Уравнението на окръжност с радиус с център в точка. Уравнение на окръжност и права линия. За да напишете уравнението за кръг,

Тема на урока: Окръжно уравнение

Цели на урока:

Образователни: Изведете уравнението на кръга, като разгледате решението на този проблем като една от възможностите за прилагане на координатния метод.

Умейте да:

– Разпознайте уравнението на кръг според предложеното уравнение, научете учениците да съставят уравнение на кръг според готов чертеж, изградете кръг според дадено уравнение.

Образователни : Формиране на критично мислене.

Образователни : Развитие на способността да се правят алгоритмични предписания и способността да се действа в съответствие с предложения алгоритъм.

Умейте да:

– Вижте проблема и планирайте начини за разрешаването му.

– Обобщете мислите си устно и писмено.

Тип урок: усвояване на нови знания.

Оборудване : компютър, мултимедиен проектор, екран.

План на урока:

1. встъпителна реч- 3 мин.

2. Актуализиране на знанията – 2мин.

3. Постановка на проблема и неговото решение -10 мин.

4. Фронтално закрепване на новия материал - 7мин.

5. Самостоятелна работагрупово - 15 мин.

6. Представяне на работата: дискусия - 5 мин.

7. Резултатът от урока. Домашна работа- 3 мин.

По време на часовете

Целта на този етап: Психологическо настроение на учениците; Включване на всички ученици в учебния процес, създаване на ситуация на успех.

1. Организиране на времето.

3 минути

Момчета! С кръга се запознахте още в 5-ти и 8-ми клас. Какво знаеш за нея?

Вие знаете много и тези данни могат да се използват при решаване на геометрични задачи. Но за решаване на задачи, в които се използва координатният метод, това не е достатъчно.Защо?

Абсолютно прав.

Затова основната цел на днешния урок е да се изведе уравнението на окръжност от геометричните свойства на дадена права и да се приложи за решаване на геометрични задачи.

Оставимото на урока ще станат думите на средноазиатския учен-енциклопедист Ал-Бируни: „Знанието е най-превъзходното притежание. Всеки се стреми към него, но то не идва от само себе си.”

Запишете темата на урока в тетрадка.

Определение за кръг.

Радиус.

Диаметър.

Акорд. и т.н.

Все още не знаем общ изгледкръгови уравнения.

Учениците изброяват всичко, което знаят за кръга.

слайд 2

слайд 3

Целта на етапа е да се получи представа за качеството на усвояване на материала от учениците, да се определят основните знания.

2. Актуализация на знанията.

2 минути

При извеждане на уравнението на кръга ще ви трябва вече известната дефиниция на окръжност и формула, която ви позволява да намерите разстоянието между две точки по техните координати.Нека си припомним тези факти /Pповторение на материала проучени преди това/:

– Запишете формулата за намиране на координатите на средата на отсечка.

– Запишете формулата за изчисляване на дължината на вектор.

– Запишете формулата за намиране на разстоянието между точките (дължина на сегмента).

Редактиране на записи...

Геометрична тренировка.

Дадени точкиА (-1; 7) иВ (7; 1).

Изчислете координатите на средата на отсечката AB и нейната дължина.

Проверява правилността на изпълнението, коригира изчисленията ...

Един ученик на дъската, а останалите записват формули в тетрадки

Кръгът се нарича геометрична фигура, състоящ се от всички точки, разположени на дадено разстояниеот тази точка.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Изчислете: C (3; 4)

| AB | = 10

ОТ лежи 4

слайд 5

3. Формиране на нови знания.

12 минути

Цел: формирането на концепцията - уравнението на кръга.

Реши задачата:

В правоъгълна координатна система е построена окръжност с център A(x; y). M(x; y) - произволна точка от окръжността. Намерете радиуса на окръжността.

Координатите на всяка друга точка ще удовлетворят ли това равенство? Защо?

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението.В резултат на това имаме:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² е уравнението на окръжността, където (x; y) е координатите на центъра на окръжността, (x; y) е координатите на произволна точка, разположена върху окръжността, r е радиусът на окръжността.

Реши задачата:

Какво ще бъде уравнението на окръжност с център в началото?

И така, какво трябва да знаете, за да напишете уравнението на окръжност?

Предложете алгоритъм за съставяне на уравнението на кръга.

Извод: ... запишете в тетрадка.

Радиусът е сегмент, свързващ центъра на окръжност с произволна точка, разположена върху окръжността. Следователно r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Всяка точка от окръжност лежи върху тази окръжност.

Учениците пишат в тетрадки.

(0;0)-координати на центъра на кръга.

x² + y² = r², където r е радиусът на окръжността.

Координатите на центъра на окръжността, радиуса, всяка точка от окръжността...

Те предлагат алгоритъм...

Запишете алгоритъма в тетрадка.

слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Учителят пише уравнението на черната дъска.

Слайд 9

4. Първично закрепване.

23 минути

Цел:възпроизвеждане от учениците на току-що възприетия материал, за да се предотврати загубата на формирани представи и концепции. Консолидиране на нови знания, идеи, концепции, базирани на технитеприложения.

ЗУН контрол

Нека приложим придобитите знания при решаването на следните задачи.

Задача: От предложените уравнения назовете числата на тези, които са уравненията на окръжността. И ако уравнението е уравнението на окръжност, тогава назовете координатите на центъра и посочете радиуса.

Не всяко уравнение от втора степен с две променливи определя окръжност.

4x² + y² \u003d 4-уравнение на елипса.

x²+y²=0-точка.

x² + y² \u003d -4-това уравнение не определя никаква фигура.

Момчета! Какво трябва да знаете, за да напишете уравнение за окръжност?

Реши задачата № 966 стр. 245 (учебник).

Учителят извиква ученика до дъската.

Достатъчни ли са данните, посочени в условието на задачата, за да се състави уравнение на окръжност?

Задача:

Напишете уравнението за окръжност с център в началото и с диаметър 8.

Задача : рисува кръг.

Центърът има ли координати?

Определете радиуса... и изградете

Задача на стр. 243 (учебник) се разбира устно.

Използвайки плана за решаване на задача от стр.243, решете задачата:

Напишете уравнението на окръжност с център точка A(3;2), ако окръжността минава през точка B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - уравнение на окръжност; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - уравнение на окръжност; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - уравнение на окръжност; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d уравнение на 2 кръга; (-3;8), r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 не е уравнение на окръжност.

6) x² + y² = 0- не е уравнение на окръжност.

7) x² + y² = -4- не е уравнение на окръжност.

Знайте координатите на центъра на кръга.

Дължина на радиуса.

Заместете координатите на центъра и дължината на радиуса в общото уравнение на окръжност.

Решете задача No 966 стр. 245 (учебник).

Достатъчно данни.

Те решават проблема.

Тъй като диаметърът на кръга е два пъти радиуса му, тогава r=8÷2=4. Следователно x² + y² = 16.

Извършете изграждането на кръгове

Работа по учебник. Задача на стр. 243.

Дадено е: A (3; 2) - центърът на окръжността; В(7;5)є(А;r)

Намерете: уравнение на окръжност

Решение: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Отговор: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

слайд 10-13

Решение типични задачи, произнасяйки решението на висок глас.

Учителят извиква един ученик да напише полученото уравнение.

Върнете се към слайд 9

Обсъждане на план за решаване на този проблем.

Пързалка. петнадесет. Учителят извиква един ученик на дъската, за да реши тази задача.

слайд 16.

слайд 17.

5. Обобщение на урока.

5 минути

Рефлексия на дейностите в класната стая.

Домашна работа: §3, т.91, тестови въпроси №16,17.

Задачи № 959(б, г, д), 967.

Задача за допълнителна оценка (проблемна задача): Построете окръжност, дадена от уравнението

x² + 2x + y² -4y = 4.

За какво говорихме в час?

Какво искахте да получите?

Каква беше целта на урока?

Какви задачи може да реши нашето „откритие“?

Кой от вас смята, че е постигнал целта, поставена от учителя в урока на 100%, на 50%; не постигна целта...?

Класиране.

Запишете домашното.

Учениците отговарят на въпроси, зададени от учителя. Извършете самооценка на собственото си представяне.

Учениците трябва да изразят с думи резултата и начините за постигането му.

клас: 8

Целта на урока:въведете уравнението на окръжност, научете учениците да съставят уравнение на окръжност според готов чертеж, изградете окръжност според дадено уравнение.

Оборудване: интерактивна дъска.

План на урока:

1. Организационен момент – 3 мин.
2. Повторение. Организация на умствената дейност – 7мин.
3. Обяснение на нов материал. Извеждане на уравнението на кръга – 10 мин.
4. Затвърдяване на изучения материал – 20 мин.
5. Обобщение на урока – 5 мин.

По време на часовете

2. Повторение:

− (Приложение 1 слайд 2) запишете формулата за намиране на координатите на средата на сегмента;

− (Слайд 3) Знапишете формулата за разстоянието между точките (дължината на отсечката).

3. Обяснение на нов материал.

(Слайдове 4 - 6)Дефинирайте уравнението на окръжност. Изведете уравненията на окръжност с център в точка ( а;b) и центриран в началото.

(х – а ) 2 + (при – b ) 2 = Р 2 − уравнение на кръг с център ОТ (а;b) , радиус Р , х и при – координати на произволна точка от окръжността .

х 2 + y 2 = Р 2 е уравнението на окръжност с център в началото.

(Слайд 7)

За да напишете уравнението на окръжност, трябва:

• знаят координатите на центъра;
• знаят дължината на радиуса;
• заменете координатите на центъра и дължината на радиуса в уравнението на кръга.

4. Разрешаване на проблеми.

В задачи № 1 - № 6 съставете уравненията на окръжността по готовите чертежи.

(Слайд 14)

№ 7. Попълни таблицата.

(Слайд 15)

№ 8. Построете кръгове в тетрадката, дадени от уравненията:

а) ( х – 5) 2 + (при + 3) 2 = 36;
b) (х + 1) 2 + (при– 7) 2 = 7 2 .

(Слайд 16)

№ 9. Намерете координатите на центъра и дължината на радиуса, ако ABе диаметърът на кръга.

дадени:		Решение:
		Р	Координати на центъра
1	НО(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	НО(0; -6) AT(0 ; 2) ОТ(0 ; – 2) – център
2	НО(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	НО (-2;0) AT (4 ;0) ОТ(1 ; 0) – център

(Слайд 17)

№ 10. Напишете уравнението на окръжност с център в началото, минаваща през точката Да се(-12;5).

Решение.

R2 = Добре 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Окръжно уравнение: x 2 + y 2 = 169 .

(Слайд 18)

№ 11. Напишете уравнение за окръжност, минаваща през началото и центрирана в точката ОТ(3; - 1).

Решение.

R2= операционна система 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Окръжно уравнение: ( Х - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Слайд 19)

№ 12. Напишете уравнението на окръжност с център НО(3;2) преминаване през AT(7;5).

Решение.

1. Центърът на кръга - НО(3;2);
2.Р = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Кръгово уравнение ( х – 3) 2 + (при − 2) 2 = 25.

(Слайд 20)

№ 13. Проверете дали точките лъжат НО(1; -1), AT(0;8), ОТ(-3; -1) върху окръжността, дадена от уравнението ( х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

Решение.

аз. Заменете координатите на точката НО(1; -1) в кръговото уравнение:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - равенството е неправилно, което означава НО(1; -1) не лъжевърху окръжността, дадена от уравнението ( х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

II. Заменете координатите на точката AT(0;8) в кръговото уравнение:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)лъжи х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

III.Заменете координатите на точката ОТ(-3; -1) в кръговото уравнение:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - равенството е вярно, така че ОТ(-3; -1) лъживърху окръжността, дадена от уравнението ( х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

Обобщение на урока.

1. Повторете: уравнение на окръжност, уравнение на окръжност с център в началото.
2. (Слайд 21)Домашна работа.

Уравнение на права на равнина

Нека първо въведем концепцията за уравнението на права в двумерна координатна система. Нека е построена произволна права $L$ в декартова координатна система (фиг. 1).

Фигура 1. Произволна линия в координатната система

Определение 1

Уравнение с две променливи $x$ и $y$ се нарича уравнение на правата $L$, ако това уравнение е изпълнено от координатите на която и да е точка, принадлежаща на правата $L$, и не е удовлетворено от никоя точка, която не принадлежи на правата ред $L.$

Окръжно уравнение

Нека изведем уравнението на окръжността в декартовата координатна система $xOy$. Нека центърът на окръжността $C$ има координати $(x_0,y_0)$ и радиусът на окръжността е равен на $r$. Нека точката $M$ с координати $(x,y)$ е произволна точка от тази окръжност (фиг. 2).

Фигура 2. Кръг в декартови координати

Разстоянието от центъра на окръжността до точката $M$ се изчислява по следния начин

Но тъй като $M$ лежи върху окръжността, получаваме $CM=r$. Тогава получаваме следното

Уравнение (1) е уравнението на окръжност с център в точка $(x_0,y_0)$ и радиус $r$.

По-специално, ако центърът на окръжността съвпада с началото. Тогава уравнението на окръжността има формата

Уравнение на права линия.

Нека изведем уравнението на правата $l$ в декартовата координатна система $xOy$. Нека точките $A$ и $B$ имат съответно координати $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ и $\(x_2,\ y_2\)$, а точките $A$ и $B $ са избрани така, че правата $l$ да е ъглополовяща на отсечката $AB$. Избираме произволна точка $M=\(x,y\)$, принадлежаща на правата $l$ (фиг. 3).

Тъй като правата $l$ е ъглополовяща на отсечката $AB$, точката $M$ е на равно разстояние от краищата на тази отсечка, т.е. $AM=BM$.

Намерете дължините на тези страни, като използвате формулата за разстоянието между точките:

Следователно

Означаваме с $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, получаваме, че уравнението на права линия в декартовата координатна система има следващ изглед:

Примерна задача за намиране на уравненията на прави в декартова координатна система

Пример 1

Намерете уравнението на окръжност с център в точката $(2,\ 4)$. Преминаваща през началото и права линия, успоредна на оста $Ox,$, минаваща през нейния център.

Решение.

Нека първо намерим уравнението на дадената окръжност. За да направим това, ще използваме общото уравнение на окръжността (изведено по-горе). Тъй като центърът на окръжността лежи в точката $(2,\ 4)$, получаваме

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Намерете радиуса на окръжността като разстоянието от точката $(2,\ 4)$ до точката $(0,0)$

Получаваме, че уравнението на кръга има формата:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Нека сега намерим кръговото уравнение, използвайки специален случай 1. Получаваме

обиколкае набор от точки в равнината, еднакво отдалечени от дадена точка, наречена център.

Ако точка C е центърът на окръжността, R е нейният радиус и M е произволна точка от окръжността, тогава по дефиниция на окръжност

Равенството (1) е кръгово уравнениерадиус R с център в точка C.

Нека правоъгълна декартова координатна система (фиг. 104) и точка C ( а; b) е център на окръжност с радиус R. Нека М( Х; при) е произволна точка от тази окръжност.

Тъй като |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), тогава уравнение (1) може да бъде записано, както следва:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(х-а) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) се нарича общо уравнениекръговеили уравнението на окръжност с радиус R с център в точката ( а; b). Например уравнението

(х - l) 2 + ( г + 3) 2 = 25

е уравнението на окръжност с радиус R = 5 с център в точката (1; -3).

Ако центърът на окръжността съвпада с началото, тогава уравнение (2) приема формата

х 2 + при 2 = R 2 . (3)

Уравнение (3) се нарича каноничното уравнение на окръжността .

Задача 1.Напишете уравнението за окръжност с радиус R = 7 с център в началото.

Чрез директно заместване на стойността на радиуса в уравнение (3), получаваме

х 2 + при 2 = 49.

Задача 2.Напишете уравнението за окръжност с радиус R = 9 с център точка C(3; -6).

Замествайки стойността на координатите на точка C и стойността на радиуса във формула (2), получаваме

(х - 3) 2 + (при- (-6)) 2 = 81 или ( х - 3) 2 + (при + 6) 2 = 81.

Задача 3.Намерете центъра и радиуса на окръжност

(х + 3) 2 + (при-5) 2 =100.

Сравнявайки това уравнение с общото кръгово уравнение (2), виждаме това а = -3, b= 5, R = 10. Следователно С(-3; 5), R = 10.

Задача 4.Докажете, че уравнението

х 2 + при 2 + 4х - 2г - 4 = 0

е уравнението на кръга. Намерете неговия център и радиус.

Нека трансформираме лявата страна на това уравнение:

х 2 + 4х + 4- 4 + при 2 - 2при +1-1-4 = 0

(х + 2) 2 + (при - 1) 2 = 9.

Това уравнение е уравнението на окръжност с център (-2; 1); радиусът на окръжността е 3.

Задача 5.Напишете уравнението на окръжност с център в точка C(-1; -1), докосваща правата линия AB, ако A (2; -1), B(-1; 3).

Нека напишем уравнението на правата линия AB:

или 4 х + 3г-5 = 0.

Тъй като окръжността е допирателна към дадената права, радиусът, начертан до точката на контакт, е перпендикулярен на тази права. За да намерите радиуса, трябва да намерите разстоянието от точката C (-1; -1) - центъра на окръжността до правата линия 4 х + 3г-5 = 0:

Нека напишем уравнението на търсената окръжност

(х +1) 2 + (г +1) 2 = 144 / 25

Нека е дадена окръжност в правоъгълна координатна система х 2 + при 2 = R 2 . Да разгледаме неговата произволна точка M( Х; при) (фиг. 105).

Нека радиус векторът ОМ> точка M образува ъгъл с големина Tс положителната посока на оста O х, тогава абсцисата и ординатата на точка M се променят в зависимост от T

(0 T x и y през T, намираме

х= Rcos T ; г= R sin T , 0 T

Уравнения (4) се наричат параметрични уравнения на окръжност с център в началото.

Задача 6.Кръгът е даден от уравненията

х= \(\sqrt(3)\)cos T, г= \(\sqrt(3)\)sin T, 0 T

Напишете каноничното уравнение за тази окръжност.

От условието следва х 2 = 3 cos 2 T, при 2 = 3 грях 2 T. Събирайки тези равенства член по член, получаваме

х 2 + при 2 = 3(cos 2 T+ грях 2 T)

или х 2 + при 2 = 3