Perusfunktioiden johdannaisten esitystaulukko. Joidenkin perusfunktioiden johdannaisia. III. Hankitun tiedon konsolidointi

JOHDANNAIS

MOU Srednesantimirskaya lukio

Matematiikan opettajan tekemä

Singatullova G.Sh.


  • Johdannan määritelmä.
  • Johdannan fyysinen merkitys.
  • .
  • Erottamisen perussäännöt.
  • Monimutkaisen funktion johdannainen.
  • Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta derivaatta.

Johdannainen määritelmä

Olkoon jollain välillä (a, b) funktio y= f(x). Ota mikä tahansa piste x 0 tältä väliltä ja aseta argumentti x pisteessä x 0 mielivaltaiseksi lisäykseksi ∆ x siten, että piste x 0 + ∆ x kuuluu tähän väliin. Toimintoa kasvatetaan

johdannainen funktiot y= f(x) pisteessä x \u003d x 0 kutsutaan rajaa funktion ∆y inkrementille tässä kohdassa argumentin ∆x inkrementille, koska argumentin inkrementti pyrkii nollaan.

Derivaatan geometrinen merkitys

Olkoon funktio y= f(x) on määritelty jollain aikavälillä (a, b). Sitten sekantin MP:n kulmakertoimen tangentti funktion kuvaajaan.

Missä  on tangenttifunktion kaltevuus f(x) pisteessä (x 0 , f(x 0)).

Käyrien välinen kulma voidaan määritellä näille käyrälle jossain kohdassa piirrettyjen tangenttien väliseksi kulmaksi.

Käyrän tangentin yhtälö:

Johdannan fyysinen merkitys 1. Ongelma materiaalihiukkasen liikenopeuden määrittämisessä

Liikkukoon piste jotakin suoraa pitkin lain s= s(t) mukaan, missä s on kuljettu matka, t on aika, ja on tarpeen löytää pisteen nopeus hetkellä t 0 .

Ajanhetkellä t 0 kuljettu matka on yhtä suuri kuin s 0 = s(t 0) ja ajalla (t 0 + ∆t) - polku s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t).

Sitten välin ∆t aikana keskinopeus on

Mitä pienempi ∆t, sitä paremmin keskinopeus luonnehtii pisteen liikettä hetkellä t 0 . Siksi alle pisteen nopeus tällä hetkellä t 0 pitäisi ymmärtää keskinopeuden raja aikavälille t 0 - t 0 +∆t, kun ∆t⇾0 , ts.

2. KEMIIKAN NOPEUDEN ONGELMA REAKTIOT

Anna jonkin aineen päästä kemialliseen reaktioon. Tämän aineen Q määrä muuttuu reaktion aikana riippuen ajasta t ja on ajan funktio. Muuttukoon aineen määrä ∆Q ajan ∆t aikana, jolloin suhde ilmaisee kemiallisen reaktion keskimääräisen nopeuden ajan ∆t aikana ja tämän suhteen rajan

Kemiallisen reaktion nykyinen nopeus

aika t.

3. TEHTÄVÄ RADIOAKTIIVISEN HAJOAMISTUMISEN MÄÄRITYKSET

Jos m on radioaktiivisen aineen massa ja t on aika, niin radioaktiivisen hajoamisilmiön hetkellä t, mikäli radioaktiivisen aineen massa pienenee ajan myötä, on funktio m = m(t).

Keskimääräinen vaimenemisnopeus ajan kuluessa ∆t ilmaistaan ​​suhteella

ja hetkellinen vaimenemisnopeus hetkellä t

ALGORITMI derivaatan laskemiseen

Funktion y= f(x) derivaatta löytyy seuraavasti:

1. Kasvataan ∆x≠0 argumenttiin x ja etsitään funktion y+∆y= f(x+∆x) kumulatiivinen arvo.

2. Etsi funktion ∆y= f(x+∆x) - f(x) inkrementti.

3. Luomme suhteen

4. Etsi tämän suhteen raja ∆x⇾0, ts.

(jos tämä raja on olemassa).

Erottamisen perussäännöt

Päästää u=u(x) ja v=v(x) - differentioituvat funktiot pisteessä x.

1) (u v) =u v

2) (uv) =u v+uv

(cu) = cu

3) , jos v 0

Monimutkaisen funktion johdannainen

Lause. Jos funktio on differentioituva pisteessä x ja funktio

on differentioituva vastaavassa pisteessä, niin kompleksifunktio on differentioituva pisteessä x, ja:

nuo. kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla x:n suhteen.

Tehtävä 1.

Tehtävä 2 .

Tehtävä 3 .

Tehtävä 4 .

Tehtävä 5 .

Tehtävä 6 .

Tehtävä 7 .

Tehtävä 8 .

Samanlaisia ​​asiakirjoja

    Kahden muuttujan funktion käsite, raja ja jatkuvuus. Ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat, kokonaisdifferentiaalin löytäminen. Useiden muuttujien funktion korkeamman asteen osittaiset derivaatat ja ääriarvo. Välttämättömät edellytykset ääripään olemassaololle.

    testi, lisätty 2.2.2014

    Kulmat ja niiden mittaus. Kulmien ja lukusarjojen vastaavuus. Trigonometristen funktioiden geometrinen merkitys. Trigonometristen funktioiden ominaisuudet. Trigonometrinen perusidentiteetti ja sen seuraukset. Universaali trigonometrinen substituutio.

    opetusohjelma, lisätty 18.4.2012

    Käsitteen "johdannainen" olemus. Kiihtyvyys on toinen derivaatta funktiosta, joka kuvaa kappaleen liikettä. Ongelman ratkaiseminen pisteen hetkellisen nopeuden määrittämisestä ajankohtana. Johdannainen reaktioissa, sen rooli ja paikka. Yleinen näkymä kaavasta.

    esitys, lisätty 22.12.2013

    Kulmat ja niiden mittaus, terävän kulman trigonometriset funktiot. Trigonometristen funktioiden ominaisuudet ja merkit. Parilliset ja parittomat funktiot. Käänteiset trigonometriset funktiot. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu kaavoilla.

    opetusohjelma, lisätty 30.12.2009

    Interpoloinnin toteutus Newtonin polynomin avulla. Juuren arvon tarkentaminen tietyllä aikavälillä kolmella iteraatiolla ja laskentavirheen löytäminen. Newtonin, Sampsonin ja Eulerin menetelmien soveltaminen ongelmien ratkaisussa. Funktion derivaatan laskenta.

    testi, lisätty 6.2.2011

    Derivaatan käsite, sen geometrinen ja fyysinen merkitys, differentiaali. Funktioiden tutkiminen ja piirtäminen. Factorisointi, lausekkeiden yksinkertaistaminen. Epäyhtälöiden ratkaisu, yhtälöjärjestelmät ja identiteetin todistaminen. Funktion rajojen laskeminen.

    testi, lisätty 16.11.2010

    Funktion derivaatan määritelmä, sen inkrementin geometrinen merkitys. Annetun suhteen geometrinen merkitys. Funktion derivaatan fyysinen merkitys tietyssä pisteessä. Numero, johon annettu suhde pyrkii. Johdannaisten laskentaesimerkkien analyysi.

    esitys, lisätty 18.12.2014

    Yleiskatsaus alkeisfunktioiden derivaattataulukosta. Väliargumentin käsite. Säännöt monimutkaisten funktioiden erottamiseksi. Menetelmä pisteen liikeradan kuvaamiseksi sen projektioiden muutoksen muodossa akseleita pitkin. Parametrisesti annetun funktion differentiointi.

    testi, lisätty 11.8.2009

    Historiallinen katsaus trigonometrian muodostumiseen tieteenä antiikista nykypäivään. Trigonometristen funktioiden käsitteen käyttöönotto algebran tunneilla ja analyysin aloittaminen A.G.:n oppikirjojen mukaan. Mordkovich, M.I. Bashmakova. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut.

    opinnäytetyö, lisätty 7.2.2011

    Historiallinen katsaus trigonometrian muodostumiseen tieteenä. Erilaisia ​​tapoja esitellä trigonometristen funktioiden käsite. M.I.:n kouluoppikirjojen analyysi Bashmakova ja A.G. Mordkovich tästä aiheesta. Mahdollisuudet materiaalin käyttöön opetuksessa.

Oppitunnin tavoitteet:

  • Koulutuksellinen: tutustuttaa opiskelijat kaavoihin alkeisfunktioiden derivaattojen löytämiseksi; oppia löytämään johdannaisia ​​alkeisfunktioista.
  • Kehitetään: kehittää kommunikaatiotaitoja, kognitiota, kykyä tehdä itsenäistä päätöstä, kykyä hallita itseään.
  • Koulutuksellinen: luomalla edellytyksiä menestymistilanteelle aihetta kohtaan tunnetun toiminnan, kommunikaatiotaitojen, liikkuvuuden, kommunikaatiotaitojen ja yleisen kulttuurin kehittämiseksi.

Laitteet: tietokoneet, interaktiivinen taulu.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

- Kaikki olivat tasaisia, kaikki olivat valmiita oppitunnille. Hei kaverit. Istu alas.

II. Tiedon päivitys

Esitys "Johdannainen joistakin perusfunktioista"(Liite 1)

Näytön dia 1

Katsokaa pojat liukumäkeä. Mitä näet täällä?

– Toiminnot.

– teho, trigonometrinen, logaritminen ja eksponentiaalinen (funktioiden nimet näkyvät napsautuksella)

– Miten näitä funktioita voidaan kutsua yhdellä sanalla?

– perus.

- Hyvä. Mitä algebran haaraa opiskelemme tällä hetkellä? (dia 2)

– « Johdannainen ja sen sovellus.

Mitä me jo tiedämme?

– Etsi tehofunktion derivaatta, käytä differentiaatiosääntöjä, löydä hetkellinen nopeus.

- Katsokaa diaa ja määrääjää, jota emme vielä tiedä? (dia 3)

– Emme tiedä kuinka löytää johdannaisia ​​muista alkeisfunktioista.

Mikä sitten on oppitunnimme aihe?

– Joidenkin perusfunktioiden johdannaisia.

- Määrittele jokainen itsellesi oppitunnin tarkoitus ja yritä muotoilla se.

– Tutustu kaavoihin joidenkin alkeisfunktioiden derivaattojen löytämiseksi ja opi soveltamaan niitä.

Avaa muistikirjasi ja kirjoita muistiin tämän päivän päivämäärä ja oppitunnin aihe.

- Tänään työskentelet itsearviointilomakkeilla, ne ovat edessäsi, jokaisessa oppitunnin vaiheessa, arvioi työsi ja laita arvio itsearviointilomakkeelle ( Liite 2).

- Oppitunnin aiheen onnistuneen hallitsemiseksi suoritamme toistoharjoituksia. Pyydän sinua istumaan tietokoneidesi ääressä, avaamaan MyTest-ohjelman, vastaanottamaan testin verkon kautta ja suorittamaan sen.

(MyTest-ohjelman voi ladata Internetistä, sitä levitetään vapaasti, sitä on kätevä käyttää, koska voit luoda minkä tahansa testin itse, suorituksen lopussa opiskelija saa automaattisesti arvion ja jokaisen opiskelijan tulos tulee opettajan tietokone, lapset näkevät kaikki nämä tulokset)

Testata.

Kirjoita oikea vastaus.

Vaihtoehto 1.

  1. Johdannainen funktio s(t) kutsutaan ...
  2. Summan derivaatta on ....
  3. Etsi funktion derivaatta f(x) = 3x 2 - 5x + 6.
  4. Etsi funktion derivaatta f(x) = -x 2 + 3x + 1.
  5. Etsi funktion derivaatta f (x) \u003d (x - 2) 2 x 3.

Vaihtoehto 2.

  1. Johdannainen funktio s(t) kutsutaan...
  2. Vakiokerroin voidaan ottaa pois...
  3. Etsi funktion y \u003d 5x 2 + 6x - 7 derivaatta.
  4. Etsi funktion y \u003d x 2 + x + 1 derivaatta.
  5. Etsi funktion y \u003d (x 2 + 2x) (x - 5) derivaatta.

- Hyvä. Testitulosten perusteella voit nähdä, ja luulen, että ymmärrät, että itse asiassa meillä on vielä tehtävää.

- Joten, kaverit, sanoimme, että tutustumme tänään kaavoihin joidenkin alkeisfunktioiden derivaattojen löytämiseksi. Edessäsi on työarkit. Liite 3), ehdotan, että tutkit näitä tehtäviä ja yrität itsenäisesti määrittää kaavat joidenkin perusfunktioiden derivaattojen löytämiseksi. Ehdotan parityöskentelyä.

- Joten kaverit, näen, että olette jo tehneet sen, analysoidaan ja tehdään johtopäätökset.

Lasten vastausehdotus:

Määritä funktion derivaatta y = sinx.

Harjoitus 1

Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu:
(x) =cosx+6x+6

Tehtävä 2

Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu:

Tulos: (sinx)' =_______________________

– Tämän tehtävän ja sen ratkaisun analysoinnin jälkeen voimme sanoa seuraavaa: tiedämme jo kuinka löytää potenssifunktion derivaatta ja näemme, että 3x 2:n derivaatta on 6x, 6x:n derivaatta on 6, vakion derivaatta on 0, mikä tarkoittaa, että voimme päätellä, että derivaattasinx on yhtä suuricosx. Samalla tavalla voimme tehdä tämän johtopäätöksen analysoimalla tehtävää 2.

Kaverit analysoivat interaktiivisella taululla, alleviivaavat tarvittavat tiedot dialle. Vastauksen aikana opettaja tekee tarvittaessa muutoksia. Samanlainen työ jokaisessa tehtävässä. (Dia 5-12).

- Hyvin tehty pojat. Olet itse määritellyt kaavat joidenkin alkeisfunktioiden johdannaisten löytämiseksi. Kirjoita kaikki nämä kaavat työkirjoihin, yritä muistaa, ja jos se ei toimi, katso diaa (dia 13).

III. Hankitun tiedon konsolidointi

- Tiedämme siis jo kaavat joidenkin alkeisfunktioiden johdannaisten löytämiseksi, opetellaan käyttämään niitä harjoituksia tehdessä. Ja suosittelen, että teet tämän DER-testien avulla itse. Polku testiin taululla.

Aihe: "15. Johdannaisten laskentasäännöt.

Opiskelijat suorittavat tehtävän seuraavasti: Derivaatan laskentasäännöt / Kontrolli / Tehtävä 6, Tehtävä 7.

Tehtävän suorittamisen seurauksena opiskelijat saavat automaattisesti arvion, he voivat palata väärin suorittamiinsa tehtäviin, selvittää, mikä virhe oli, ja korjata sen.

IV. Heijastus

- Tee itsellesi viimeinen arvosana itsearviointilomakkeeseen.

- Oliko sinulla ongelmia harjoitusten ratkaisemisessa?

– Joo. Kuinka löytää funktion derivaattay=tgx? Tänään emme tutkineet tätä kaavaa, mutta tehtävä oli tällainen esimerkki.

- Hyvä. Mikä on tgx?

- Tämä asennesinx tocosx.

– Kaava derivaatan löytämiseksi sinx tietää? (Joo). johdannainen cosx? Joten johda kotona kaava funktion derivaatan löytämiseksi y=tgx.

V. Oppitunnin yhteenveto

Arvosanojen antaminen luokkatyöstä. Vertaa itsetuntoon.

VI. Kotitehtävät

§ 5, nro 53, 54, ind. Harjoittele.

Ja kaverit, meillä on vielä yksi kysymys kanssanne. Muista, että esitit minulle kysymyksen: Miksi tutkimme tätä aihetta? Kaikille oli selvää, että tehtävät, joissa johdannaista käytetään, ovat USE-testeissä, ja missä muualla käytetään johdannaista? Ja tarjosin sinulle löytää vastauksen tähän kysymykseen itse. Oletko valmis vastaamaan siihen tänään? Kuuntele opiskelijoiden esityksiä.

Oppitunnin itsetutkiskelu

Luokka, jossa oppitunti pidettiin, oli 11. luokka. Opiskelijoiden tietotaso on keskimääräinen. Vain yhtä opiskelijaa Orekhova Nataljaa voidaan sanoa olevan "vahva", tyttö aikoo tulla Venäjän kansantalouden instituuttiin rahoitus- ja luottotieteellisessä tiedekunnassa, loput ovat keskinkertaisia.

Oppitunnin tyyppi - uuden materiaalin oppiminen. Oppitunnilla käytin erilaisia ​​toimintamallin muotoja ja menetelmiä, tekniikoita. Motivaatiota rakennettiin koko oppitunnin ajan. Päivitettäessä tietoja sen avulla, mitä jo tiedämme ja mitä emme vielä tiedä, kaverit määrittelivät itse oppitunnin aiheen ja jokainen heistä määritteli oppitunnin tavoitteen itselleen. Kotitehtävien tarkistamiseen ja tarkistamiseen käytin MyTest-ohjelmaa. Tein kokeet itse, ja tehtäviin piti kirjoittaa oikea vastaus.

Uutta materiaalia tutkiessaan kaverit työskentelivät pareittain analysoimalla ja synteesillä määrittämällä kaavoja joidenkin alkeisfunktioiden johdannaisten löytämiseksi.

Konsolidointivaiheessa käytin DER-testiä, jossa oli useita vastauksia. Uskon, että tämän aiheen opiskelun alkuvaiheessa on suositeltavaa käyttää testejä, joissa on vastausvaihtoehtoja, tulevaisuudessa opimme soveltamaan kaavoja muihin tehtäviin.

Reflektointia suoritettiin, käytän työssäni itsearviointilappuja, tunnille laitettiin arvosanat ja kommentoitiin. Kotitehtävät annettiin vaihtelevasti ja osa opiskelijoista sai henkilökohtaisen tehtävän.

Yritämme määrittää tämän aiheen opiskelun tarkoituksen elämässä.


Differentiointisäännöt LAUSE 1. Summan, tulon ja osamäärän differentiointi. Jos funktiot f ja g ovat differentioituvia pisteessä x, niin f + g, f g, f /g ovat differentioituvia tässä pisteessä (jos g(x) 0) ja lisäksi Olkoon y = f g. 1) (f (x) + g (x)) "= f" (x) + g "(x); 2) (f (x) g (x))" = f "(x) g (x) + f(x)g "(x); Todiste. Esitetään ominaisuus 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g \u003d g (x + x) - g (x) g (x + x) \u003d g (x) + g. g "(x) f" (x) 0 x 0:ssa (implisiittisen differentiaalifunktion vuoksi.)


LAUSE 2. Kompleksisen funktion differentiaatio Olkoon funktio y = f(u) differentioituva pisteessä u 0, y 0 = f(u 0) ja funktio u = (x) differentioituva pisteessä x 0, u 0 = (x 0). Tällöin kompleksifunktio y \u003d f ((x)) on differentioitavissa pisteessä x 0 ja f "((x 0)) \u003d f" (u 0) "(x 0) tai HUOM. Sääntö kompleksisen funktion derivaatta ulottuu minkä tahansa äärellisen määrän funktioiden koostumukseen. Esimerkiksi: (f ((g (x))))" = f "((g (x))) "(g (x)) g " (x). Seuraus. Jos f (x) on differentioituva pisteessä x ja C \u003d const, niin (C f (x))" \u003d C f "(x); (f (x) / C) " \u003d f "(x) / C.


Esimerkki 1. y \u003d cosx, x R. (cosx) \u003d (sin (/ 2 - x)) \u003d cos (/ 2 - x) (/ 2 - x) \u003d - sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Lauseiden 1 ja 2 avulla saadaan trigonometristen funktioiden y = ctgx, x + k, k Z derivaatat.


LAUSE 3. Käänteisfunktion differentiointi. Jos y \u003d f (x) on jatkuva ja tiukasti monotoninen segmentillä ja sillä on derivaatta f "(x 0), niin sen käänteisfunktio x \u003d g (y) on differentioituva pisteessä y 0 \u003d f (x 0) ja g "( y 0) \u003d 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y \u003d f (x) x \u003d g (y) Olkoon y sellainen, että y 0 + y (,). Merkitään x = g(y 0 + y) - g(y 0) On tarpeen todistaa, että 0 on olemassa Todistus Olkoon f(x) tiukasti suurentunut .Olkoon = f(x 0 -) , = f(x 0 +) Sitten kohdassa [, ] määritetään käänteisfunktio x = g(y), jatkuva ja tiukasti kasvava, ja f(x 0) (,). y, niin myös x, koska x = g(y) on jatkuva y 0:ssa.


Esimerkki 2. Etsi käänteisten trigonometristen funktioiden derivaatat


0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; neljä). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Alkeisfunktioiden derivaattataulukko 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x-1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; neljä). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !} Alkeisfunktioiden derivaattataulukko 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x-1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; neljä). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) \u003d 1 / cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9) 10) 11) 12) 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; neljä). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2 > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R (e x)' = e x, x R; 4) 5) (sin x) = cos x, x R; 6) (cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9) 10) 11) 12) "\u003e 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; neljä). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Alkeisfunktioiden derivaattataulukko 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x-1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; neljä). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Alkeisfunktioiden derivaattataulukko 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)' = x-1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)' = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; neljä). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}




Johdannainen n:nnen kertaluvun MÄÄRITELMÄ. Olkoon f(x) määritelty muodossa U (x 0) ja sillä on derivaatta f (x) tämän välin jokaisessa pisteessä. Jos pisteessä x 0 on f (x) derivaatta, niin sitä kutsutaan tässä pisteessä funktion f (x) toiseksi derivaattaksi ja merkitään. Vastaavasti minkä tahansa funktion derivaatta f (n) (x) järjestys n \u003d 1, 2, ... Jos U (x 0):ssa on f (n-1) (x) (tässä tapauksessa nollan kertaluvun derivaatta tarkoittaa itse funktiota), niin n = 1, 2, 3, .... Funktiota, jolla on joukon X jokaisessa pisteessä derivaattoja n:nnen kertaluvun asti mukaan lukien, kutsutaan joukossa X n kertaa differentioituvaksi.


Olkoon funktioilla f(x) ja g(x) n:nnen asteen derivaatat pisteessä x. Tällöin funktiolla Аf(x) + Вg(x), jossa А ja В ovat vakioita, on myös derivaatta pisteessä x, ja (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). Laskettaessa minkä tahansa järjestyksen johdannaisia ​​käytetään usein seuraavia peruskaavoja. y = x; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x-1, y = (-1)x-2, y = (-1)(-2) x-3 ... Erityisesti, jos = mN, niin y = ax; y (n) = a x (lna) n. y \u003d a x lna, y \u003d a x (lna) 2, y \u003d a x (lna) 3, ... Erityisesti (e x) (n) \u003d e x. y "= ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …


Y = ln(x+a); y (n) \u003d (-1) n-1 (n-1)! (x + a) -n. y \u003d (x + a) -1, y \u003d - (x + a) -2, y \u003d 2 (x + a) -3, y (4) \u003d - 2 3 (x + a) - 4, ... y = sinax; y (n) = α n sin(αx+n /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2 / 2) , y = α 3 cos(αx + 2/2) = α 3 sin(αx+3 /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 / 2), y = – α 3 sin(αx+2 /2) = α 3 cos(αx + 3 /2),...


N:s derivaatta kahden funktion tulosta (Leibnizin kaava), jossa Tätä kaavaa kutsutaan Leibnizin kaavaksi. Se voidaan kirjoittaa muodossa jossa Olkoon funktioilla f(x) ja g(x) n:nnen asteen derivaatat pisteessä x. Induktiolla voidaan todistaa, että (f(x) g(x)) (n) = ?
Esimerkki 5. y \u003d (x 2 + 3x + 5) sin x, y (13) \u003d? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Käytämme Leibnizin kaavaa laittamalla siihen f (x) \u003d sin x, g (x) \u003d (x 2 + 3x + 5). Sitten