанта.

Нека да разгледаме няколко такива рационални израза и да се опитаме да ги отделим.

Решаване на по-сложни примери

Задача №1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Пренаписваме и се опитваме да разширим всеки термин:

Нека пренапишем целия си рационален израз, като имаме предвид тези факти:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\вляво(3y\вдясно))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Отговор: $-1 $.

Задача №2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Нека разгледаме всички дроби.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\ляво(x-2 \вдясно))^(2))\]

Нека пренапишем цялата структура, като вземем предвид промените:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \вдясно))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \вляво(x-2 \вдясно))\]

Отговор: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Нюанси на решението

И така, какво научихме току-що:

Не всеки квадратен трином се разлага на множители, по-специално това се отнася за непълния квадрат на сбора или разликата, които много често се намират като части от кубовете за сбор или разлика.
Константи, т.е. обикновените числа, които нямат променливи със себе си, също могат да действат като активни елементи в процеса на разлагане. Първо, те могат да бъдат извадени от скоби, и второ, самите константи могат да бъдат представени като степени.
Много често след разлагането на всички елементи на фактори възникват противоположни конструкции. Трябва много внимателно да намалите тези дроби, защото когато ги зачеркнете отгоре или отдолу, се появява допълнителен фактор $-1$ - точно това е следствие от факта, че са противоположни.

Решаване на сложни проблеми

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Нека разгледаме всеки термин поотделно.

Първа фракция:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \вдясно))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \вдясно)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Можем да пренапишем целия числител на втората дроб, както следва:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Сега нека погледнем знаменателя:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Нека пренапишем целия рационален израз, като имаме предвид горните факти:

\[\ frac(\left(3a-4b \right)\left((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \вдясно))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Отговор: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Нюанси на решението

Както видяхме още веднъж, непълните квадрати на сбора или непълните квадрати на разликата, които често се срещат в реални рационални изрази, обаче, не се страхувайте от тях, тъй като след трансформацията на всеки елемент те почти винаги се отменят. Освен това в никакъв случай не трябва да се страхувате от големи конструкции в крайния отговор – напълно възможно е това да не е ваша грешка (особено ако всичко е взето предвид), но авторът е замислил такъв отговор.

В заключение бих искал да анализирам още един сложен пример, който вече не е пряко свързан с рационалните дроби, но съдържа всичко, което ви очаква на реални тестове и изпити, а именно: разлагане на множители, свеждане до общ знаменател, редуциране на сходни членове. Точно това ще направим сега.

Решаване на сложен проблем за опростяване и трансформиране на рационални изрази

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \вдясно)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Първо, разгледайте и разширете първата скоба: в нея виждаме три отделни дроби с различни знаменатели, така че първото нещо, което трябва да направим, е да доведем трите дроби до общ знаменател и за това всяка от тях трябва да бъде разложена на множители:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно)\]

Нека пренапишем цялата ни структура, както следва:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \вдясно)\ляво(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \вдясно))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \вдясно)\ляво(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ ляво(x-2 \вдясно)\ляво(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \вдясно))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Това е резултатът от изчисленията от първата скоба.

Работа с втората скоба:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ вдясно)\]

Нека пренапишем втората скоба, като вземем предвид промените:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Сега нека напишем цялата оригинална конструкция:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \вдясно)\ляво(x+2 \вдясно))=\frac(1)(x+2)\]

Отговор: $\frac(1)(x+2)$.

Нюанси на решението

Както виждате, отговорът се оказа съвсем нормален. Моля, обърнете внимание: много често при такива мащабни изчисления, когато единствената променлива е само в знаменателя, учениците забравят, че това е знаменателят и трябва да е в долната част на дроба и записват този израз в числителя - това е груба грешка.

Освен това бих искал да обърна специално внимание на това как се формализират подобни задачи. При всякакви сложни изчисления всички стъпки се извършват стъпка по стъпка: първо броим първата скоба отделно, след това втората скоба отделно и едва накрая комбинираме всички части и изчисляваме резултата. Така се застраховаме от глупави грешки, внимателно записваме всички изчисления и в същото време не губим допълнително време, както може да изглежда на пръв поглед.

В училище от VIII тип учениците се запознават със следните преобразувания на дроби: изразяване на дроб в по-големи дроби (6. клас), изразяване на неправилна дроб с цяло число или смесено число (6. клас), изразяване на дроби в равни части. (7. клас), изразяване на смесено число като неправилна дроб (7. клас).

Изразяване на неправилна дроб с цяло или смесено число

Ученето този материалтрябва да започнете със задачата: вземете 2 равни кръга и разделете всеки от тях на 4 равни части, пребройте броя на четвъртите части (фиг. 25). Освен това се предлага тази сума да се запише като дроб. След това четвъртият акции на-

лягат един до друг и учениците се убеждават, че се е получил цял кръг. Следователно, към четири четвърти добавя-

Ся последователно и учениците записват:

Учителят обръща внимание на учениците върху факта, че във всички разгледани случаи са взели неправилна дроб и в резултат на трансформацията са получили или цяло число, или смесено число, тоест са изразили неправилна дроб като цяло число или смесено число. След това трябва да се стремим да гарантираме, че учениците самостоятелно определят каква аритметична операция може да се извърши тази трансформация. Ярки примери, които водят до отговор на въпроса са: Заключение: до

За да изразите неправилна дроб като цяло число или смесено число, трябва да разделите числителя на дроба на знаменателя, да напишете частното като цяло число, да напишете остатъка в числителя и да оставите знаменателят същият. Тъй като правилото е тромаво, изобщо не е необходимо учениците да го запомнят. Те трябва да могат последователно да разказват за действията, когато извършват тази трансформация.

Преди да запознаете учениците с изразяването на неправилна дроб чрез цяло число или смесено число, препоръчително е да повторите с тях деленето на цяло число на цяло число с остатък.

Консолидирането на нова трансформация за учениците се улеснява от решаването на проблеми от жизненоважно и практично естество, например:

„Във вазата има девет четвърти от портокал. Колко цели портокали могат да се добавят от тези дялове? Колко четвърти остават?

Изразяване на цяло и смесено число като неправилна дроб

Въведението на учениците в тази нова трансформация трябва да бъде предшествано от решаване на проблеми, например:

„2 парчета плат, равни по дължина, имащи формата на квадрат, бяха разрязани на 4 равни части. От всяка такава част беше ушита носна кърпа. Колко носни кърпички получихте? .

След това учителят кани учениците да изпълнят следната задача: „Вземете цял кръг и още една половина от кръга, равен по размер на първия. Разрежете целия кръг наполовина. Колко половинки получихте? Запишете: беше кръг, стана кръг.

По този начин, въз основа на визуална и практическа основа, ние разглеждаме редица примери. В разглежданите примери от учениците се иска да сравнят първоначалното число (смесено или цяло) и числото, което се е оказало след преобразуването (неправилна дроб).

За да се запознаят учениците с правилото за изразяване на цяло и смесено число като неправилна дроб, е необходимо да се насочи вниманието им към съпоставянето на знаменателите на смесено число и неправилна дроб, както и как се получава числителят, за пример:

ще бъде 15/4. В резултат на това се формулира правило: за да се изрази смесено число като неправилна дроб, е необходимо да се умножи знаменателят по цяло число, да се добави числителя към произведението и да се напише сумата като числител и да се остави знаменателят непроменен.

Първо, трябва да упражните учениците да изразяват единица като неправилна дроб, след това всяко друго цяло число с указание на знаменателя и едва след това смесено число -

Основно свойство на дроб 1

Концепцията за неизменност на дроб при едновременно увеличаване или намаляване на нейните членове, т.е. числителя и знаменателя, се усвоява от учениците от VIII тип училище с голяма трудност. Тази концепция трябва да бъде въведена върху визуален и дидактичен материал и е важно учениците не само да наблюдават дейността на учителя, но и да работят активно с дидактически материали въз основа на наблюдения и практически дейности стигна до определени изводи, обобщения.

Например, учителят взема цяла ряпа, разделя я на 2 равни части и пита: „Какво получихте, като разделите цялата ряпа наполовина? (2 половини.) Покажете ряпата. Нарежете (разделете) половината от ряпата на още 2 равни части. какво ще получим? Напишете: Сравнете числителите и знаменателите на тези дроби. В кое време

пъти числителят се е увеличил? Колко пъти се е увеличил знаменателят? Колко пъти са се увеличили и числителят, и знаменателят? Променила ли се е фракцията? Защо не се е променило? Какви бяха дяловете: по-големи или по-малки? Броят на акциите се увеличи или намали?

След това всички ученици разделят кръга на 2 равни части, всяка половина на още 2 равни части, всяка четвъртинка на още 2 равни части и т.н. и записват: и т.н.

установете колко пъти са се увеличили числителят и знаменателят на дробта, дали дробта се е променила. След това начертайте сегмент и го разделете последователно на 3, 6, 12 равни частии напиши:

При сравняване на дроби оказва се, че

числителят и знаменателят на дроб се увеличават със същия брой пъти, дробът не се променя от това.

След разглеждане на редица примери, учениците трябва да бъдат помолени да отговорят на въпроса: „Ще се промени дробата, ако числителят

Някои знания по темата "Обикновени дроби" са изключени от учебната програма по математика в поправителни училища VIII вид, но те се съобщават на учениците в училищата за деца със закъснение умствено развитие, в уравнителни часове за деца с обучителни затруднения по математика. В този учебник параграфите, които дават методика за изучаване на този материал, са отбелязани със звездичка (*).

и умножете знаменателя на дроба по същото число (увеличете със същия брой пъти)? Освен това учениците трябва да бъдат помолени сами да предоставят примери.

Подобни примери са дадени, когато се разглежда намаляването на числителя и знаменателя с еднакъв брой пъти (числителят и знаменателят се делят на едно и също число). Например, кръгът е разделен на 8 равни части, вземете 4 осми от кръга,

като увеличат дяловете, взимат четвъртия, ще са 2. След като увеличат дяловете, взимат втория. Те ще се сравняват последователно

числители и знаменатели на тези дроби, отговаряйки на въпросите: „Колко пъти намаляват числителят и знаменателят? Ще се промени ли дробът?*.

Добра полза са ивици, разделени на 12, 6, 3 равни части (фиг. 26).

Въз основа на разгледаните примери учениците могат да заключат, че дробът няма да се промени, ако числителят и знаменателят на дробта се разделят на едно и също число (намалят със същия брой пъти). След това се дава обобщен извод - основното свойство на дроба: дробът няма да се промени, ако числителят и знаменателят на дроба се увеличат или намалят със същия брой пъти.

Намаляване на фракцията

Първо е необходимо да се подготвят учениците за това преобразуване на дроби. Както знаете, да намалите дроб означава да разделите числителя и знаменателя на дроб на едно и също число. Но делителят трябва да е число, което дава неприводима дроб в отговора.

Месец и половина преди учениците да се запознаят с намаляването на дробите, се извършва подготвителна работа - предлага се да се назоват два отговора от таблицата за умножение, които са разделени на едно и също число. Например: "Назовете две числа, които се делят на 4." (Първо учениците разглеждат 1 в таблицата и след това извикват тези числа по памет.) Извикват и двете числа и резултатите от деленето им на 4. След това учителят предлага на учениците за дроби, 3

например изберете делител - за числителя и знаменателя (основата за извършване на такова действие е таблицата за умножение).

каква таблица да гледам? На какво число могат да бъдат разделени 5 и 15?) Оказва се, че при разделяне на числителя и знаменателя на дроб на едно и също число, стойността на дроба не се е променила (това може да бъде показано на лента, сегмент, кръг) , само те станаха по-големи от дроба: Изгледът на дроба стана по-прост. Учениците се довеждат до заключението за правилото за намаляване на дробите.

Учениците от VIII тип училище често се затрудняват да намерят най-голямото число, на което се делят и числителят, и знаменателят на дроб. Поради това често се наблюдават грешки от това естество, като 4/12 = 2/6, т.е. ученикът не е намерил най-голямото общо

делител за числа 4 и 12. Следователно, отначало можете да разрешите постепенно деление, тоест, но в същото време да попитате на какво число са били разделени първо числителя и знаменателя на дроба, на кое число след това и след това кое число може веднага разделете дробите на числителя и знаменателя. Такива въпроси помагат на учениците постепенно да намерят най-големия общ делител на числителя и знаменателя на дроб.

Кастингдроби до най-малкия общ знаменател*

Намаляването на дробите до най-малкия общ знаменател трябва да се разглежда не като самоцел, а като трансформация, необходима за сравняване на дроби и след това за извършване на събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Учениците вече са запознати със сравняването на дроби с един и същ числител, но различни знаменатели и тези със същия знаменател, но различни числители. Те обаче все още не знаят как да сравняват дроби с различни числители и различни знаменатели.

Преди да обясните на учениците значението на нова трансформация, е необходимо да повторите обхванатия материал, като изпълните, например, следните задачи:

Сравнете дроби 2/5.2/7.2/3 Кажете правилото за сравняване на дроби с

същите числители.

Сравнете дроби. Кажете правилото за сравнение на дроби

със същите знаменатели.

Сравняване на дроби Тези дроби са трудни за сравняване за учениците

защото имат различни числители и различни знаменатели. За да сравните тези дроби, трябва да направите числителите или знаменателите на тези дроби равни. Обикновено знаменателите се изразяват в равни дялове, тоест дробите се редуцират до най-малкия общ знаменател.

Учениците трябва да бъдат запознати с начина на изразяване на дроби в равни части.

Първо се разглеждат дроби с различни знаменатели, но тези, в които знаменателят на една дроб се дели без остатък на знаменателя на друга дроб и следователно може да бъде и знаменател на друга дроб.

Например във дроби знаменателите са числата 8 и 2.

За да изразите тези дроби в равни части, учителят предлага по-малкият знаменател да се умножи последователно по числата 2, 3, 4 и т.н. и да се направи това, докато се получи резултат, равен на знаменателя на първата дроб. Например, умножаваме 2 по 2, получаваме 4. Отново знаменателите на двете дроби са различни. Освен това умножаваме 2 по 3, получаваме 6. Числото 6 също не се вписва. Умножаваме 2 по 4, получаваме 8. В този случай знаменателите са станали еднакви. За да не се промени дробът, е необходимо числителят на дроба да се умножи по 4 (въз основа на основното свойство на дроба). Вземете дроба Сега дробите се изразяват в равни части. те

лесни за сравняване и извършване на действия с тях.

Можете да намерите числото, с което да умножите по-малкия знаменател на една от дробите, като разделите по-големия знаменател на по-малкия. Например, ако 8 се раздели на 2, тогава получаваме числото 4. Трябва да умножите и знаменателя, и числителя на дроба по това число. Това означава, че за да изразите няколко дроби в равни части, трябва да разделите по-големия знаменател на по-малкия, да умножите частното по знаменателя и числителя на дроба с по-малки знаменатели. Например дадени дроби За да донесете тези дроби

до най-малкия общ знаменател, трябва 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Фракцията ще приеме формата . Тогава 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Дробът ще приеме формата. Следователно, дробите ще приемат формата, съответно, т.е. те ще бъдат изразени

nym в равни пропорции.

Провеждат се упражнения, които ви позволяват да формирате способността за намаляване на дроби до общ най-нисък знаменател.

Например, необходимо е да изразите в равни части дроб

За да не забравят учениците коефициентът, който се получава от разделянето на по-голям знаменател на по-малък, е препоръчително.

запишете над дроб с по-малък знаменател. Например и

След това разглеждаме дроби, в които по-големият знаменател не се дели на по-малкия и следователно не е

общи за тези фракции. Например, знаменател 8 не е

се дели на 6. В този случай по-големият знаменател 8 ще се умножи последователно по числата от числовия ред, като се започне с 2, докато се получи число, което се дели без остатък и от двата знаменателя 8 и 6. дробите да останат равни на данните, числителите трябва съответно да се умножат по същите числа. На-

3 5 пример, така че дробите r и * са изразени в равни дялове,

по-големият знаменател 8 се умножава по 2(8x2=16). 16 не се дели на 6, така че 8 се умножава по следващото число 3 (8x3=24). 24 се дели на 6 и 8, така че 24 е общият знаменател за тези дроби. Но за да останат равни дроби, техните числители трябва да се увеличат със същия брой пъти, колкото са били увеличени знаменателите, 8 да се увеличи с 3 пъти, което означава, че числителят на тази дроб 3 ще се увеличи с 3 пъти.

Фракцията ще бъде под формата на знаменател 6, увеличен с 4 пъти. Съответно числителят на 5-та дроб трябва да се увеличи с 4 пъти. Фракциите ще приемат формата

Така довеждаме учениците до общо заключение (правило) и ги запознаваме с алгоритъма за изразяване на дроби в равни части. Например, дадени са две дроби ¾ и 5/7

1. Намерете най-малкия общ знаменател: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 се дели на 4 и 7. 28 е най-рядко срещаният банер
държач на фракции

2. Намерете допълнителни множители: 28:4=7,

3. Нека ги запишем върху дроби:

4. Умножаваме числителите на дроби по допълнителни фактори:
3x7=21, 5x4=20.

Получаваме дроби със същите знаменатели. И така,

намалихме дробите до общ най-малък знаменател.

Опитът показва, че е препоръчително учениците да се запознаят с преобразуването на дроби, преди да изучават различни аритметични операции с дроби. Например, намаляването на дроби или замяната на неправилна дроб с цяло число или смесено число е препоръчително да се даде преди да се изучава събирането и изваждането на дроби със същите знаменатели, тъй като в получената сума или разлика

Ще трябва да направите една или и двете трансформации.

Намаляването на дроб до най-малкия общ знаменател се изучава най-добре с учениците преди темата „Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели“, а замяната на смесено число с неправилна дроб – преди темата „Умножение и деление на дроби с цяло число“ .

Събиране и изваждане на обикновени дроби

1. Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Проучване, проведено от Alysheva T.V. 1, посочва целесъобразността при изучаване на действията на събиране и изваждане на обикновени дроби със същите знаменатели да се използва аналогията с вече познатата на учениците събиране и изваждане

числа, получени в резултат на измерване на величини, и за изследване на действията по дедуктивния метод, тоест „от общото към частното“.

Първо, събирането и изваждането на числа с имената на мерките за стойност и дължина се повтарят. Например, 8 стр. 20 к. ± 4 стр. 15 к. Когато извършвате устно събиране и изваждане, трябва да добавите (извадите) първо рубли, а след това копейки.

3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - първо добавете (извадете) метри, а след това сантиметри.

Когато събирате и изваждате дроби, вземете предвид общслучай: извършване на тези действия със смесени числа (знаменателите са едни и същи): В този случай трябва: „Добавете (извадете) цели числа, след това числители и знаменателят остава същият.“ Това общо правило важи за всички случаи на събиране и изваждане на дроби. Постепенно се въвеждат конкретни случаи: събиране на смесено число с дроб, след това на смесено число с цяло число. След това се разглеждат по-трудни случаи на изваждане: 1) от смесено число на дроб: 2) от смесено число на цяло число:

След като овладеят тези доста прости случаи на изваждане, учениците се запознават с по-трудни случаи, когато се изисква намаляване: изваждане от една цяла единица или от няколко единици, например:

В първия случай единицата трябва да бъде представена като дроб със знаменател, равен на знаменателя на изваждането. Във втория случай вземаме единица от цяло число и също я записваме като неправилна дроб с изваден знаменател, получаваме смесено число в намалено число. Изваждането се извършва съгласно общото правило.

Накрая се разглежда най-трудният случай на изваждане: от смесено число, а числителят на дробната част е по-малък от числителя в изваждането. В този случай минусът трябва да се промени така, че да може да се приложи общото правило, т.е. в минуса се взема една единица от цялото и се разделя

в пети, получаваме, да, получаваме пример

ще приеме следната форма: вече е възможно да се приложи към неговото решение

общо правило.

Използването на дедуктивния метод за преподаване на събиране и изваждане на дроби ще допринесе за развитието на способността на учениците да обобщават, сравняват, диференцират, включват отделни случаи на изчисления в обща системапознания за операциите с дроби.

Статията разказва за трансформацията на рационалните изрази. Помислете за видовете рационални изрази, техните трансформации, групиране, поставяне в скоби на общия фактор. Нека се научим как да представяме дробни рационални изрази като рационални дроби.

Дефиниция и примери за рационални изрази

Определение 1

Изразите, които са съставени от числа, променливи, скоби, степени с операциите събиране, изваждане, умножение, деление с наличието на дробна черта се наричат рационални изрази.

Например имаме, че 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Тоест това са изрази, които нямат разделение на изрази с променливи. Изучаването на рационалните изрази започва с 8 клас, където се наричат дробни рационални изрази.Особено внимание се обръща на дробите в числителя, които се преобразуват с помощта на правила за трансформация.

Това ни позволява да преминем към преобразуването на рационални дроби с произволна форма. Такъв израз може да се разглежда като израз с наличие на рационални дроби и целочислени изрази със знаци за действие.

Основните видове трансформации на рационални изрази

Рационалните изрази се използват за извършване на идентични трансформации, групиране, прехвърляне като такива и извършване на други операции с числа. Целта на такива изрази е да опростят.

Пример 1

Преобразувайте рационален израз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Решение

Може да се види , че такъв рационален израз е разликата 3 · x x · y - 1 и 2 · x x · y - 1 . Забележете, че те имат един и същ знаменател. Това означава, че намаляването на подобни термини приема формата

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Отговор: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Пример 2

Извършете трансформацията 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Решение

Първоначално изпълняваме действия в скоби 3 · x − x = 2 · x . Този израз се представя като 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Стигаме до израз, който съдържа действия с един етап, тоест има събиране и изваждане.

Отървете се от скоби, като приложите свойството за разделяне. Тогава получаваме, че 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Групираме числените фактори с променливата x, след което можем да извършваме операции със степени. Ние разбираме това

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Отговор: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Пример 3

Преобразувайте израз от вида x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Решение

Първо, нека преобразуваме числителя и знаменателя. След това получаваме израз от вида (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, като първо се извършват действията в скоби. В числителя се извършват действия и се групират факторите. Тогава получаваме израз от вида x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 х + 2 .

Преобразуваме формулата за разликата на квадратите в числителя, след което получаваме това

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Отговор: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Представяне като рационална дроб

Алгебричната дроб най-често се подлага на опростяване при решаване. Всяко рационално се свежда до това различни начини. Необходимо е да се извършат всички необходими операции с полиноми, така че рационалният израз в крайна сметка да даде рационална дроб.

Пример 4

Изразете като рационална дроб a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Решение

Този израз може да бъде представен като 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Умножението се извършва преди всичко според правилата.

Трябва да започнем с умножение, след което получаваме това

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Ние произвеждаме представяне на резултата, получен с оригинала. Ние разбираме това

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Сега нека направим изваждането:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

След това е очевидно, че оригиналният израз ще приеме формата 16 a 2 - 9 .

Отговор: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Пример 5

Изразете x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x като рационална дроб.

Решение

Даденият израз се записва като дроб, в числителя на която има x x + 1 + 1, а в знаменателя 2 x - 1 1 + x. Необходимо е да се направят трансформации x x + 1 + 1 . За да направите това, трябва да добавите дроб и число. Получаваме, че x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

От това следва, че x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Получената дроб може да се запише като 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

След разделянето стигаме до рационална част от формата

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Можете да го решите по различен начин.

Вместо да разделяме на 2 x - 1 1 + x, ние умножаваме по обратното на 1 + x 2 x - 1. Прилагайки свойството за разпределение, получаваме това

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Отговор: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Дроби

Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Дробите в гимназията не са много досадни. За момента. Докато не се натъкнете на градуси с рационални показателида логаритми. И там…. Натискаш, натискаш калкулатора и той показва цялото табло на някои числа. Трябва да мислиш с главата си, като в трети клас.

Нека най-накрая да се справим с дробите! Е, колко можеш да се объркаш в тях!? Освен това всичко е просто и логично. Така, какво са дроби?

Видове фракции. Трансформации.

Фракциите са три вида.

1. Обикновени дроби , например:

Понякога вместо хоризонтална линия поставят наклонена черта: 1/2, 3/4, 19/5, добре и т.н. Тук често ще използваме този правопис. Извиква се горното число числител, нисък - знаменател.Ако постоянно бъркате тези имена (случва се ...), кажете си фразата с израза: " Zzzzzпомня! Zzzzzзнаменател - out zzzz u!" Вижте, всичко ще бъде запомнено.)

Тире, което е хоризонтално, което е наклонено, означава дивизиягорно число (числител) до долно число (знаменател). И това е! Вместо тире е напълно възможно да се постави знак за деление - две точки.

Когато разделянето е напълно възможно, то трябва да се направи. Така че вместо фракцията "32/8" е много по-приятно да напишете числото "4". Тези. 32 просто се дели на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Не говоря за фракцията "4/1". Което също е просто "4". И ако не се раздели напълно, оставяме го като дроб. Понякога трябва да направите обратното. Направете дроб от цяло число. Но повече за това по-късно.

2. Десетични знаци , например:

Именно в тази форма ще е необходимо да се запишат отговорите на задачи "B".

3. смесени числа , например:

Смесените числа практически не се използват в гимназията. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Но определено трябва да знаете как да го направите! И тогава такъв номер ще попадне в пъзела и ще увисне ... От нулата. Но ние помним тази процедура! Малко по-ниско.

Най-универсален обикновени дроби. Да започнем с тях. Между другото, ако във дроба има всякакви логаритми, синуси и други букви, това не променя нищо. В смисъл, че всичко действията с дробни изрази не се различават от действията с обикновени дроби!

Основно свойство на дроб.

Така че да тръгваме! Преди всичко ще те изненадам. Цялото разнообразие от фракционни трансформации се осигурява от едно свойство! Така се казва основно свойство на дроб. Помня: Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число, дробът няма да се промени.Тези:

Ясно е, че можеш да пишеш по-нататък, докато не си посинел. Не позволявайте на синусите и логаритмите да ви объркват, ние ще се занимаваме с тях допълнително. Основното нещо, което трябва да разберете, е, че всички тези различни изрази са същата фракция . 2/3.

И ние имаме нужда от него, всички тези трансформации? И как! Сега ще се убедите сами. Първо, нека използваме основното свойство на дроб за съкращения на дроби. Изглежда, че нещото е елементарно. Делим числителя и знаменателя на едно и също число и това е всичко! Невъзможно е да се обърка! Но... човекът е творческо същество. Можете да правите грешки навсякъде! Особено ако трябва да намалите не дроб като 5/10, а дробен израз с всякакви букви.

Как да намалите дробите правилно и бързо, без да вършите ненужна работа, можете да намерите в специален раздел 555.

Нормалният ученик не си прави труда да дели числителя и знаменателя на едно и също число (или израз)! Просто зачерква всичко едно и също отгоре и отдолу! Тук се крие типична грешка, гаф, ако желаете.

Например, трябва да опростите израза:

Няма какво да мислим, зачеркваме буквата "а" отгоре и двойката отдолу! Получаваме:

Всичко е правилно. Но наистина сподели цялото числител и цялото знаменател "а". Ако сте свикнали просто да зачертавате, тогава, набързо, можете да зачеркнете "а" в израза

и вземете отново

Което би било категорично погрешно. Защото тук цялоточислител на "а" вече не се споделя! Тази фракция не може да бъде намалена. Между другото, такова съкращение е, хм... сериозно предизвикателство за учителя. Това не се прощава! Помня? При намаляване е необходимо да се раздели цялото числител и цялото знаменател!

Намаляването на дробите прави живота много по-лесен. Някъде ще получите дроб, например 375/1000. И как да работим с нея сега? Без калкулатор? Умножете, кажете, съберете, квадратирайте!? И ако не ви мързи, но внимателно намалете с пет, и дори с пет, и дори ... докато се намалява, накратко. Получаваме 3/8! Много по-хубаво, нали?

Основното свойство на дроб ви позволява да преобразувате обикновени дроби в десетични и обратно без калкулатор! Това е важно за изпита, нали?

Как да конвертирате дроби от една форма в друга.

С десетичните знаци е лесно. Както се чува, така се пише! Да кажем 0,25. Това е нула точка, двадесет и пет стотни. Така че пишем: 25/100. Намаляваме (разделяме числителя и знаменателя на 25), получаваме обичайната дроб: 1/4. Всичко. Случва се и нищо не се намалява. Като 0,3. Това са три десети, т.е. 3/10.

Ами ако целите числа са различни от нула? ОК е. Запишете цялата дроб без никакви запетаив числителя, а в знаменателя - това, което се чува. Например: 3.17. Това са цели три, седемнадесет стотни. В числителя записваме 317, а в знаменателя 100. Получаваме 317/100. Нищо не се намалява, това означава всичко. Това е отговорът. Елементарно Уотсън! От всичко казано по-горе, едно полезно заключение: всяка десетична дроб може да се преобразува в обикновена дроб .

Но обратното преобразуване, обикновено в десетичен, някои не могат без калкулатор. Но трябва! Как ще запишеш отговора на изпита!? Ние внимателно четем и овладяваме този процес.

Какво е десетична дроб? Тя има в знаменателя винагиструва 10 или 100 или 1000 или 10 000 и така нататък. Ако обичайната ви дроб има такъв знаменател, няма проблем. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. И ако в отговора на задачата на раздел "B" се оказа 1/2? Какво ще напишем в отговор? Задължителни са десетичните знаци...

Помним основно свойство на дроб ! Математиката благоприятно ви позволява да умножите числителя и знаменателя по едно и също число. За всеки, между другото! Освен нула, разбира се. Нека използваме тази функция в наша полза! По какво може да се умножи знаменателят, т.е. 2, така че да стане 10, или 100, или 1000 (по-малко е по-добре, разбира се...)? 5, очевидно. Чувствайте се свободни да умножите знаменателя (това е наснеобходимо) с 5. Но тогава числителят също трябва да се умножи по 5. Това вече е математикаискания! Получаваме 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Това е всичко.

Срещат се обаче всякакви знаменатели. Например, дробът 3/16 ще падне. Опитайте, разберете с какво да умножите 16, за да получите 100 или 1000... Не става? След това можете просто да разделите 3 на 16. При липса на калкулатор ще трябва да разделите в ъгъла, на лист хартия, както учеха в началните класове. Получаваме 0,1875.

И има някои много лоши знаменатели. Например, дробът 1/3 не може да се превърне в добър десетичен знак. И на калкулатор, и на лист хартия получаваме 0,3333333 ... Това означава, че 1/3 в точна десетична дроб не се превежда. Точно като 1/7, 5/6 и така нататък. Много от тях са непреводими. Оттук следва още едно полезно заключение. Не всяка обикновена дроб се превръща в десетична. !

Между другото, това полезна информацияза самотест. В секция "B" в отговор трябва да запишете десетична дроб. И вие получавате, например, 4/3. Тази дроб не се преобразува в десетична. Това означава, че някъде по пътя сте направили грешка! Върнете се, проверете решението.

И така, с подредени обикновени и десетични дроби. Остава да се справим със смесени числа. За да работите с тях, всички те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Как да го направя? Можеш да хванеш шестокласник и да го попиташ. Но не винаги шестокласник ще е под ръка... Ще трябва да го направим сами. Това не е трудно. Умножете знаменателя на дробната част по цялата част и добавете числителя на дробната част. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Какво ще кажете за знаменателя? Знаменателят ще остане същият. Звучи сложно, но всъщност е доста просто. Да видим пример.

Пуснете в проблема, който видяхте с ужас, номера:

Спокойно, без паника, разбираме. Цялата част е 1. Едно. Дробната част е 3/7. Следователно знаменателят на дробната част е 7. Този знаменател ще бъде знаменателят на обикновената дроб. Броим числителя. Умножаваме 7 по 1 (цялата част) и добавяме 3 (числителя на дробната част). Получаваме 10. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Това е всичко. Изглежда още по-просто в математическата нотация:

ясно ли? Тогава си осигурете успеха! Преобразуване в обикновени дроби. Трябва да получите 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратната операция - превръщане на неправилна дроб в смесено число - рядко се изисква в гимназията. Е, ако... И ако не сте в гимназията, можете да разгледате специалния раздел 555. На същото място, между другото, ще научите за неправилните дроби.

Е, почти всичко. Запомнихте видовете дроби и разбрахте как преобразуват ги от един тип в друг. Остава въпросът: защо направи го? Къде и кога да приложим това дълбоко знание?

Аз отговарям. Всеки пример сам по себе си подсказва необходимите действия. Ако в примера обикновени дроби, десетични дроби и дори смесени числа са смесени в куп, ние превеждаме всичко в обикновени дроби. Винаги може да се направи. Е, ако е написано нещо от рода на 0,8 + 0,3, тогава ние мислим така, без никакъв превод. Защо се нуждаем от допълнителна работа? Избираме решението, което е удобно нас !

Ако задачата е пълна с десетични дроби, но хм... някакви зли, отидете на обикновени, опитайте! Вижте, всичко ще бъде наред. Например, трябва да квадратирате числото 0,125. Не е толкова лесно, ако не сте загубили навика с калкулатора! Не само трябва да умножите числата в колона, но и да помислите къде да вмъкнете запетаята! Определено не работи в ума ми! А ако отидете на обикновена дроб?

0,125 = 125/1000. Намаляваме с 5 (това е за начало). Получаваме 25/200. Още веднъж на 5. Получаваме 5/40. О, намалява се! Обратно към 5! Получаваме 1/8. Лесно квадратирайте (в ума си!) и вземете 1/64. Всичко!

Нека обобщим този урок.

1. Има три вида дроби. Обикновени, десетични и смесени числа.

2. Десетични и смесени числа винагиможе да се преобразува в обикновени дроби. Обратен превод не винагина разположение.

Сега можете да практикувате. Първо, преобразувайте тези десетични дроби в обикновени:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Трябва да получите отговори като този (в бъркотия!):

На това ще приключим. В този урок разгледахме ключовите точки за дробите. Случва се обаче да няма нищо специално за опресняване...) Ако някой напълно е забравил или все още не го е усвоил... Те могат да отидат в специален раздел 555. Всички основни неща са описани подробно там. Много изведнъж разбирам всичкозапочват. И те решават дроби в движение).