Как се нарича графиката на хармоничните трептения. Хармонични вибрации. Максимални стойности на скоростта и ускорението

Когато четете този раздел, имайте предвид това флуктуацииот различно физическо естество се описват от единна математическа гледна точка. Тук е необходимо ясно да се разберат такива понятия като хармонично трептене, фаза, фазова разлика, амплитуда, честота, период на трептене.

Трябва да се има предвид, че във всяка реална трептителна система има съпротивления на средата, т.е. трептенията ще бъдат затихвани. За характеризиране на затихването на трептенията се въвеждат коефициентът на затихване и логаритмичният декремент на затихване.

Ако вибрациите се извършват под действието на външна, периодично променяща се сила, тогава такива вибрации се наричат ​​принудителни. Те ще бъдат неудържими. Амплитудата на принудените трептения зависи от честотата на движещата сила. Когато честотата на принудителните трептения се доближи до честотата на собствените трептения, амплитудата на принудителните трептения рязко нараства. Това явление се нарича резонанс.

Обръщайки се към изучаването на електромагнитните вълни, трябва ясно да разберете товаелектромагнитна вълнае електромагнитно поле, разпространяващо се в пространството. Най-простата система за излъчване електромагнитни вълни, е електрически дипол. Ако диполът извършва хармонични трептения, тогава той излъчва монохроматична вълна.

Таблица с формули: Трептения и вълни

Физически закони, формули, променливи	Трептене и вълнови формули
Уравнение на хармоничните вибрации: където x е изместването (отклонението) на осцилиращата стойност от равновесното положение; А - амплитуда; ω - кръгова (циклична) честота; α - начална фаза; (ωt+α) - фаза.
Връзка между период и кръгова честота:
Честота:
Отношение на кръговата честота към честотата:
Периоди на собствени трептения 1) пружинно махало: където k е твърдостта на пружината; 2) математическо махало: където l е дължината на махалото, g - ускорение свободно падане; 3) колебателна верига: където L е индуктивността на веригата, C е капацитетът на кондензатора.
Честота на естествените вибрации:
Добавяне на вибрации със същата честота и посока: 1) амплитудата на полученото трептене където A 1 и A 2 са амплитудите на компонентните колебания, α 1 и α 2 - началната фаза на компонентите на трептенията; 2) началната фаза на полученото трептене
Уравнение на затихналите трептения: e \u003d 2,71 ... - основата на естествените логаритми.
Амплитуда на затихналите трептения: където A 0 - амплитуда в началния момент; β - фактор на затихване;
Фактор на затихване: трептящо тяло където r е коефициентът на съпротивление на средата, m - телесно тегло; колебателна верига където R е активно съпротивление, L е индуктивността на веригата.
Честота на затихналите трептения ω:
Период на затихнали трептения T:
Логаритмичен декремент на затихване:

>> Хармонични вибрации

§ 22 ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ

Знаейки как са свързани ускорението и координатата на трептящо тяло, е възможно въз основа на математически анализ да се намери зависимостта на координатата от времето.

Ускорението е втората производна на координатата по отношение на времето.Моментната скорост на точка, както знаете от курса по математика, е производната на координатата на точката по отношение на времето. Ускорението на точка е производната на нейната скорост по отношение на времето или втората производна на координатата по отношение на времето. Следователно уравнение (3.4) може да се запише, както следва:

където x " е втората производна на координатата по отношение на времето. Съгласно уравнение (3.11), по време на свободни трептения, координатата x се променя с времето, така че втората производна по време на координатата е право пропорционална на самата координата и противоположна по знак на нея.

От курса на математиката е известно, че вторите производни на синуса и косинуса в техния аргумент са пропорционални на самите функции, взети с обратен знак. В математическия анализ е доказано, че никоя друга функция не притежава това свойство. Всичко това ни позволява с основание да твърдим, че координатата на тяло, което извършва свободни трептения, се променя с времето според закона на синуса или пасинуса. Фигура 3.6 показва промяната в координатата на точка във времето според косинусния закон.

Периодични промени физическо количествов зависимост от времето, протичащи по закона на синуса или косинуса, се наричат ​​хармонични трептения.

Амплитуда на трептене.Амплитудата на хармоничните трептения е модулът на най-голямото изместване на тялото от равновесното положение.

Амплитудата може да има различни стойности в зависимост от това колко изместваме тялото от равновесното положение в началния момент от време или от това каква скорост се съобщава на тялото. Амплитудата се определя от началните условия или по-скоро от енергията, предадена на тялото. Но максималните стойности на модула синус и модула косинус са равни на едно. Следователно решението на уравнение (3.11) не може да бъде изразено просто чрез синус или косинус. Тя трябва да има формата на произведението на амплитудата на трептене x m по синус или косинус.

Решение на уравнението, описващо свободните трептения.Записваме решението на уравнение (3.11) в следния вид:

и втората производна ще бъде:

Получихме уравнение (3.11). Следователно функцията (3.12) е решение на първоначалното уравнение (3.11). Решението на това уравнение също ще бъде функцията

Съгласно (3.14) графиката на зависимостта на координатата на тялото от времето е косинусова вълна (виж фиг. 3.6).

Период и честота на хармоничните трептения. По време на вибрациите движенията на тялото периодично се повтарят. Интервалът от време T, през който системата извършва едно пълен цикълтрептене се нарича период на трептене.

Познавайки периода, можете да определите честотата на трептенията, т.е. броя на трептенията за единица време, например за секунда. Ако едно трептене се случи за време T, тогава броят на трептенията за секунда

В Международната система единици (SI) честотата на трептенията е равна на единица, ако едно трептене се случва в секунда. Единицата за честота се нарича херц (съкратено: Hz) в чест на немския физик Г. Херц.

Броят на трептенията за 2 s е:

Стойност - циклична или кръгова честота на трептенията. Ако в уравнение (3.14) времето t е равно на един период, тогава T = 2. Така, ако в момента t = 0 x = x m, тогава в момента t = T x = x m, т.е. през период време, равно на един период, трептенията се повтарят.

Честотата на свободните трептения се намира от собствената честота на трептящата система 1.

Зависимост на честотата и периода на свободните трептения от свойствата на системата.Собствената честота на вибрациите на тяло, прикрепено към пружина, съгласно уравнение (3.13), е равна на:

То е толкова по-голямо, колкото по-голяма е твърдостта на пружината k, и колкото по-малко, толкова по-голяма е масата на тялото m. Това е лесно за разбиране: твърдата пружина дава на тялото повече ускорение, променя скоростта на тялото по-бързо. И колкото по-масивно е тялото, толкова по-бавно променя скоростта си под въздействието на сила. Периодът на трептене е:

Имайки набор от пружини с различна твърдост и тела с различни маси, лесно е да се провери от опит, че формулите (3.13) и (3.18) правилно описват характера на зависимостта на и T от k и m.

Забележително е, че периодът на трептене на тялото върху пружина и периодът на трептене на махалото при малки ъгли на отклонение не зависят от амплитудата на трептене.

Модулът на коефициента на пропорционалност между ускорението t и преместването x в уравнение (3.10), което описва трептенията на махалото, е, както в уравнение (3.11), квадрат на цикличната честота. Следователно естествената честота на трептенията на математическото махало при малки ъгли на отклонение на нишката от вертикалата зависи от дължината на махалото и ускорението на свободното падане:

Тази формула е получена и тествана за първи път от холандския учен Г. Хюйгенс, съвременник на И. Нютон. Важи само за малки ъгли на отклонение на резбата.

1 Често в това, което следва, за краткост ще наричаме цикличната честота просто честота. Можете да различите цикличната честота от обичайната честота чрез нотация.

Периодът на трептене нараства с дължината на махалото. Не зависи от масата на махалото. Това може лесно да се провери чрез експеримент с различни махала. Може да се открие и зависимостта на периода на трептене от ускорението на свободното падане. Колкото по-малък е g, толкова по-дълъг е периодът на трептене на махалото и, следователно, толкова по-бавно работи часовникът с махалото. По този начин часовник с махало под формата на тежест върху прът ще изостане за един ден с почти 3 s, ако се вдигне от мазето на горния етаж на Московския университет (височина 200 м). И това се дължи само на намаляването на ускорението на свободното падане с височина.

В практиката се използва зависимостта на периода на трептене на махалото от стойността на g. Чрез измерване на периода на трептене g може да се определи много точно. Ускорението на свободното падане се променя от географска ширина. Но дори и на дадена географска ширина не е еднакво навсякъде. В края на краищата, плътността земната коране е еднакво навсякъде. В райони, където има плътни скали, ускорението g е малко по-голямо. Това се взема предвид при търсене на полезни изкопаеми.

Така желязната руда има повишена плътност в сравнение с конвенционалните скали. Измерванията на ускорението на гравитацията край Курск, извършени под ръководството на академик А. А. Михайлов, позволиха да се изясни местоположението на желязна руда. Те са открити за първи път чрез магнитни измервания.

Свойствата на механичните вибрации се използват в устройствата на повечето електронни везни. Тялото, което се претегля, се поставя върху платформа, под която е монтирана твърда пружина. В резултат на това възникват механични вибрации, чиято честота се измерва от съответния сензор. Микропроцесорът, свързан към този сензор, превръща честотата на трептене в масата на претегленото тяло, тъй като тази честота зависи от масата.

Получените формули (3.18) и (3.20) за периода на трептене показват, че периодът на хармоничните трептения зависи от параметрите на системата (коравина на пружината, дължина на резбата и др.)

Мякишев Г. Я., Физика. 11 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / Г. Я. Мякишев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругин; изд. В. И. Николаев, Н. А. Парфентева. - 17-то изд., преработено. и допълнителни - М.: Образование, 2008. - 399 с.: ил.

Пълен списък на темите по класове, календарен план съгл училищна програмапо физика онлайн, видео материал по физика за 11 клас изтегляне

Съдържание на урока резюме на урокаопорна рамка презентация на уроци ускорителни методи интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашни дискусионни въпроси риторични въпроси от студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любознателни измамни листове учебници основни и допълнителни речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновация в урока замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината насокидискусионни програми Интегрирани уроци

флуктуациинаричат ​​движения или процеси, които се характеризират с определено повторение във времето. Осцилаторните процеси са широко разпространени в природата и техниката, например люлеенето на махалото на часовника, променливо електричествои т.н., когато махалото се колебае, координатата на неговия център на маса се променя, в случай на променлив ток напрежението и токът във веригата се колебаят. Физическата природа на трептенията може да бъде различна, поради което се разграничават механични, електромагнитни и др., но различните колебателни процеси се описват с едни и същи характеристики и същите уравнения. От това идва осъществимостта единен подходза изследване на вибрациите различно физическо естество.

Флуктуациите се наричат Безплатно, ако се осъществяват само под въздействието на вътрешни сили, действащи между елементите на системата, след като системата е изведена от равновесие от външни сили и оставена сама на себе си. Безплатни вибрации винаги затихващи трептения защото загубите на енергия са неизбежни в реалните системи. В идеализирания случай на система без загуба на енергия свободните трептения (които продължават произволно дълго време) се наричат собствен.

Най-простият тип свободни незатихващи трептения са хармонични трептения -флуктуации, при които флуктуиращата стойност се променя с времето според синус (косинус) закон. Срещаните в природата и техниката колебания често имат характер, близък до хармоничния.

Хармоничните вибрации се описват с уравнение, наречено уравнение на хармоничните вибрации:

където НО- амплитуда на колебанията, максималната стойност на колебанията х; - кръгова (циклична) честота на собствените трептения; - началната фаза на трептенето в даден момент от време T= 0; - фазата на трептенето в момента на времето T.Фазата на трептенето определя стойността на осцилиращото количество в даден момент. Тъй като косинусът варира от +1 до -1, тогава хможе да приема стойности от + Апреди - НО.

време T, за което системата извършва едно пълно трептене, се нарича период на трептене. По време на Tфазата на трептене се увеличава с 2 π , т.е.

Където . (14.2)

Реципрочната стойност на периода на трептене

т.е. броят на пълните трептения за единица време се нарича честота на трептене. Сравнявайки (14.2) и (14.3) получаваме

Единицата за честота е херц (Hz): 1 Hz е честотата, при която се извършва едно пълно трептене за 1 s.

Наричат ​​се системи, в които могат да възникнат свободни вибрации осцилатори . Какви свойства трябва да притежава една система, за да възникнат свободни трептения в нея? Механичната система трябва да има положение на стабилно равновесие, при излизане от която се появява възстановяване на силата към равновесие. Това положение съответства, както е известно, на минимума на потенциалната енергия на системата. Нека разгледаме няколко осцилационни системи, които отговарят на изброените свойства.

Трептения, възникващи под действието на външни, периодично променящи се сили (с периодично подаване на енергия отвън към осцилаторната система)

Трансформация на енергия

Пружинно махало

Цикличната честота и периодът на трептене са съответно:

Материална точказакрепен към идеално еластична пружина

Ø графика на потенциалната и кинетичната енергия на пружинно махало върху х-координатата.

Ø качествени графики на зависимостите на кинетичната и потенциалната енергия от времето.

Ø Принуден

Ø Честотата на принудените трептения е равна на честотата на промените във външната сила

Ø Ако Fbc се променя според закона на синуса или косинуса, тогава принудителни вибрациище бъде хармонично

Ø При собствените трептения е необходимо периодично подаване на енергия от собствен източник вътре в осцилаторната система

Хармоничните трептения са трептения, при които осцилиращата стойност се променя с времето според закона на синуса или косинуса

уравненията на хармоничните трептения (законите за движение на точките) имат формата

Хармонични вибрации наричат ​​се такива трептения, при които осцилиращата стойност се променя с времето според законасинусите иликосинус .
Уравнение на хармоничните вибрации изглежда като:

,
къде - амплитуда на трептене (стойността на най-голямото отклонение на системата от равновесното положение); -кръгова (циклична) честота. Периодично променящ се косинус аргумент - наричан фаза на трептене . Фазата на трептене определя изместването на осцилиращото количество от равновесното положение в даден момент t. Константата φ е стойността на фазата в момент t = 0 и се нарича началната фаза на трептенето . Стойността на началната фаза се определя от избора на референтна точка. Стойността x може да приема стойности от -A до +A.
Времевият интервал T, след който се повтарят определени състояния на трептящата система, наречен период на трептене . косинус - периодична функцияс период от 2π, следователно, за период от време T, след което фазата на трептене ще получи нарастване, равно на 2π, състоянието на системата, извършваща хармонични трептения, ще се повтори. Този период от време T се нарича период на хармонични трептения.
Периодът на хармоничните трептения е : T = 2π/.
Броят на трептенията за единица време се нарича честота на трептене ν.
Честота на хармоничните вибрации е равно на: ν = 1/T. Единица за честота херц(Hz) - едно трептене в секунда.
Кръговата честота = 2π/T = 2πν дава броя на трептенията за 2π секунди.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

Графично хармоничните трептения могат да бъдат изобразени като зависимост на x от t (фиг. 1.1.A), и метод на въртяща се амплитуда (метод на векторна диаграма)(Фиг.1.1.B) .

Методът на въртящата се амплитуда ви позволява да визуализирате всички параметри, включени в уравнението на хармоничните трептения. Наистина, ако амплитудният вектор НОразположен под ъгъл φ спрямо оста x (виж Фигура 1.1. B), тогава неговата проекция върху оста x ще бъде равна на: x = Acos(φ). Ъгълът φ е началната фаза. Ако векторът НОпуснат в ротация с ъглова скорост, равна на кръговата честота на трептенията, тогава проекцията на края на вектора ще се движи по оста x и ще приема стойности в диапазона от -A до +A, а координатата на тази проекция ще се променя с времето според Законът:
.
По този начин дължината на вектора е равна на амплитудата на хармоничното трептене, посоката на вектора в началния момент образува ъгъл с оста x, равен на началната фаза на трептенето φ, а промяната на ъгъла на посоката с времето е равна на фазата на хармоничните трептения. Времето, за което амплитудният вектор прави един пълен оборот, е равно на периода T на хармоничните трептения. Броят на оборотите на вектора за секунда е равен на честотата на трептене ν.