Sustavi linearnih homogenih jednadžbi
Formulacija problema. Nađite neku osnovu i odredite dimenziju linearnog prostora rješenja sustava
Plan rješenja.
1. Zapišite matricu sustava:
a uz pomoć elementarnih transformacija transformiramo matricu u trokutasti oblik, t.j. na takav oblik kada su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. Rang matrice sustava jednak je broju linearno neovisni redovi, tj. u našem slučaju broj redaka u kojima ostaju elementi različiti od nule:
Dimenzija prostora rješenja je . Ako , tada homogeni sustav ima jedinstveno nulto rješenje, ako , tada sustav ima beskonačan broj rješenja.
2. Odaberite osnovne i slobodne varijable. Slobodne varijable su označene sa . Zatim osnovne varijable izražavamo u terminima slobodnih, čime se dobiva opće rješenje homogenog sustava linearne jednadžbe.
3. Osnovu prostora rješenja sustava zapisujemo tako da jednu od slobodnih varijabli uzastopno postavimo jednaku jedan, a ostale na nulu. Dimenzija prostora linearnog rješenja sustava jednaka je broju baznih vektora.
Bilješka. Transformacije elementarne matrice uključuju:
1. množenje (dijeljenje) niza množiteljem koji nije nula;
2. dodatak bilo kojem retku drugog reda, pomnožen s bilo kojim brojem;
3. permutacija linija po mjestima;
4. transformacije 1–3 za stupce (u slučaju rješavanja sustava linearnih jednadžbi ne koriste se elementarne transformacije stupaca).
Zadatak 3. Nađite neku osnovu i odredite dimenziju linearnog prostora rješenja sustava.
Zapisujemo matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovodimo je u trokutasti oblik:
Pretpostavljamo onda
Podskup linearnog prostora tvori podprostor ako je zatvoren vektorskim zbrajanjem i množenjem skalarima.
PRIMJER 6.1. Čini li podprostor u ravnini skup vektora čiji krajevi leže: a) u prvom kvadrantu; b) na ravnoj koja prolazi kroz ishodište? (počeci vektora leže u ishodištu)
Odluka.
a) ne, budući da skup nije zatvoren množenjem sa skalarom: kada se pomnoži s negativnim brojem, kraj vektora pada u treću četvrtinu.
b) da, budući da pri zbrajanju vektora i množenju s bilo kojim brojem njihovi krajevi ostaju na istoj pravoj liniji.
VJEŽBA 6.1. Da li sljedeći podskupovi odgovarajućih linearnih prostora čine podprostor:
a) skup ravnih vektora čiji krajevi leže u prvom ili trećem kvadrantu;
b) skup ravninskih vektora čiji krajevi leže na pravoj liniji koja ne prolazi kroz ishodište;
c) skup koordinatnih pravaca ((x 1, x 2, x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 0);
d) skup koordinatnih pravaca ((x 1, x 2, x 3) x 1 + x 2 + x 3 = 1);
e) skup koordinatnih pravaca ((x 1 , x 2 , x 3) x 1 = x 2 2 ).
Dimenzija linearnog prostora L je broj dim L vektora uključenih u bilo koju njegovu bazu.
Dimenzija zbroja i presjek podprostora povezani su relacijom
dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U V).
PRIMJER 6.2. Nađite osnovu i dimenziju zbroja i presjeka podprostora koji se protežu sljedećim sustavima vektora:
RJEŠENJE: Svaki od vektorski sustavi, koji generira podprostore U i V, linearno je neovisan, stoga je baza odgovarajućeg podprostora. Izgradimo matricu od koordinata ovih vektora, slažući ih u stupce i odvajajući jedan sustav od drugog linijom. Dovedemo rezultirajuću matricu u stepenasti oblik.
~
~
~
.
Osnovu U + V čine vektori 
,
,
, koji odgovaraju vodećim elementima u matrici ljestvice. Stoga je dim (U + V) = 3. Tada
dim (UV) \u003d dim U + dim V - dim (U + V) \u003d 2 + 2 - 3 \u003d 1.
Presjek podprostora tvori skup vektora koji zadovoljavaju jednadžbu (koji stoje na lijevoj i desnoj strani ove jednadžbe). Osnovu presjeka dobivamo koristeći temeljni sustav rješenja sustava linearnih jednadžbi koji odgovara ovoj vektorskoj jednadžbi. Matrica ovog sustava već je svedena na stepenasti oblik. Na temelju toga zaključujemo da je y 2 slobodna varijabla i postavljamo y 2 = c. Tada je 0 = y 1 – y 2 , y 1 = c,. a presjek podprostora tvori skup vektora oblika 
= c(3, 6, 3, 4). Stoga baza UV tvori vektor (3, 6, 3, 4).
Opaske. 1. Ako nastavimo rješavati sustav, pronalazeći vrijednosti varijabli x, tada ćemo dobiti x 2 = c, x 1 = c, a na lijevoj strani vektorske jednadžbe dobivamo vektor 
jednak gore dobivenom.
2. Ovom metodom može se dobiti osnova zbroja, bez obzira na to jesu li generirajući sustavi vektora linearno neovisni. Ali baza presjeka bit će ispravno dobivena samo ako je barem sustav koji generira drugi podprostor linearno neovisan.
3. Ako se utvrdi da je dimenzija raskrižja 0, onda raskrižje nema osnove i nema potrebe tražiti ga.
VJEŽBA 6.2. Nađite osnovu i dimenziju zbroja i presjeka podprostora koji se protežu sljedećim sustavima vektora:
a) 
b) 
Linearni prostor V naziva se n-dimenzionalan, ako sadrži sustav od n linearno neovisnih vektora, a svaki sustav s više vektora je linearno ovisan. Poziva se broj n dimenzija (broj mjerenja) linearni prostor V i označava se \operatorname(dim)V. Drugim riječima, dimenzija prostora je maksimalni broj linearno neovisnih vektora u tom prostoru. Ako takav broj postoji, onda se za prostor kaže da je konačno dimenzionalan. Ako za bilo koji prirodni broj n u prostoru V postoji sustav koji se sastoji od n linearno neovisnih vektora, tada se takav prostor naziva beskonačno-dimenzionalnim (piše se: \operatorname(dim)V=\infty). U nastavku, osim ako nije drugačije navedeno, razmatrat će se konačnodimenzionalni prostori.
Osnova n-dimenzionalni linearni prostor je uređeni skup od n linearno neovisnih vektora ( baznih vektora).
Teorem 8.1 o ekspanziji vektora u smislu baze. Ako je baza n-dimenzionalnog linearnog prostora V , tada se bilo koji vektor \mathbf(v)\in V može predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
i, štoviše, na jedinstven način, t.j. izgledi \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n definirani su nedvosmisleno. Drugim riječima, bilo koji vektor prostora može se proširiti u osnovi i, štoviše, na jedinstven način.
Doista, dimenzija prostora V jednaka je n . Vektorski sustav \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n linearno neovisno (ovo je osnova). Nakon dodavanja bilo kojeg vektora \mathbf(v) bazi, dobivamo linearno ovisan sustav \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(budući da se ovaj sustav sastoji od (n + 1) vektora n-dimenzionalnog prostora). Svojstvom 7 linearno ovisnih i linearno neovisnih vektora dobivamo zaključak teorema.
Posljedica 1. Ako je a \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n je baza prostora V , dakle V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), tj. linearni prostor je linearni raspon baznih vektora.
Doista, dokazati jednakost V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dva skupa, dovoljno je pokazati da inkluzije V\podskup \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) a izvršavaju se u isto vrijeme. Doista, s jedne strane, svaka linearna kombinacija vektora u linearnom prostoru pripada samom linearnom prostoru, t.j. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\podskup V. S druge strane, prema teoremu 8.1 bilo koji vektor prostora može se predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora, t.j. V\podskup \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). To podrazumijeva jednakost razmatranih skupova.
Posljedica 2. Ako je a \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n je linearno neovisan sustav vektora u linearnom prostoru V i svaki vektor \mathbf(v)\in V može se predstaviti kao linearna kombinacija (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, tada prostor V ima dimenziju n , a sustav \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n je njegova osnova.
Doista, u prostoru V postoji sustav od n linearno neovisnih vektora, i to bilo koji sustav \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n od više vektora (k>n) je linearno ovisan, budući da je svaki vektor iz ovog sustava linearno izražen u terminima vektora \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Sredstva, \operatorname(dim) V=n i \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- osnova V .
Teorem 8.2 o kompletiranju sustava vektora na bazi. Bilo koji linearno neovisni sustav od k vektora u n-dimenzionalnom linearnom prostoru (1\leqslant k Doista, neka je linearno neovisni sustav vektora u n-dimenzionalnom prostoru V~(1\leqslant k Napomene 8.4 1. Osnova linearnog prostora definirana je dvosmisleno. Na primjer, ako \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n je osnova prostora V , zatim sustav vektora \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n jer je bilo koji \lambda\ne0 također baza V . Broj baznih vektora u različitim bazama istog konačno-dimenzionalnog prostora je, naravno, isti, budući da je taj broj jednak dimenziji prostora. 2. U nekim prostorima, koji se često susreću u aplikacijama, jedna od mogućih baza, s praktične točke gledišta najprikladnija, naziva se standardnom. 3. Teorem 8.1 omogućuje nam da kažemo da je baza potpuni sustav elemenata linearnog prostora, u smislu da je svaki vektor prostora linearno izražen u terminima baznih vektora. 4. Ako je skup \mathbb(L) linearni raspon \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), zatim vektori \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k nazivaju se generatori skupa \mathbb(L) . Korolar 1 teorema 8.1, na temelju jednakosti V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) omogućuje nam da kažemo da je osnova minimalni sustav proizvodnje linearni prostor V , budući da je nemoguće smanjiti broj generatora (ukloniti barem jedan vektor iz skupa \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) bez narušavanja jednakosti V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Teorem 8.2 omogućuje nam da kažemo da je baza maksimalno linearno neovisni sustav vektora linearni prostor, budući da je baza linearno neovisan sustav vektora i ne može se nadopuniti niti jednim vektorom bez gubitka linearne neovisnosti. 6. Za pronalaženje osnove i dimenzije linearnog prostora prikladno je koristiti korolar 2. teorema 8.1. U nekim udžbenicima se uzima za definiranje osnove, i to: linearno neovisni sustav \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n vektori linearnog prostora naziva se baza ako je bilo koji vektor prostora linearno izražen u terminima vektora \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Broj baznih vektora određuje dimenziju prostora. Naravno, ove su definicije ekvivalentne gore navedenim. Navodimo dimenziju i osnovu za primjere linearnih prostora koji su gore razmatrani. 1. Nulti linearni prostor \(\mathbf(o)\) ne sadrži linearno nezavisne vektore. Stoga se pretpostavlja da je dimenzija ovog prostora nula: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Ovaj prostor nema osnove. 2. Prostori V_1,\,V_2,\,V_3 imaju dimenzije 1, 2, 3 redom. Doista, bilo koji vektor različit od nule prostora V_1 tvori linearno neovisni sustav (vidi točku 1. napomena 8.2), a svaka dva vektora različita od nule prostora V_1 su kolinearna, t.j. su linearno ovisni (vidi primjer 8.1). Stoga je \dim(V_1)=1, a osnova prostora V_1 je bilo koji vektor različit od nule. Slično, dokazujemo da je \dim(V_2)=2 i \dim(V_3)=3 . Osnova prostora V_2 su bilo koja dva nekolinearna vektora uzeta određenim redoslijedom (jedan od njih se smatra prvim baznim vektorom, drugi - drugim). Osnova prostora V_3 su bilo koja tri nekoplanarna (ne leže u istim ili paralelnim ravninama) vektora, uzeta određenim redoslijedom. Standardna baza u V_1 je jedinični vektor \vec(i) na liniji. Standardna baza u V_2 je baza \vec(i),\,\vec(j), koji se sastoji od dva međusobno okomita jedinična vektora ravnine. Standardna baza u prostoru V_3 je baza \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), sastavljena od tri jedinična uparna okomita vektora koji tvore desnu trojku. 3. Prostor \mathbb(R)^n ne sadrži više od n linearno neovisnih vektora. Doista, uzmimo k stupaca iz \mathbb(R)^n i od njih napravimo matricu veličina n\ puta k. Ako je k>n , tada su stupci linearno ovisni prema teoremu 3.4 o rangu matrice. Stoga, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. U prostoru \mathbb(R)^n nije teško pronaći n linearno neovisnih stupaca. Na primjer, stupci matrice identiteta \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. linearno su neovisni. Stoga, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Prostor \mathbb(R)^n se zove n-dimenzionalni realni aritmetički prostor. Navedeni skup vektora smatra se standardnom osnovom prostora \mathbb(R)^n. Slično, dokazano je da \dim(\mathbb(C)^n)=n, pa se prostor \mathbb(C)^n zove n-dimenzionalni kompleksni aritmetički prostor. 4. Podsjetimo da se svako rješenje homogenog sustava Ax=o može predstaviti kao x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), gdje r=\ime operatora(rg)A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- temeljni sustav odlučivanja. Stoga, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), tj. osnova prostora \(Ax=0\) rješenja homogenog sustava je njegov temeljni sustav rješenja, a dimenzija prostora je \dim\(Ax=o\)=n-r , gdje je n broj nepoznanice, a r je rang matrice sustava. 5. U prostoru M_(2\times3) matrica veličine 2\times3 može se odabrati 6 matrica: \begin(sakupljeno)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(sakupljeno) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e) \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) jednaka je nultoj matrici samo u trivijalnom slučaju \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Čitajući jednakost (8.5) s desna na lijevo, zaključujemo da je bilo koja matrica iz M_(2\times3) linearno izražena u terminima odabranih 6 matrica, tj. M_(2\puta)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Stoga, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, i matrice \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 su (standardna) osnova ovog prostora. Slično, dokazano je da \dim(M_(m\puta n))=m\cdot n. 6. Za bilo koji prirodni broj n u prostoru P(\mathbb(C)) polinoma s kompleksnim koeficijentima može se pronaći n linearno neovisnih elemenata. Na primjer, polinomi \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) su linearno neovisni, jer njihova linearna kombinacija a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) jednak je nultom polinomu (o(z)\equiv0) samo u trivijalnom slučaju a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Budući da je ovaj sustav polinoma linearno neovisan za bilo koji prirodni n, prostor P(\mathbb(C)) je beskonačno dimenzionalan. Slično, zaključujemo da prostor P(\mathbb(R)) polinoma s realnim koeficijentima ima beskonačnu dimenziju. Prostor P_n(\mathbb(R)) polinoma stupnja najviše n je konačno dimenzionalan. Doista, vektori \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^nčine (standardnu) osnovu za ovaj prostor, budući da su linearno neovisni i bilo koji polinom u P_n(\mathbb(R)) može se predstaviti kao linearna kombinacija ovih vektora: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Primjeri baza za linearne prostore
koje su linearno neovisne. Doista, njihova linearna kombinacija
7. Prostor C(\mathbb(R)) kontinuiranih funkcija je beskonačno dimenzionalan. Doista, za bilo koji prirodni n polinom 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), koje se smatra kontinuiranim funkcijama, tvore linearno neovisne sustave (vidi prethodni primjer).
U svemiru T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonometrijski binomi (frekvencije \omega\ne0 ) s realnim baznim koeficijentima tvore monome \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Oni su linearno neovisni, budući da je jednakost identiteta a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 moguće samo u trivijalnom slučaju (a=b=0) . Bilo koja funkcija obrasca f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t linearno izraženo u terminima osnovnih: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Prostor \mathbb(R)^X realnih funkcija definiranih na skupu X, ovisno o domeni X, može biti konačno-dimenzionalan ili beskonačno-dimenzionalan. Ako je X konačan skup, tada je prostor \mathbb(R)^X konačno dimenzionalan (na primjer, X=\(1,2,\ldots,n\)). Ako je X beskonačan skup, tada je prostor \mathbb(R)^X beskonačno-dimenzionalan (na primjer, prostor \mathbb(R)^N nizova).
9. U prostoru \mathbb(R)^(+) svaki pozitivan broj \mathbf(e)_1 koji nije jednak 1 može poslužiti kao osnova. Uzmimo, na primjer, broj \mathbf(e)_1=2. Bilo koji pozitivni broj r može se izraziti u terminima \mathbf(e)_1 , tj. prisutan u obliku \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, gdje je \alpha_1=\log_2r . Stoga je dimenzija ovog prostora 1, a broj \mathbf(e)_1=2 je baza.
10. Neka \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n je osnova realnog linearnog prostora V . Definiramo linearne skalarne funkcije na V postavljanjem:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(slučajevi)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(slučajevi)
Istovremeno, zbog linearnosti funkcije \mathcal(E)_i , za proizvoljni vektor dobivamo \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Dakle, definirano je n elemenata (kovektori). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n dualni prostor V^(\ast) . Dokažimo to \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- osnova V^(\ast) .
Prvo, pokazujemo da sustav \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n linearno neovisno. Doista, uzmite linearnu kombinaciju ovih kovktora (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= i izjednačiti ga s nultom funkcijom
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\u V.
Zamjena u ovu jednakost \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, dobivamo \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Dakle, sustav elemenata \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n prostor V^(\ast) je linearno neovisan, budući da je jednakost \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) moguće samo u trivijalnom slučaju.
Drugo, dokazujemo da se bilo koja linearna funkcija f\in V^(\ast) može predstaviti kao linearna kombinacija kovektora \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Doista, za bilo koji vektor \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n zbog linearnosti funkcije f dobivamo:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(poravnano)
oni. funkcija f je predstavljena kao linearna kombinacija f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funkcije \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(brojevi \beta_i=f(\mathbf(e)_i) su koeficijenti linearne kombinacije). Dakle, sustav kovektora \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n je osnova dualnog prostora V^(\ast) i \dim(V^(\ast))=\dim(V)(za konačnodimenzionalni prostor V ).
Ako primijetite pogrešku, tipografsku pogrešku ili imate prijedloge, napišite u komentarima.
1. Neka podprostor L = L(a 1 , a 2 , …, a m) , tj L je linearna ljuska sustava a 1 , a 2 , …, a m; vektora a 1 , a 2 , …, a m je sustav generatora ovog podprostora. Zatim osnova L je osnova sustava vektora a 1 , a 2 , …, a m, odnosno osnova sustava generatora. Dimenzija L jednak je rangu sustava generatora.
2. Neka podprostor L je zbroj podprostora L 1 i L 2. Sustav generiranja podprostora može se dobiti kombiniranjem sustava generiranja podprostora, nakon čega se nalazi osnova zbroja. Dimenzija zbroja se nalazi po sljedećoj formuli:
dim(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – dim(L 1 Z L 2).
3. Neka je zbroj podprostora L 1 i L 2 ravna linija, tj L = L 1 Å L 2. Pri čemu L 1 Z L 2 = {oko) i dim(L 1 Z L 2) = 0. Osnovica izravnog zbroja jednaka je uniji baza zbrojeva. Dimenzija izravnog zbroja jednaka je zbroju dimenzija članova.
4. Navedimo važan primjer podprostora i linearnog mnogoznačnika.
Razmislite o homogenom sustavu m linearne jednadžbe s n nepoznato. Puno rješenja M 0 ovog sustava je podskup skupa R n a zatvorena je pod zbrajanjem vektora i njihovim množenjem realnim brojem. To znači da je ovo skup M 0 - podprostor prostora R n. Osnova podprostora je temeljni skup rješenja homogenog sustava, dimenzija podprostora jednaka je broju vektora u temeljnom skupu rješenja sustava.
Gomila M uobičajena sustavna rješenja m linearne jednadžbe s n nepoznato je također podskup skupa R n i jednak je zbroju skupa M 0 i vektor a, gdje a je neko posebno rješenje izvornog sustava, a skup M 0 je skup rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi koji prate ovaj sustav (od izvornog se razlikuje samo slobodnim terminima),
M = a + M 0 = {a = m, m Î M 0 }.
To znači da mnogi M je linearna mnogostrukost prostora R n s vektorom pomaka a i smjer M 0 .
Primjer 8.6. Nađite osnovu i dimenziju podprostora zadanog homogenim sustavom linearnih jednadžbi:
Odluka. Nađimo opće rješenje ovog sustava i njegov temeljni skup rješenja: 
s 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), s 2 = (12, –8, 0, 1, 0), s 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Osnovu podprostora čine vektori s 1 , s 2 , s 3, njegova dimenzija je tri.
Kraj rada -
Ova tema pripada:
Linearna algebra
Državno sveučilište Kostroma nazvano po N.A. Nekrasovu.
Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo pretragu u našoj bazi radova:
Što ćemo s primljenim materijalom:
Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
| cvrkut |
Sve teme u ovom dijelu:
BBK 22.174ya73-5
M350 Tiskano odlukom uredničkog i izdavačkog vijeća KSU. N. A. Nekrasova Recenzent A. V. Čerednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrasova, 2013
Unija (ili zbroj)
Definicija 1.9. Unija skupova A i B je skup A È B, koji se sastoji od onih i samo onih elemenata koji pripadaju iako
Raskrižje (ili proizvod)
Definicija 1.10. Presjek skupova A i B je skup A Ç B koji se sastoji od onih i samo onih elemenata koji pripadaju istom
Razlika
Definicija 1.11. Razlika skupova A i B je skup A B koji se sastoji od onih i samo onih elemenata koji pripadaju skupu A
Kartezijanski proizvod (ili izravni proizvod)
Definicija 1.14. Uređeni par (ili par) (a, b) su dva elementa a, b uzeta određenim redoslijedom. Parovi (a1
Svojstva skupnih operacija
Svojstva operacija unije, presjeka i komplementa ponekad se nazivaju zakonima algebre skupova. Navedimo glavna svojstva operacija nad skupovima. Neka je univerzalni skup U
Metoda matematičke indukcije
Metoda matematičke indukcije koristi se za dokazivanje tvrdnji u kojima je uključen prirodni parametar n. Metoda matematičke indukcije – metoda dokazivanja matematike
Kompleksni brojevi
Koncept broja jedno je od glavnih dostignuća ljudske kulture. Prvo su se pojavili prirodni brojevi N = (1, 2, 3, …, n, …), zatim cijeli brojevi Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), racionalni Q
Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva
Poznato je da su negativni brojevi uvedeni u vezi s rješavanjem linearnih jednadžbi s jednom varijablom. U konkretnim problemima negativan odgovor tumačen je kao vrijednost usmjerene veličine (
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Vektor se može odrediti ne samo koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu, već i duljinom i
Operacije nad kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku
Pogodnije je zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva izvoditi u algebarskom obliku, a množenje i dijeljenje u trigonometrijskom obliku. 1. Množenja Neka su dva k
Eksponencijaliranje
Ako je z = r(cosj + i×sinj), tada je zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), gdje je n Î
Eksponencijalni oblik kompleksnog broja
Iz matematičke analize je poznato da je e = , e iracionalan broj. Eile
Koncept odnosa
Definicija 2.1. n-arni (ili n-arni) odnos P na skupovima A1, A2, …, An je bilo koji podskup
Svojstva binarnih relacija
Neka je binarna relacija P zadana na nepraznom skupu A, tj. P Í A2. Definicija 2.9 Binarna relacija P na skupu
Relacija ekvivalencije
Definicija 2.15. Binarna relacija na skupu A naziva se relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Ekvivalentni omjer
Funkcije
Definicija 2.20 Binarna relacija ƒ n A ´ B naziva se funkcija od skupa A do skupa B ako za bilo koji x
Opći pojmovi
Definicija 3.1. Matrica je pravokutna tablica brojeva koja sadrži m redaka i n stupaca. Brojevi m i n nazivaju se redom (ili
Dodavanje matrica istog tipa
Možete dodati samo matrice iste vrste. Definicija 3.12. Zbroj dviju matrica A = (aij) i B = (bij), gdje je i = 1,
Svojstva dodavanja matrice
1) komutativnost: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) asocijativnost:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A
Množenje matrice brojem
Definicija 3.13. Umnožak matrice A = (aij) i realnog broja k je matrica C = (sij) za koju
Svojstva množenja matrice brojem
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×
Množenje matrice
Definiramo množenje dviju matrica; Da bismo to učinili, moramo uvesti neke dodatne pojmove. Definicija 3.14. Matrice A i B nazivaju se konzistentne
Svojstva množenja matrice
1) Množenje matrice nije komutativno: A×B ≠ B×A. Ovo svojstvo može se pokazati primjerima. Primjer 3.6. a)
Transpozicija matrice
Definicija 3.16. Matrica At, dobivena iz zadane matrice zamjenom svakog njezinog reda stupcem s istim brojem, naziva se transponiranom u danu matricu A
Determinante matrica drugog i trećeg reda
Svakoj kvadratnoj matrici A reda n dodjeljuje se broj, koji se naziva determinantom ove matrice. Oznaka: D, |A|, det A,
Definicija 4.6.
1. Za n = 1, matrica A se sastoji od jednog broja: |A| = a11. 2. Neka je poznata determinanta za matricu reda (n – 1). 3. Definirajte
Svojstva kvalifikatora
Za izračunavanje determinanti redova većih od 3 koriste se svojstva determinanti i Laplaceov teorem. Teorem 4.1 (Laplace). Determinanta kvadratne matrice
Praktično izračunavanje determinanti
Jedan od načina da se izračunaju determinante reda iznad tri jest proširiti ga u neki stupac ili redak. Primjer 4.4 Izračunajte determinantu D =
Koncept ranga matrice
Neka je A m ´ n matrica. U ovoj matrici biramo proizvoljno k redaka i k stupaca, gdje je 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Određivanje ranga matrice metodom obrubljivanja minora
Jedna od metoda za pronalaženje ranga matrice je nabrajanje maloljetnika. Ova metoda se temelji na određivanju ranga matrice. Bit metode je kako slijedi. Ako postoji barem jedan element
Pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih transformacija
Razmotrimo još jedan način pronalaženja ranga matrice. Definicija 5.4. Sljedeće transformacije nazivaju se transformacijama elementarnih matrica: 1. množenje
Koncept inverzne matrice i kako je pronaći
Neka je dana kvadratna matrica A. Definicija 5.7. Matrica A–1 naziva se inverzna matrici A ako je A×A–1
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Razmotrimo jedan od načina pronalaženja inverza zadane matrice uz pomoć algebarskih zbrajanja. Neka je dana kvadratna matrica A. 1. Pronađite determinantu matrice |A|. EU
Pronalaženje inverzne matrice pomoću elementarnih transformacija
Razmotrimo drugi način pronalaženja inverzne matrice pomoću elementarnih transformacija. Formulirajmo potrebne pojmove i teoreme. Definicija 5.11 Naziv matrice B
Cramerova metoda
Razmotrimo sustav linearnih jednadžbi u kojem je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica, odnosno m = n, a sustav izgleda ovako:
Metoda inverzne matrice
Metoda inverzne matrice primjenjiva je na sustave linearnih jednadžbi u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice nije jednaka nuli. Matrični notni sustav
Gaussova metoda
Za opis ove metode, koja je prikladna za rješavanje proizvoljnih sustava linearnih jednadžbi, potrebni su neki novi koncepti. Definicija 6.7. 0× jednadžba
Opis Gaussove metode
Gaussova metoda - metoda uzastopnog uklanjanja nepoznanica - sastoji se u tome da se uz pomoć elementarnih transformacija izvorni sustav svodi na ekvivalentni sustav postupno ili t
Proučavanje sustava linearnih jednadžbi
Istražiti sustav linearnih jednadžbi znači, bez rješavanja sustava, odgovoriti na pitanje: je li sustav konzistentan ili ne, i ako jest, koliko rješenja ima? Odgovorite na ovo u
Homogeni sustavi linearnih jednadžbi
Definicija 6.11 Sustav linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su njegovi slobodni članovi jednaki nuli. Homogeni sustav od m linearnih jednadžbi
Svojstva rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi
1. Ako je vektor a = (a1, a2, …, an) rješenje homogenog sustava, tada je vektor k×a = (k×a1, k&t
Temeljni skup rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi
Neka je M0 skup rješenja homogenog sustava (4) linearnih jednadžbi. Definicija 6.12 Vektori c1, c2, ..., c
Linearna ovisnost i neovisnost sustava vektora
Neka je a1, a2, …, am skup od m komada n-dimenzionalnih vektora, koji se obično naziva sustavom vektora, i k1
Svojstva linearne ovisnosti sustava vektora
1) Sustav vektora koji sadrži nulti vektor linearno je ovisan. 2) Sustav vektora je linearno ovisan ako je bilo koji od njegovih podsustava linearno ovisan. Posljedica. Ako si
Jedinični vektorski sustav
Definicija 7.13. Sustav jediničnih vektora u prostoru Rn je sustav vektora e1, e2, …, en
Dva teorema linearne ovisnosti
Teorem 7.1. Ako je veći sustav vektora linearno izražen u smislu manjeg, tada je veći sustav linearno ovisan. Formulirajmo ovaj teorem detaljnije: neka je a1
Osnova i rang sustava vektora
Neka je S sustav vektora u prostoru Rn; može biti ili konačan ili beskonačan. S" je podsustav sustava S, S" Ì S. Navedimo dva
Rang vektorskog sustava
Navedimo dvije ekvivalentne definicije ranga sustava vektora. Definicija 7.16. Rang sustava vektora je broj vektora u bilo kojoj bazi ovog sustava.
Praktično utvrđivanje ranga i osnove sustava vektora
Iz zadanog sustava vektora sastavljamo matricu tako što vektore raspoređujemo u redove ove matrice. Dovodimo matricu u stepenasti oblik pomoću elementarnih transformacija nad redovima ove matrice. Na
Definicija vektorskog prostora nad proizvoljnim poljem
Neka je P proizvoljno polje. Primjeri polja koja su nam poznata su polje racionalnih, realnih, kompleksnih brojeva. Definicija 8.1. Skup V se poziva
Najjednostavnija svojstva vektorskih prostora
1) o je nulti vektor (element), jedinstveno definiran u proizvoljnom vektorskom prostoru nad poljem. 2) Za svaki vektor a O V postoji jedinstven
Podprostori. Linearni razdjelnici
Neka je V vektorski prostor, L Ì V (L je podskup od V). Definicija 8.2. Podskup L vektora pro
Sjecište i zbroj podprostora
Neka je V vektorski prostor nad poljem P, L1 i L2 su njegovi podprostori. Definicija 8.3. Podupit raskrižja
Linearni razdjelnici
Neka je V vektorski prostor, L podprostor i neka je a proizvoljni vektor iz prostora V. Definicija 8.6. Po linearnom mnogoznačniku
Konačnodimenzionalni vektorski prostori
Definicija 8.7 Vektorski prostor V naziva se n-dimenzionalnim ako sadrži linearno neovisni sustav vektora koji se sastoji od n vektora, a za
Osnova konačnodimenzionalnog vektorskog prostora
V je konačno-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem P, S je sustav vektora (konačnih ili beskonačnih). Definicija 8.10. Osnova sustava S
Vektorske koordinate u odnosu na zadanu bazu
Razmotrimo konačno-dimenzionalni vektorski prostor V dimenzije n, vektori e1, e2, …, en čine njegovu osnovu. Neka a bude prod
Vektorske koordinate u raznim bazama
Neka je V n-dimenzionalni vektorski prostor u kojem su dane dvije baze: e1, e2, ..., en je stara baza, e "1, e
Euklidski vektorski prostori
Zadan vektorski prostor V nad poljem realnih brojeva. Ovaj prostor može biti ili konačno-dimenzionalni vektorski prostor dimenzije n ili beskonačno-dimenzionalan.
Točkasti proizvod u koordinatama
U n-dimenzionalnom euklidskom vektorskom prostoru V dana je baza e1, e2, …, en. Vektori x i y razloženi na vektore
Metrički koncepti
U euklidskim vektorskim prostorima može se prijeći od uvedenog skalarnog produkta na pojmove norme vektora i kuta između vektora. Definicija 8.16. Norma (
Svojstva norme
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, budući da ||la|| =
Ortonormirana osnova euklidskog vektorskog prostora
Definicija 8.21. Baza euklidskog vektorskog prostora naziva se ortogonalna ako su vektori baze po paru ortogonalni, odnosno ako je a1, a
Proces ortogonalizacije
Teorem 8.12. Svaki n-dimenzionalni euklidski prostor ima ortonormalnu osnovu. Dokaz. Neka su a1, a2
Točkasti proizvod u ortonormalnoj bazi
Zadana je ortonormalna baza e1, e2, …, en euklidskog prostora V. Budući da je (ei, ej) = 0 za i
Ortogonalni podprostorni komplement
V je euklidski vektorski prostor, L je njegov podprostor. Definicija 8.23. Za vektor a se kaže da je ortogonan na podprostor L ako je vektor
Odnos između koordinata vektora i koordinata njegove slike
Linearni operator j zadan je u prostoru V, a njegova matrica M(j) nalazi se u nekoj bazi e1, e2, …, en. Neka ovo bude osnova
Slične matrice
Razmotrimo skup Pn´n kvadratnih matrica reda n s elementima iz proizvoljnog polja P. Uvodimo na taj skup relativni
Svojstva matrice relacije sličnosti
1. Refleksivnost. Svaka matrica je slična samoj sebi, tj. A ~ A. 2. Simetrija. Ako je matrica A slična B, onda je B slična A, tj.
Svojstva vlastitih vektora
1. Svaki svojstveni vektor pripada samo jednoj svojstvenoj vrijednosti. Dokaz. Neka je x svojstveni vektor s dvije vlastite vrijednosti
Karakteristični polinom matrice
Zadana je matrica A Î Pn´n (ili A Î Rn´n). Definirati
Uvjeti pod kojima je matrica slična dijagonalnoj matrici
Neka je A kvadratna matrica. Možemo pretpostaviti da je ovo matrica nekog linearnog operatora zadana u nekoj bazi. Poznato je da je u drugoj bazi matrica linearnog operatora
Jordan normalna forma
Definicija 10.5. Jordanova ćelija reda k povezana s brojem l0 je matrica reda k, 1 ≤ k ≤ n,
Redukcija matrice na Jordan (normalni) oblik
Teorem 10.3. Jordanov normalni oblik je jedinstveno definiran za matricu do redoslijeda kojim se Jordanove stanice nalaze na glavnoj dijagonali. itd
Bilinearni oblici
Definicija 11.1. Bilinearni oblik je funkcija (preslikavanje) f: V ´ V ® R (ili C), gdje je V proizvoljan vektor n
Svojstva bilinearnih oblika
Bilo koji bilinearni oblik može se predstaviti kao zbroj simetričnih koso-simetričnih oblika. S odabranom bazom e1, e2, …, en u vektoru
Transformacija matrice bilinearnog oblika pri prijelazu na novu bazu. Rang bilinearne forme
Neka su dvije baze e = (e1, e2, …, en) i f = (f1, f2,
Kvadratni oblici
Neka je A(x, y) simetrični bilinearni oblik definiran na vektorskom prostoru V. Definicija 11.6. Kvadratnim oblikom
Redukcija kvadratnog oblika na kanonski oblik
Zadan kvadratni oblik (2) A(x, x) = , gdje je x = (x1
Zakon tromosti kvadratnih oblika
Utvrđeno je da je broj kanonskih koeficijenata koji nisu nula kvadratnog oblika jednak njegovom rangu i da ne ovisi o izboru nedegenerirane transformacije kojom se oblik A(x
Neophodan i dovoljan uvjet da kvadratni oblik bude predznakom određen
Izjava 11.1. Da bi kvadratni oblik A(x, x) zadan u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru V bio predznakom određen, potrebno je
Neophodan i dovoljan uvjet za kvazi-promjenjive kvadratne oblike
Izjava 11.3. Da bi kvadratni oblik A(x, x) definiran u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru V bio kvazialternativan (tj.
Sylvesterov kriterij za predznak-određenost kvadratnog oblika
Neka je oblik A(x, x) u bazi e = (e1, e2, …, en) definiran matricom A(e) = (aij)
Zaključak
Linearna algebra je obavezan dio svakog naprednog matematičkog programa. Svaki drugi odjeljak pretpostavlja prisutnost znanja, vještina i sposobnosti utvrđenih tijekom nastave ove discipline.
Bibliografski popis
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Linearna algebra s elementima analitičke geometrije. - M .: Izdavačka kuća Visoke ekonomske škole, 2007. Beklemishev D.V. Kolegij analitičke geometrije i linearne algebre.
Linearna algebra
Nastavno pomagalo Urednik i lektor G. D. Neganova Računalno slaganje T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
Prema definiciji linearnog prostora, tako da A bio je podprostor za provjeru izvedivosti A operacije:
1) : 
;
2) 
: 
;
i provjerite jesu li operacije u A podliježu osam aksioma. Međutim, potonje će biti suvišno (zbog činjenice da ovi aksiomi vrijede u L), t.j. sljedeće
Teorema. Neka je L linearni prostor nad poljem P i 
. Skup A je podprostor od L ako i samo ako su ispunjeni sljedeći zahtjevi:
Izjava. Ako je a L – n-dimenzionalni linearni prostor i A njegov podprostor, dakle A je također konačno-dimenzionalni linearni prostor i njegova dimenzija ne prelazi n.
P 
primjer 1.
Je li podprostor prostora segmentnih vektora V 2 skup S svih vektora ravnine , od kojih svaki leži na jednoj od koordinatnih osi 0x ili 0y?
Odluka: Neka bude 
, 
i 
, 
. Zatim 
. Dakle, S nije podprostor 
.
Primjer 2 Je linearni podprostor linearnog prostora V 2 skup vektorskih segmenata ravnine S svi ravninski vektori čiji počeci i krajevi leže na zadanoj liniji l ovaj avion?
Odluka.
E 
sli vektor 
pomnoži sa realnim brojem k, tada dobivamo vektor 
, također pripada S. Ako 
i 
su dva vektora iz S, dakle 
(prema pravilu zbrajanja vektora na pravoj liniji). Stoga je S podprostor 
.
Primjer 3 Je linearni podprostor linearnog prostora V 2 gomila A svi vektori ravnine čiji krajevi leže na zadanoj liniji l, (pretpostavimo da se ishodište bilo kojeg vektora podudara s ishodištem)?
R 
riješenje.
U slučaju kada je izravna l ne prolazi kroz ishodište ALI linearni podprostor prostora V 2
nije, jer 
.
U slučaju kada je izravna l
prolazi kroz ishodište, skup ALI je linearni podprostor prostora V 2
,
jer 
a pri množenju bilo kojeg vektora 
na pravi broj α
izvan terena R dobivamo 
. Dakle, linearni prostorni zahtjevi za skup ALI dovršeno.
Primjer 4 Neka je zadan sustav vektora 
iz linearnog prostora L preko polja P. Dokazati da je skup svih mogućih linearnih kombinacija 
s koeficijentima 
iz P je podprostor L(ovo je podprostor A naziva se podprostor generiran sustavom vektora ili linearna ljuska ovaj sustav vektora, a označavaju se kako slijedi: 
ili 
).
Odluka. Doista, budući da , Onda za bilo koje elemente x,
y
A imamo: 
, 
, gdje 
, 
. Zatim
Od tad 
, Zato 
.
Provjerimo izvedivost drugog uvjeta teorema. Ako je a x je bilo koji vektor iz A i t- bilo koji broj od P, zatim . Ukoliko 
i 
,, onda 
, , Zato 
. Dakle, prema teoremu, skup A je podprostor linearnog prostora L.
Za konačnodimenzionalne linearne prostore vrijedi i obrnuto.
Teorema. Bilo koji podprostor ALI linearni prostor L preko polja 
je linearni raspon nekog sustava vektora.
Prilikom rješavanja zadatka nalaženja osnove i dimenzije linearne ljuske koristi se sljedeći teorem.
Teorema. Linearna osnova ljuske 
poklapa se s osnovom sustava vektora . Dimenzija linearnog raspona poklapa se s rangom sustava vektora .
Primjer 4 Naći osnovu i dimenziju podprostora 
linearni prostor R 3
[
x]
, ako 
, 
, 
, 
.
Odluka. Poznato je da vektori i njihovi koordinatni redovi (stupci) imaju ista svojstva (s obzirom na linearnu ovisnost). Izrađujemo matricu A=
iz koordinatnih stupaca vektora 
u osnovi 
.
Pronađite rang matrice A.
. M 3
=
. 
.
Dakle, čin r(A)=
3. Dakle, rang sustava vektora je 3. Dakle, dimenzija podprostora S je 3, a njegova osnova se sastoji od tri vektora 
(jer u osnovnom molu 
uključene su samo koordinate ovih vektora).
Primjer 5 Dokažite da je skup H aritmetički prostorni vektori 
, čije su prve i zadnje koordinate 0, čini linearni podprostor. Pronađite njegovu osnovu i dimenziju.
Odluka. Neka bude 
.
Zatim , i . Stoga, 
za bilo koji . Ako je a 
, 
, zatim . Dakle, prema teoremu linearnog podprostora skup H je linearni podprostor prostora . Nađimo osnovu H. Razmotrimo sljedeće vektore iz H: 
, 
, . Ovaj sustav vektora je linearno neovisan. Doista, neka.
