Принудителните трептения са тези, които възникват в трептяща система под действието на външна периодично променяща се сила. Тази сила, като правило, изпълнява двойна роля: първо, тя разклаща системата и й дава определено количество енергия; второ, той периодично попълва загубите на енергия (разход на енергия), за да преодолее силите на съпротивление и триене.
Нека движещата сила се променя с времето според закона:
Нека съставим уравнение на движението за система, която се колебае под въздействието на такава сила. Предполагаме, че системата също е засегната от квазиеластична сила и сила на съпротивление на средата (което е валидно при допускането за малки трептения). Тогава уравнението на движението на системата ще изглежда така:
След заместване, - собствената честота на колебанията на системата, получаваме нехомогенно линейно диференциално уравнение от 2-ри ред:
От теорията на диференциалните уравнения е известно, че общото решение на нехомогенно уравнение е равно на сбора от общото решение на еднородно уравнение и частно решение на нехомогенно уравнение.
Общото решение на хомогенното уравнение е известно:
С помощта на векторна диаграма можете да се уверите, че това предположение е вярно, както и да определите стойностите на "a" и "j".
Амплитудата на трептене се определя от следния израз:
Стойността на “j”, която е величината на фазовото забавяне на принудителното трептене от движещата сила, която го е причинила, също се определя от векторната диаграма и е:
И накрая, конкретно решение на нехомогенното уравнение ще има формата:
Тази функция се обобщава, за да даде общото решение на нехомогенното диференциално уравнение, описващо поведението на системата по време на принудителни трептения. Терминът (2) играе съществена роля в началния етап на процеса, по време на т. нар. установяване на трептения (фиг. 1). С течение на времето, поради експоненциалния фактор, ролята на втория член (2) все повече намалява и след достатъчно време може да се пренебрегне, запазвайки само члена (1) в решението.
Фиг. 1.
Така функцията (1) описва стабилни принудителни трептения. Те са хармонични трептения с честота, равна на честотата на движещата сила. Амплитудата на принудителните трептения е пропорционална на амплитудата на движещата сила. За дадена осцилаторна система (дефинирана w 0 и b) амплитудата зависи от честотата на движещата сила. Принудителните трептения изостават от движещата сила във фаза, а размерът на изоставането "j" също зависи от честотата на движещата сила. Детлаф А.А., Яворски Б.М. курс по физика: урокза университети. - 4-то изд., Rev. - М.: По-високо. училище, 2012. - 428 с.
Зависимостта на амплитудата на принудителните трептения от честотата на движещата сила води до факта, че при определена честота, определена за дадена система, амплитудата на трептене достига своята максимална стойност. Осцилаторната система е особено чувствителна към действието на движещата сила при тази честота. Това явление се нарича резонанс, а съответната честота се нарича резонансна честота.
В редица случаи една трептяща система осцилира под действието на външна сила, чиято работа периодично компенсира загубата на енергия поради триене и други съпротивления. Честотата на такива трептения не зависи от свойствата на самата трептяща система, а от честотата на промените в периодичната сила, под действието на която системата прави своите трептения. В този случай имаме работа с принудителни трептения, тоест с трептения, наложени на нашата система от действието на външни сили.
Източниците на смущаващи сили и следователно на принудителни трептения са много разнообразни.
Нека се спрем на естеството на смущаващите сили, срещани в природата и в технологиите. Както вече споменахме, електрически машини, парни или газови турбини, бързо въртящи се маховици и др. поради дисбаланса на въртящите се маси предизвикват трептения на роторите, подовете на основите на сгради и др. Бутални машини, които включват двигатели вътрешно горенеи парните машини, поради продължаващото възвратно-постъпателно движение на някои части (например бутало), изпускането на газове или пара, са източник на периодични смущаващи сили.
Обикновено смущаващите сили се увеличават с увеличаване на броя на оборотите на машината, така че борбата с вибрациите при високоскоростните машини става изключително важна. Често се извършва чрез създаване на специална еластична основа или чрез еластично окачващо устройство за машината. Ако машината е твърдо фиксирана върху основата, тогава смущаващите сили, действащи върху машината, се прехвърлят почти напълно към основата и по-нататък през земята към сградата, в която е монтирана машината, както и към близките конструкции.
За да се намали действието на небалансирани сили върху основата, е необходимо честотата на естествените вибрации на машината върху еластичната основа (подложка) да бъде значително по-ниска от честотата на смущаващите сили, определена от броя на оборотите на машина.
Причината за принудителните трептения на кораба, накланянето на кораби са вълни, които периодично се движат върху плаващ кораб. Освен търкалянето на кораба като цяло под действието на водните вълни се наблюдават и принудителни трептения (вибрации) на отделни части от корпуса на кораба. Причината за подобни вибрации е дисбалансът на главния двигател на плавателния съд, който върти витлото, както и на спомагателните механизми (помпи, динамо-машини и др.). По време на работата на корабните механизми възникват инерционни сили на небалансирани маси, чиято честота на повторение зависи от броя на оборотите на машината. В допълнение, принудителни вибрации на кораба могат да бъдат причинени от периодичния удар на лопатките на витлото върху корпуса на кораба. Зомерфелд А., Механика. Ї Ижевск: Изследователски център "Регулярна и хаотична динамика", 2001. Ї168 стр.
Принудителните вибрации на моста могат да бъдат причинени от група хора, които вървят по него в крачка. Трептенията на железопътния мост могат да възникнат под действието на близнаци, свързващи задвижващите колела на преминаващ парен локомотив. Причините, които причиняват принудителни вибрации на подвижния състав (електровоз, парен локомотив или дизелов локомотив и вагони), включват периодично повтарящи се удари на колелата върху релсовите възли. Принудителните вибрации на автомобилите се причиняват от многократни удари на колелата върху неравностите на пътната настилка. Принудителни трептения на асансьорите и подемните стойки на мини възникват поради неравномерната работа на подемната машина, поради неправилната форма на барабаните, върху които са навити въжетата и др. Поривите на вятъра могат да бъдат причините за принудителни вибрации на електрически проводници, високи сгради, мачти и комини.
Особен интерес представляват принудителните вибрации на самолетите, които могат да бъдат причинени от различни причини. Тук преди всичко трябва да се има предвид вибрацията на самолета, причинена от работата на витловата група. Поради дисбаланса на коляновия механизъм, работещите двигатели и въртящите се витла възникват периодични удари, които поддържат принудителни трептения.
Наред с колебанията, причинени от действието на външните периодични сили, разгледани по-горе, в самолетите се забелязват и външни влияния от различно естество. По-специално, има вибрации, свързани с лошо рационализиране на предната част на самолета. Лошото обтичане на надстройките по крилото или неравномерното свързване на крилото с фюзелажа (корпуса) на самолета води до вихрови образувания. Въздушните вихри, откъсвайки се, създават пулсираща струя, която удря опашното устройство и го кара да се разклати. Такова разклащане на самолета се случва при определени условия на полет и се проявява под формата на сътресения, които не се случват съвсем редовно, след 0,5-1 секунда.
Този вид вибрации, дължащи се главно на вибрации на части от самолета поради турбуленция в потока около крилото и други предни части на самолета, се наричат "полуване". Явлението на удари, причинено от срива на крилото, е особено опасно, когато периодът на удари в опашната част на самолета е близък до периода на свободни трептения на опашката или фюзелажа на самолета. В този случай трептенията на "полуването" се увеличават рязко.
Наблюдавани са много интересни случаи на полиране при спускане на войски от крилото на самолет. Появата на хора на крилото доведе до образуване на вихри, което кара самолета да вибрира. Друг случай на поява на полиране на оперението на двуместен самолет беше причинен от факта, че пътник седеше в задната кабина и изпъкналата глава допринесе за образуването на вихри във въздушния поток. При липса на пътник в задната кабина не се наблюдават колебания.
Важни са и флексурните трептения на витлото, причинени от смущаващи сили от аеродинамичен характер. Тези сили възникват поради факта, че витлото по време на въртене за всеки оборот преминава два пъти покрай предния ръб на крилото. Скоростите на въздушния поток в непосредствена близост до крилото и на известно разстояние от него са различни и следователно аеродинамичните сили, действащи върху витлото, трябва периодично да се променят два пъти за всеки оборот на витлото. Това обстоятелство е причината за възбуждането на напречните трептения на лопатките на витлото.
Загубата на механична енергия във всяка осцилаторна система поради наличието на сили на триене е неизбежна, следователно, без "изпомпване" на енергия отвън, трептенията ще бъдат затихнали. Има няколко принципно различни начина за създаване на осцилаторни системи от незатихващи трептения. Нека да разгледаме по-отблизо незатихващи трептения под действието на външна периодична сила. Такива трептения се наричат принудителни. Нека продължим да изучаваме движението на хармонично махало (фиг. 6.9).
В допълнение към разгледаните по-рано еластични сили и вискозно триене, върху топката се действа от външна завладяващпериодична сила, която варира според хармоничния закон
честота, която може да се различава от собствената честота на махалото ω о. Природата на тази сила не е важна за нас в този случай. Такава сила може да бъде създадена по различни начини, например чрез придаване на електрически заряд на топката и поставянето й във външно променливо електрическо поле. Уравнението за движение на топката в разглеждания случай има вида
Разделяме го на масата на топката и използваме предишната нотация за параметрите на системата. В резултат получаваме уравнение за принудителна вибрация:
където е о = F о /ме съотношението на амплитудната стойност на външната движеща сила към масата на топката. Общото решение на уравнение (3) е доста тромаво и, разбира се, зависи от начални условия. Естеството на движението на топката, описано с уравнение (3), е разбираемо: под действието на движещата сила възникват трептения, чиято амплитуда ще се увеличава. Този преходен режим е доста сложен и зависи от началните условия. След определен период от време ще се установи осцилаторният режим, амплитудата им ще престане да се променя. Точно стационарно трептене, в много случаи е от първостепенен интерес. Няма да разглеждаме прехода на системата към стационарно състояние, а ще се съсредоточим върху описанието и изследването на характеристиките на този режим. При такава постановка на задачата не е необходимо да се задават началните условия, тъй като интересният за нас стационарен режим не зависи от началните условия, неговите характеристики се определят напълно от самото уравнение. Подобна ситуация срещнахме при изучаване на движението на тяло под действието на постоянна външна сила и силата на вискозното триене
След известно време тялото се движи с постоянна постоянна скорост v = F о /β , което не зависи от началните условия и се определя изцяло от уравнението на движението. Началните условия определят режима от преход към стационарно движение. Въз основа на здравия разум е разумно да се предположи, че в стационарния режим на трептене топката ще осцилира с честотата на външната движеща сила. Следователно решението на уравнение (3) трябва да се търси в хармонична функция с честотата на движещата сила. Първо решаваме уравнение (3), пренебрегвайки силата на съпротивление
Нека се опитаме да намерим неговото решение под формата на хармонична функция
За целта изчисляваме зависимостите на скоростта и ускорението на тялото от времето, като производни на закона за движение
и заместете техните стойности в уравнение (4)
Сега можете да изрежете на cosωt. Следователно този израз се превръща в истинска идентичност по всяко време, при условие че условието
По този начин нашето предположение за решението на уравнение (4) във формата (5) беше оправдано: режимът на стационарно трептене се описва с функцията
Имайте предвид, че кое Аспоред получения израз (6), той може да бъде както положителен (за ω < ω о) и отрицателен (за ω > ω о). Промяната на знака съответства на промяна във фазата на трептене от π (причината за такава промяна ще бъде изяснена малко по-късно), следователно, амплитудата на трептенията е модулът на този коефициент |A|. Амплитудата на устойчивите трептения, както се очаква, е пропорционална на величината на движещата сила. Освен това тази амплитуда зависи по сложен начин от честотата на движещата сила. Схематична диаграма на тази зависимост е показана на фиг. 6.10
Ориз. 6.10 Резонансна крива
Както следва от формула (6) и ясно се вижда на графиката, когато честотата на движещата сила се доближава до естествената честота на системата, амплитудата рязко нараства. Причината за такова увеличение на амплитудата е ясна: движещата сила "на време" избутва топката, при пълно съвпадение на честотите, стационарното състояние отсъства - амплитудата се увеличава до безкрайност. Разбира се, на практика е невъзможно да се наблюдава такова безкрайно увеличение: първо, това може да доведе до разрушаване на самата осцилаторна система, Второ, при големи амплитуди на трептене, съпротивителните сили на средата не могат да бъдат пренебрегнати. Рязкото увеличаване на амплитудата на принудителните трептения, когато честотата на движещата сила се доближава до естествената честота на трептенията на системата, се нарича резонансен феномен. Нека сега да продължим към търсенето на решение на уравнението на принудителните трептения, като се вземе предвид силата на съпротивление
Естествено и в този случай решението трябва да се търси под формата на хармонична функция с честотата на движещата сила. Лесно е да се види, че търсенето на решение във формата (5) в този случай няма да доведе до успех. Наистина, уравнение (8), за разлика от уравнение (4), съдържа скоростта на частиците, която се описва от функцията синус. Следователно частта от времето в уравнение (8) няма да бъде намалена. Следователно решението на уравнение (8) трябва да бъде представено в общия вид на хармонична функция
в който два параметъра А ои φ трябва да се намери с помощта на уравнение (8). Параметър А ое амплитудата на принудителните трептения, φ − фазово изместване между променящата се координата и променливата движеща сила. Използвайки тригонометричната формула за косинуса на сбора, функцията (9) може да бъде представена в еквивалентната форма
който също съдържа два параметъра B=A о cosφи C = −A о sinφда се определи. Използвайки функция (10), пишем явни изрази за зависимостите на скоростта и ускорението на частицата от времето
и заместваме в уравнение (8):
Нека пренапишем този израз като
За да се запази равенството (13) по всяко време , е необходимо коефициентите при косинус и синус да са равни на нула. Въз основа на това условие получаваме две линейни уравнения за определяне на параметрите на функция (10):
Решението на тази система от уравнения има формата
Въз основа на формула (10) определяме характеристиките на принудителните трептения: амплитудата
фазово изместване
При ниско затихване тази зависимост има рязък максимум, когато честотата на движещата сила се приближи ω към собствената честота на системата ω о. Следователно в този случай може да възникне и резонанс, поради което конструираните зависимости често се наричат резонансна крива. Отчитането на слабото затихване показва, че амплитудата не се увеличава до безкрайност, максималната й стойност зависи от коефициента на затихване - с увеличаването на последния максималната амплитуда бързо намалява. Получената зависимост на амплитудата на трептене от честотата на движещата сила (16) съдържа твърде много независими параметри ( е о , ω о , γ ), за да се конструира пълно семейство от резонансни криви. Както в много случаи, тази зависимост може да бъде значително опростена чрез преминаване към "безразмерни" променливи. Нека преобразуваме формула (16) до следния вид
и обозначават
− относителна честота (отношението на честотата на движещата сила към собствената честота на колебанията на системата);
− относителна амплитуда (отношението на амплитудата на трептенията към величината на отклонението А о = f/ω о 2 при нулева честота);
е безразмерен параметър, който определя размера на затихването. Използвайки тези обозначения, функцията (16) е значително опростена
тъй като съдържа само един параметър − δ . Еднопараметърно семейство от резонансни криви, описани от функцията (16 b), може да бъде конструирано, особено лесно с помощта на компютър. Резултатът от такава конструкция е показан на фиг. 629.
ориз. 6.11
Имайте предвид, че преходът към "обичайните" мерни единици може да се извърши чрез елементарна промяна в мащаба на координатните оси. Трябва да се отбележи, че честотата на движещата сила, при която амплитудата на принудителните трептения е максимална, също зависи от коефициента на затихване, като леко намалява с нарастването на последния. И накрая, ние подчертаваме, че увеличаването на коефициента на затихване води до значително увеличаване на ширината на резонансната крива. Полученото фазово изместване между трептенията на точката и движещата сила също зависи от честотата на трептенията и техния коефициент на затихване. Ще се запознаем по-подробно с ролята на това фазово изместване, когато разглеждаме трансформацията на енергията в процеса на принудителни трептения.
честотата на свободните незатихващи трептения съвпада със собствената честота, честотата на затихващите трептения е малко по-малка от собствената честота, а честотата на принудителното трептене съвпада с честотата на движещата сила, а не със собствената честота.
Принудителни електромагнитни трептения
принуденинаречени такива трептения, които възникват в осцилаторната система под въздействието на външно периодично влияние.
Фиг.6.12. Верига с принудителни електрически трептения
Помислете за процесите, протичащи в електрическа осцилаторна верига ( фиг.6.12) свързан към външен източник, чиято ЕМП варира според хармоничния закон
,
където ме амплитудата на външната ЕМП,
е цикличната честота на ЕМП.
Означете с У ° Снапрежение на кондензатора, и и - сила на тока във веригата. В тази верига, в допълнение към променливата EMF (T) все още има ЕМП на самоиндукция Лв индуктора.
ЕМП на самоиндукция е право пропорционална на скоростта на промяна на силата на тока във веригата
.
За изход диференциално уравнение на принудителни трептениявъзникващи в такава верига, ние използваме второто правило на Кирхоф
.
Напрежение на съпротивлението Рнамерете по закона на Ом
.
Силата на електрическия ток е равна на заряда, протичащ за единица време през напречното сечение на проводника
.
Следователно
.
Волтаж У ° Сна кондензатора е право пропорционална на заряда върху плочите на кондензатора
.
ЕМП на самоиндукция може да се представи чрез втората производна на заряда по отношение на времето
.
Заместване на напреженията и ЕДС във второто правило на Кирхоф
.
Разделяне на двете страни на този израз на Ли разпределяйки членовете според степента на намаляване в реда на производната, получаваме диференциално уравнение от втори ред
.
Нека въведем следната нотация и получим
е коефициентът на затихване,
е цикличната честота на собствените трептения на веригата.
.
(1)
Уравнение (1) е хетерогененлинейно диференциално уравнение от втори ред. Уравненията от този тип описват поведението на широк клас осцилаторни системи (електрически, механични) под въздействието на външно периодично действие (външно ЕМП или външна сила).
Общото решение на уравнение (1) е сумата от общото решение q 1 хомогеннадиференциално уравнение (2)
(2)
и всяко конкретно решение q 2 хетерогененуравнения (1)
.
Един вид общо решение хомогеннауравнение (2) зависи от стойността на коефициента на затихване . Интересуваме се от случая на слабо затихване << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
където Би 0 са константи, дадени от началните условия.
Решение (3) описва затихване на трептения във веригата. Стойности, включени в (3):
е цикличната честота на затихващите трептения;
е амплитудата на затихналите трептения;
е фазата на затихналите трептения.
Търсим конкретно решение на уравнение (1) под формата на хармонично трептене, възникващо с честота, равна на честотата външно периодично въздействие - ЕМП, и изоставане във фаза по От него
където 
е амплитудата на принудителните трептения, която зависи от честотата.
Заместваме (4) с (1) и получаваме тъждеството
За да сравним фазите на трептения, използваме тригонометричните формули за редукция
.
Тогава нашето уравнение ще бъде пренаписано във формата
Нека представим флуктуациите от лявата страна на получената идентичност във формата векторна диаграма (ориз.6.13)..
Третият член, съответстващ на флуктуациите в капацитета ОТ, който има фаза (
T
–
) и амплитуда 
, представляват хоризонтален вектор, насочен надясно.
Фиг.6.13. векторна диаграма
Първият член на лявата страна, съответстващ на трептения на индуктивността Л, ще бъде представен на векторната диаграма от вектор, насочен хоризонтално наляво (неговата амплитуда 
).
Вторият член съответства на колебанията в съпротивлението Р, представляват вектор, насочен вертикално нагоре (неговата амплитуда 
), тъй като неговата фаза е /2 зад фазата на първия член.
Тъй като сборът от три вибрации вляво от знака за равенство дава хармонична вибрация 
, тогава векторната сума на диаграмата (правоъгълник диагонал) изобразява трептене с амплитуда 
и фаза
T, който е включен
преди фазата на трептения на третия член.
От правоъгълен триъгълник, използвайки питагоровата теорема, можете да намерите амплитудата А( )
(5)
и tg като съотношението на противоположния крак към съседния крак.
.
(6)
Следователно решението (4), като се вземат предвид (5) и (6), приема формата
.
(7)
Общо решение на диференциално уравнение(1) е сумата q 1 и q 2
.
(8)
Формула (8) показва, че когато към веригата се приложи периодична външна ЕДС, в нея възникват трептения с две честоти, т.е. незатихващи трептения с честотата на външната ЕМП
и затихване на трептения с честота 
. Амплитуда на затихване на трептения 
става незначително с времето и във веригата остават само принудителни трептения, чиято амплитуда не зависи от времето. Следователно, устойчивите принудителни трептения се описват с функция (4). Тоест във веригата възникват принудителни хармонични трептения с честота, равна на честотата на външното въздействие, и амплитуда 
, в зависимост от тази честота ( ориз. 3а) съгласно закона (5). В този случай фазата на принудителното трептене изостава с
от принуда.
Диференцирайки израз (4) по отношение на времето, намираме силата на тока във веригата
където 
е амплитудата на силата на тока.
Записваме този израз за текущата сила във формата
,
(9)
където 
–фазово изместване между тока и външната ЕДС.
Според (6) и ориз. 2
.
(10)
От тази формула следва, че фазовото изместване между тока и външната ЕДС зависи при постоянно съпротивление Р, от съотношението между честотата на задвижващата ЕМП и собствена честота на веригата 0 .
Ако < 0, след това фазовото изместване между тока и външната ЕМП < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Ако > 0, тогава > 0. Флуктуациите на тока изостават с ъгъл от колебанията на ЕМП във фаза .
Ако = 0 (резонансна честота), тогава \u003d 0, т.е. силата на тока и EMF осцилират в една и съща фаза.
Резонанс- това е явление на рязко нарастване на амплитудата на трептенията, когато честотата на външната движеща сила съвпада с собствената честота на осцилаторната система.
При резонанс = 0 и период на трептене
.
Като се има предвид, че коефициентът на затихване
,
получаваме изрази за качествен фактор при резонанс T = T 0
,
от друга страна
.
Амплитудите на напрежението върху индуктивността и капацитета при резонанс могат да бъдат изразени чрез качествен фактор на веригата
,
(15)
.
(16)
От (15) и (16) се вижда, че при
=
0, амплитудата на напрежението през кондензатора и индуктивността в Впъти амплитудата на външната емф. Това е свойство на сериал RLCконтурът се използва за изолиране на радиосигнал с определена честота 
от спектъра на радиочестотите при преструктурирането на радиоприемника.
На практика RLCверигите са свързани към други вериги, измервателни уреди или усилвателни устройства, като внасят допълнително затихване в RLCверига. Следователно, реалната стойност на коефициента на качество на заредените RLCверига се оказва по-ниска от коефициента на качество, оценен по формулата
.
Реалната стойност на фактора на качеството може да се оцени като
Фиг.6.14. Определяне на качествен фактор от резонансната крива
,
където ее честотната лента, в която амплитудата е 0,7 от максималната стойност ( ориз. 4).
Напрежение на кондензатора У ° С, на активно съпротивление У Ри на индуктора У Лдостигат максимум при различни честоти, респ
,
,
.
Ако затихването е малко 0 >> , то всички тези честоти практически съвпадат и можем да предположим, че
.
В този урок всеки ще може да изучава темата „Трансформация на енергия при осцилаторно движение. заглушени вибрации. Принудителни вибрации. В този урок ще разгледаме какъв вид енергийна трансформация се случва при осцилаторно движение. За да направим това, ще проведем важен експеримент с хоризонтална пружинна система с махало. Ще обсъдим и въпроси, свързани с затихване на трептения и принудителни трептения.
Урокът е посветен на темата "Преобразуване на енергия при осцилаторно движение". Освен това ще разгледаме въпроса, свързан с затихващи и принудителни трептения.
Нека опознаем този въпрос със следващия важен експеримент. Към пружината е прикрепено тяло, което може да осцилира хоризонтално. Такава система се нарича хоризонтално пружинно махало. В този случай ефектът на гравитацията може да бъде пренебрегнат.
Ориз. 1. Хоризонтално пружинно махало
Ще приемем, че в системата от сили на триене няма сили на съпротивление. Когато тази система е в равновесие и не се появяват трептения, скоростта на тялото е 0 и няма деформация на пружината. В този случай това махало няма енергия. Но веднага щом тялото се измести спрямо равновесната точка надясно или наляво, в този случай ние ще извършим работата по предаване на енергия в тази осцилаторна система. Какво се случва в този случай? Случва се следното: пружината се деформира, дължината й се променя. Даваме на пружината потенциална енергия. Ако сега освободите товара, не го задържайте, тогава той ще започне да се движи към равновесно положение, пружината ще започне да се изправя и деформацията на пружината ще намалее. Скоростта на тялото ще се увеличи и според закона за запазване на енергията потенциалната енергия на пружината ще се преобразува в кинетичната енергия на движението на тялото.
Ориз. 2. Етапи на трептене на пружинно махало
Деформация∆x на пружината се определя, както следва: ∆x = x 0 - x. След като разгледахме деформацията, можем да кажем, че цялата потенциална енергия се съхранява през пролетта: .
По време на трептения потенциалната енергия постоянно се превръща в кинетичната енергия на пръчката: .
Например, когато прътът премине точката на равновесие x 0 , деформацията на пружината е 0, т.е. ∆x=0, следователно, потенциалната енергия на пружината е 0 и цялата потенциална енергия на пружината се е превърнала в кинетична енергия на пръта: E p (в точка B) \u003d E k (в точка A). Или 
.
В резултат на това движение потенциалната енергия се превръща в кинетична. Тогава се задейства така нареченият феномен на инерцията. Тяло, което има определена маса, по инерция преминава точката на равновесие. Скоростта на тялото започва да намалява, а деформацията, удължението на пружината се увеличава. Може да се заключи, че кинетичната енергия на тялото намалява, а потенциалната енергия на пружината започва да се увеличава отново. Можем да говорим за превръщането на кинетичната енергия в потенциална.
Когато тялото най-накрая спре, скоростта на тялото ще бъде равна на 0, а деформацията на пружината ще стане максимална, в този случай можем да кажем, че цялата кинетична енергия на тялото се е превърнала в потенциалната енергия на пружината . В бъдеще всичко се повтаря отначало. Ако едно условие е изпълнено, такъв процес ще протича непрекъснато. Какво е това състояние? Това условие е липсата на триене. Но силата на триене, силата на съпротивление присъства във всяка система. Следователно при всяко следващо движение на махалото настъпват загуби на енергия. Работи се за преодоляване на силата на триене. Сила на триене по закона на Кулон - Амонтон: F TP \u003d μ.н.
Говорейки за трептения, винаги трябва да помним, че силата на триене води до факта, че постепенно цялата енергия, съхранявана в дадена осцилаторна система, се превръща във вътрешна енергия. В резултат на това трептенията спират и след като трептенията спрат, тогава такива трептения се наричат затихващи.
заглушени вибрации - вибрации, чиято амплитуда намалява поради факта, че енергията на осцилаторната система се изразходва за преодоляване на силите на съпротивление и силите на триене.
Ориз. 3. Графика на затихване на трептения
следващ изгледфлуктуации, които ще разгледаме, т.нар. принудителни вибрации. Принудителни вибрации наричани такива вибрации, които възникват под действието на периодична външна сила, действаща върху дадена осцилаторна система.
Ако махалото трепти, то за да не спрат тези трептения, всеки път, когато върху махалото трябва да действа външна сила. Например, ние действаме върху махалото със собствената си ръка, караме го да се движи, бутаме го. Наложително е да действате с известна сила и да компенсирате загубата на енергия. И така, принудителните вибрации са тези вибрации, които възникват под действието на външна движеща сила. Честотата на такива трептения ще съвпада с честотата на външното оперативна сила. Когато външна сила започне да действа върху махалото, се случва следното: в началото трептенията ще имат малка амплитуда, но постепенно тази амплитуда ще се увеличава. И когато амплитудата придобие постоянна стойност, честотата на трептене също придобива постоянна стойност, казват, че такива трептения са установени. Установени са принудителни трептения.
установено принудителни вибрациикомпенсира загубата на енергия именно поради работата на външна движеща сила.
Резонанс
Има много важно явление, което доста често се наблюдава в природата и технологиите. Това явление се нарича резонанс. "Резонанс" е латинска дума и се превежда на руски като "отговор". Резонанс (от лат.resono - „отговарям“) - феноменът на увеличаване на амплитудата на принудителните трептения на системата, което възниква, когато честотата на външното действие на силата се доближи до честотата на естественото трептене на махалото или тази осцилаторна система .
Ако има махало, което има собствена дължина, маса или твърдост на пружината, то това махало има свои собствени трептения, които се характеризират с честота. Ако външна движеща сила започне да действа върху това махало и честотата на тази сила започне да се доближава до естествената честота на махалото (съвпада с нея), тогава настъпва рязко увеличаване на амплитудата на трептене. Това е феноменът на резонанса.
В резултат на подобно явление трептенията могат да бъдат толкова големи, че тялото, самата осцилаторна система, ще се срути. Известен е случай, когато върволица от войници, минаваща през моста, в резултат на подобно явление просто срутва моста. Друг случай, когато в резултат на движението на въздушните маси, достатъчно мощни пориви на вятъра, мост се срути в Съединените щати. Това също е феномен на резонанса. Трептенията на моста, техните собствени вибрации, съвпадаха с честотата на поривите на вятъра, външната движеща сила. Това накара амплитудата да се увеличи толкова много, че мостът се срути.
Те се опитват да вземат предвид това явление при проектирането на конструкции и механизми. Например, когато влак се движи, може да се случи следното. Ако един вагон се движи и този вагон започне да се люлее в ритъма на движението си, тогава амплитудата на трептенията може да се увеличи толкова много, че вагонът може да дерайлира. Ще има катастрофа. За характеризиране на това явление се използват криви, които се наричат резонансни.
Ориз. 4. Резонансна крива. Пик на кривата - максимална амплитуда
Разбира се, резонансът не само се бори, но и се използва. Използва се предимно в акустиката. Там, където има аудитория, театрална зала, концертна зала, трябва да вземем предвид явлението резонанс.
Списък с допълнителна литература:
Запознат ли си с резонанса? // Квант. - 2003. - No 1. - С. 32-33 Физика: Механика. 10 клас: Proc. за задълбочено изучаване на физиката / М.М. Балашов, A.I. Гомонова, А.Б. Долицки и др.; Изд. Г.Я. Мякишев. - М.: Дропла, 2002. Начален учебник по физика. Изд. G.S. Ландсберг, Т. 3. - М., 1974
Принудителни вибрации се наричат такива вибрации, които възникват в системата под действието на външна задвижваща, периодично променяща се сила, наречена движеща сила.
Естеството (зависимост от времето) на движещата сила може да бъде различно. Това може да бъде сила, която се променя според хармоничния закон. Например звукова вълна, чийто източник е камертон, удря тъпанчето или мембраната на микрофона. Хармонично променяща се сила на въздушното налягане започва да действа върху мембраната.
Движещата сила може да бъде под формата на удари или кратки импулси. Например, възрастен люлее дете на люлка, като периодично ги бута в момента, когато люлката дойде в едно от крайните положения.
Нашата задача е да разберем как осцилаторната система реагира на действието на периодично променяща се движеща сила.
§ 1 Движещата сила се променя според хармоничния закон
F cont = - rv xи движеща сила F out \u003d F 0 sin wt.
Вторият закон на Нютон се записва така:
Решението на уравнение (1) се търси във вида , където е решението на уравнение (1), ако то няма дясната страна. Вижда се, че без дясната страна уравнението се превръща в познато ни уравнение на затихващи трептения, чието решение вече знаем. За достатъчно многосвободните трептения, които възникват в системата, когато тя бъде извадена от положението на равновесие, практически ще изчезнат и само вторият член ще остане в решението на уравнението. Ще търсим това решение във формата
Нека групираме термините по различен начин:
Това равенство трябва да се изпълнява по всяко време t, което е възможно само ако коефициентите при синус и косинус са равни на нула.
И така, тялото, върху което действа движещата сила, променяйки се по хармоничния закон, извършва осцилаторно движение с честотата на движещата сила.
Нека разгледаме по-подробно въпроса за амплитудата на принудителните трептения:
1 Амплитудата на стационарните принудителни трептения не се променя с течение на времето. (Сравнете с амплитудата на свободните затихващи трептения).
2 Амплитудата на принудителните трептения е право пропорционална на амплитудата на движещата сила.
3 Амплитудата зависи от триенето в системата (A зависи от d, а коефициентът на затихване d от своя страна зависи от коефициента на съпротивление r). Колкото по-голямо е триенето в системата, толкова по-малка е амплитудата на принудителните трептения.
4 Амплитудата на принудителните трептения зависи от честотата на движещата сила w. Как? Изучаваме функцията A(w).
Когато w = 0 (върху осцилаторната система действа постоянна сила), изместването на тялото остава непроменено с течение на времето (трябва да се има предвид, че това се отнася за стационарно състояние, когато естествените трептения са почти изчезнали).
· Когато w ® ¥, тогава, както е лесно да се види, амплитудата A клони към нула.
Очевидно е, че при определена честота на движещата сила амплитудата на принудителните трептения ще заеме най-висока стойност(за дадено d). Явлението на рязко увеличаване на амплитудата на принудителното трептене при определена стойност на честотата на движещата сила се нарича механичен резонанс.
Интересно е, че коефициентът на качество на осцилаторната система в този случай показва колко пъти резонансната амплитуда надвишава изместването на тялото от равновесното положение под действието на постоянна сила F 0 .
Виждаме, че както резонансната честота, така и резонансната амплитуда зависят от коефициента на затихване d. Когато d намалява до нула, резонансната честота се увеличава и клони към честотата на собствените трептения на системата w 0 . В този случай резонансната амплитуда се увеличава и при d = 0 се обръща към безкрайност. Разбира се, на практика амплитудата на трептенията не може да бъде безкрайна, тъй като съпротивителните сили винаги действат в реални осцилаторни системи. Ако системата има ниско затихване, тогава приблизително можем да предположим, че резонансът възниква при честотата на собствените трептения:
където в разглеждания случай е фазовото изместване между движещата сила и изместването на тялото от равновесното положение.
Лесно е да се види, че фазовото изместване между силата и изместването зависи от триенето в системата и честотата на външната движеща сила. Тази зависимост е показана на фигурата. Вижда се, че при< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- положителен.
Познавайки зависимостта от ъгъла, може да се получи зависимостта от честотата на движещата сила.
При честоти на външната сила, които са значително по-малки от нейните, изместването малко изостава от движещата сила във фаза. С увеличаване на честотата на външната сила това забавяне на фазата се увеличава. При резонанс (ако е малък), фазовото изместване става равно на . При >> флуктуациите на изместването и силата се появяват в противофаза. Такава зависимост може да изглежда странна на пръв поглед. За да разберем този факт, нека се обърнем към енергийните трансформации в процеса на принудителни трептения.
§ 2 Енергийни трансформации
Както вече знаем, амплитудата на трептене се определя от общата енергия на осцилаторната система. По-рано беше показано, че амплитудата на принудителните трептения остава непроменена с времето. Това означава, че общата механична енергия на осцилаторната система не се променя с течение на времето. Защо? В крайна сметка системата не е затворена! Две сили - външна периодично променяща се сила и сила на съпротивление - извършват работа, която трябва да промени общата енергия на системата.
Нека се опитаме да разберем какво има. Силата на външната движеща сила може да се намери, както следва:
Виждаме, че силата на външната сила, захранваща осцилаторната система с енергия, е пропорционална на амплитудата на трептене.
Поради работата на силата на съпротивление енергията на осцилаторната система трябва да намалее, превръщайки се във вътрешна енергия. Сила на съпротивление:
Очевидно силата на съпротивлението е пропорционална на квадрата на амплитудата. Нека начертаем и двете зависимости на графиката.
За да бъдат трептенията стабилни (амплитудата не се променя във времето), работата на външната сила през периода трябва да компенсира енергийните загуби на системата поради работата на силата на съпротивлението. Точката на пресичане на графиките на мощността просто съответства на този режим. Представете си, че по някаква причина амплитудата на принудителните трептения е намаляла. Това ще доведе до факта, че моментната мощност на външната сила ще бъде по-голяма от мощността на загубите. Това ще доведе до увеличаване на енергията на осцилаторната система, а амплитудата на трептене ще възстанови предишната си стойност.
По същия начин може да се види, че при произволно увеличаване на амплитудата на трептене мощността на загубата ще надвиши мощността на външната сила, което ще доведе до намаляване на енергията на системата и следователно до намаляване на амплитудата .
Нека се върнем към въпроса за фазовото изместване между изместването и движещата сила при резонанс. Вече показахме, че преместването изостава, което означава, че силата изпреварва изместването с . От друга страна, проекцията на скоростта в процеса на хармонични трептения винаги води координатата с . Това означава, че при резонанс външната движеща сила и скоростта осцилират в една и съща фаза. Така че те са съвместно режисирани във всеки един момент! Работата, извършена от външната сила, винаги е положителна в този случай. всичко отива за попълване на осцилаторната система с енергия.
§ 3 Несинусоидално периодично действие
Принудителни трептения на осцилатор са възможни при всяко периодично външно въздействие, а не само при синусоидално. В този случай стационарните трептения, най-общо казано, няма да са синусоидални, а ще представляват периодично движение с период, равен на периода на външното влияние.
Външно влияние може да бъде например последователни натискания (спомнете си как възрастен „люлее“ дете, седящо на люлка). Ако периодът на външни сътресения съвпада с периода на естествените трептения, тогава в системата може да възникне резонанс. В този случай трептенията ще бъдат почти синусоидални. Енергията, предадена на системата при всяко натискане, попълва общата енергия на системата, загубена поради триенето. Ясно е, че в този случай са възможни варианти: ако енергията, предоставена по време на натискането, е равна или надвишава загубите от триене за периода, тогава трептенията ще бъдат или стационарни, или тяхната амплитуда ще се увеличи. Това ясно се вижда на фазовата диаграма.
Очевидно е, че резонансът е възможен и в случай, когато периодът на повторение на ударите е кратен на периода на собствените трептения. Това е невъзможно при синусоидалния характер на външното влияние.
От друга страна, дори ако честотата на удара съвпада с естествената честота, резонансът може да не се наблюдава. Ако само загубата от триене за период надвишава енергията, получена от системата по време на натискане, тогава общата енергия на системата ще намалее и трептенията ще бъдат затихнали.
§ 4 Параметричен резонанс
Външно влияние върху осцилаторната система може да се сведе до периодична промяна в параметрите на самата осцилаторна система. Възбудените по този начин трептения се наричат параметрични, а самият механизъм се нарича параметричен резонанс .
Първо, нека се опитаме да отговорим на въпроса: възможно ли е да се променят малките трептения, които вече съществуват в системата, като периодично се променят някои от нейните параметри по определен начин.
Като пример, помислете за люлеене на човек на люлка. Сгъвайки и изправяйки краката си в „необходимите“ моменти, той всъщност променя дължината на махалото. В крайни позиции човек кляка, като по този начин леко понижава центъра на тежестта на осцилаторната система, в средно положение човек се изправя, повдигайки центъра на тежестта на системата.
За да разберете защо човек се люлее едновременно, помислете за изключително опростен модел на човек на люлка - обикновено малко махало, тоест малка тежест върху лека и дълга нишка. За да симулираме повдигането и спускането на центъра на тежестта, ще прекараме горния край на конеца през малък отвор и ще издърпаме конеца в онези моменти, когато махалото премине положението на равновесие, и ще намалим конеца със същото количество когато махалото премине крайното положение.
Работата на силата на опъване на нишката за периода (като се вземе предвид фактът, че товарът се повдига и спуска два пъти за период и че D л << л):
Моля, имайте предвид, че в скоби не е нищо друго освен утроената енергия на осцилаторната система. Между другото, тази стойност е положителна, следователно работата на силата на опън (нашата работа) е положителна, тя води до увеличаване на общата енергия на системата, а оттам и до люлеене на махалото.
Интересно е, че относителната промяна в енергията за даден период не зависи от това дали махалото се люлее слабо или силно. Това е много важно и ето защо. Ако махалото "не се напомпа" с енергия, тогава за всеки период то ще загуби определена част от енергията си поради силата на триене и трептенията ще затихнат. И за да се увеличи обхватът на трептенията, е необходимо придобитата енергия да надвишава енергията, загубена за преодоляване на триенето. И това състояние, оказва се, е едно и също - и при малка амплитуда, и при голяма.
Например, ако за един период енергията на свободните трептения намалее с 6%, то за да не затихнат трептенията на махало с дължина 1 m, достатъчно е да намалите дължината му с 1 cm в средно положение и да увеличите то със същото количество в крайно положение.
Обратно към люлката: след като започнете да се люлеете, няма нужда да клякате все по-дълбоко – клякайте по един и същи начин през цялото време и ще летите все по-нагоре!
*** Боже пак!
Както вече казахме, за параметричното натрупване на трептения е необходимо да се изпълни условието DE > A триене за период.
Намерете работата на силата на триене за периода
Вижда се, че относителната стойност на повдигането на махалото за неговото натрупване се определя от качествения фактор на системата.
§ 5 Значение на резонанса
Принудителните вибрации и резонанс са широко използвани в инженерството, особено в акустиката, електротехниката и радиотехниката. Резонансът, на първо място, се използва, когато от голям набор от трептения с различни честоти искат да изберат трептения с определена честота. Резонансът се използва и при изследване на много слаби периодично повтарящи се величини.
В някои случаи обаче резонансът е нежелано явление, тъй като може да доведе до големи деформации и разрушаване на конструкциите.
§ 6 Примери за решаване на проблеми
Задача 1 Принудителни трептения на пружинно махало под действието на външна синусоидална сила.
Товар с маса m = 10 g беше окачен към пружина с коравина k = 10 N/m и системата беше поставена във вискозна среда с коефициент на съпротивление r = 0,1 kg/s. Сравнете естествените и резонансните честоти на системата. Определете амплитудата на трептенията на махалото при резонанс под действието на синусоидална сила с амплитуда F 0 = 20 mN.
Решение:
1 Собствената честота на трептяща система е честотата на свободните трептения при липса на триене. Естествена циклична честота е честота на трептене.
2 Резонансната честота е честотата на външната движеща сила, при която амплитудата на принудителните вибрации рязко нараства. Резонансната циклична честота е , където е коефициентът на затихване, равен на .
Следователно резонансната честота е . Лесно е да се види, че резонансната честота е по-малка от нейната собствена! Може също да се види, че колкото по-ниско е триенето в системата (r), толкова по-близо е резонансната честота до нейната собствена.
3 Резонансната амплитуда е
Задача 2 Резонансна амплитуда и качествен фактор на осцилаторна система
Товар с маса m = 100 g беше окачен на пружина с твърдост k = 10 N/m и системата беше поставена във вискозна среда с коефициент на съпротивление
r = 0,02 kg/s. Определете качествения фактор на осцилаторната система и амплитудата на трептенията на махалото при резонанс под действието на синусоидална сила с амплитуда F 0 = 10 mN. Намерете съотношението на резонансната амплитуда към статичното изместване под действието на постоянна сила F 0 = 20 mN и сравнете това съотношение с коефициента на качество.
Решение:
1 Коефициентът на качество на осцилаторната система е , където е декрементът на логаритмичното затихване.
Декрементът на логаритмичното затихване е .
Откриваме качествения фактор на осцилаторната система.
2 Резонансната амплитуда е
3 Статичното преместване под действието на постоянна сила F 0 = 10 mN е .
4 Съотношението на резонансната амплитуда към статичното изместване под действието на постоянна сила F 0 е равно на
Лесно е да се види, че това съотношение съвпада с коефициента на качество на осцилаторната система
Задача 3 Резонансни вибрации на лъч
Под въздействието на теглото на електродвигателя конзолният резервоар, върху който е монтиран, се огъва от . При какъв брой обороти на котвата на двигателя може да има опасност от резонанс?
Решение:
1 Корпусът на двигателя и гредата, върху която е монтиран, изпитват периодични удари от страната на въртящата се котва на двигателя и следователно извършват принудителни трептения с честотата на ударите.
Резонанс ще се наблюдава, когато честотата на повторение на ударите съвпада с естествената честота на трептене на лъча с двигателя. Необходимо е да се намери естествената честота на трептене на системата лъч-двигател.
2 Аналог на лъча на осцилиращата система - двигател може да бъде вертикално пружинно махало, чиято маса е равна на масата на двигателя. Собствената честота на трептене на пружинното махало е . Но твърдостта на пружината и масата на двигателя не са известни! Как да бъде?
3 В равновесно положение на пружинното махало, силата на тежестта на товара се балансира от силата на еластичност на пружината
4 Намираме въртенето на котвата на двигателя, т.е. честота на ударите
Задача 4 Принудителни трептения на пружинно махало под действието на периодични удари.
Тежест с маса m = 0,5 kg е окачено на винтова пружина с коравина k = 20 N/m. Декрементът на логаритмичното затихване на осцилаторната система е . Те искат да люлеят тежестта с къси ритъци, като въздействат върху тежестта със сила F = 100 mN за време τ = 0,01 s. Каква трябва да бъде честотата на повторение на ударите, за да е най-голяма амплитудата на kettlebell? В какви моменти и в каква посока трябва да се бута гирлата? До каква амплитуда ще е възможно да завъртите гирката по този начин?
Решение:
1 Принудителни вибрации могат да възникнат при всяко периодично действие. В този случай постоянната осцилация ще възникне с честотата на повторение на външното действие. Ако периодът на външните сътресения съвпада с честотата на собствените трептения, тогава в системата възниква резонанс - амплитудата на трептенията става най-голяма. В нашия случай за настъпване на резонанс периодът на повторение на ударите трябва да съвпада с периода на трептене на пружинното махало.
Логаритмичният декремент на затихване е малък, следователно има малко триене в системата и периодът на трептене на махалото във вискозна среда практически съвпада с периода на трептене на махалото във вакуум:
2 Очевидно посоката на ударите трябва да съвпада със скоростта на гирлата. В този случай работата на външната сила, която попълва системата с енергия, ще бъде положителна. И вибрациите ще се люлеят. Енергията, получена от системата по време на удара
ще бъде най-голям, когато товарът премине положението на равновесие, тъй като в това положение скоростта на махалото е максимална.
Така системата ще се люлее най-бързо под действието на удари в посоката на движение на товара, когато премине положението на равновесие.
3 Амплитудата на трептене спира да расте, когато енергията, предадена на системата по време на удара, ще бъде равна на загубата на енергия поради триене за периода: .
Откриваме загубата на енергия за периода чрез коефициента на качество на осцилаторната система
където E е общата енергия на осцилаторната система, която може да се изчисли като .
Вместо енергията на загубите заместваме енергията, получена от системата по време на удара:
максимална скороств процеса на трептене е равно на . Имайки предвид това, получаваме .
§7 Задачи за независимо решение
Тест "Принудителни вибрации"
1 Какви вибрации се наричат принудителни?
А) Трептения, възникващи под действието на външни периодично променящи се сили;
Б) Трептения, които се появяват в системата след външно натискане;
2 Кое от следните трептения е принудително?
А) Трептене на товар, окачен на пружина след еднократното й отклонение от равновесното положение;
Б) Вибрация на дифузора на високоговорителя по време на работа на приемника;
В) Трептене на товар, окачен на пружина, след еднократен удар върху товара в равновесно положение;
Г) Вибрация на тялото на електродвигателя по време на неговата работа;
Д) Вибрации на тъпанчевата мембрана на човек, който слуша музика.
3 Осцилаторна система със собствена честота се влияе от външна движеща сила, която се променя според закона. Коефициентът на затихване в осцилаторната система е . По какъв закон се променя координатата на тялото с течение на времето?
В) Амплитудата на принудителните трептения ще остане непроменена, тъй като енергийните загуби на системата поради триене ще бъдат компенсирани от печалбата на енергия поради работата на външната движеща сила.
5 Системата извършва принудителни трептения под действието на синусоидална сила. Посочете всичкофактори, от които зависи амплитудата на тези трептения.
А) От амплитудата на външната движеща сила;
Б) Наличие на осцилаторна система от енергия в момента на началото на действието на външна сила;
В) Параметри на самата осцилаторна система;
Г) Триене в осцилаторната система;
Д) Наличието на собствени трептения в системата в момента, в който външната сила започне да действа;
Д) Времето на установяване на трептения;
Ж) Честоти на външната движеща сила.
6 Бар с маса m извършва принудителни хармонични трептения по хоризонтална равнина с период T и амплитуда A. Коефициент на триене μ. Каква работа извършва външната движеща сила за време, равно на периода T?
А) 4μmgA; Б) 2μmgA; В) μmgA; Г) 0;
E) Не е възможно да се даде отговор, тъй като величината на външната движеща сила не е известна.
7 Направете правилно твърдение
Резонансът е явлението...
А) Съвпадение на честотата на външната сила със собствената честота на трептящата система;
Б) Рязко увеличаване на амплитудата на принудителните трептения.
При условието се наблюдава резонанс
А) Намаляване на триенето в осцилаторната система;
Б) Увеличаване на амплитудата на външната движеща сила;
В) Съвпадение на честотата на външната сила със собствената честота на трептящата система;
Г) Когато честотата на външната сила съвпада с резонансната честота.
8 Феноменът на резонанса може да се наблюдава в ...
А) Във всяка осцилаторна система;
Б) В система, която извършва свободни трептения;
В) В автоколебателна система;
D) В система, която извършва принудителни трептения.
9 Фигурата показва графика на зависимостта на амплитудата на принудителните трептения от честотата на движещата сила. Резонансът се появява на честота...
10 Три еднакви махала в различни вискозни среди извършват принудителни трептения. Фигурата показва резонансните криви за тези махала. Кое от махалата изпитва най-голямо съпротивление от вискозната среда по време на процеса на трептене?
А) 1; Б) 2; AT 3;
Г) Не е възможно да се даде отговор, тъй като амплитудата на принудителните трептения, освен честотата на външната сила, зависи и от нейната амплитуда. Условието не казва нищо за амплитудата на външната движеща сила.
11 Периодът на естествените вибрации на трептящата система е равен на T 0 . Какъв може да бъде периодът на повторение на ударите, така че амплитудата на трептенията да се увеличи рязко, тоест да възникне резонанс в системата?
А) Т 0; Б) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
В) Можете да люлеете люлката с натискания с всякаква честота.
12 Малкият ви брат седи на люлка, вие го люлеете с кратки тласъци. Какъв трябва да бъде периодът на вторични трусове, за да протича най-ефективно процесът? Периодът на собствените трептения на люлеенето T 0 .
D) Можете да люлеете люлката с натискания с всякаква честота.
13 Малкият ти брат седи на люлка, люлееш го с кратки тласъци. В каква позиция на люлката трябва да се направи тласъкът и в каква посока да се направи тласък, за да се осъществи най-ефективно процеса?
А) Натиснете в крайна горна позиция на люлката в посока на равновесното положение;
Б) Натиснете в крайно горно положение на люлката в посока от равновесното положение;
Б) Натиснете в позиция на баланс в посоката на движение на люлката;
Г) Можете да бутате във всяка позиция, но винаги в посоката на люлеенето.
14 Изглежда, че като стреляте от прашка по моста навреме със собствените си вибрации и правите много изстрели, той може да бъде силно разклатен, но това едва ли ще успее. Защо?
А) Масата на моста (неговата инерция) е голяма в сравнение с масата на "куршума" от прашката, мостът няма да може да се движи под въздействието на такива удари;
Б) Ударната сила на „куршума“ от прашката е толкова малка, че мостът няма да може да се движи под въздействието на такива удари;
В) Енергията, предадена на моста с един удар, е много по-малка от загубата на енергия поради триенето през периода.
15 Носиш кофа с вода. Водата в кофата се люлее и се пръска. Какво може да се направи, за да не се случи това?
А) Размахване на ръката, в която се намира кофата, в такт с ходенето;
Б) Променете скоростта на движение, оставяйки дължината на стъпките непроменена;
В) Периодично спирайте и изчаквайте вибрациите на водата да се успокоят;
Г) Уверете се, че по време на движение ръката с кофата е разположена строго вертикално.
Задачи
1 Системата извършва затихване на трептения с честота 1000 Hz. Определете честотата v0естествени вибрации, ако резонансната честота
2 Определете колко D vрезонансната честота е различна от собствената честота v0= 1000 Hz на осцилаторна система, характеризираща се с коефициент на затихване d = 400s -1.
3 Маса от 100 g, окачена върху пружина с коравина 10 N/m, извършва принудителни трептения във вискозна среда с коефициент на съпротивление r = 0,02 kg/s. Определете коефициента на затихване, резонансната честота и амплитудата. Амплитудната стойност на движещата сила е 10 mN.
4 Амплитудите на принудителните хармонични трептения при честоти w 1 = 400 s -1 и w 2 = 600 s -1 са равни една на друга. Определете резонансната честота.
Влизат 5 камиона черен пътдо склада за зърно от едната страна, разтоварете и напуснете склада със същата скорост, но от другата страна. Коя страна на склада има повече дупки по пътя от другата? Как да определим от коя страна на склада входът и кой изход се определят от състоянието на пътя? Обосновете отговора си
Нека се обърнем отново към Фигура 53. Премествайки топката от точка O (равновесно положение) до точка B, разтягаме пружината. В същото време извършваме известна работа, за да преодолеем силата на нейната еластичност, поради което пружината придобива потенциална енергия. Ако сега пуснем топката, тогава когато тя се приближи до точка O, деформацията на пружината и потенциалната енергия на махалото ще намалеят, докато скоростта и кинетичната енергия ще се увеличат.
Да приемем, че загубите на енергия за преодоляване на силите на триене по време на движението на махалото са пренебрежимо малки. Тогава, съгласно закона за запазване на енергията, общата механична енергия на махалото (т.е. E p + E k) по всяко време може да се счита за еднаква и равна на потенциалната енергия, която първоначално сме придали на пружината, разтягайки се то по дължината на отсечката OB. В този случай махалото може да осцилира произволно дълго време с постоянна амплитуда, равна на OB.
Това би било така, ако нямаше загуби на енергия по време на движение.
Но в действителност винаги има загуба на енергия. Механичната енергия се изразходва например за извършване на работа за преодоляване на силите на въздушното съпротивление, като същевременно преминава във вътрешна енергия. Амплитудата на трептенията постепенно намалява и след известно време трептенията спират. Такива трептения се наричат затихващи (фиг. 66).
Ориз. 66. Графики на зависимостта от времето на амплитудата на свободните трептения, възникващи във вода и въздух
Колкото по-голяма е силата на съпротивление на движението, толкова по-бързо спират трептенията. Например във вода трептенията затихват по-бързо, отколкото във въздуха (фиг. 66, а, б).
Досега разглеждахме свободни трептения, т.е. трептения, възникващи поради първоначалния енергиен резерв.
Свободните трептения винаги се заглушават, тъй като целият запас от енергия, първоначално предадена на осцилаторната система, в крайна сметка отива на работа за преодоляване на силите на триене и съпротивлението на средата (т.е. механичната енергия се превръща във вътрешна енергия). Следователно свободните вибрации нямат почти никакво практическо приложение.
За да не затихнат трептенията, е необходимо да се попълнят енергийните загуби за всеки период на трептения. Това може да стане чрез въздействие върху осцилиращо тяло с периодично променяща се сила. Например, всеки път, когато натискате люлка в ритъма на техните трептения, можете да гарантирате, че трептенията няма да избледняват.
- Трептенията, направени от тяло под действието на външна периодично променяща се сила, се наричат принудителни вибрации.
Външната периодично променяща се сила, която причинява тези трептения, се нарича завладяваща сила.
Ако периодично променяща се движеща сила започне да действа върху люлка в покой, тогава за известно време амплитудата на принудителните трептения на люлеенето ще се увеличи, т.е. амплитудата на всяко следващо трептене ще бъде по-голяма от предишната. Увеличаването на амплитудата ще спре, когато енергията, загубена от люлеенето за преодоляване на силата на триене, стане равна на енергията, получена от тях отвън (поради работата на движещата сила).
В повечето случаи постоянната честота на принудителните трептения не се установява веднага, а известно време след началото им.
Когато амплитудата и честотата на принудителните трептения престанат да се променят, се казва, че трептенията са се установили.
Честотата на постоянните принудителни трептения е равна на честотата на движещата сила.
Принудителни трептения могат да се извършват дори от тела, които не са осцилаторни системи, например игла на шевна машина, бутала в двигател с вътрешно горене и много други. Трептенията на такива тела възникват и с честотата на движещата сила.
Принудителните трептения са незатихващи. Те се появяват, докато действа движещата сила.
Въпроси
- Какво може да се каже за общата механична енергия на осцилиращото махало във всеки момент от време, ако приемем, че няма загуба на енергия? Според кой закон може да се твърди това?
- Как се променя с времето амплитудата на свободните трептения, възникващи в реални условия? Каква е причината за тази промяна?
- Къде ще спре люлеенето на махалото по-бързо - във въздуха или във водата? Защо? (Първоначалното енергийно захранване е едно и също и в двата случая.)
- Могат ли свободните трептения да бъдат незатихващи? Защо? Какво трябва да се направи, за да не затихнат трептенията?
- Какво може да се каже за честотата на стационарните принудителни трептения и честотата на движещата сила?
- Могат ли телата, които не са осцилаторни системи, да извършват принудителни трептения? Дай примери.
- Колко дълго продължават принудителното трептене?
Упражнение 25
