U geometriji se vektor shvaća kao usmjereni segment, a vektori dobiveni jedan od drugog paralelnim prevođenjem smatraju se jednakim. Svi jednaki vektori se tretiraju kao isti vektor. Početak vektora može se postaviti u bilo koju točku u prostoru ili ravnini.

Ako su koordinate krajeva vektora dane u prostoru: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), dakle

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Slična formula vrijedi i u ravnini. To znači da se vektor može napisati kao koordinatni niz. Operacije na vektorima, - zbrajanje i množenje brojem, na nizovima se izvode komponentu po komponentu. To omogućuje proširenje koncepta vektora, razumijevajući vektor kao bilo koji niz brojeva. Na primjer, sustavno rješenje linearne jednadžbe, kao i bilo koji skup vrijednosti varijabli sustava, može se smatrati vektorom.

Na žicama iste duljine operacija zbrajanja se izvodi prema pravilu

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Množenje niza brojem izvodi se prema pravilu

l(a 1, a 2, …, a n) = (la 1, la 2, …, la n). (3)

Skup vektora reda zadane duljine n s naznačenim operacijama vektorskog zbrajanja i množenja brojem tvori algebarsku strukturu tzv n-dimenzionalni linearni prostor.

Linearna kombinacija vektora je vektor , gdje je λ 1 , ... , λ m su proizvoljni koeficijenti.

Sustav vektora naziva se linearno ovisan ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koja ima barem jedan koeficijent različit od nule.

Sustav vektora naziva se linearno neovisnim ako su u bilo kojoj od njegovih linearnih kombinacija jednakih , svi koeficijenti jednaki nuli.

Dakle, rješenje pitanja linearne ovisnosti sustava vektora svodi se na rješenje jednadžbe

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ako ova jednadžba ima rješenja različita od nule, tada je sustav vektora linearno ovisan. Ako je nulto rješenje jedinstveno, tada je sustav vektora linearno neovisan.

Za rješavanje sustava (4), radi jasnoće, vektori se mogu napisati ne u obliku redaka, već u obliku stupaca.

Zatim, nakon izvođenja transformacija na lijevoj strani, dolazimo do sustava linearnih jednadžbi ekvivalentnih jednadžbi (4). Glavnu matricu ovog sustava čine koordinate izvornih vektora raspoređenih u stupce. Kolona slobodnih članova ovdje nije potrebna, budući da je sustav homogen.

Osnova sustava vektora (konačnog ili beskonačnog, posebno cijelog linearnog prostora) je njegov neprazan linearno neovisni podsustav, kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sustava.

Primjer 1.5.2. Pronađite osnovu sustava vektora = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) i izraziti druge vektore kroz bazu.

Odluka. Gradimo matricu u kojoj su koordinate ovih vektora poredane u stupce. Ovo je matrica sustava x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Dovodimo matricu u stepenasti oblik:

~ ~ ~

Osnovu ovog sustava vektora čine vektori , , , koji odgovaraju vodećim elementima redaka označenih kružićima. Da bismo izrazili vektor, rješavamo jednadžbu x 1 + x 2 + x 4 = . Svodi se na sustav linearnih jednadžbi, čija se matrica dobiva iz originala preuređivanjem stupca koji odgovara , na mjesto stupca slobodnih članova. Stoga će se kod svođenja na stepenasti oblik na matrici izvršiti iste transformacije kao gore. To znači da dobivenu matricu možemo koristiti u stepenastom obliku tako što ćemo napraviti potrebne permutacije stupaca u njoj: stupci s kružićima smješteni su lijevo od okomite trake, a stupac koji odgovara vektoru postavljen je desno šanka.

Sukcesivno nalazimo:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Komentar. Ako je potrebno izraziti nekoliko vektora kroz bazu, tada se za svaki od njih konstruira odgovarajući sustav linearnih jednadžbi. Ovi sustavi će se razlikovati samo u stupcima slobodnih članova. U ovom slučaju svaki se sustav rješava neovisno o ostalima.

VJEŽBA 1.4. Pronađite osnovu sustava vektora i izrazite ostale vektore u terminima baze:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

U danom sustavu vektora, baza se obično može razlikovati različiti putevi, ali će sve baze imati isti broj vektora. Broj vektora u bazi linearnog prostora naziva se dimenzija prostora. Za n-dimenzionalni linearni prostor n je dimenzija prostora, budući da ovaj prostor ima standardnu ​​bazu = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Kroz ovu bazu, bilo koji vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) izražava se na sljedeći način:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Dakle, komponente u retku vektora = (a 1 , a 2 , … , a n) su njegovi koeficijenti u ekspanziji u smislu standardne baze.

Ravne linije na ravnini

Zadatak analitička geometrija– primjena metode koordinata na geometrijske probleme. Dakle, problem se prevodi u algebarski oblik i rješava pomoću algebre.

Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U publici su kolica s čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par – analitičku geometriju s linearnom algebrom. Ovaj će članak pokriti dva odjeljka odjednom. viša matematika, a vidjet ćemo kako će se složiti u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... kvragu, pa, svađaju se gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba biti pozitivan stav prema učenju.

Linearna ovisnost vektora, linearna neovisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, nego, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stajališta linearne algebre daleko je od uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, za koji sam upravo otišao na Gismeteo: - temperatura i atmosferski tlak, respektivno. Primjer je naravno netočan u pogledu svojstava vektorski prostor, ali, ipak, nitko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću vas zamarati teorijom, linearnim vektorskim prostorima, zadatak je da razumjeti definicije i teoreme. Novi pojmovi (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza itd.) primjenjivi su na sve vektore s algebarskog stajališta, ali primjeri će biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Uz probleme analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipične zadatke algebre. Da biste svladali gradivo, preporučljivo je upoznati se s lekcijama Vektori za lutke i Kako izračunati determinantu?

Linearna ovisnost i neovisnost ravninskih vektora.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Razmislite o ravnini vašeg računalnog stola (samo stol, noćni ormarić, pod, strop, što god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite bazu ravnine. Grubo govoreći, ploča stola ima duljinu i širinu, pa je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tablici.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štoviše, na vašem. Molimo stavite kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sada mjesto mali prst desne ruke na rubu stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješi se, super izgledaš! Što se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearna, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravninu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori putuju naprijed i natrag sama smjer, dok ravnina ima duljinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno ovisan.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stupanj) izrazi i ovisnosti.

Dva ravna vektora linearno ovisan ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji kut osim 0 ili 180 stupnjeva. Dva ravna vektoralinearno ne su ovisni ako i samo ako nisu kolinearni. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je baza ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije prikladan samo kut od 90 stupnjeva, a ne samo jedinični vektori jednake duljine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Kažu i to vektorpredstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravnine, ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Formulirajmo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna točka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redoslijedom. baze To su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomaknuti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravnini. Kako onda dodijeliti koordinate onim malim prljavim točkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna točka. A takva referentna točka je svima poznata točka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sustava:

Krenut ću od "školskog" sustava. Već u uvodnom satu Vektori za lutke Istaknuo sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kad se govori o pravokutni koordinatni sustav, tada najčešće znače ishodište, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati "pravokutni koordinatni sustav" i vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osima poznatim iz 5.-6. razreda i kako crtati točke na ravnini.

S druge strane, stječe se dojam da se pravokutni koordinatni sustav može dobro definirati u terminima ortonormalne baze. I gotovo je. Formulacija glasi ovako:

podrijetlo, i ortonormalno osnovni set Kartezijanski koordinatni sustav ravnine . To jest, pravokutni koordinatni sustav definitivno definiran je jednom točkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne osi.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć točke (izvorišta) i ortonormalne osnove BILO KOJA TOČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravnine mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, "sve se u avionu može numerirati".

Moraju li koordinatni vektori biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu duljinu različitu od nule. Razmotrimo točku i dva ortogonalna vektora proizvoljne duljine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Podrijetlo koordinata s vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka točka ravnine, svaki vektor ima svoje koordinate u zadanoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori općenito imaju različite duljine osim jedinice. Ako su duljine jednake jedan, tada se dobiva uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravnine i prostora, razmatraju se jedinice duž osi UVJETNO. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna za pretvaranje "nestandardnih" koordinata u "naše uobičajene centimetre" ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - je li potrebno da kut između baznih vektora bude 90 stupnjeva? Ne! Kao što definicija kaže, bazni vektori moraju biti samo nekolinearna. Sukladno tome, kut može biti bilo što osim 0 i 180 stupnjeva.

Točka na ravnini zove se podrijetlo, i nekolinearna vektori, , postavljeno afini koordinatni sustav ravnine :

Ponekad se ovaj koordinatni sustav naziva koso sustav. Točke i vektori prikazani su kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sustav je još manje prikladan, formule za duljine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane uz skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinoga koordinatnog sustava kartezijanski pravokutni sustav. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polarni) koordinatni sustav. Da, i humanoidi takvi sustavi mogu pasti na ukus =)

Prijeđimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za opći afini slučaj. Ovdje nema ništa komplicirano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Da bi dva ravna vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je koordinata po koordinata pročišćavanje očitog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Odluka:
a) Saznajte postoji li vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Svakako ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja u praksi dobro funkcionira. Ideja je odmah sastaviti omjer i vidjeti je li točan:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje može se koristiti činjenica da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravna vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Napravimo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednadžbe slijedi da , što znači, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite omjer iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Kao ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporciju? (Zaista, ne možete podijeliti s nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

Odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za neovisno rješenje:

Primjer 2

Pri kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se pronalazi kroz omjer.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Sistematizirajmo naše znanje i samo ga dodajmo kao petu točku:

Za dva ravna vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

Odnosno, sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nula .

Jako, jako se nadam da u ovom trenutku već razumijete sve pojmove i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva ravna vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu značajku, naravno, morate biti u mogućnosti pronaći odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravna vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno neovisni i čine bazu.

Odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda puno kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelnost segmenata, ravnih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokaži da je četverokut paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti isključivo analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram naziva se četverokut čije su suprotne stranice parno paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi” - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je donijeti odluku kako treba, s dogovorom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ti vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četverokuta su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih brojki:

Primjer 4

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokaži da je četverokut trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da iz aviona polako krenemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

a) ;
b)
u)

Odluka:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom omjera. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

Odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za samostalnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora i putem determinante trećeg reda ova metoda je obrađena u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravnine, razmatrani alati mogu se koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sustav

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali u avionu vrijedit će i za prostor. Pokušao sam da sažetak teorije bude što kraći, jer lavovski dio informacije su već prožvakane. Ipak, preporučam da pažljivo pročitate. uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto ravnine računalnog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, stvorimo njegovu osnovu. Netko je sada u zatvorenom, netko na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga su za konstruiranje baze potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite se u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite duljine i imaju različite kutove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, ne trebate to demonstrirati učiteljima, ma kako prstima zavrtjeli, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računala. Što se dogodilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini, i, grubo govoreći, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarna i, sasvim očito, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da komplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu biti u paralelnim ravninama (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali tako otpao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarna ako postoji ravnina s kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravnina ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno ovisna, odnosno linearno se izražavaju jedno kroz drugo. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odjeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno neovisna, odnosno nikako se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očito, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redoslijedom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u zadanoj bazi , gdje su koordinate vektora u danoj bazi

Podsjetimo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za slučaj ravnine, dovoljna je jedna točka i bilo koja tri linearno neovisna vektora:

podrijetlo, i nekoplanarni vektori, uzeti određenim redoslijedom, postavljeno afini koordinatni sustav trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruirani koordinatni sustav omogućuje nam definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, u afinom koordinatnom sustavu prostora neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava, kao što svi mogu pretpostaviti, jest pravokutni prostorni koordinatni sustav:

točka u prostoru tzv podrijetlo, i ortonormalno osnovni set Kartezijanski koordinatni sustav prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovno sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora, sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, različita je od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna ovisnost / neovisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (točka 5). Preostali praktični zadaci bit će izražene algebarske prirode. Vrijeme je da objesite geometrijski štap na čavao i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pozornost na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se napisati ne samo u stupcima, već iu recima (vrijednost determinante se neće promijeniti iz ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali puno je bolje u stupcima, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučam jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite čine li sljedeći vektori osnovu trodimenzionalnog prostora:

Odluka: Zapravo se cijelo rješenje svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom retku):

, što znači da su vektori linearno neovisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovor: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je točka za neovisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Odluka: Vektori su koplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednadžbu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom retku i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Odgovor: kod

Ovdje je lako provjeriti, za to trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u izvornu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

Konačno, razmislite o još jednom tipičan zadatak, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u tečaj linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokažite da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađi koordinate 4. vektora u zadanoj bazi

Primjer 8

Dani su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Odluka: Pozabavimo se prvo stanjem. Po uvjetu su dana četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je osnova – ne zanima nas. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu tvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje iz primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori stvarno linearno neovisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno neovisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate nužno Zapiši u kolone odrednica, a ne nizovi. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.

Linearna kombinacija vektora je vektor
, gdje su λ 1 , ... , λ m proizvoljni koeficijenti.

Vektorski sustav
naziva se linearno ovisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koji ima barem jedan koeficijent različit od nule.

Vektorski sustav
naziva se linearno neovisnim ako je u bilo kojoj svojoj linearnoj kombinaciji jednaka , svi koeficijenti su nula.

Osnova sustava vektora
naziva se njegov neprazan linearno neovisni podsustav kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sustava.

Primjer 2. Pronađite osnovu sustava vektora = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) i izraziti preostale vektore u terminima baze.

Rješenje Gradimo matricu u kojoj rasporedimo koordinate ovih vektora u stupce. Dovodimo ga u stepenasti oblik.

~
~
~
.

Osnovu ovog sustava čine vektori ,,, koji odgovaraju vodećim elementima redaka označenih kružićima. Za vektorski izraz riješiti jednadžbu x 1 +x2 +x4 =. On se svodi na sustav linearnih jednadžbi čija se matrica dobiva iz originala permutacijom stupca koji odgovara , umjesto stupca slobodnih pojmova. Stoga, za rješavanje sustava, koristimo rezultirajuću matricu u postupnom obliku, čineći u njoj potrebne permutacije.

Sukcesivno nalazimo:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Napomena 1. Ako je potrebno izraziti nekoliko vektora kroz bazu, tada se za svaki od njih konstruira odgovarajući sustav linearnih jednadžbi. Ovi sustavi će se razlikovati samo u stupcima slobodnih članova. Stoga se za njihovo rješavanje može sastaviti jedna matrica u kojoj će biti nekoliko stupaca slobodnih članova. U ovom slučaju svaki se sustav rješava neovisno o ostalima.

Napomena 2. Za izražavanje bilo kojeg vektora dovoljno je koristiti samo bazne vektore sustava koji mu prethode. U ovom slučaju nema potrebe za preoblikovanjem matrice, dovoljno je staviti okomitu crtu na pravo mjesto.

Vježba 2. Pronađite osnovu sustava vektora i izrazite ostale vektore kroz bazu:

a) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

u) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Temeljni sustav odlučivanja

Sustav linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

Temeljni sustav rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi temelj je skupa njegovih rješenja.

Neka je zadan nehomogen sustav linearnih jednadžbi. Homogeni sustav povezan s danim je sustav dobiven iz danog sustava zamjenom svih slobodnih članova nulama.

Ako je nehomogeni sustav kompatibilan i neodređen, tada njegovo proizvoljno rješenje ima oblik rješenja pridruženog homogenog sustava.

Primjer 3. Pronađite određeno rješenje nehomogenog sustava iz primjera 1 i temeljni sustav rješenja pridruženog homogenog sustava.

Rješenje. Rješenje dobiveno u primjeru 1 zapisujemo u vektorskom obliku i proširujemo rezultirajući vektor u zbroj slobodnih parametara koje sadrži i fiksnih brojčanih vrijednosti:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Dobivamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Komentar. Slično se rješava i problem pronalaženja temeljnog sustava rješenja za homogeni sustav.

Vježba 3.1 Pronađite temeljni sustav rješenja homogenog sustava:

a)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

VJEŽBA 3.2. Pronađite određeno rješenje nehomogenog sustava i temeljni sustav rješenja pridruženog homogenog sustava:

a)

b)

Pronađite osnovu sustava vektora i vektora koji nisu uključeni u bazu, proširite na bazi:

a 1 = {5, 2, -3, 1}, a 2 = {4, 1, -2, 3}, a 3 = {1, 1, -1, -2}, a 4 = {3, 4, -1, 2}, a 5 = {13, 8, -7, 4}.

Odluka. Razmotrimo homogeni sustav linearnih jednadžbi

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 = 0

ili proširena .

Ovaj sustav ćemo riješiti Gaussovom metodom, bez zamjene redaka i stupaca, a osim toga, odabirom glavnog elementa ne u gornjem lijevom kutu, već kroz cijeli red. Zadatak je da odaberite dijagonalni dio transformiranog sustava vektora.

~ ~

~ ~ ~ .

Dopušteni sustav vektora, koji je ekvivalentan izvornom, ima oblik

a 1 1 x 1 + a 2 1 x 2 + a 3 1 x 3 + a 4 1 x 4 + a 5 1 x 5 = 0 ,

gdje a 1 1 = , a 2 1 = , a 3 1 = , a 4 1 = , a 5 1 = . (1)

Vektori a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 čine dijagonalni sustav. Stoga vektori a 1 , a 3 , a 4 čine osnovu sustava vektora a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Sada širimo vektore a 2 i a 5 u osnovi a 1 , a 3 , a 4 . Da bismo to učinili, prvo proširimo odgovarajuće vektore a 2 1 i a 5 1 dijagonalni sustav a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 , imajući na umu da su koeficijenti ekspanzije vektora u dijagonalnom sustavu njegove koordinate x i.

Iz (1) imamo:

a 2 1 = a 3 1 (-1) + a 4 1 0 + a 1 1 1 a 2 1 = a 1 1 – a 3 1 .

a 5 1 = a 3 1 0 + a 4 1 1+ a 1 1 2 a 5 1 = 2a 1 1 + a 4 1 .

Vektori a 2 i a 5 proširiti u osnovi a 1 , a 3 , a 4 s istim koeficijentima kao i vektori a 2 1 i a 5 1 dijagonalni sustav a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 (ti koeficijenti x i). Stoga,

a 2 = a 1 – a 3 , a 5 = 2a 1 + a 4 .

Zadaci. jedan.Pronaći bazu sustava vektora i vektore koji nisu uključeni u bazu, proširiti prema bazi:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Pronađite sve baze sustava vektora:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Kada smo analizirali koncepte n-dimenzionalnog vektora i uveli operacije nad vektorima, otkrili smo da skup svih n-dimenzionalnih vektora generira linearni prostor. U ovom ćemo članku govoriti o najvažnijim povezanim pojmovima - o dimenziji i osnovi vektorskog prostora. Također razmatramo teorem o proširenju proizvoljnog vektora u terminima baze i povezanosti između različitih baza n-dimenzionalnog prostora. Analizirajmo detaljno rješenja tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Koncept vektorske dimenzije i baze.

Pojmovi dimenzije i baze vektorskog prostora izravno su povezani s pojmom linearno neovisnog sustava vektora, pa preporučamo, ako je potrebno, pogledati članak Linearna ovisnost sustava vektora, svojstva linearne ovisnosti i neovisnosti.

Definicija.

Dimenzija vektorskog prostora naziva se broj jednak maksimalnom broju linearno neovisnih vektora u ovom prostoru.

Definicija.

Vektorska prostorna osnova je uređeni skup linearno neovisnih vektora ovog prostora, čiji je broj jednak dimenziji prostora.

Iznosimo neke argumente temeljene na ovim definicijama.

Razmotrimo prostor n-dimenzionalnih vektora.

Pokažimo da je dimenzija tog prostora jednaka n .

Uzmimo sustav od n jediničnih vektora oblika

Uzmimo ove vektore kao retke matrice A. U ovom slučaju, matrica A će biti matrica identiteta n x n. Rang ove matrice je n (ako je potrebno, pogledajte članak). Dakle, sustav vektora je linearno neovisan i nijedan vektor se ne može dodati ovom sustavu a da se ne naruši njegova linearna neovisnost. Budući da je broj vektora u sustavu onda je jednako n dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektora je n, a jediničnih vektora temelj su ovog prostora.

Iz posljednje tvrdnje i definicije osnove možemo zaključiti da bilo koji sustav n-dimenzionalnih vektora čiji je broj vektora manji od n nije baza.

Sada zamijenimo prvi i drugi vektor sustava . Lako je pokazati da je rezultirajući sustav vektora je također osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Sastavimo matricu, uzimajući je kao vektore redaka ovog sustava. Ova se matrica može dobiti iz matrice identiteta zamjenom prvog i drugog reda, stoga će njezin rang biti n . Dakle, sustav od n vektora linearno je neovisna i osnova je n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Zamijenimo li druge vektore sustava , dobivamo drugu osnovu.

Ako uzmemo linearno neovisni sustav vektora koji nisu jedinični, onda je on također osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Tako, vektorski prostor dimenzije n ima onoliko baza koliko ima linearno neovisnih sustava od n n -dimenzionalnih vektora.

Ako govorimo o dvodimenzionalnom vektorskom prostoru (odnosno o ravnini), onda su njegova osnova bilo koja dva nekolinearna vektora. Osnova trodimenzionalnog prostora su bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Jesu li vektori osnova 3D vektorskog prostora?

Odluka.

Ispitajmo ovaj sustav vektora za linearnu ovisnost. Da bismo to učinili, sastavit ćemo matricu čiji će redovi biti koordinate vektora i pronaći njezin rang:


Dakle, vektori a, b i c su linearno neovisni i njihov je broj jednak dimenziji vektorskog prostora, dakle, oni su osnova ovog prostora.

Odgovor:

Da, jesu.

Primjer.

Može li sustav vektora biti osnova vektorskog prostora?

Odluka.

Ovaj sustav vektora je linearno ovisan, budući da je maksimalni broj linearno neovisnih trodimenzionalnih vektora tri. Stoga ovaj sustav vektora ne može biti osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora (iako je podsustav izvornog sustava vektora baza).

Odgovor:

Ne, on nemože.

Primjer.

Provjerite vektori

može biti osnova četverodimenzionalnog vektorskog prostora.

Odluka.

Napravimo matricu, uzimajući je kao redove izvornih vektora:

Pronađimo:

Dakle, sustav vektora a, b, c, d je linearno neovisan i njihov je broj jednak dimenziji vektorskog prostora, stoga su a, b, c, d njegova osnova.

Odgovor:

Izvorni vektori su doista osnova četverodimenzionalnog prostora.

Primjer.

Čine li vektori osnovu 4-dimenzionalnog vektorskog prostora?

Odluka.

Čak i ako je izvorni sustav vektora linearno neovisan, broj vektora u njemu nije dovoljan da bude osnova četverodimenzionalnog prostora (osnova takvog prostora se sastoji od 4 vektora).

Odgovor:

Ne, nije.

Dekompozicija vektora u smislu vektorske prostorne baze.

Neka proizvoljni vektori su osnova n -dimenzionalnog vektorskog prostora. Ako im dodamo neki n-dimenzionalni vektor x, tada će rezultirajući sustav vektora biti linearno ovisan. Iz svojstava linearne ovisnosti znamo da je barem jedan vektor linearno ovisnog sustava linearno izražen preko ostalih. Drugim riječima, barem jedan od vektora linearno ovisnog sustava proširen je u smislu ostalih vektora.

Tako dolazimo do vrlo važnog teorema.

Teorema.

Svaki vektor n-dimenzionalnog vektorskog prostora jednoznačno je dekomponiran u smislu baze.

Dokaz.

Neka bude - osnova n -dimenzionalnog vektorskog prostora. Dodajmo ovim vektorima n-dimenzionalni vektor x. Tada će rezultirajući sustav vektora biti linearno ovisan i vektor x se može linearno izraziti u terminima vektora : , gdje su neki brojevi. Tako smo dobili proširenje vektora x u smislu baze. Ostaje dokazati da je ova dekompozicija jedinstvena.

Pretpostavimo da postoji još jedna dekompozicija , gdje - neki brojevi. Oduzmite od lijevog i desnog dijela posljednje jednakosti, redom, lijevi i desni dio jednakosti:

Budući da je sustav baznih vektora linearno neovisna, onda je, prema definiciji linearne neovisnosti sustava vektora, rezultirajuća jednakost moguća samo kada su svi koeficijenti jednaki nuli. Dakle, , što dokazuje jedinstvenost ekspanzije vektora u smislu baze.

Definicija.

Koeficijenti se zovu koordinate vektora x u bazi .

Nakon što smo se upoznali s teoremom o proširenju vektora u smislu baze, počinjemo shvaćati bit izraza „dat nam je n-dimenzionalni vektor ". Ovaj izraz znači da razmatramo vektor x n-dimenzionalnog vektorskog prostora čije su koordinate dane u nekoj bazi. Istodobno, razumijemo da će isti vektor x u drugoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora imati koordinate različite od .

Razmotrite sljedeći problem.

Neka nam je u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora zadan sustav od n linearno neovisnih vektora

i vektor . Zatim vektori također su osnova ovog vektorskog prostora.

Trebamo pronaći koordinate vektora x u bazi . Označimo ove koordinate kao .

Vektor x u bazi ima ideju. Ovu jednakost zapisujemo u koordinatnom obliku:

Ova je jednakost ekvivalentna sustavu od n linearnih algebarske jednadžbe s n nepoznatih varijabli :

Glavna matrica ovog sustava ima oblik

Označimo ga kao A. Stupci matrice A su vektori linearno neovisnog sustava vektora , pa je rang ove matrice n, stoga je njena determinanta različita od nule. Ova činjenica ukazuje da sustav jednadžbi ima jedina odluka, koji se može pronaći bilo kojom metodom, na primjer, ili .

Tako će se pronaći željene koordinate vektor x u bazi .

Analizirajmo teoriju na primjerima.

Primjer.

U nekoj osnovi trodimenzionalnog vektorskog prostora, vektori

Provjerite je li vektorski sustav također osnova ovog prostora i pronađite koordinate vektora x u toj bazi.

Odluka.

Da bi sustav vektora bio osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora, mora biti linearno neovisan. Doznajmo određivanjem ranga matrice A čiji su redovi vektori. Rang nalazimo Gaussovom metodom


dakle, Rank(A) = 3, što pokazuje linearnu neovisnost sustava vektora.

Dakle, vektori su osnova. Neka vektor x ima koordinate u ovoj bazi. Tada je, kao što smo gore pokazali, odnos koordinata ovog vektora zadan sustavom jednadžbi

Zamijenivši u njega vrijednosti poznate iz uvjeta, dobivamo

Riješimo ga Cramerovom metodom:

Dakle, vektor x u bazi ima koordinate .

Odgovor:

Primjer.

U nekoj osnovi četverodimenzionalnom vektorskom prostoru zadan je linearno neovisni sustav vektora

Poznato je da . Pronađite koordinate vektora x u bazi .

Odluka.

Budući da je sustav vektora je linearno neovisna po pretpostavci, onda je osnova četverodimenzionalnog prostora. Zatim jednakost znači da je vektor x u bazi ima koordinate. Označimo koordinate vektora x u bazi kao .

Sustav jednadžbi koji definira odnos koordinata vektora x u bazama i ima oblik

U njega zamjenjujemo poznate vrijednosti i pronalazimo željene koordinate:

Odgovor:

.

Komunikacija između baza.

Neka su dva linearno neovisna sustava vektora dana u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora

i

odnosno ujedno su i baze ovog prostora.

Ako je a - vektorske koordinate u bazi , zatim odnos koordinata i je dan sustavom linearnih jednadžbi (o tome smo govorili u prethodnom odlomku):

, što se u matričnom obliku može zapisati kao

Slično, za vektor možemo pisati

Prethodne matrične jednakosti mogu se kombinirati u jednu, što u biti definira odnos vektora dviju različitih baza

Slično, možemo izraziti sve bazne vektore kroz osnovu :

Definicija.

Matrica pozvao matrica prijelaza iz baze na osnovu , zatim jednakost

Množenjem obje strane ove jednadžbe na desnoj strani

dobivamo

Pronađimo prijelaznu matricu, dok se nećemo zadržavati na pronalaženju inverzne matrice i množenju matrica (pogledajte, ako je potrebno, članke i):

Ostaje saznati odnos koordinata vektora x u zadanim bazama.

Neka vektor x ima koordinate u bazi, dakle

a u bazi vektor x ima koordinate , tada

Budući da su lijevi dijelovi posljednje dvije jednakosti isti, možemo izjednačiti desne dijelove:

Pomnožimo li obje strane na desnoj strani sa

onda dobivamo


Na drugoj strani

(pronaći inverzna matrica na svoju ruku).
Zadnje dvije jednakosti daju nam željeni odnos koordinata vektora x u bazama i .

Odgovor:

Prijelazna matrica s baze na bazu ima oblik
;
koordinate vektora x u bazama i povezane su relacijama

ili
.

Razmotrili smo koncepte dimenzije i baze vektorskog prostora, naučili kako dekomponirati vektor prema bazi i pronašli vezu između različitih baza n-dimenzionalnog prostora vektora kroz prijelaznu matricu.