Досега разглеждахме сравнение, когато две (или повече) сили действат върху тяло, чиято векторна сума е равна на нула. В този случай тялото може или да е в покой, или да се движи равномерно. Ако тялото е в покой, тогава общата работа, извършена от всички сили, приложени към него, е нула. Работата, извършена от всяка отделна сила, също е равна на нула. Ако тялото се движи равномерно, тогава общата работа, извършена от всички сили, все още е нула. Но всяка сила поотделно, ако не е перпендикулярна на посоката на движение, извършва определена работа – положителна или отрицателна.
Нека сега разгледаме случая, когато резултатната от всички сили, приложени към тялото, не е равна на нула или когато върху тялото действа само една сила. В този случай, както следва от втория закон на Нютон, тялото ще се движи с ускорение. Скоростта на тялото ще се промени и работата, извършена от силите в този случай не е нула, тя може да бъде положителна или отрицателна. Може да се очаква, че има някаква връзка между промяната в скоростта на тялото и работата, извършена от силите, приложени към тялото. Нека се опитаме да го инсталираме. Нека си представим, за простота на разсъждението, че едно тяло се движи по права линия и резултатът от силите, приложени към него, е постоянен по абсолютна стойност; и е насочена по същата права линия. Нека означим тази резултантна сила с и проекцията на преместването върху посоката на силата с Насочете координатната ос по посока на силата. Тогава, както беше показано в § 75, извършената работа е равна на Нека насочим координатната ос по протежение на преместването на тялото. Тогава, както беше показано в § 75, работата A, извършена от резултантната, е равна на: Ако посоките на силата и преместването съвпадат, тогава работата е положителна. Ако резултантната е насочена обратно на посоката на движение на тялото, тогава неговата работа е отрицателна. Силата придава ускорение a на тялото. Според втория закон на Нютон. От друга страна, във втората глава установихме, че при праволинейно равномерно ускорено движение
Следва, че
Тук е началната скорост на тялото, т.е. скоростта му в началото на движението е скоростта му в края на този участък.
Получихме формула, свързваща работата, извършена от сила, с изменението на скоростта (по-точно квадрата на скоростта) на тялото, предизвикано от тази сила.
Половината от произведението на масата на тялото на квадрата на неговата скорост има специално име - кинетичната енергия на тялото, а формула (1) често се нарича теорема за кинетичната енергия.
Работата, извършена от дадена сила, е равна на изменението на кинетичната енергия на тялото.
Може да се покаже, че формула (1), която изведехме за постоянна по големина сила, насочена по протежение на движението, е валидна и в случаите, когато силата се променя и посоката й не съвпада с посоката на движение.
Формула (1) е забележителна в много отношения.
Първо, от това следва, че работата на сила, действаща върху тялото, зависи само от началните и крайните стойности на скоростта на тялото и не зависи от скоростта, с която се е движило в други точки.
Второ, от формула (1) става ясно, че дясната му страна може да бъде положителна или отрицателна в зависимост от това дали скоростта на тялото се увеличава или намалява. Ако скоростта на тялото се увеличава, тогава дясната страна на формула (1) е положителна, следователно работата трябва да бъде такава, защото за да се увеличи скоростта на тялото (по абсолютна стойност), силата, действаща върху него трябва да бъде насочена в същата посока като изместването. Напротив, когато скоростта на тялото намалява, дясната страна на формула (1) приема отрицателна стойност (силата е насочена противоположно на преместването).
Ако в началната точка скоростта на тялото е нула, изразът за работата приема формата:
Формула (2) ни позволява да изчислим работата, която трябва да се извърши, за да се придаде скорост, равна на
Обратното е очевидно: за да се спре движението на тяло със скорост, трябва да се работи
много напомня на формулата, получена в предишната глава (виж § 59), установяваща между импулса на силата и промяната в импулса на тялото
Наистина, лявата страна на формула (3) се различава от лявата страна на формула (1) по това, че в нея силата се умножава не по движението, извършвано от тялото, а по времето на действие на силата. От дясната страна на формула (3) е произведението на масата на тялото по неговата скорост (импулс) вместо половината от произведението на масата на тялото по квадрата на неговата скорост, което се появява от дясната страна на формулата (1). И двете формули са следствие от законите на Нютон (от които са извлечени), а количествата са характеристики на движението.
Но има и фундаментална разлика между формули (1) и (3): формула O) установява връзка между скаларни величини, докато формула (3) е векторна формула.
Задача I. Каква работа трябва да се извърши, за да се увеличи скоростта на влака? Каква сила трябва да се приложи към влака, ако това увеличение на скоростта трябва да се случи на участък от 2 km? Движението се счита за равномерно ускорено.
Решение. Работа A може да бъде намерена с помощта на формулата
Заменяйки данните, дадени в задачата тук, получаваме:
Но по дефиниция, следователно,
Задача 2, каква височина ще достигне едно тяло, когато бъде хвърлено нагоре с първоначалната си скорост?
Решение. Тялото ще се издига нагоре, докато скоростта му стане нула. Тялото се влияе само от силата на гравитацията, където е масата на тялото и е ускорението на свободното падане (пренебрегваме силата на съпротивлението на въздуха и Архимедовата сила).
Прилагане на формулата
Вече получихме този израз по-рано (вижте страница 60) по по-сложен начин.
Упражнение 48
1. Как е свързана работата на силата с кинетичната енергия на тялото?
2 Как се променя кинетичната енергия на тялото, ако приложената към него сила върши положителна работа?
3. Как се променя кинетичната енергия на тялото, ако приложена към него сила извърши отрицателна работа.
4. Тяло се движи равномерно в окръжност с радиус 0,5 m, притежаващо кинетична енергия 10 J. Каква е силата, действаща върху тялото? Как се режисира? Каква е работата, извършена от тази сила?
5. Върху тяло в покой с маса 3 kg е приложена сила 40 N. След това тялото преминава по гладка хоризонтална равнина в продължение на 3 m, след което силата намалява до 20 N и тялото изминава още 3 m. Намерете кинетичната енергия на тялото в крайната точка на неговото движение.
6. Колко работа трябва да се извърши, за да се спре влак с тегло 1000 тона, движещ се със скорост 108 km/h?
7. Върху тяло с маса 5 kg, което се движи със скорост 6 m/sec, действа сила 8 N, насочена в посока, обратна на движението. В резултат на това скоростта на тялото намалява до 2 м/сек. Каква работа по величина и знак е извършена от силата? Колко разстояние е изминало тялото?
8. Върху тяло, което първоначално е било в покой, започва да действа сила от 4 N, насочена под ъгъл 60° спрямо хоризонталата. Тялото се движи по гладка хоризонтална повърхност без триене. Изчислете работата на силата, ако тялото се премести на разстояние 1 m.
9. Каква е теоремата за кинетичната енергия?
В инерциалните референтни системи промяната на скоростта на тялото е възможна само когато върху него действа друго тяло. Действието на едно тяло върху друго се изразява количествено с помощта на физическа величина като сила (). Ударът на едно тяло върху друго може да предизвика промяна в скоростта на тялото, както по големина, така и по посока. Следователно силата е вектор и се определя не само от величината (модула), но и от посоката. Посоката на силата определя посоката на вектора на ускорението на тялото, засегнато от въпросната сила.
Големината и посоката на силата се определят от втория закон на Нютон:
където m е масата на тялото, върху което действа силата - ускорението, което силата придава на въпросното тяло. Значението на втория закон на Нютон е, че силите, които действат върху тялото, определят как се променя скоростта на тялото, а не само неговата скорост. Имайте предвид, че вторият закон на Нютон се изпълнява изключително в инерционни референтни системи.
Ако върху едно тяло действат няколко сили едновременно, то тялото се движи с ускорение, равно на векторната сума на ускоренията, които биха се появили под въздействието на всяко от телата поотделно. Силите, действащи върху тялото и приложени към една точка, трябва да се добавят в съответствие с правилото за добавяне на вектори.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Нарича се векторната сума на всички сили, действащи едновременно върху тялото резултатна сила ():
Ако върху едно тяло действат няколко сили, тогава вторият закон на Нютон се записва като:
Резултатът от всички сили, действащи върху тялото, може да бъде равен на нула, ако има взаимна компенсация на силите, приложени към тялото. В този случай тялото се движи с постоянна скорост или е в покой.
При изобразяване на сили, действащи върху тялото на чертеж, в случай на равномерно ускорено движение на тялото, резултантната сила, насочена по протежение на ускорението, трябва да бъде изобразена по-дълго от противоположно насочената сила (сума от сили). При равномерно движение (или покой) големината на векторите на силата, насочени в противоположни посоки, е еднаква.
За да намерите резултантната сила, трябва да изобразите на чертежа всички сили, които трябва да се вземат предвид в задачата, действаща върху тялото. Силите трябва да се добавят според правилата за събиране на вектори.
Примери за решаване на проблеми
ПРИМЕР 1
| Упражнение | Тялото е в покой върху наклонена равнина (фиг. 1), начертайте силите, които действат върху тялото, каква е резултатната от всички сили, приложени към тялото? |
| Решение | Да направим рисунка. Върху тяло, разположено върху наклонена равнина, действат: силата на гравитацията (), силата на нормалната реакция на опората () и силата на статично триене (според условието тялото не се движи) (). Резултатът от всички сили, действащи върху тялото (), може да се намери чрез векторно сумиране: Първо, според правилото на паралелограма, добавяме силата на гравитацията и силата на реакция на опората, получаваме силата. Тази сила трябва да бъде насочена по наклонената равнина в съответствие с движението на тялото. Дължината на вектора трябва да е равна на вектора на силата на шипа, тъй като тялото е в покой по условие. Съгласно втория закон на Нютон резултатът трябва да е равен на нула: |
| Отговор | Резултантната сила е нула. |
ПРИМЕР 2
| Упражнение | Товар, окачен във въздуха на пружина, се движи с постоянно ускорение, насочено надолу (фиг. 3). Какви сили действат върху товара? Какъв е резултатът от силите, приложени към товара? Къде ще бъде насочена резултантната сила? |
| Решение | Да направим рисунка. Товар, окачен на пружина, се влияе от: силата на гравитацията () от Земята и еластичната сила на пружината () (от пружината) Когато товарът се движи във въздуха, силата на триене на товара върху въздухът обикновено се пренебрегва. Намираме резултата от силите, приложени към товара в нашия проблем като: |
Статиката е дял от механиката, който изучава условията на равновесие на телата.
От втория закон на Нютон следва, че ако геометричната сума на всички външни сили, приложени към тялото, е равна на нула, тогава тялото е в покой или се движи равномерно линейно. В този случай е обичайно да се казва, че силите, приложени към тялото балансвзаимно. При изчисляване резултатнавсички сили, действащи върху тялото, могат да бъдат приложени към център на масата .
За да бъде невъртящо се тяло в равновесие, е необходимо резултатната от всички сили, приложени към тялото, да е равна на нула.
На фиг. 1.14.1 дава пример за равновесие на твърдо тяло под действието на три сили. Пресечна точка Олинии на действие на силите и не съвпада с точката на приложение на гравитацията (център на масата ° С), но в равновесие тези точки непременно са на един и същи вертикал. При изчисляване на резултата всички сили се свеждат до една точка.
Ако тялото може завъртанеспрямо някаква ос, след това за нейното равновесие Не е достатъчно резултатната от всички сили да е нула.
Ротационният ефект на сила зависи не само от нейната величина, но и от разстоянието между линията на действие на силата и оста на въртене.
Дължината на перпендикуляра, прекаран от оста на въртене към линията на действие на силата, се нарича рамо на силата.
Продукт на модула на силата на рамо дНаречен момент на сила М. Моментите на онези сили, които се стремят да завъртят тялото обратно на часовниковата стрелка, се считат за положителни (фиг. 1.14.2).
Правило на моментите : тяло с фиксирана ос на въртене е в равновесие, ако алгебричната сума на моментите на всички сили, приложени към тялото спрямо тази ос, е равна на нула:
В Международната система от единици (SI) моментите на силите се измерват в нНютон— метра (N∙m) .
В общия случай, когато тялото може да се движи постъпателно и да се върти, за равновесие е необходимо да са изпълнени и двете условия: резултантната сила да е равна на нула и сумата от всички моменти на силите да е равна на нула.
Колело, търкалящо се по хоризонтална повърхност - пример безразлично равновесие(фиг. 1.14.3). Ако колелото е спряно в която и да е точка, то ще бъде в равновесие. Наред с безразличното равновесие в механиката има състояния устойчивиИ нестабиленбаланс.
Състоянието на равновесие се нарича стабилно, ако при малки отклонения на тялото от това състояние възникват сили или въртящи моменти, които се стремят да върнат тялото в равновесно състояние.
При малко отклонение на тялото от състояние на нестабилно равновесие възникват сили или моменти на сила, които се стремят да извадят тялото от равновесното положение.
Топка, разположена върху равна хоризонтална повърхност, е в състояние на безразлично равновесие. Топка, разположена на върха на сферична издатина, е пример за нестабилно равновесие. И накрая, топката на дъното на сферичната вдлъбнатина е в състояние на стабилно равновесие (фиг. 1.14.4).
За тяло с фиксирана ос на въртене са възможни и трите вида равновесие. Равновесието на безразличие възниква, когато оста на въртене минава през центъра на масата. При устойчиво и нестабилно равновесие центърът на масата е върху вертикална права линия, минаваща през оста на въртене. Освен това, ако центърът на масата е под оста на въртене, състоянието на равновесие се оказва стабилно. Ако центърът на масата е разположен над оста, състоянието на равновесие е нестабилно (фиг. 1.14.5).
Особен случай е равновесието на тяло върху опора. В този случай еластичната опорна сила не се прилага в една точка, а се разпределя върху основата на тялото. Тялото е в равновесие, ако през него минава вертикална линия, прекарана през центъра на масата на тялото опорна зона, т.е. вътре в контура, образуван от линии, свързващи опорните точки. Ако тази линия не пресича зоната на опора, тогава тялото се преобръща. Интересен пример за равновесие на тяло върху опора е наклонената кула в италианския град Пиза (фиг. 1.14.6), която според легендата е използвана от Галилей при изучаване на законите на свободното падане на телата. Кулата има форма на цилиндър с височина 55 m и радиус 7 m. Върхът на кулата е отклонен от вертикалата с 4,5 m.
Вертикална линия, прекарана през центъра на масата на кулата, пресича основата на приблизително 2,3 m от нейния център. Така кулата е в състояние на равновесие. Равновесието ще се наруши и кулата ще падне, когато отклонението на върха й от вертикалата достигне 14 м. Явно това няма да се случи много скоро.
