Teorija funkcija jedne varijable. Matematička analiza. Teorija funkcija jedne varijable Matematička analiza predavanja 1. godina

A.V. Glasco

PREDAVANJA IZ MATEMATIČKE ANALIZE

"ELEMENTARNE FUNKCIJE I GRANICE"

Moskva, MSTU im. N.E. Bauman

§1. Logična simbolika.

Prilikom pisanja matematičkih izraza koristit ćemo sljedeće logičke simbole:

	Značenje	Značenje

		Za svakoga, za svakoga, za svakoga (od

		Postoji, postoji, postoji (postoji)

		Privlači, prati (dakle)

		Ekvivalentno, ako i samo ako,
		potrebno i dovoljno
Dakle, ako su A i B bilo koje izjave, onda

		Značenje



		A ili B (ili A ili B, ili oba A i B)






		Za bilo koji x, A

		Postoji x za koje vrijedi A

		Iz A slijedi B (ako je A istinito, onda je B istinito)
(implikacija)
		A je ekvivalent B, A se javlja ako i samo ako se B pojavljuje,
		za B potrebno je i dovoljno za A
	Komentar. “A B” znači da je A dovoljno za B, a B je potrebno za A.

Primjer. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Ponekad ćemo koristiti još jedan poseban simbol: A =df B.

To znači da je A = B po definiciji.

§2. Mnoštvo. Elementi i dijelovi skupa.

Pojam skupa je primarni pojam, ne definiran kroz jednostavnije. Riječi: ukupnost, obitelj, skup njegovi su sinonimi.

Primjeri skupova: mnogo učenika u učionici, mnogo nastavnika u odjelu, mnogo automobila na parkiralištu itd.

Primarni pojmovi su također pojmovi postavljeni element i odnosima

između elemenata skupa.

Primjer. N je skup prirodnih brojeva, njegovi elementi su brojevi 1,2,3,... Ako su x i y elementi od N, onda su u jednom od sljedećih odnosa: x=y, x u.

Dogovorimo se da skupove označavamo velikim slovima: A, B, C, X, Y, …, a njihove elemente malim slovima: a, b, c, x, y, …

Odnosi između elemenata ili skupova označeni su simbolima umetnutim između slova. Na primjer. Neka je A neki skup. Tada relacija a A znači da je a element skupa A. Zapis a A znači da a nije element skupa A.

Skup se može odrediti na različite načine. 1. Navođenje njegovih elemenata.

Na primjer, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Označavanje svojstava elemenata. Neka je A skup elemenata a koji ima svojstvo p. Ovo se može napisati kao: A=( a:p ) ili A=( ap ).

Na primjer, zapis A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) znači da je A skup realnih brojeva koji zadovoljavaju nejednakost x2 -1>0.

Uvedimo nekoliko važnih definicija.

Def. Skup se naziva konačnim ako se sastoji od određenog konačnog broja elemenata. Inače se naziva beskonačnim.

Na primjer, skup učenika u učionici je konačan, ali je skup prirodnih brojeva ili skup točaka unutar segmenta beskonačan.

Def. Skup koji ne sadrži niti jedan element nazivamo praznim i označavamo ga.

Def. Za dva skupa se kaže da su jednaka ako se sastoje od istog

Oni. koncept skupa ne podrazumijeva određeni redoslijed elemenata. Def. Skup X naziva se podskup skupa Y ako je bilo koji element skupa X element skupa Y (i, općenito govoreći, ne bilo koji

element skupa Y je element skupa X). Korištena oznaka je: X Y.

Na primjer, skup naranči O je podskup skupa voća F: O F, a skup prirodnih brojeva N je podskup skupa realnih brojeva R: N R.

Simboli “ ” i “ ” nazivaju se simboli uključivanja. Svaki skup se smatra podskupom samog sebe. Prazan skup je podskup bilo kojeg skupa.

Def. Poziva se svaki neprazan podskup B skupa A koji nije jednak A

vlastiti podskup.

§ 3. Euler-Vennovi dijagrami. Elementarne operacije na skupovima.

Skupove je zgodno prikazati grafički, u obliku površina na ravnini. Pretpostavlja se da točke površine odgovaraju elementima skupa. Takvi grafički prikazi skupova nazivaju se Euler-Vennovi dijagrami.

Primjer. A – mnogo studenata MSTU-a, B – mnogo studenata u publici. Riža. 1 jasno pokazuje da A B .

Euler-Vennovi dijagrami prikladni su za korištenje za vizualni prikaz elementarnih skup operacija. Glavne operacije uključuju sljedeće.

Riža. 1. Primjer Euler-Vennovog dijagrama.

1. Sjecište A B skupova A i B je skup C koji se sastoji od svih elemenata koji istovremeno pripadaju skupovima A i B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(na slici 2, skup C je predstavljen osjenčanim područjem).

Riža. 2. Presjek skupova.

2. Unija A B skupova A i B je skup C koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju barem jednom od skupova A ili B.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(na slici 3, skup C je predstavljen osjenčanim područjem).

Riža. 3. Unija skupova.

Riža. 4. Razlika skupova.

3. Razlika A\B skupova A i B naziva se skup C, koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B:

A\B =( z: (z A) (z B) )

(na slici 4, skup C predstavljen je područjem osjenčanim žutom bojom).

§4. Skup realnih brojeva.

Konstruirajmo skup realnih brojeva R. Da bismo to učinili, razmotrimo, prije svega, skup prirodnih brojeva, što definiramo na sljedeći način. Uzmimo broj n=1 kao prvi element. Svaki sljedeći element dobiva se iz prethodnog dodavanjem jednog:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, …).

N = (-1, -2, -3, …, -n, …).

Skup cijelih brojeva Z definiramo kao uniju triju skupova: N, -N i skupa koji se sastoji od jednog elementa – nule:

Skup racionalnih brojeva definiramo kao skup svih mogućih odnosa cijelih brojeva:

Q = (xx = m/n; m, n Z, n 0).

Očito N Z Q.

Poznato je da se svaki racionalni broj može napisati kao konačni realni ili beskonačni periodični razlomak. Jesu li racionalni brojevi dovoljni za mjerenje svih veličina s kojima se možemo susresti proučavajući svijet oko nas? Već u staroj Grčkoj pokazalo se da ne: ako promatramo jednakokračni pravokutni trokut s kracima duljine jedan, duljina hipotenuze ne može se prikazati kao racionalan broj. Dakle, ne možemo se ograničiti na skup racionalnih brojeva. Potrebno je proširiti pojam broja. Ovo proširenje se postiže uvođenjem skupovi iracionalnih brojeva J, koji se najlakše može zamisliti kao skup svih neperiodičnih beskonačnih decimalnih razlomaka.

Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva naziva se

skup realnih brojeva R: R =Q Y.

Ponekad također razmatramo prošireni skup realnih brojeva R, razumijemo

Zgodno je realne brojeve prikazati kao točke na brojevnoj crti.

Def. Brojevna os je crta na kojoj su naznačeni ishodište, mjerilo i referentni smjer.

Između realnih brojeva i točaka na brojčanoj osi uspostavlja se korespondencija jedan-na-jedan: svaki realni broj odgovara jednoj točki na brojčanoj osi i obrnuto.

Aksiom potpunosti (kontinuiteta) skupa realnih brojeva. Koji god neprazni skupovi A= (a) R i B= (b) R su takvi da za bilo koje a i b vrijedi nejednakost a ≤ b, postoji broj cR takav da je a ≤ c ≤ b (slika 5).

sl.5. Ilustracija aksioma potpunosti skupa realnih brojeva.

§5. Numerički skupovi. Susjedstvo.

Def. Numerički skup bilo koji podskup skupa R naziva se najvažnijim numeričkim skupovima: N, Z, Q, J, kao i

segment: (x R |a x b),

interval: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

poluintervali: ( x R| a x b),

(x R | x b).

Najvažniju ulogu u matematičkoj analizi igra koncept susjedstva točke na brojevnoj osi.

Def. -okolica točke x 0 je interval duljine 2 sa središtem u točki x 0 (slika 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Riža. 6. Okolica točke.

Def. Probušena okolina točke je okolina ove točke,

iz koje je isključena sama točka x0 (slika 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Riža. 7. Punktirana okolina točke.

Def. Desnostrana -okolica točke x0 naziva se poluinterval

u (x 0 ), raspon vrijednosti: E= [-π/2,π/2 ].

Riža. 11. Graf funkcije y arcsin x.

Uvedimo sada pojam kompleksne funkcije ( kompozicije preslikavanja). Neka su dana tri skupa D, E, M i neka je f: D→E, g: E→M. Očito je moguće konstruirati novo preslikavanje h: D→M, nazvano kompozicijom preslikavanja f i g ili kompleksnom funkcijom (slika 12).

Složena funkcija se označava na sljedeći način: z =h(x)=g(f(x)) ili h = f o g.

Riža. 12. Ilustracija pojma složene funkcije.

Poziva se funkcija f (x). unutarnja funkcija, a funkcija g (y) - vanjska funkcija.

1. Unutarnja funkcija f(x)= x², vanjska funkcija g (y) sin y. Kompleksna funkcija z= g(f(x))=sin(x²)

2. Sada je obrnuto. Unutarnja funkcija f (x)= sinx, vanjska funkcija g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)

Tečaj je namijenjen prvostupnicima i magistrima matematičkih, ekonomskih ili prirodnih znanosti, kao i srednjoškolskim profesorima matematike i sveučilišnim profesorima. Također će biti korisno za školsku djecu koja produbljeno proučavaju matematiku.

Struktura tečaja je tradicionalna. Predmet pokriva klasično gradivo o matematičkoj analizi, koje se proučava na prvoj godini sveučilišta u prvom semestru. Predstavit će se dijelovi “Elementi teorije skupova i realni brojevi”, “Teorija brojčanih nizova”, “Limit i kontinuitet funkcije”, “Diferencijabilnost funkcije”, “Primjena diferencijabilnosti”. Upoznat ćemo se s pojmom skupa, dati strogu definiciju realnog broja i proučavati svojstva realnih brojeva. Zatim ćemo govoriti o nizovima brojeva i njihovim svojstvima. To će nam omogućiti da koncept numeričke funkcije, dobro poznat školarcima, razmotrimo na novoj, rigoroznijoj razini. Uvest ćemo pojam limita i kontinuiteta funkcije, raspravljati o svojstvima kontinuiranih funkcija i njihovoj primjeni u rješavanju problema.

U drugom dijelu kolegija definirat ćemo derivaciju i diferencijabilnost funkcije jedne varijable te proučavati svojstva diferencijabilnih funkcija. To će vam omogućiti da naučite kako riješiti tako važne primijenjene probleme kao što je približni izračun vrijednosti funkcije i rješavanje jednadžbi, izračunavanje granica, proučavanje svojstava funkcije i konstruiranje njezinog grafikona.

Format

Oblik studija je dopisni (na daljinu).
Tjedna nastava će uključivati gledanje tematskih video predavanja i rješavanje testnih zadataka uz automatsku provjeru rezultata.
Važan element izučavanja discipline je samostalno rješavanje računskih problema i zadataka dokaza. Rješenje će morati sadržavati rigorozno i logički ispravno obrazloženje koje vodi do točnog odgovora (u slučaju računskog problema) ili u potpunosti dokazuje traženu tvrdnju (kod teoretskih problema).

Zahtjevi

Tečaj je namijenjen prvostupnicima 1. godine. Potrebno je poznavanje elementarne matematike na razini srednje škole (11. razred).

Program tečaja

Predavanje 1. Elementi teorije skupova.
Predavanje 2. Pojam realnog broja. Točna lica numeričkih skupova.
Predavanje 3. Aritmetičke operacije nad realnim brojevima. Svojstva realnih brojeva.
Predavanje 4. Brojevni nizovi i njihova svojstva.
Predavanje 5. Monotone sekvence. Cauchyjev kriterij konvergencije niza.
Predavanje 6. Pojam funkcije jedne varijable. Ograničenje funkcije. Beskonačno male i beskonačno velike funkcije.
Predavanje 7. Kontinuitet funkcije. Klasifikacija točaka prekida. Lokalna i globalna svojstva kontinuiranih funkcija.
Predavanje 8. Monotone funkcije. Inverzna funkcija.
Predavanje 9. Najjednostavnije elementarne funkcije i njihova svojstva: eksponencijalne, logaritamske i potencije.
Predavanje 10. Trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije. Izvanredna ograničenja. Jednoliki kontinuitet funkcije.
Predavanje 11. Pojam derivacije i diferencijala. Geometrijsko značenje derivacije. Pravila razlikovanja.
Predavanje 12. Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija. Funkcijski diferencijal.
Predavanje 13. Derivacije i diferencijali viših redova. Leibnizova formula. Derivacije parametarski definiranih funkcija.
Predavanje 14. Osnovna svojstva diferencijabilnih funkcija. Rolleov i Lagrangeov teorem.
Predavanje 15. Cauchyjev teorem. L'Hopitalovo prvo pravilo otkrivanja neizvjesnosti.
Predavanje 16. L'Hopitalovo drugo pravilo za otkrivanje neizvjesnosti. Taylorova formula s ostatkom u Peano obliku.
Predavanje 17. Taylorova formula s ostatkom u općem obliku, u Lagrangeovom i Cauchyjevom obliku. Rastavljanje prema Maclaurinovoj formuli glavnih elementarnih funkcija. Primjene Taylorove formule.
Predavanje 18. Dovoljni uvjeti za ekstrem. Asimptote grafa funkcije. Konveksan.
Predavanje 19. Točke infleksije. Opća shema istraživanja funkcija. Primjeri crtanja grafova.

Ishodi učenja

Kao rezultat savladavanja kolegija student će steći razumijevanje temeljnih pojmova matematičke analize: skupa, broja, niza i funkcije, upoznati njihova svojstva i naučiti ta svojstva primijeniti pri rješavanju zadataka.

Format

Zahtjevi

Tečaj je namijenjen prvostupnicima 1. godine. Potrebno je poznavanje elementarne matematike na razini srednje škole (11. razred).

Program tečaja

Ishodi učenja

Neka varijabla x n uzima beskonačan niz vrijednosti

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

a zakon promjene varijable je poznat x n, tj. za svaki prirodni broj n možete odrediti odgovarajuću vrijednost x n. Stoga se pretpostavlja da varijabla x n je funkcija od n:

x n = f(n)

Definirajmo jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize - limit niza, ili, što je isto, limit varijable x n, prolazeći kroz niz x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definicija. Konstantan broj a nazvao granica niza x 1 , x 2 , ..., x n , ... . ili granica varijable x n, ako za proizvoljno mali pozitivan broj e postoji takav prirodan broj N(tj. broj N) da su sve vrijednosti varijable x n, počevši od x N, razlikovati se od a u apsolutnoj vrijednosti manji od za e. Ova definicija je ukratko napisana na sljedeći način:

| x n - a |< (2)

pred svima n  N, ili, što je isto,

Određivanje Cauchyjeve granice. Broj A naziva se limitom funkcije f (x) u točki a ako je ta funkcija definirana u nekoj okolini točke a, s mogućim izuzetkom same točke a, i za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da za sve x koji zadovoljavaju uvjet |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Određivanje Heineove granice. Broj A naziva se limitom funkcije f (x) u točki a ako je ta funkcija definirana u nekoj okolini točke a, uz moguću iznimku same točke a, i za bilo koji niz takav da konvergirajući na broj a, odgovarajući niz vrijednosti funkcije konvergira na broj A.

Ako funkcija f (x) ima limit u točki a, tada je taj limit jedinstven.

Broj A 1 naziva se limesom funkcije f (x) lijevo u točki a ako za svako ε > 0 postoji δ >

Broj A 2 naziva se limesom funkcije f (x) desno u točki a ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da nejednakost vrijedi za sve

Granica s lijeve strane označena je s granicom s desne strane - te granice karakteriziraju ponašanje funkcije lijevo i desno od točke a. Često se nazivaju jednosmjernim ograničenjima. U označavanju jednostranih limita za x → 0 prva nula se obično izostavlja: i . Dakle, za funkciju

Ako za svako ε > 0 postoji δ-okolina točke takva da za sve x koje zadovoljavaju uvjet |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, onda kažu da funkcija f (x) ima beskonačni limit u točki a:

Dakle, funkcija ima beskonačni limit u točki x = 0. Često se razlikuju limiti jednaki +∞ i –∞. Tako,

Ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da za svako x > δ vrijedi nejednakost |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorem egzistencije za točan supremum

Definicija: AR mR, m je gornja (donja) ploha A, ako je aA am (am).

Definicija: Skup A je ograničen odozgo (odozdo), ako postoji m takav da vrijedi aA, am (am).

Definicija: SupA=m, ako je 1) m supremum od A

2) m’: m’ m’ nije supremum od A

InfA = n, ako je 1) n infimum od A

2) n’: n’>n => n’ nije infimum od A

Definicija: SupA=m je broj takav da je: 1)  aA am

2) >0 a  A, tako da je a  a-

InfA = n je broj takav da je: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, tako da je a E a+

Teorema: Svaki neprazan skup AR omeđen odozgo ima točan supremum, i to jedinstven.