Обратно махало на количка. Обратно махало. С фиксирана опорна точка

Обърнато махало е махало, което има център на масата над опорната точка, фиксирано в края на твърд прът. Често опорната точка е фиксирана върху количка, която може да се движи хоризонтално. Докато нормалното махало виси стабилно надолу, обратното махало по своята същност е нестабилно и трябва да бъде постоянно балансирано, за да остане изправено, или чрез прилагане на въртящ момент към точката на въртене, или чрез преместване на точката на въртене хоризонтално, като част от системата за обратна връзка. Най-простата демонстрация би била да балансирате молив в края на пръста си.

Преглед

Обърнатото махало е класически проблем в динамиката и теорията на управлението и се използва широко като еталон за тестване на алгоритми за управление (ПИД контролери, невронни мрежи, размито управление и др.).

Проблемът с обратното махало е свързан с насочването на ракетата, тъй като двигателят на ракетата е разположен под центъра на тежестта, което води до нестабилност. Същият проблем е решен например в segway, самобалансиращо се транспортно устройство.

Друг начин за стабилизиране на обратното махало е бързото завъртане на основата във вертикална равнина. В този случай можете да направите без обратна връзка. Ако трептенията са достатъчно силни (по отношение на ускорение и амплитуда), тогава обратното махало може да се стабилизира. Ако движещата се точка осцилира в съответствие с прости хармонични трептения, тогава движението на махалото се описва с функцията на Матийо.

Уравнения на движение

С фиксирана опорна точка

Уравнението на движението е подобно на право махало, с изключение на това, че знакът на ъгловата позиция се измерва от вертикалното положение на нестабилното равновесие:

texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

Когато се преведе, той ще има същия знак за ъглово ускорение:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Така обратното махало ще се ускори от вертикалното нестабилно равновесие в обратна посока и ускорението ще бъде обратно пропорционално на дължината. Високото махало пада по-бавно от късото.

Махало на количка

Уравненията на движението могат да бъдат изведени с помощта на уравненията на Лагранж. Това е фигурата по-горе, къде Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \theta(t)дължина на ъгъла на махалото Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): lпо отношение на вертикала и оперативна силагравитацията и външните сили Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): Fв посоката Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvc . Да дефинираме Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): x(t)позиция на количката. Лагранжиан Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): L = T - Vсистеми:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ за настройка.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

където Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvc е скоростта на количката и Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvc - скорост материална точка Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): m . Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): v_1и Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): v_2може да се изрази чрез Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): xи Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \thetaчрез скоростта на запис като първа производна на позиция.

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): v_1^2=\dot x^2 Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \ ляво((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2

Опростяване на израза Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): v_2води до:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Сега Лагранжианът се дефинира по формулата:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

и уравненията на движението:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L) \над \частичен x) = F Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L )\над\частично\тета) = 0

Заместване Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): Lв тези изрази с последващо опростяване води до уравнения, описващи движението на обратното махало:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ за настройка.): \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Тези уравнения са нелинейни, но тъй като целта на системата за управление е да поддържа махалото вертикално, уравненията могат да бъдат линеаризирани чрез вземане на Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \theta \приблизително 0 .

Махало с осцилираща основа

Уравнението за движение за такова махало е свързано с безмасова осцилираща основа и се получава по същия начин, както за махало на количка. Позицията на материалната точка се определя по формулата:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

и скоростта се намира чрез първата производна на позицията:

Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Това уравнение няма елементарно решение в затворена форма, но може да се изследва в много посоки. То е близко до уравнението на Матийо, например, когато амплитудата на трептене е малка. Анализът показва, че махалото остава изправено при бързо люлеене. Първата графика показва това с бавно осцилиране Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvc , махалото пада бързо, след като напусне стабилно вертикално положение.
Ако Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): yосцилира бързо, махалото може да бъде стабилно около вертикалното положение. Втората графика показва, че след като напусне стабилната вертикална позиция, махалото вече започва да се върти около вертикалната позиция ( Не може да се анализира синтактичен израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройка.): \theta = 0).Отклонението от вертикалното положение остава малко и махалото не пада.

Приложение

Пример е балансирането на хора и предмети, като например в акробатиката или карането на едноколело. А също и сегуей - електрически самобалансиращ се скутер с две колела.

Обърнатото махало е централен компонент в развитието на няколко ранни сеизмографи.

Вижте също

Връзки

• Д. Либерзон Превключване в системи и управление(2003 Springer) pp. 89 и сл

Допълнителна информация

• Франклин; et al. (2005). Обратно управление на динамични системи, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишете отзив за статията "Обратно махало"

Връзки

Откъс, описващ обратното махало

Заедно с тях беше заточена и сестрата на дядо им Александра Оболенская (по-късно Алексис Оболенски), както и доброволно заминалите Василий и Анна Серьогин, които последваха дядо по собствен избор, тъй като Василий Никандрович дълги години беше адвокат на дядо във всичките му дела и един от най-близките му приятели.

Александра (Алексис) Оболенская Василий и Анна Серьогин

Вероятно човек трябваше да бъде истински ПРИЯТЕЛ, за да намери сили в себе си да направи такъв избор и да отиде по собствена воля накъдето отива, както отива само към собствената си смърт. И тази "смърт", за съжаление, тогава беше наречена Сибир ...
Винаги съм бил много тъжен и наранен за нашата, толкова горда, но толкова безмилостно стъпкана от болшевишки ботуши, красив Сибир!... И думи не могат да кажат колко страдание, болка, живот и сълзи този горд, но изтощен до краен предел, земя погълната... Дали защото някога е била сърцето на нашата прародина, „далновидни революционери” са решили да очернят и унищожат тази земя, избирайки я за своите дяволски цели?... В крайна сметка за много хора дори дори за много хора? след много години Сибир все още остава "прокълната" земя, където умря нечий баща, нечий брат, някой след това син ... или може би дори цялото нечие семейство.
Баба ми, която аз, за ​​мое голямо огорчение, никога не познавах, по това време беше бременна с баща ми и издържа много трудно пътя. Но, разбира се, нямаше нужда да чакате помощ отникъде... Така че младата принцеса Елена, вместо тихото шумолене на книги в семейната библиотека или обичайните звуци на пианото, когато свиреше любимите си произведения, този път слушаше само зловещия звук на колела, които сякаш заплашително отброяваха оставащите часове от живота й, толкова крехки и превърнати в истински кошмар... Тя седеше на едни чували на мръсния прозорец на каретата и втренчена в последните мизерни следи от така добре познатата и позната за нея „цивилизация“, отиваща все по-далеч...
Сестрата на дядо, Александра, с помощта на приятели успява да избяга на една от спирките. По общо съгласие тя трябваше да стигне (ако има късмет) във Франция, където в момента живееше цялото й семейство. Вярно, никой от присъстващите не можеше да си представи как може да направи това, но тъй като това беше единствената им, макар и малка, но със сигурност последна надежда, беше твърде голям лукс да я откажат за напълно безизходното им положение. В този момент във Франция беше и съпругът на Александра, Дмитрий, с чиято помощ се надяваха вече от там да се опитат да помогнат на семейството на дядото да се измъкне от онзи кошмар, в който животът така безмилостно ги беше хвърлил, с подлия ръце на брутални хора...
При пристигането си в Курган те бяха настанени в студено мазе, без да обясняват нищо и без да отговарят на въпроси. Два дни по-късно някои хора дойдоха за дядо и заявиха, че уж са дошли, за да го „придружат“ до друга „дестинация“ ... Отвели го като престъпник, не му позволявали да вземе нищо със себе си и не благоволили да обяснят къде и за колко време го приемат. Никой повече не видя дядо. След известно време неизвестен военен донесе личните вещи на дядото на бабата в мръсен чувал с въглища... без да обяснява нищо и не оставя надежда да го види жив. На това всяка информация за съдбата на дядото спря, сякаш той е изчезнал от лицето на земята без никакви следи и доказателства ...
Изтерзаното, измъчено сърце на бедната принцеса Елена не искаше да приеме такава ужасна загуба и тя буквално засипа местния щабов офицер с молби за изясняване на обстоятелствата около смъртта на нейния любим Николай. Но „червените“ офицери бяха слепи и глухи за молбите на една самотна жена, както я наричаха – „от благородниците“, която за тях беше само една от хилядите и хилядите безименни „номерирани“ части, които не означаваха нищо в техният студен и жесток свят... Беше истински ад, от който нямаше изход обратно към онзи познат и мил свят, в който нейният дом, нейните приятели и всичко, с което беше свикнала от ранна възраст, и това тя обичаше толкова много и искрено .. И нямаше никой, който можеше да помогне или дори да даде най-малката надежда да оцелее.
Серьогините се опитваха да запазят присъствието на духа за тримата и се опитваха по всякакъв начин да развеселят принцеса Елена, но тя навлизаше все по-дълбоко и по-дълбоко в почти пълен ступор и понякога седеше дни наред в равнодушно замръзнало състояние, почти не реагирайки на опитите на нейните приятели да спасят сърцето и ума й от крайна депресия. Имаше само две неща, които за кратко я върнаха в реалния свят – ако някой започне да говори за нероденото й дете, или ако се появиха някакви, дори най-малки, нови подробности за предполагаемата смърт на любимия й Николай. Тя отчаяно искаше да разбере (докато беше още жива) какво наистина се е случило и къде е съпругът й или поне къде е погребано (или изоставено) тялото му.
За съжаление, почти не е останала информация за живота на тези двама смели и ярки хора Елена и Николай де Рохан-Хесе-Оболенски, но дори и тези няколко реда от двете останали писма на Елена до нейната снаха Александра , които по някакъв начин оцеляха в семейните архиви на Александра във Франция показват колко дълбоко и нежно принцесата е обичала изчезналия си съпруг. Оцелели са само няколко ръкописни листа, някои редове от които, за съжаление, изобщо не могат да се различат. Но дори постигнатото крещи с дълбока болка за голямо човешко нещастие, което, без да си го преживял, не е лесно за разбиране и невъзможно да се приеме.

12 април 1927г От писмо на принцеса Елена до Александра (Аликс) Оболенская:
„Днес съм много уморен. Тя се върна от Синячиха напълно разбита. Вагоните са натъпкани с хора, ще е жалко дори добитък да се вози в тях………………………….. Спряхме в гората – толкова вкусно миришеше на гъби и ягоди там… Трудно е за повярване че там ги избиха тези нещастници! Бедната Елочка (в смисъл велика херцогиняЕлизавета Федоровна, която беше роднина на дядо ми по линията на Хесен), беше убита тук наблизо, в тази ужасна мина на Староселимск ... какъв ужас! Душата ми не може да приеме това. Помниш ли, казахме: „Да падне земята“?.. Велики Боже, как може да падне такава земя?!..
О, Аликс, скъпа моя Аликс! Как можеш да свикнеш с такъв ужас? ...................... ..................... Толкова ми писна да моля и да се унижавам... Всичко ще бъде напълно безполезно, ако ЧК не се съгласи да изпрати молба до Алапаевск ...... Никога няма да знам къде да го търся и никога няма да знам какво са му направили. Не минава и час, без да се замисля за толкова познато за мен лице... Какъв ужас е да си представиш, че лежи в някаква изоставена яма или на дъното на мина!.. Как можеш да издържиш този ежедневен кошмар, като знаеш че вече никога няма да го видя?!.. Както горкият ми Василек (името дадено на баща ми при раждането) никога няма да го види... Къде е границата на жестокостта? И защо се наричат ​​хора?

От Уикипедия, свободната енциклопедия

Обърнато махало е махало, което има център на масата над опорната точка, фиксирано в края на твърд прът. Често опорната точка е фиксирана върху количка, която може да се движи хоризонтално. Докато нормалното махало виси стабилно надолу, обратното махало по своята същност е нестабилно и трябва да бъде постоянно балансирано, за да остане изправено, или чрез прилагане на въртящ момент към точката на въртене, или чрез преместване на точката на въртене хоризонтално, като част от системата за обратна връзка. Най-простата демонстрация би била да балансирате молив в края на пръста си.

Преглед

Обърнатото махало е класически проблем в динамиката и теорията на управлението и се използва широко като еталон за тестване на алгоритми за управление (ПИД контролери, невронни мрежи, размито управление и др.).

Проблемът с обратното махало е свързан с насочването на ракетата, тъй като двигателят на ракетата е разположен под центъра на тежестта, което води до нестабилност. Същият проблем е решен например в segway, самобалансиращо се транспортно устройство.

Друг начин за стабилизиране на обратното махало е бързото завъртане на основата във вертикална равнина. В този случай можете да направите без обратна връзка. Ако трептенията са достатъчно силни (по отношение на ускорение и амплитуда), тогава обратното махало може да се стабилизира. Ако движещата се точка осцилира в съответствие с прости хармонични трептения, тогава движението на махалото се описва с функцията на Матийо.

Уравнения на движение

С фиксирана опорна точка

Уравнението на движението е подобно на право махало, с изключение на това, че знакът на ъгловата позиция се измерва от вертикалното положение на нестабилното равновесие:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; -\; (g\; \backslash над\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; 0$

Когато се преведе, той ще има същия знак за ъглово ускорение:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; =\; (g\; \backslash над\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta$

Така обратното махало ще се ускори от вертикалното нестабилно равновесие в обратна посока и ускорението ще бъде обратно пропорционално на дължината. Високото махало пада по-бавно от късото.

Махало на количка

Уравненията на движението могат да бъдат изведени с помощта на уравненията на Лагранж. Това е фигурата по-горе, къде $\backslash тета(t)$дължина на ъгъла на махалото $л$по отношение на вертикалата и действащата сила на гравитацията и външни сили $Ф$в посоката $х$. Да дефинираме $x(t)$позиция на количката. Лагранжиан $L=T-V$системи:

L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\thetaкъдето $v\_1$е скоростта на количката и $v\_2$- скорост на материалната точка $м$. $v\_1$и $v\_2$може да се изрази чрез $х$и $\backslash тета$чрез скоростта на запис като първа производна на позиция.

v_1^2=\точка x^2

v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt) ))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2Опростяване на израза $v\_2$води до:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Сега Лагранжианът се дефинира по формулата:

L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac(1)(2) m \ ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \thetaи уравненията на движението:

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\над \partial(\dot x)) - (\partial(L)\over \partial x) = F

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\над \partial(\dot \theta)) - (\partial(L)\over \partial \theta) = 0Заместване $Л$в тези изрази с последващо опростяване води до уравнения, описващи движението на обратното махало:

\вляво (M + m \вдясно) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \thetaТези уравнения са нелинейни, но тъй като целта на системата за управление е да поддържа махалото вертикално, уравненията могат да бъдат линеаризирани чрез вземане на $\backslash theta\; \backslash приблизително\; 0$.

Махало с осцилираща основа

Уравнението за движение за такова махало е свързано с безмасова осцилираща основа и се получава по същия начин, както за махало на количка. Позицията на материалната точка се определя по формулата:

$\backslash left(-\backslash ell\; \backslash sin\; \backslash theta\; ,\; y\; +\; \backslash ell\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash right)$

и скоростта се намира чрез първата производна на позицията:

$v^2=\backslash dot\; y^2-2\; \backslash ell\; \backslash dot\; y\; \backslash dot\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash theta\; +\; \backslash ell^2\backslash dot\; \backslash theta\; ^2.$ $$

\ddot \theta - (g \над \ell) \sin \theta = -(A \над \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

Това уравнение няма елементарно решение в затворена форма, но може да се изследва в много посоки. То е близко до уравнението на Матийо, например, когато амплитудата на трептене е малка. Анализът показва, че махалото остава изправено при бързо люлеене. Първата графика показва това с бавно осцилиране $г$, махалото пада бързо, след като напусне стабилно вертикално положение.
Ако $г$осцилира бързо, махалото може да бъде стабилно около вертикалното положение. Втората графика показва, че след като напусне стабилната вертикална позиция, махалото вече започва да се върти около вертикалната позиция ( $\backslash тета\; =\; 0$).Отклонението от вертикалното положение остава малко и махалото не пада.

Приложение

Пример е балансирането на хора и предмети, като например в акробатиката или карането на едноколело. А също и сегуей - електрически самобалансиращ се скутер с две колела. Обърнатото махало е централен компонент в развитието на няколко ранни сеизмографи.

Вижте също

Връзки

• Д. Либерзон Превключване в системи и управление(2003 Springer) pp. 89 и сл

Допълнителна информация

• Франклин; et al. (2005). Обратно управление на динамични системи, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишете отзив за статията "Обратно махало"

Връзки

Откъс, описващ обратното махало

„Това е братът на Безухова, Анатол Курагин“, каза тя, като посочи красивия кавалерийски гвардеец, който мина покрай тях, гледайки някъде от височината на вдигнатата си глава през дамите. - Колко добре! не е ли? Казват, че ще го оженят за тази богата жена. .И твоят брат, Друбецкой, също е много заплетен. Казват милиони. „Е, това е самият френски пратеник“, отговори тя за Коленкур, когато графинята попита кой е той. „Изглеждаш като някакъв крал. И все пак французите са много, много мили. Няма миля за обществото. И ето я! Не, всичко е по-добро от цялата наша Мария Антоновна! И колко просто облечен. Чар! „А този, дебел, с очила, е световен масон“, каза Перонская, сочейки Безухов. - С жена му, тогава го сложи до него: тогава онзи шут на грах!
Пиер вървеше, махайки дебелото си тяло, разпръсквайки тълпата, кимаше надясно и наляво толкова небрежно и добродушно, сякаш вървеше през тълпата на базар. Той се движеше през тълпата, очевидно търсейки някого.
Наташа погледна с радост познатото лице на Пиер, онзи грахов шут, както го наричаше Перонская, и знаеше, че Пиер ги търси, и особено нея, в тълпата. Пиер й обеща да бъде на бала и да я представи на господата.
Но преди да ги стигне, Безухой спря до ниска, много красива брюнетка в бяла униформа, която, застанала на прозореца, говореше с някакъв висок мъж със звезди и панделка. Наташа веднага позна нисък млад мъж в бяла униформа: това беше Болконски, който й се стори много подмладен, весел и по-красив.
- Ето още един приятел, Болконски, виждаш ли, мамо? - каза Наташа, сочейки принц Андрей. - Спомнете си, той прекара нощта при нас в Отрадное.
– О, познаваш ли го? — каза Перонская. - Не мога да понасям. Il fait a present la pluie et le beau temps. [Сега определя дъждовно или хубаво време. (Френска поговорка, което означава, че е успешен.)] И такава гордост, че няма граници! Последвах татко. И той се свърза със Сперански, някои проекти се пишат. Вижте как се отнасят към дамите! Тя му говори, а той се извърна“, каза тя, сочейки го. „Бих го пребил, ако направи същото с мен, както направи с тези дами.

Изведнъж всичко се раздвижи, тълпата започна да говори, раздвижи се, отново се раздели и между двата разделени реда, при звука на музика, влезе суверенът. Зад него бяха собственикът и господарката. Императорът вървеше бързо, кланяйки се надясно и наляво, сякаш се опитваше да се отърве от тази първа минута на срещата възможно най-скоро. Музикантите свирят полски език, известен тогава с композираните върху него думи. Тези думи започваха: „Александър, Елизабет, вие ни радвате ...“ Суверенът влезе в хола, тълпата се втурна към вратите; няколко лица с променени изражения бързаха напред-назад. Тълпата отново се оттегли от вратите на гостната, в която се появи суверенът, разговаряйки с домакинята. Някакъв млад мъж с объркан вид се приближаваше към дамите и ги молеше да се отдръпнат. Някои дами с лица, изразяващи пълна забрава за всички условия на света, развалящи тоалетните си, се тълпяха напред. Мъжете започнаха да се приближават до дамите и да се нареждат в полски двойки.
Всичко се раздели и императорът, усмихнат и неуспешен, водейки за ръка стопанката на къщата, излезе от вратите на гостната. Той беше последван от собственика с М. А. Наришкина, след това пратеници, министри, различни генерали, които Перонская викаше непрекъснато. Повече от половината дами имаха кавалери и се разхождаха или се готвеха за Полска. Наташа почувства, че остава с майка си и Соня сред по-малката част от дамите, притиснати до стената и не взети в Полска. Тя стоеше със спуснати тънки ръце и с премерено повдигнати, леко очертани гърди, затаила дъх, с блестящи, уплашени очи, гледаше пред себе си, с израз на готовност за най-голяма радост и най-голяма скръб. Тя не се интересуваше нито от суверена, нито от всички важни личности, които посочи Перонская - тя имаше една мисъл: „Наистина ли никой няма да дойде при мен, наистина ли няма да танцувам между първите, нали възможно е всички тези мъже, които сега, изглежда, че не ме виждат, но ако ме погледнат, те гледат с такова изражение, сякаш казват: А! не е тя, така че няма какво да се види. Не, не може да бъде!" тя мислеше. "Те трябва да знаят как искам да танцувам, колко добре танцувам и колко забавно ще им бъде да танцуват с мен."
Звуците на полски, които продължаваха от доста време, вече започваха да звучат тъжно, спомен в ушите на Наташа. Искаше й се да плаче. Перонская се отдалечи от тях. Графът беше в другия край на залата, графинята, Соня и тя стояха сами като в гора сред тази извънземна тълпа, безинтересни и ненужни никому. Принц Андрей мина покрай тях с някаква дама, явно не ги позна. Красивият Анатол, усмихнат, каза нещо на дамата, която водеше, и погледна лицето на Наташа с погледа, с който гледат стените. Борис минава два пъти покрай тях и всеки път се обръща. Берг и съпругата му, които не танцуваха, се приближиха до тях.
Това семейно сближаване тук, на бала, изглеждаше обидно за Наташа, сякаш нямаше друго място за семейни разговори освен на бала. Тя не слушаше и не погледна към Вера, която й говореше нещо за зелената й рокля.
Най-после суверенът спря до последната си дама (танцуваше с три), музиката спря; заетият адютант се затича към Ростови, като ги помоли да се преместят на друго място, въпреки че стояха до стената, а от хорото се разнасяха отчетливите, предпазливи и увлекателно премерени звуци на валс. Императорът погледна към залата с усмивка. Мина една минута и никой още не започна. Адютант-управителят се приближи до графиня Безухова и я покани. Тя вдигна ръка, усмихвайки се, и я положи, без да го поглежда, на рамото на адютанта. Адютант-управителят, майстор на занаята си, уверено, спокойно и премерено, здраво прегърнал дамата си, първо тръгна с нея по плъзгаща се пътека, по ръба на кръга, в ъгъла на залата, хвана лявата й ръка, завъртя я и поради все по-бързите звуци на музиката измерваше само щраканията на шпорите на бързите и пъргави крака на адютантите и на всеки три удара на завоя, развяващата се кадифена рокля на неговата дама сякаш пламваше нагоре. Наташа ги погледна и беше готова да заплаче, че не тя танцува този първи кръг на валса.
Княз Андрей, в бялата си (за кавалерия) униформа на полковник, в чорапи и ботуши, оживен и весел, застана в челните редици на кръга, недалеч от Ростовите. Барон Фиргоф говори с него за утрешния ден, предложеното първо заседание на Държавния съвет. Княз Андрей, като човек, близък до Сперански и участващ в работата на законодателната комисия, можеше да даде точна информация за утрешната среща, за която имаше различни слухове. Но той не послуша какво му каза Фиргоф и погледна първо суверена, после към господата, които щяха да танцуват, които не посмяха да влязат в кръга.

1

Работата е посветена на проблема за стабилизиране на обърнато махало, на което се отделя голямо внимание в теорията на управлението, тъй като алгоритмите за поддържане на вертикалното положение на антропоморфните технически устройства са изградени на примера на тази нестабилна система. В тази статия е описана стратегията за привеждане на обратното махало във вертикално нестабилно положение, разработена е оптико-механична система за стабилизиране на обратното махало, която се състои от лабораторна стойка TR-802 на Festo и устройство за контрол на изместването. Показано е, че след привеждане на махалото в най-горно положение, стабилизиращата система задържа махалото в това положение, като премества шейната на определен брой стъпки в зависимост от ъгъла на махалото. Разработени са алгоритми за привеждане на махалото в положение на нестабилно равновесие и последващото му задържане в това положение, както и съответният софтуер.

обратно махало

равновесие

стабилизиране

Обратна връзка

алгоритъм

фотоемитер

микропроцесор

софтуер

1. Капица П.Л. Динамична стабилност на махало с осцилираща точка на окачване // ЖЕТФ. - 1951. - бр.21. – С.588–597.

2. Капица П.Л. Махало с вибриращо окачване // UFN. - 1951. - бр.44. – С.7–20.

3. Кузнецов В.П., Иванов А.А., Кудряшов Б.П. Проектиране на средства за измерване на параметрите на технологични обекти на базата на оптични преобразуватели: урок. - Курган: Издателство на държавата Курган. ун-та, 2013. - 84 с.

4. Макаров А.В., Кузяков О.Н. Устройство за управление на движението// Патент на Русия № 2150086. - 2000. - Бул. № 15

5. Formalsky A.M. Стабилизиране на обърнато махало с неподвижна или подвижна точка на окачване // Докл. - 2006. - т. 406, бр.2. – С.175–179.

6. Ашиш С. Катария Оптимални контролери за състояние на обратна връзка и изходна обратна връзка за колело с обърнато махало; Georgia Institute of Technology, 2010. - 72 p.

7. Bradshaw A., Shao J. Swing-up управление на системите с обърнато махало // Robotica. - 1996. - Кн. 14. - Р. 397-405.

8. Bugeja M. Non-linear Swing-up and Stabilising Control of an Inverted Pendulum System, Proc. на. ЕВРОКОН, Любляна. – 2003 г.

9.Система за позициониране. Интелигентен контролер за позициониране SPC200. наръчник. Festo AG & Co. КГ, отд. KI-TD. - 2005. - 371 с.

10. Контролер за интелигентно позициониране SPC200. Програмен пакет WinPISA. Festo AG & Co. килограма. - 2005. - 381 с.

Проблемът с управлението на обекти от махало е основен за редица области на науката, тъй като неговото решение е отразено в теорията на автоматичното управление, роботиката и се използва при моделирането на самолети, при решаването на проблеми за стабилизиране на положението на обекти върху движещи се платформа, при разработването на специални превозни средства - сегуей и др.

Физическото махало е един от най-простите и най-често срещаните физически модели, който представлява товар, осцилиращ върху неразтеглива нишка или твърд прът. Специален случай на такава система е обратното махало, което е нестабилен физически обект с две равновесни позиции: в долната и горната точка. В този случай всяко, произволно малко смущение е в състояние да изведе махалото от горното равновесно положение с последващото му желание да се премести в долното равновесно положение. За да се стабилизира махалото в горната точка, системата може да бъде допълнена с различни елементи, които осигуряват обратна връзка - необходим компонент на системата за управление.

Работите са посветени на решаването на проблема за стабилизиране на горното положение за обърнато махало. Системният модел се изразява със следното уравнение:

където m е масата на махалото; l е дължината на окачването на махалото; J е инерционният момент на махалото; θ е ъгълът на наклон на махалото спрямо вертикалата; а - ускорение на движението на точката на окачване на махалото (карета); g - ускорение свободно падане. След трансформациите получаваме

Следователно движението на системата се влияе от следните параметри: масата и дължината на окачването на махалото и ускорението на движението на неговата точка на окачване - каретата.

Описание на системата

В тази работа беше поставена задачата да се симулира процеса на привеждане на махалото в крайно горно положение с последващо стабилизиране на това положение, като се използва лабораторния стенд TP-802 от Festo (Германия) като задаване на крайно горно положение на махалото , както и други компоненти, използвани за създадената система за стабилизиране.

1. Стратегията за привеждане на махалото в горно равновесно положение

Очевидно е, че възможностите за привеждане на махалото до крайно горно равновесно положение са ограничени от параметрите (по-специално, дължината на задвижването и максимално възможната стойност на ускорението на движението на каретката) на лабораторния стенд Festo TP- 802, въз основа на който се решава задачата. И така, максималното ускорение на движението на каретата е a=4m/s2.

Чрез математически изчисления беше установено, че праговата стойност на ускорението на махалото, която определя необходимата величина на изменение от каретата в посоката на нейното движение, е a0=13,1m/s2. Тъй като при използване на лабораторната стойка Festo TP-802 тази стойност е много по-висока от максимално възможната стойност на ускорението на каретката, в тази работа използвахме такава стратегия за изтегляне на обратното махало, при което посоката на движение на каретката се променя многократно и изместването на каретата от текущата позиция се увеличава.

2. Математическо описание на изтеглянето на махалото до крайно горно положение

Известно е, че за да достигне махалото в горното си равновесно положение, неговата потенциална енергия трябва да достигне стойността Ep=2mpgl, където mp е масата на махалото; l е дължината на махалото; g е ускорението на свободно падане. Това взема предвид, че mp=0,06kg, l=0,25m, g=10m/s2. По този начин, за да се реши задачата, потенциалната енергия на махалото трябва да бъде равна на Ep=0,3J.

Решено е люлеенето на махалото да се извършва по следния начин: електромеханично задвижване измества шейната спрямо първоначалното й положение с фиксиран брой стъпки, първо в отрицателна посока, след това в положителна. Размерът на отместване от началната позиция се увеличава всеки път, когато каретката се движи в която и да е посока. За привеждане на махалото в екстремно горно равновесно положение е разработен алгоритъмът, представен на фиг. 1. В този случай се приема: (1) каретата се движи по оста Ox между точките X=0mm и X=300mm; (2) начално положение на каретката - координата X=150mm; (3) N е стойността (в mm) на изместване на каретката от първоначалното положение, (4)K е приращението (в mm) на изместването на каретката от тази позиция.

Като се има предвид, че когато каретката с прикрепено към нея махало се движи по хоризонталната ос, кинетичната енергия на движението на каретката Ek се преобразува в потенциалната енергия на движението на махалото Ep, е възможно да се изчисли увеличаването на енергията на махалото. Да приемем, че размерът на изместване на каретката от начална позиция е равен на N=50mm, стойността на зададеното приращение на изместване на каретката от начална позиция е K=50mm. След това стойността на потенциалната енергия на махалото след първото изместване на каретата

след втория

По този начин, след три движения на каретката, потенциалната енергия на махалото трябва да надвиши стойността, необходима за привеждането му в горно равновесно положение.

3. Алгоритъм за привеждане на махалото в крайно горно положение

На практика се оказа, че изводите, направени в предишния параграф, като се вземе предвид трансформацията на кинетичната енергия на каретката в потенциалната енергия на махалото, не отговарят на експерименталните данни. По-голямата част от енергията се губи в околната среда поради несъвършенството на конструкцията, триенето на каретата и окачването на махалото.

По този начин физическият обект на управление е обратното махало, доведено до най-горната нестабилна позиция за краен брой движения на каретката на електромеханичното задвижване, задвижвана от стъпков двигател MTR-ST, който се управлява от компютърния компютър чрез SPC- 200 координатен контролер за позициониране. Началото на системата за стабилизиране на положението на обратното махало следва изтеглянето на махалото до крайното му горно положение. За решаване на този проблем, като се вземе предвид , са разработени алгоритъмът, представен на фиг. 1 и съответната приложна програма за позициониране на каретката. Приема се, че N е изместването на шейната от центъра на задвижващата ос, а K е определеното увеличение на изместването на шейната от центъра на задвижващата ос.

Ориз. 1. Алгоритъм на подпрограмата за привеждане на махалото в горна позиция

По-долу е представен списък на програмата за привеждане на махалото в най-високо положение, разработена по време на експеримента върху системата „карета - махало” с помощта на софтуерното приложение Festo WinPisa 4.41. Коментарите с обяснение на програмния код са дадени срещу съответните редове след знака ";".

В началото на програмата каретката се придвижва към центъра на задвижващата ос. Следващите 9 реда от програмата съответстват на нарастващите трептения на махалото, след което каретата прави още 2 движения, за да стабилизира временно махалото в горната точка.

Непосредствено в момента, в който махалото достигне горно равновесно положение, управлението на движението на системата "карета - махало" преминава към разработената система за стабилизиране.

4. Работа на стабилизиращата система

Един от важните компоненти на тази система е оптично устройство за управление на движението, описано в . Структурата на системата е показана на фигура 2.

Върху неподвижната основа 1 има движеща се по оста X карета 3, върху която махалото 7 е фиксирано с товар 8, съдържащ емитера 9. Каретката е свързана неподвижно към стъпковия двигател4 посредством линейно електромеханично задвижване2. Стъпковият двигател4 се управлява чрез контролера на двигателя5 от позиционния контролер6. Компютърът14 управлява работата на излъчвателя9 и декодера13, чиито входове приемат сигнали от фотодетектори 10, 11, 12, съдържащи устройство за преобразуване в текуща стойност, а техните изходи са свързани към компютър14. В този случай фотодетекторът 10 е централен и генерира сигнал на изхода си само когато обратното махало е във вертикално положение (горна точка).

Системата работи по следния начин: махалото7 се довежда до крайно горно нестабилно равновесно положение за краен брой движения на шейната на електромеханично задвижване, управлявано от стъпков двигател5, като максималното разстояние на движение на каретката е 300 mm. Светлинният излъчвател9, фиксиран върху тежестта на махалото8, се включва от момента, в който махалото7 започне да се движи нагоре, а на фотодетектора10 се генерира сигнал в момента на вертикалното положение на махалото7, който влиза в компютъра 14 през декодера 13 и е програмно фиксирана, което съответства на крайната горна позиция на махалото. Под въздействието на физически сили махалото не може да остане в това положение дълго време и започва да се отклонява. Когато махалото се отклони от вертикалата, посоката на светлината на фотоемитера се променя, което се записва от фотодетектори. Въз основа на това кой фотодетектор, който е най-близък до фотодетектора10, е първият регистрирал сигнала на емитера (Lk или Pk), могат да се зададат координатите на махалото (ъгълът на отклонение на махалото от вертикалата) и посоката на отклонение. Броят на фотодетекторите и стъпката на тяхното редуване пряко зависят от необходимата точност на измерване.

Под въздействието на физически сили махалото не може да остане в това положение дълго време и започва да се отклонява. Когато махалото се отклони от вертикалата, посоката на светлината на фотоемитера се променя, което се записва от фотодетектори. Според това кой най-близкият фотодетектор спрямо фотодетектора 10 е първият регистрирал сигнала на излъчвателя (Lk или Pk), е възможно да се задават координатите на махалото (ъгълът на отклонение на махалото от вертикалата) и посоката на отклонение. Броят на фотодетекторите и стъпката на тяхното редуване пряко зависят от необходимата точност на измерване. Информацията за положението на махалото7 идва от фотодетекторите към компютъра14, обработва се по зададена програма, въз основа на която се формира управляващо действие за позиционния регулатор 6: преместване на шейната към отклонението на махалото с определен брой на стъпки, в зависимост от отклонението на махалото от вертикалата. По този начин тази система е затворена и ви позволява да стабилизирате обратното махало във вертикално положение. Алгоритъмът на работа на системата е показан на фиг.3.

Ориз. 2. Структура на системата

Ориз. 3. Алгоритъм за работа на системата

Заключение

По този начин в тази работа са разработени алгоритми за привеждане на махалото в крайно горно равновесно положение с последващото му задържане във вертикално (нестабилно) равновесно положение. Несъвършенството на конструкцията на махалото доведе до необходимостта от извършване на по-голям брой движения на каретката, за да се изведе махалото до горната точка. Също така са разработени принципите за изграждане на оптико-механична система за стабилизиране на положението на обратното махало в горната точка, състояща се от лабораторен електромеханичен стенд TR-802 от Festo и оптично устройство за контрол на изместването. Като препоръки се предлага да се използват получените резултати за разработване на системи за мониторинг на технологични обекти при преместване на управлявани сканиращи елементи по три координати.

Библиографска връзка

Кузяков О.Н., Андреева М.А. ОПТО-МЕХАНИЧНА СИСТЕМА ЗА СТАБИЛИЗАЦИЯ НА ПОЛОЖЕНИЕТО НА ОБРАТНОТО МАХАЛО // Фундаментални изследвания. - 2016. - бр.5-3. – С. 480-485;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40326 (дата на достъп: 23.03.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списанията, издавани от издателство "Академия по естествена история"

DOI: 10.14529/mmph170306

СТАБИЛИЗАЦИЯ НА ОБРАТНОТО МАХАЛО НА ДВЕКОЛЕСНО АВТОМОБИЛ

В И. Ryazhskikh1, M.E. Семенов2, A.G. Рукавицин3, O.I. Канищев4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронежска държава Технически университет, Воронеж, Руска федерация

2 Воронежски държавен университет по архитектура и строителство, Воронеж, Руска федерация

3 Воронеж държавен университет, Воронеж, Руската федерация

4 Военно-образователен и научен център на ВВС „Военновъздушна академия на името на професор Н.Е. Жуковски и Ю.А. Гагарин, Воронеж, Руската федерация

Електронна поща: [защитен с имейл]

Разглежда се механична система, състояща се от двуколесна количка, по оста на която има обратно махало. Задачата е да се формира такова управляващо действие, формирано по принципа на обратната връзка, което, от една страна, да осигури даден закон за движение на механичните средства, а от друга страна да стабилизира нестабилното положение на махалото. .

Ключови думи: механична система; двуколесно превозно средство; обратно махало; играй; стабилизиране; контрол.

Въведение

Възможността за управление на нестабилни технически системи се разглежда теоретично от дълго време, но практическото значение на такъв контрол ясно се прояви едва наскоро. Оказа се, че нестабилните управляващи обекти с подходящо управление имат редица „полезни“ качества. Примери за такива обекти са космически корабна етапа на излитане, термоядрен реактор и много други. В същото време, ако системата за автоматично управление се повреди, нестабилен обект може да представлява значителна заплаха, опасност както за хората, така и за околен свят. Като катастрофален пример за резултатите от изключване на автоматичното управление може да се посочи аварията в атомната електроцентрала в Чернобил. Тъй като системите за управление стават по-надеждни, все по-широк кръг от технически нестабилни обекти при липса на контрол се прилага на практика. Един от най-простите примери за нестабилни обекти е класическото обратно махало. От една страна, проблемът за стабилизирането му е сравнително прост и ясен, от друга страна може да се намери практическа употребапри създаване на модели на двукраки същества, както и антропоморфни устройства (роботи, кибер и др.), движещи се върху две опори. AT последните годинисе появяват трудове, посветени на проблемите за стабилизиране на обратно махало, свързано с движещо се двуколесно превозно средство. Тези изследвания имат потенциални приложения в много области, като транспорт и проучване, поради компактния дизайн, лекотата на работа, високата маневреност и ниския разход на гориво на такива устройства. Разглежданият проблем обаче все още е далеч от окончателно решение. Известно е, че много традиционни технически устройства имат както стабилни, така и нестабилни състояния и режими на работа. Типичен пример- Segway, изобретен от Дийн Камен, електрически самобалансиращ се скутер с две колела, разположени от двете страни на водача. Двете колела на скутера са подравнени. Segway се балансира автоматично, когато позицията на тялото на водача се промени; за тази цел се използва система за стабилизиране на индикатора: сигнали от жироскопични и течни сензори за наклон се подават към микропроцесори, които генерират електрически сигнали, които действат върху двигателите и контролират техните движения. Всяко колело на Segway се задвижва от собствен електродвигател, който реагира на промените в баланса на автомобила. Когато тялото на ездача се наклони напред, сегуейът започва да се търкаля напред, докато ъгълът на наклон на тялото на ездача се увеличава, скоростта на сегуей се увеличава. Когато тялото е наклонено назад, само

kat забавя, спира или се търкаля на заден ход. Рулирането в първия модел става с помощта на въртяща се дръжка, при новите модели - чрез завъртане на колоната наляво и надясно. Проблемите за управление на осцилаторни механични системи представляват значителен теоретичен интерес и голямо практическо значение.

Известно е, че по време на функционирането на механичните системи поради стареене и износване на частите неизбежно възникват хлабини и спирания, следователно, за да се опише динамиката на такива системи, е необходимо да се вземе предвид влиянието на хистерезисните ефекти. Математическите модели на такива нелинейности, в съответствие с класическите концепции, се свеждат до оператори, които се разглеждат като трансформатори на съответните функционални пространства. Динамиката на такива преобразуватели се описва от отношенията "вход-състояние" и "състояние-изход".

Формулиране на проблема

В тази статия разглеждаме механична система, състояща се от двуколесна количка, на оста на която има обратно махало. Задачата е да се формира такова управляващо действие, което, от една страна, да осигури даден закон за движение на механичните средства, а от друга страна да стабилизира нестабилното положение на махалото. В този случай се вземат предвид свойствата на хистерезиса в контура за управление на изследваната система. По-долу е представено графично елементите на изследваната механична система - двуколесно превозно средство с прикрепено към него обратно махало.

Ориз. 1. Основните конструктивни елементи на разглежданото механично устройство

тук / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

HR! / / / / /един / / /

Ориз. 2. Ляво и дясно колела на механично устройство с контрол на въртящия момент

Параметри и променливи, които описват разглежданата система: j - ъгъл на завъртане на превозното средство; D е разстоянието между две колела по средата на оста; R е радиусът на колелата; Jj - инерционен момент; Tw е разликата между въртящите моменти на лявото и дясното колело; v-

надлъжна скорост на превозното средство; в - ъгълът на отклонение на махалото от вертикалното положение; m е масата на обърнатото махало; l е разстоянието между центъра на тежестта на тялото и

ос на колелото; Ti - сумата от въртящите моменти на лявото и дясното колело; x - движение на превозното средство в посока на надлъжната скорост; M е масата на шасито; M* - маса на колелата; И - решение за обратна реакция.

Системна динамика

Динамиката на системата се описва със следните уравнения:

n = - + - Tn, W в á WR n

in = - - ml C0S в Tn,

където T* = Tb - TJ; Tp \u003d Tb + Tch; Mx \u003d M + m + 2 (M * + ^ *); 1v \u003d t / 2 + 1C; 0. \u003d Mx1v-t2 / 2 co2 v;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Моделът, описващ динамиката на промените в параметрите на системата, може да бъде представен като две независими подсистеми. Първата подсистема се състои от едно уравнение - p-подсистемата,

определяне на ъгловите движения на превозното средство:

Уравнение (5) може да се пренапише като система от две уравнения:

където e1 = P-Py, e2 = (P-(Ra.

Втората подсистема, която описва радиалните движения на превозното средство, както и колебанията на махалото, инсталирано върху него, се състои от две уравнения - (y, v) -подсистема:

U =-[ Jqml in2 sin in - m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u

в =- - ml C ° * в Tv W WR

Системата (7) е удобно представена като система от уравнения от първи ред:

¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 + qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 + qd)] + TShT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +c)

където W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd , ¿4 = v - vd , ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Да разгледаме подсистема (6), която ще се управлява от принципа на обратната връзка. За да направим това, въвеждаме нова променлива и дефинираме повърхността на превключване във фазовото пространство на системата като ^ = 0 .

5 = вътре! + с1е1, (9)

където c е положителен параметър. Това произтича директно от определението:

■I \u003d e + c1 e1 -плач + c1 e1. (десет)

За да стабилизираме въртеливото движение, ние дефинираме контролния момент, както следва:

T# P - ^ v1 - -MgP(51) - k2 (11)

където, са положително определени параметри.

По същия начин ще изградим управлението на втората подсистема (8), която също ще управляваме по принципа на обратната връзка. За да направим това, въвеждаме нова променлива и дефинираме повърхността на превключване във фазовото пространство на системата като ■2 = 0 .

■2 = vz + S2vz, (12)

където c2 е положителен параметър, тогава

1 . 2 2 2

■2 \u003d e3 + c2 e3 \u003d (s + b6) ^5 + ve) - m 1 § ^5 + s1)C08 (e5 + ba)] +

7^T - + c2 e

За да стабилизираме радиалното движение, ние дефинираме контролния момент:

tt "2/2 ^ k T \u003d - Km / (wi + eb) r ^ m (eb + wi) + n ^ + wi) +kA ^],(14)

където k3, k4 са положително зададени параметри.

За да управляваме едновременно и двете подсистеми на системата, ние въвеждаме допълнително управляващо действие:

\u003d § Xapv - [va + c3 (v-vy) - k588n (^3) - kb 53], (15)

където § е ускорението на свободен

пада; c3, k5, kb - положителни параметри; 53 - превключваща повърхност, определена от съотношението:

53 = e6 + c3e5.

Нека формулираме основните резултати от работата, които се състоят в принципната възможност за стабилизиране на двете подсистеми, при направените предположения относно управляващите действия, в близост до нулево равновесно положение.

Теорема 1. Система (6) с управляващо действие (11) е абсолютно асимптотично устойчива:

Nsh || e11|® 0,

Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2

Доказателство: дефинираме функцията на Ляпунов като

където a = Dj 2 RJp.

Очевидно функцията V > 0, тогава

V = W1 Si = Si. (осемнадесет)

Замествайки (14) във V, получаваме

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Очевидно е, че V1

Теорема 2. Да разгледаме подсистема (8) с управляващо действие (14). При направените предположения тази система е абсолютно асимптотично стабилна, т.е. при всякакви начални условия са налице следните отношения:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 e41|® o.

Доказателство: дефинираме функцията на Ляпунов за система (8) с помощта на релацията

където b =Wo R!Je .

Очевидно функцията V2 > 0, и

V2 = M S2 = S2, тъй като има мъртви зони по отношение на управляващото действие. Да донесем Кратко описаниена хистерезисния преобразувател, използван в бъдеще - люфт, въз основа на интерпретацията на оператора. Изход на преобразувателя - хлабина при монотонни входове се описва със съотношението:

x(t0) за тези t, за които x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h за тези t, за които u(t)< x(t0) - h,

което е илюстрирано на фиг. 3.

Използвайки идентичността на полугрупата, действието на оператора се разширява до всички монотонни входове на парчета:

Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25)

и с помощта на специална гранична конструкция на всички непрекъснати. Тъй като изходът на този оператор не е диференцируем, по-долу се използва апроксимацията на обратната реакция от модела Bowk-Ven. Този добре известен полуфизичен модел се използва широко за феноменологичното описание на хистерезисните ефекти. Популярността на модела Bowk-Vienna

е известен със способността си да улавя аналитично различни форми на хистерезисни цикли. Формалното описание на модела се свежда до системата от следните уравнения:

Fbw (x, ^ = ax() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -p\x \\z \n-1 z-yx | z |n). (26)

Fbw(x,t) се третира като изход на хистерезисния преобразувател и x(t) като вход. Тук n > 1,

D > 0 k > 0 и 0<а< 1.

Ориз. 3. Динамика на входно-изходните люфтове съответствия

Помислете за обобщение на системи (6) и (8), в които управляващото действие се прилага към входа на хистерезисния преобразувател, а изходът е управляващото действие върху системата:

Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x-b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n).

Както и преди, в разглежданата система основният проблем беше стабилизацията, т.е. асимптотичното поведение на нейните фазови променливи. По-долу са дадени графики за същите физически параметри на системата със и без люфт. Тази система е изследвана с помощта на числени експерименти. Този проблем е решен в програмната среда на Wolfram Mathematica.

Стойностите на константите и началните условия са дадени по-долу:

m = 3; М=5; mw = 1; D=1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0; x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )