Pretvorite algebarske izraze i razlomke. Složeni izrazi s razlomcima. Postupak. Problemi koje treba samostalno riješiti

Pojednostavljivanje algebarskih izraza jedan je od ključeva učenja algebre i iznimno je korisna vještina za sve matematičare. Pojednostavljivanje vam omogućuje smanjenje složenog ili dugog izraza na jednostavan izraz s kojim je lako raditi. Osnovne vještine pojednostavljivanja dobre su čak i za one koji nisu entuzijastični za matematiku. Slijedeći nekoliko jednostavnih pravila, možete pojednostaviti mnoge od najčešćih vrsta algebarskih izraza bez ikakvog posebnog matematičkog znanja.

Koraci

Važne definicije

  1. Slični članovi . To su članovi s varijablom istog reda, članovi s istim varijablama ili slobodni članovi (članovi koji ne sadrže varijablu). Drugim riječima, slični pojmovi uključuju istu varijablu u istom stupnju, uključuju nekoliko istih varijabli ili uopće ne uključuju varijablu. Redoslijed pojmova u izrazu nije bitan.

    • Na primjer, 3x 2 i 4x 2 slični su pojmovi jer sadrže varijablu drugog reda (na drugu potenciju) "x". Međutim, x i x2 nisu slični pojmovi, budući da sadrže varijablu “x” različitih redova (prvi i drugi). Isto tako, -3yx i 5xz nisu slični izrazi jer sadrže različite varijable.

  2. Faktorizacija . Ovo je pronalaženje brojeva čiji umnožak vodi do izvornog broja. Svaki izvorni broj može imati nekoliko faktora. Na primjer, broj 12 može se rastaviti na sljedeće nizove faktora: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, pa možemo reći da su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 i 12 faktori broj 12. Faktori su isti kao faktori , odnosno brojevi kojima se dijeli izvorni broj.

    • Na primjer, ako želite rastaviti broj 20 na faktore, zapišite to ovako: 4×5.
    • Imajte na umu da se prilikom faktoringa u obzir uzima varijabla. Na primjer, 20x = 4 (5x).
    • Prosti brojevi se ne mogu rastaviti na faktore jer su djeljivi samo sa sobom i 1.

  3. Zapamtite i slijedite redoslijed operacija kako biste izbjegli pogreške.

    • Zagrade
    • Stupanj
    • Množenje
    • Podjela
    • Dodatak
    • Oduzimanje

    Dovođenje sličnih članova

    1. Zapiši izraz. Jednostavni algebarski izrazi (oni koji ne sadrže razlomke, korijene itd.) mogu se riješiti (pojednostaviti) u samo nekoliko koraka.

      • Na primjer, pojednostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

    2. Definirajte slične pojmove (pojmove s varijablom istog reda, pojmove s istim varijablama ili slobodne pojmove).

      • Pronađite slične pojmove u ovom izrazu. Izrazi 2x i 4x sadrže varijablu istog reda (prvu). Također, 1 i -3 su slobodni članovi (ne sadrže varijablu). Dakle, u ovom izrazu pojmovi 2x i 4x su slični, a članovi 1 i -3 također su slični.

    3. Navedite slične pojmove. To znači njihovo dodavanje ili oduzimanje i pojednostavljenje izraza.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

    4. Prepiši izraz vodeći računa o zadanim pojmovima. Dobit ćete jednostavan izraz s manje pojmova. Novi izraz jednak je izvornom.

      • U našem primjeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, odnosno izvorni izraz je pojednostavljen i lakši za rad.

    5. Slijedite redoslijed operacija pri dovođenju sličnih članova. U našem primjeru bilo je lako dati slične uvjete. Međutim, u slučaju složenih izraza u kojima su pojmovi u zagradama, a prisutni su razlomci i korijeni, nije tako lako dovesti takve izraze. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija.

      • Na primjer, razmotrite izraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Ovdje bi bilo pogrešno 3x i 2x odmah definirati kao slične pojmove i prikazati ih, jer je potrebno prvo otvoriti zagrade. Stoga izvodite operacije prema njihovom redoslijedu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sada, kada izraz sadrži samo operacije zbrajanja i oduzimanja, možete unijeti slične pojmove.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

    Izvlačenje množitelja iz zagrada

    1. Pronaći najveći zajednički djelitelj(GCD) svih koeficijenata izraza. GCD je najveći broj, kojim se dijele svi koeficijenti izraza.

      • Na primjer, razmotrite jednadžbu 9x 2 + 27x - 3. U ovom slučaju, GCD = 3, budući da je svaki koeficijent ovog izraza djeljiv s 3.

    2. Podijelite svaki član izraza s gcd. Rezultirajući članovi sadržavat će manje koeficijente nego u izvornom izrazu.

      • U našem primjeru, svaki izraz u izrazu podijelite s 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Rezultat je bio izraz 3x 2 + 9x - 1. Nije jednak izvornom izrazu.

    3. Zapišite izvorni izraz kao jednak umnošku gcd i rezultirajućeg izraza. Odnosno, zatvorite rezultirajući izraz u zagrade i izvadite gcd iz zagrada.

      • U našem primjeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

    4. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza stavljanjem faktora izvan zagrada. Zašto jednostavno staviti množitelj izvan zagrada, kao što je učinjeno ranije? Zatim, da naučite kako pojednostaviti složene izraze, kao što su frakcijski izrazi. U ovom slučaju, stavljanje faktora izvan zagrada može pomoći da se riješite razlomka (iz nazivnika).

      • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Upotrijebite rastavljanje na faktore da pojednostavite ovaj izraz.
        • Faktor 3 izbacite iz zagrada (kao što ste učinili ranije): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Primijetite da sada postoji 3 iu brojniku i u nazivniku. To se može smanjiti da bi se dobio izraz: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Budući da je svaki razlomak koji ima broj 1 u nazivniku jednostavno jednak brojniku, izvorni izraz razlomka pojednostavljuje se na: 3x 2 + 9x - 1.

    Dodatne metode pojednostavljenja

    1. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza. Kao što je gore navedeno, ako i brojnik i nazivnik sadrže iste pojmove (ili čak iste izraze), tada se mogu smanjiti. Da biste to učinili, morate iz zagrada izvaditi zajednički faktor brojnika ili nazivnika, ili i brojnika i nazivnika. Ili možete svaki član u brojniku podijeliti s nazivnikom i tako pojednostaviti izraz.

      • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (5x 2 + 10x + 20)/10. Ovdje jednostavno podijelite svaki član brojnika s nazivnikom (10). No imajte na umu da izraz 5x 2 nije ravnomjerno djeljiv s 10 (budući da je 5 manje od 10).
        • Dakle, napišite pojednostavljeni izraz ovako: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

    2. Pojednostavljivanje radikalnih izraza. Izrazi ispod znaka korijena nazivaju se radikalni izrazi. Oni se mogu pojednostaviti njihovom dekompozicijom na odgovarajuće faktore i naknadnim uklanjanjem jednog faktora iz korijena.

      • Pogledajmo jednostavan primjer: √(90). Broj 90 možemo rastaviti na sljedeće faktore: 9 i 10, a iz 9 možemo izvaditi kvadratni korijen (3) i izvaditi 3 ispod korijena.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

    3. Pojednostavljivanje izraza s potencijama. Neki izrazi sadrže operacije množenja ili dijeljenja članova s ​​potencijama. U slučaju množenja članova s ​​istom bazom, njihove se potencije zbrajaju; u slučaju dijeljenja članova s ​​istom bazom, njihove se potencije oduzimaju.

      • Na primjer, razmotrite izraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). U slučaju množenja potencije zbrojite, a u slučaju dijeljenja oduzmite.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x 7 + x 2
      • Slijedi objašnjenje pravila za množenje i dijeljenje članova s ​​potencijama.
        • Množenje članova s ​​potencijama jednako je množenju članova samih po sebi. Na primjer, budući da je x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, tada je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ili x 8 .
        • Isto tako, dijeljenje pojmova sa stupnjevima jednako je dijeljenju pojmova samih po sebi. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Budući da se slični pojmovi koji se nalaze i u brojniku i u nazivniku mogu reducirati, umnožak dva “x” ili x 2 ostaje u brojniku.

Sada kada smo naučili kako zbrajati i množiti pojedinačne razlomke, možemo pogledati više složeni dizajni. Na primjer, što ako isti problem uključuje zbrajanje, oduzimanje i množenje razlomaka?

Prije svega, trebate pretvoriti sve razlomke u neprave. Zatim izvodimo potrebne radnje uzastopno - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. Naime:

  1. Prvo se vrši potenciranje - riješite se svih izraza koji sadrže eksponente;
  2. Zatim - dijeljenje i množenje;
  3. Zadnji korak je zbrajanje i oduzimanje.

Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed operacija se mijenja - prvo se mora prebrojati sve što je unutar zagrada. I zapamtite nepravilne razlomke: morate istaknuti cijeli dio tek kada su sve druge radnje već dovršene.

Pretvorimo sve razlomke iz prvog izraza u neprave, a zatim izvršimo sljedeće korake:


Nađimo sada vrijednost drugog izraza. Nema razlomaka s cijelim dijelom, ali ima zagrada, pa prvo izvodimo zbrajanje, a tek onda dijeljenje. Imajte na umu da je 14 = 7 · 2. Zatim:

Na kraju, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i stupanj - bolje ih je računati odvojeno. S obzirom da je 9 = 3 3, imamo:

Obratite pozornost na posljednji primjer. Da biste podigli razlomak na potenciju, morate posebno podići brojnik na tu potenciju, a posebno nazivnik.

Možete odlučiti drugačije. Ako se prisjetimo definicije stupnja, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:

Višekatni razlomci

Do sada smo razmatrali samo "čiste" razlomke, kada su brojnik i nazivnik obični brojevi. Ovo je sasvim u skladu s definicijom razlomka broja danom u prvoj lekciji.

Ali što ako stavite složeniji objekt u brojnik ili nazivnik? Na primjer, još jedan numerički razlomak? Takve se konstrukcije pojavljuju vrlo često, osobito kada se radi s dugim izrazima. Evo nekoliko primjera:

Postoji samo jedno pravilo za rad s razlomcima na više razina: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" katova prilično je jednostavno, ako se sjetite da kosa crta označava standardnu ​​operaciju dijeljenja. Stoga se svaki razlomak može prepisati na sljedeći način:

Koristeći ovu činjenicu i slijedeći proceduru, možemo lako svesti bilo koji višekatni razlomak na obični. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u obične:

U svakom slučaju prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući crtu dijeljenja znakom dijeljenja. Također zapamtite da se svaki cijeli broj može prikazati kao razlomak s nazivnikom 1. To je 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobivamo:

U posljednjem primjeru razlomci su poništeni prije konačnog množenja.

Specifičnosti rada s višerazinskim razlomcima

Postoji jedna suptilnost u frakcijama na više razina koje se uvijek moraju zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi izračuni bili točni. Pogledaj:

  1. Brojnik sadrži jedini broj 7, a nazivnik sadrži razlomak 12/5;
  2. Brojnik sadrži razlomak 7/12, a nazivnik zasebni broj 5.

Dakle, za jedno snimanje dobili smo dvije potpuno različite interpretacije. Ako brojite, odgovori će također biti drugačiji:

Kako biste osigurali da se zapis uvijek čita nedvosmisleno, upotrijebite jednostavno pravilo: crta razdjelnice glavnog razlomka mora biti duža od crte ugniježđenog razlomka. Po mogućnosti nekoliko puta.

Ako slijedite ovo pravilo, tada bi gornji razlomci trebali biti napisani na sljedeći način:

Da, vjerojatno je neugledno i zauzima previše prostora. Ali dobro ćete računati. Na kraju, nekoliko primjera gdje se zapravo pojavljuju razlomci s više katova:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Dakle, poradimo na prvom primjeru. Pretvorimo sve razlomke u neprave, a zatim izvršimo operacije zbrajanja i dijeljenja:

Učinimo isto s drugim primjerom. Pretvorimo sve razlomke u neprave i izvršimo potrebne operacije. Da ne bih dosadio čitatelju, izostavit ću neke očite računice. Imamo:


Budući da brojnik i nazivnik osnovnih razlomaka sadrže zbrojeve, automatski se poštuje pravilo za pisanje višekatnih razlomaka. Također, u posljednjem primjeru, namjerno smo ostavili 46/1 u obliku razlomka za izvođenje dijeljenja.

Također ću primijetiti da u oba primjera crtica razlomka zapravo zamjenjuje zagrade: prije svega smo pronašli zbroj, a tek onda kvocijent.

Neki će reći da je prijelaz na neprave razlomke u drugom primjeru očito bio suvišan. Možda je ovo istina. Ali time se osiguravamo od pogrešaka, jer sljedeći put primjer može ispasti mnogo kompliciraniji. Odaberite sami što vam je važnije: brzina ili pouzdanost.

Poučavanje bez prisile

(Vodič kroz fascinantan svijet matematike)

Matematika se tada mora učiti tako da dovede um u red. (M.V. Lomonosov)

Dakle, kako podučavati matematiku?

Ovo pitanje zanima mnoge.

Prvi korak je uklanjanje praznina iz prošlosti. Ako ste propustili (niste razumjeli, niste učili u principu itd.) neku temu, prije ili kasnije ćete sigurno stati na ove grablje. S klasičnim rezultatom... Tako radi matematika.

Bez obzira studirate li nova tema, ili ponovite staro - savladajte matematičke definicije i pojmove! Imajte na umu da ne kažem "naučiti", već kažem "savladati". To su različite stvari. Morate razumjeti, na primjer, što je nazivnik, diskriminant ili arcsinus na jednostavnoj, čak primitivnoj razini. Što je to, zašto je potrebno i kako se nositi s njim. Život će postati lakši.

Ako vas pitam kako koristiti uređaj za prelazak gusto zatvorenih okruženja, bit će vam neugodno odgovoriti, zar ne? A ako razumijete da je ovaj uređaj obična vrata? Zapravo je nekako zabavnije.

I, naravno, trebamo odlučiti. Ako ne znate kako se odlučiti, u redu je. Trebate pokušati odlučiti, pokušati. Svatko jednom nije uspio. Ali oni koji su pokušavali i pokušavali, makar i netočno, s greškama, sada znaju kako riješiti. A oni koji nisu probali, nisu učili, nikad nisu naučili.

Evo tri komponente odgovora na pitanje: "Kako učiti matematiku?" Eliminirajte praznine, savladajte pojmove na razumljivoj razini i smisleno rješavajte zadatke.

Ako vam se matematika čini kao džungla nekih pravila, formula, izraza u kojima je nemoguće snaći se, onda ću vas utješiti. Tamo ima staza i zvijezda vodilja! Skrasit ćete se, naviknuti i početi se diviti tim divljinama...

Matematika školski tečaj ne rješava složene primjere jer ne zna kako. Ona može vrlo dobro riješiti nešto poput 5x = 10, kvadratna jednadžba kroz diskriminant, te isti jednostavan iz trigonometrije, logaritma itd. A sva snaga matematike usmjerena je na pojednostavljenje složenih izraza. Upravo su zato potrebna pravila i formule za razne transformacije. Omogućuju nam da izvorni izraz napišemo u drugom obliku koji nam odgovara, a da pritom ne mijenjamo njegovu suštinu.



“Matematika je umjetnost nazivanja različitih stvari istim imenom.” (A. Poincare)

Na primjer, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Ovo je sve isti broj 8! Samo zabilježeno u raznim oblicima. Na nama je koju vrstu odabrati! Dosljedno zadatku i zdravom razumu.

Glavna vodilja u matematici je sposobnost transformacije izraza. Gotovo svako rješenje počinje transformacijom izvornog izraza. Uz pomoć pravila i formula, koje uopće nisu tako lude kao što mislite.

Često kažemo: "Sve formule rade s lijeva na desno i s desna na lijevo." Recimo, (a + b) gotovo svi će to napisati kao a + 2ab + b. Ali neće svi (nažalost) shvatiti da se x + 2x + 1 može napisati kao (x + 1) . Ali ovo je ono što trebate moći! Formule morate znati iz viđenja! Znati ih prepoznati u izrazima koje su šifrirali lukavi učitelji, identificirati dijelove formula i, ako je potrebno, dovesti ih do dovršenih.

Pretvaranje izraza u početku je malo gnjavaža. Zahtijeva rad. U početnoj fazi trebate provjeriti, gdje je to moguće, ispravnost inverzne pretvorbe. Nakon što ih faktorizirate, pomnožite ih i dajte slične. Dobili smo izvorni izraz – hura! Nakon što pronađete korijene jednadžbe, zamijenite ih u izvorni izraz. Pogledaj što se dogodilo. I tako dalje.

Pa vas pozivam da nevjerojatan svijet matematika. Započnimo naše putovanje upoznavanjem s razlomcima, ovo je možda najviše ranjivo mjesto većina školaraca.

Sretno!

Lekcija 1.

Vrste razlomaka. Transformacije.

Tko zna razlomke, jak je i hrabar u matematici!

Postoje tri vrste razlomaka.

1. Obični razlomci , Na primjer: , , , .

Ponekad umjesto vodoravne crte stavljaju kosu crtu: 1/2, 3/7, 19/5. Šipka, vodoravna (vinkulij) i kosa (solidus), znači istu operaciju: dijeljenje gornjeg broja (brojnik) s donjim brojem (nazivnik). To je sve! Umjesto crte, sasvim je moguće staviti znak podjele - dvije točke. 1/2 = 1:2.

Kada je moguća potpuna dioba, to se mora učiniti. Dakle, umjesto razlomka 32/8 puno je ugodnije napisati broj 4. Tj. 32 je jednostavno podijeljeno s 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Čak i ne govorim o razlomku 4/1, koji je također jednak 4. A ako nije djeljiv s cjelinom, ostavljamo ga kao razlomak. Ponekad morate učiniti suprotnu operaciju. Pretvori cijeli broj u razlomak. Ali o tome kasnije.

2. Decimale , na primjer: 0,5; 3.28; 0,543; 23.32.

3. Mješoviti brojevi , Na primjer: , , , .

Mješoviti brojevi praktički se ne koriste u srednjoj školi. Da bismo radili s njima, moraju se pretvoriti u obične frakcije. Ali ovo svakako morate biti sposobni! Inače ćete naići na takav broj u problemu i smrznuti se... Niotkuda. No ovaj ćemo postupak pamtiti!

Najsvestraniji su obični razlomci. Počnimo s njima. Usput, ako razlomak sadrži sve vrste logaritama, sinusa i drugih slova, to ništa ne mijenja. U smislu da se sve radnje s razlomačkim izrazima ne razlikuju od radnji s običnim razlomcima!

Dakle, samo naprijed! Čitavu raznolikost transformacija razlomaka pruža jedno jedino svojstvo! Tako se to zove glavno svojstvo razlomka. Zapamtite: ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (podijele) istim brojem, razlomak se ne mijenja. Oni:

Treba li nam to, sve te transformacije? - pitaš. I kako! Sada ćete sami vidjeti. Prvo, upotrijebimo osnovno svojstvo razlomaka za smanjivanje razlomaka. Reklo bi se kao elementarna stvar. Podijelite brojnik i nazivnik istim brojem i to je to! Nemoguće je pogriješiti! Ali... čovjek je kreativno biće. Pogriješiti možete bilo gdje! Pogotovo ako morate reducirati ne razlomak oblika 5/10, već razlomački racionalni izraz.

Tipično, učenik ne razmišlja o dijeljenju brojnika i nazivnika istim brojem (ili izrazom)! Jednostavno prekriži sve što je isto gore i dolje! Ovdje vreba tipična greška, gaf, ako hoćete.

Na primjer, morate pojednostaviti izraz: .

Što radimo? Prekriži faktor a iznad i stupanj ispod! Dobivamo: .

Sve je točno. Ali stvarno ste se podijelili cijeli brojnik I cijeli nazivnik na multiplikator a. Ako ste navikli samo precrtavati, tada, u žurbi, možete precrtati slovo a u izrazu i ponovno dobiti. Ono što bi bilo kategorički pogrešno: neoprostiva pogreška. Jer ovdje cijeli brojnik na i već nije podijeljeno! Ovaj se udio ne može smanjiti.

Kod skraćivanja morate podijeliti cijeli brojnik i cijeli nazivnik!

Smanjenje razlomaka čini život puno lakšim. Negdje ćete dobiti razlomak, npr. 375/1000. Kako sada mogu nastaviti raditi s njom? Bez kalkulatora? Pomnožite, recite, zbrojite, kvadrirajte!? A ako niste previše lijeni, pažljivo ga smanjite za pet, pa za još pet, pa čak i... dok se reducira. Idemo 3/8! Puno ljepše, zar ne?

Osnovno svojstvo razlomaka omogućuje pretvaranje razlomaka u decimale i obrnuto, bez kalkulatora! Ovo je važno u daljinskom grijanju, zar ne?

S decimalnim razlomcima sve je jednostavno. Kako se čuje, tako se i piše! Recimo 0,25. Ovo je nula zarez dvadeset pet stotinki. Dakle, pišemo: 25/100. Smanjimo (brojnik i nazivnik podijelimo s 25), dobijemo obični razlomak: 1/4. Svi. To se događa, a ništa se ne smanjuje. Na primjer, 0,3. Ovo su tri desetine, tj. 3/10.

Što ako cijeli brojevi nisu nula? U redu je. U brojniku pišemo cijeli razlomak bez zareza, au nazivniku ono što se čuje. Na primjer: 3.17. Ovo je tri zarez sedamnaest stotinki. U brojnik upišemo 317, a u nazivnik 100. Dobijemo 317/100. Ništa nije sniženo, znači sve. Ovo je odgovor. Iz svega rečenog koristan zaključak: Bilo koji decimalni razlomak može se pretvoriti u obični razlomak.

Ali neki ljudi ne mogu izvršiti obrnutu pretvorbu iz običnog u decimalni bez kalkulatora. I potrebno je! Kako ćeš napisati odgovor!? Pažljivo pročitajte i savladajte ovaj proces.

Koja je karakteristika decimalnog razlomka? Njegov nazivnik je uvijek 10, ili 100, ili 1000, ili 10000, i tako dalje. Ako vaš razlomak ima ovaj nazivnik, nema problema. Na primjer, 4/10 = 0,4. Ili 7/100 = 0,07. Ili 12/10 = 1,2. Što ako je rješenje rezultiralo 1/2? A odgovor treba napisati u decimalama...

Prisjetimo se glavno svojstvo razlomka! Matematika povoljno omogućuje množenje brojnika i nazivnika istim brojem. Bilo što, usput! Osim nule, naravno. Zato iskoristimo ovu imovinu u svoju korist! Čime se može pomnožiti nazivnik, tj. 2 tako da postane 10, ili 100, ili 1000 (manje je bolje, naravno...)? U 5, očito. Nazivnik slobodno pomnožite s 5. Ali tada se i brojnik mora pomnožiti s 5. Dobivamo 1/2 = 0,5. To je sve.

Međutim, nazivnici mogu biti različiti. Na primjer, razlomak 3/16. Tada možete jednostavno podijeliti 3 sa 16. U nedostatku kalkulatora, morat ćete dijeliti kutom, kako su učili u osnovnoj školi. Dobivamo 0,1875.

A ima i jako loših nazivnika. Na primjer, ne postoji način da se razlomak 1/3 pretvori u dobru decimalu. I na kalkulatoru i kod dijeljenja s kutom dobijemo 0,3333333... Otud još jedan koristan zaključak. Ne pretvara se svaki razlomak u decimalu!

Dakle, shvatili smo obične i decimalne razlomke. Sve što preostaje je baviti se mješovitim brojevima. Da biste radili s njima, potrebno ih je pretvoriti u obične frakcije. Kako to učiniti? Možete uhvatiti učenika petog razreda i pitati ga. Ali učenik petog razreda neće uvijek biti u blizini ... Morat ćete to učiniti sami. Nije teško. Trebate pomnožiti nazivnik razlomljenog dijela s cijelim dijelom i dodati brojnik razlomljenog dijela. Ovo će biti brojnik običnog razlomka. Što je s nazivnikom? Nazivnik će ostati isti. Zvuči komplicirano, ali u stvarnosti je sve jednostavno. Pogledajmo primjer.

Pretpostavimo da ste vidjeli broj u problemu s užasom:

Rasuđujemo smireno, bez panike. Cijeli dio je 1. Jedinica. Razlomački dio je 3/7. Dakle, nazivnik razlomka je 7. Taj nazivnik bit će nazivnik običnog razlomka. Brojimo: brojnik. Množimo 7 s 1 (cijeli dio) i dodamo 3 (brojnik razlomljenog dijela). Dobivamo 10. To će biti brojnik običnog razlomka. To je sve. U matematičkom zapisu izgleda još jednostavnije:

Lako? Onda osigurajte svoj uspjeh! Pretvorite ove mješovite brojeve , , u obične razlomke. Trebali biste dobiti 10/3, 23/10 i 21/4.

Pa to je praktički sve. Zapamtili ste vrste razlomaka i shvatili kako ih pretvoriti iz jedne vrste u drugu. Ostaje pitanje: zašto to učiniti? Gdje i kada primijeniti ovo duboko znanje?

Svaki primjer sam po sebi sugerira potrebne radnje. Ako se u primjeru pomiješaju obični razlomci, decimale, pa čak i mješoviti brojevi, sve pretvaramo u obične razlomke. Uvijek se može. Pa ako je napisano npr. 0,8 + 0,3, onda to tako i računamo, bez ikakvog prijevoda. Zašto nam treba dodatni posao? Mi biramo put rješenja što nam odgovara!

Ako su zadatak samo decimalni razlomci, ali hm... neki strašni, prijeđite na obične i pokušajte! Možda će sve uspjeti. Na primjer, morat ćete kvadrirati broj 0,125. Nije tako lako ako se niste navikli koristiti kalkulator! Ne samo da morate množiti brojeve u stupcu, morate razmišljati i o tome gdje umetnuti zarez! Definitivno neće raditi u vašoj glavi! Što ako prijeđemo na obični razlomak? 0,125 = 125/1000. Smanjujemo za 5 (ovo je za početak). Dobivamo 25/200. Još jednom za 5. Dobivamo 5/40. Još se smanjuje! Natrag na 5! Dobivamo 1/8. Lako ga kvadriramo (u mislima!) i dobijemo 1/64. Svi!

Sažmimo našu lekciju.

1. Postoje tri vrste razlomaka: obični, decimalni i mješoviti brojevi.

2. Decimale i mješoviti brojevi uvijek se mogu pretvoriti u razlomke. Obrnuti prijevod nije uvijek moguć.

3. Izbor vrste razlomaka za rad sa zadatkom ovisi o samom zadatku. Ako u jednom zadatku postoje različite vrste razlomaka, najpouzdanije je prijeći na obične razlomke.

Praktičan savjet:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost! Ovo nisu opće riječi, nisu dobre želje! Ovo je krajnja potreba! Bolje je napisati dva retka više u nacrtu nego pogriješiti kada računate u glavi.

2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - idite na obične razlomke.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ne stanu.

4. Višerazinske frakcijske izraze reduciramo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (vodimo redoslijed dijeljenja!).

5. Podijelite jedinicu s razlomkom u glavi, jednostavno okrećući razlomak.

Sada pokušajte teoriju pretočiti u praksu.

Dakle, riješimo to u ispitnom načinu! Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeći. Sve smo odlučili - ponovno smo provjerili od prvog do zadnjeg primjera. I tek onda pogledajte odgovore.

Odlučio? Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Odgovori su zapisani redom, daleko od iskušenja, da tako kažem...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, sretan sam zbog tebe! Osnovni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne... Strpljenje i rad će sve samljeti.

U školi VIII tipa učenici se upoznaju sa sljedećim transformacijama razlomaka: izražavanje razlomaka većim razlomcima (6. razred), izražavanje nepravih razlomaka cijelim ili mješovitim brojem (6. razred), izražavanje razlomaka sličnim razlomcima (7. razred), izražavanje mješovitog broja nepravim razlomkom (7. razred).

Izražavanje nepravog razlomka cjelinomili mješoviti broj

Učim ovog materijala treba započeti sa zadatkom: uzmite 2 sašivena kruga i svaki od njih podijelite na 4 jednaka dijela, izbrojite četvrti dio (slika 25). Zatim se predlaže da se ova količina zapiše kao razlomak (t). Zatim se četvrti dijelovi međusobno zbrajaju i učenici se uvjeravaju da je rezultat

1. krug. Stoga, -t= 1 . Na četiri četvrtine on uzastopno dodaje još jednu -T, a učenici zapisuju: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Nastavnik skreće pozornost učenicima da su u svim razmatranim slučajevima uzeli nepravi razlomak, a kao rezultat pretvorbe dobili su cijeli ili mješoviti broj, tj. nepravi razlomak su izrazili kao cjelinu. ili mješoviti broj. Dalje, moramo nastojati osigurati da učenici samostalno utvrde kojom se aritmetičkom operacijom može izvršiti ova transformacija. Živopisni primjeri koji vode do odgovora

4 . 8 0 5 .1 7 .3 „ L

na pitanje su: -2-=! i t = 2,4" = 1t i t T " YV °D : do

Da biste nepravi razlomak izrazili cijelim ili mješovitim brojem, potrebno je brojnik razlomka podijeliti nazivnikom, kvocijent napisati kao cijeli broj, ostatak napisati u brojnik, a nazivnik ostaviti isti. Budući da je pravilo glomazno, nije uopće potrebno da ga učenici uče napamet. Moraju biti u stanju dosljedno priopćiti korake uključene u izvođenje određene transformacije.

Prije uvođenja učenika u izražavanje nepravog razlomka cijelim ili mješovitim brojem, poželjno je s njima ponoviti dijeljenje cijelog broja cijelim brojem s ostatkom.

Konsolidacija nove transformacije za studente je olakšana rješavanjem problema praktične prirode, na primjer:

“U vazi je devet četvrtina naranče. Skol| Mogu li se od tih dijelova napraviti cijele naranče? Koliko će četvrtina ostati?

“Da napravim poklopce za kutije, svaki list kartona

35 je izrezano na 16 jednakih dijelova. dobio -^. Koliko ih je netaknutih!

jesi li izrezao kartonske listove? Koliko je šesnaestina rez! od sljedećeg komada? itd.

Izražavanje cijelih i mješovitih brojevanepravi razlomak

Uvođenju učenika u ovu novu transformaciju treba prethoditi rješavanje zadataka, na primjer:

“2 komada tkanine jednake dužine, u obliku kvadrata. > prerezati na 4 jednaka dijela. Od svakog takvog dijela sašiven je šal. Koliko ste šalova dobili? Zapisujem: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

jesi li dobio vino? Zapišite: bio je 1 * krug, sada postoji * krug, što znači

Stoga, na temelju vizualne i praktične osnove, razmatramo još nekoliko primjera. U primjerima koji se razmatraju od učenika se traži da usporede izvorni broj (mješoviti ili cijeli) i broj koji je dobiven pretvorbom (nepravi razlomak).

Da biste učenike upoznali s pravilom izražavanja cijelog broja i mješovitog broja nepravim razlomkom, potrebno im je skrenuti pozornost na usporedbu nazivnika mješovitog broja i nepravog razlomka, kao i kako se dobiva brojnik, npr. :

1 2"=?, 1 = 2", i također ^, ukupno ^ 3 ^=?, 3=-^-, i također ^, ukupno

bit će -^-. Kao rezultat toga, pravilo je formulirano: tako da mješoviti broj

da biste ga izrazili kao nepravi razlomak, trebate pomnožiti nazivnik s cijelim brojem, umnošku dodati brojnik i zapisati zbroj kao brojnik, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim.

Najprije morate uvježbati učenike u izražavanju jednog kao nepravilnog razlomka, zatim bilo kojeg drugog cijelog broja koji označava nazivnik, a tek onda mješoviti broj:

Glavno svojstvo razlomka 1

[koncept nepromjenjivosti razlomka dok raste

1 smanjenje njegovih članova, tj. brojnika i nazivnika, učenici škole VIII vrste svladat će s velikim poteškoćama. Ovo razumijevanje mora se uvesti pomoću vizualnog i didaktičkog materijala,

„A važno je da učenici ne samo promatraju aktivnosti nastavnika, već da aktivno rade s didaktičkim materijalom i na temelju promatranja i praktičnih aktivnosti dolaze do određenih zaključaka i generalizacija.

Na primjer, učitelj uzme cijelu repu, podijeli je na 2 jednaka dijela i pita: „Što ste dobili kad ste podijelili cijelu repu?

pola? (2 polovice.) Prikaži * repa. Idemo rezati (razdvojiti)

pola repe na još 2 jednaka dijela. Što ćemo dobiti? -y. Zapišimo:

tt=-t- Usporedimo brojnike i nazivnike ovih razlomaka. Kada

puta se brojnik povećao? Koliko se puta povećao nazivnik? Koliko su se puta povećali i brojnik i nazivnik? Je li se razlomak promijenio? Zašto se nije promijenilo? Kako su dionice postale: veće ili manje? Je li se broj povećao ili smanjio

Zatim svi učenici dijele krug na 2 jednaka dijela, svaku polovicu na još 2 jednaka dijela, svaku četvrtinu na drugu

2 jednaka dijela itd. i zapisuju: „o^A^tr^tgg i m - L- Zatim utvrđuju koliko su se puta povećali brojnik i nazivnik razlomka, da li se razlomak promijenio.Zatim nacrtaju isječak i podijelite ga uzastopno s 3, 6, 12 jednake dijelove i zapiši:

1 21 4 Kad se usporede razlomci -^ i -^, -^ i -^, nalazi se da

Brojnik i nazivnik razlomka tg povećavaju se za isti broj puta, razlomak se od toga ne mijenja.

Nakon razmatranja niza primjera, učenike treba zamoliti da odgovore na pitanje: "Hoće li se razlomak promijeniti ako brojnik? Neka znanja o temi "Obični razlomci" isključena su iz nastavnih planova i programa matematike u popravnim školama VIII. vrste, ali se priopćuju učenicima u školama za djecu s mentalnom retardacijom, u izravnim razredima za djecu koja teže uče matematiku. U ovom udžbeniku postoje paragrafi u kojima je data metodologija proučavanja ovog materijala,

označeni su zvjezdicom (*).

i nazivnik razlomka pomnožiti s istim brojem (povećati za isti broj puta)?” Osim toga, trebate tražiti od učenika da sami daju primjere.

Slični primjeri su navedeni kada se razmišlja o smanjenju brojnika i nazivnika za isti broj puta (brojnici i nazivnik se dijele istim brojem). Na primjer, cr>"

( 4 \ podijeliti na 8 jednakih dijelova, uzeti 4 osmine kruga I -o- ]

Ukrupnjavanjem udjela uzimaju četvrti, bit će ih 2. Ukrupnjavanjem udjela

4 2 1 uzeti drugi. Bit će ih 1 : ~th = -d--%- Usporedi sljedbenik!I

brojnike i nazivnike tih razlomaka odgovarajući na pitanja: „U<>Koliko se puta smanjuju brojnik i nazivnik? Hoće li se razlomak promijeniti?

Dobra vodilja su pruge podijeljene na 12, 6, 3 jednaka dijela (slika 26).

N

12 6 3 Sl. 26

Na temelju razmotrenih primjera učenici mogu zaključiti: razlomak se neće promijeniti ako se brojnik i nazivnik razlomka podijele istim brojem (umanjiti istim brojem puta). Zatim se daje poopćeni zaključak – glavno svojstvo razlomka: razlomak se neće promijeniti ako se brojnik i nazivnik razlomka povećaju ili smanje za isti broj puta.

Racionalni izrazi i razlomci kamen su temeljac cijelog tečaja algebre. Oni koji nauče raditi s takvim izrazima, pojednostaviti ih i faktorizirati, u biti će moći riješiti bilo koji problem, budući da je transformacija izraza sastavni dio svake ozbiljne jednadžbe, nejednakosti ili čak problema s riječima.

U ovom video vodiču pogledat ćemo kako ispravno koristiti skraćene formule množenja za pojednostavljenje racionalnih izraza i razlomaka. Naučimo vidjeti ove formule tamo gdje, na prvi pogled, nema ničega. U isto vrijeme, ponovit ćemo tako jednostavnu tehniku ​​kao što je faktoriziranje kvadratnog trinoma kroz diskriminant.

Kao što ste vjerojatno već pogodili iz formula iza mene, danas ćemo proučavati skraćene formule množenja, točnije, ne same formule, već njihovu upotrebu za pojednostavljenje i smanjenje složenih racionalnih izraza. No, prije nego prijeđemo na rješavanje primjera, pogledajmo pobliže ove formule ili ih zapamtimo:

  1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\lijevo(a-b \desno)\lijevo(a+b \desno)$ — razlika kvadrata;
  2. $((\lijevo(a+b \desno))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ je kvadrat zbroja;
  3. $((\lijevo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — kvadrat razlike;
  4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\lijevo(a+b \desno)\lijevo(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ je zbroj kubova;
  5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\lijevo(a-b \desno)\lijevo(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ je razlika kubova.

Također želim napomenuti da je naš školski obrazovni sustav tako ustrojen da je s proučavanjem ove teme, tj. racionalni izrazi, kao i korijeni, moduli, svi studenti imaju isti problem, koji ću sada objasniti.

Činjenica je da na samom početku proučavanja skraćenih formula množenja i, sukladno tome, radnji za smanjivanje razlomaka (to je negdje u 8. razredu), učitelji kažu otprilike sljedeće: "Ako vam nešto nije jasno, nemojte ne brini, mi ćemo ti pomoći.” Vratit ćemo se ovoj temi više puta, u srednjoj školi sigurno. Kasnije ćemo to razmotriti." Pa onda, na prijelazu iz 9. u 10. razred, ti isti profesori objašnjavaju istim učenicima koji još ne znaju rješavati racionalne razlomke, otprilike ovako: “Gdje si bio prethodne dvije godine? Ovo se učilo u algebri u 8. razredu! Što tu može biti nejasno? Tako je očito!”

Međutim, takva objašnjenja nimalo ne olakšavaju običnim učenicima: oni su još uvijek imali zbrku u glavi, pa ćemo sada pogledati dva jednostavna primjera, na temelju kojih ćemo vidjeti kako izolirati te izraze u stvarnim problemima , što će nas dovesti do skraćenih formula množenja i kako ih zatim primijeniti za transformaciju složenih racionalnih izraza.

Svođenje jednostavnih racionalnih razlomaka

Zadatak br. 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Prva stvar koju trebamo naučiti je odabrati točne kvadrate i više u izvornim izrazima visoki stupnjevi, na temelju kojih onda možemo primijeniti formule. Pogledajmo:

Prepravimo naš izraz uzimajući u obzir ove činjenice:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\lijevo(3((y)^(2)) \desno))^(2))-((\lijevo(4x \desno))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\lijevo(3((y)^(2))-4x \desno)\lijevo(3 ((y)^(2))+4x \desno))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Odgovor: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Problem br. 2

Prijeđimo na drugi zadatak:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Ovdje se nema što pojednostavljivati, jer brojnik sadrži konstantu, ali sam ovaj problem predložio upravo zato da naučite faktorizirati polinome koji sadrže dvije varijable. Da umjesto toga imamo polinom ispod, kako bismo ga proširili?

\[((x)^(2))+5x-6=\lijevo(x-... \desno)\lijevo(x-... \desno)\]

Riješimo jednadžbu i pronađimo $x$ koje možemo staviti umjesto točkica:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Trinom možemo prepisati na sljedeći način:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x+6 \desno)\]

Naučili smo kako raditi s kvadratnim trinomom - zato smo morali snimiti ovu video lekciju. Ali što ako uz $x$ i konstantu postoji i $y$? Razmotrimo ih kao još jedan element koeficijenata, tj. Prepišimo naš izraz na sljedeći način:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Napišimo proširenje naše kvadratne konstrukcije:

\[\lijevo(x-y \desno)\lijevo(x+6y \desno)\]

Dakle, ako se vratimo na izvorni izraz i prepišemo ga uzimajući u obzir promjene, dobit ćemo sljedeće:

\[\frac(8)(\lijevo(x-y \desno)\lijevo(x+6y \desno))\]

Što nam daje takva evidencija? Ništa, jer se ne može smanjiti, ničim se ne množi niti dijeli. Međutim, čim se ovaj razlomak pokaže sastavni dio složenijeg izraza, dobro će doći takvo proširenje. Stoga, čim vidite kvadratni trinom (nije važno je li opterećen dodatnim parametrima ili ne), uvijek ga pokušajte faktorizirati.

Nijanse rješenja

Zapamtite osnovna pravila za pretvaranje racionalnih izraza:

  • Svi nazivnici i brojnici moraju biti rastavljeni na faktore skraćenim formulama množenja ili diskriminantom.
  • Trebate raditi prema sljedećem algoritmu: kada gledamo i pokušavamo izolirati formulu za skraćeno množenje, onda, prije svega, pokušavamo sve pretvoriti u najviši mogući stupanj. Nakon toga, ukupnu diplomu izbacujemo iz zagrade.
  • Vrlo često ćete susresti izraze s parametrom: druge varijable će se pojaviti kao koeficijenti. Nalazimo ih koristeći formulu kvadratnog širenja.

Dakle, kada vidite racionalne razlomke, prva stvar koju trebate učiniti je faktorizirati i brojnik i nazivnik u linearne izraze, koristeći skraćeno množenje ili diskriminacijske formule.

Pogledajmo nekoliko ovih racionalnih izraza i pokušajmo ih faktorizirati.

Rješavanje složenijih primjera

Zadatak br. 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Prepisujemo i pokušavamo rastaviti svaki pojam:

Prepišimo cijeli naš racionalni izraz uzimajući u obzir ove činjenice:

\[\frac(((\lijevo(2x \desno))^(2))-2x\cdot 3y+((\lijevo(3y \desno))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\lijevo(3y \desno))^(2))-((\lijevo(2x \desno))^(2)))(((\lijevo(2x \desno))^(3))+ ((\lijevo(3y \desno))^(3)))=\]

\[=\frac(((\lijevo(2x \desno))^(2))-2x\cdot 3y+((\lijevo(3y \desno))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\lijevo(3y-2x \desno)\lijevo(3y+2x \desno))(\lijevo(2x+3y \desno)\lijevo(((\lijevo(2x \desno))^(2))- 2x\cdot 3y+((\lijevo(3y \desno))^(2)) \desno))=-1\]

Odgovor: $-1$.

Problem br. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Pogledajmo sve razlomke.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\lijevo(x-2 \desno))^(2))\]

Prepravimo cijelu strukturu uzimajući u obzir promjene:

\[\frac(3\lijevo(1-2x \desno))(2\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))\cdot \frac( 2x+1)(((\lijevo(x-2 \desno))^(2)))\cdot \frac(\lijevo(2-x \desno)\lijevo(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \desno))(\lijevo(2x-1 \desno)\lijevo(2x+1 \desno))=\]

\[=\frac(3\cdot \lijevo(-1 \desno))(2\cdot \lijevo(x-2 \desno)\cdot \lijevo(-1 \desno))=\frac(3)(2 \lijevo(x-2 \desno))\]

Odgovor: $\frac(3)(2\lijevo(x-2 \desno))$.

Nijanse rješenja

Dakle, što smo upravo naučili:

  • Ne može se faktorizirati svaki kvadrat trinoma, posebno se to odnosi na nepotpuni kvadrat zbroja ili razlike, koji se vrlo često nalaze kao dijelovi kuba zbroja ili razlike.
  • Konstante, tj. obični brojevi koji nemaju varijable također mogu djelovati kao aktivni elementi u procesu proširenja. Prvo, mogu se izdvojiti iz zagrada, a drugo, same konstante mogu se prikazati u obliku potencija.
  • Vrlo često nakon rastavljanja svih elemenata nastaju suprotne konstrukcije. Ove se razlomke moraju krajnje pažljivo reducirati, jer se kod njihovog prekrižavanja iznad ili ispod pojavljuje dodatni faktor $-1$ - to je upravo posljedica činjenice da su suprotni.

Rješavanje složenih problema

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Razmotrimo svaki pojam zasebno.

Prvi razlomak:

\[((\lijevo(3a \desno))^(3))-((\lijevo(4b \desno))^(3))=\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(((\lijevo (3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2)) \desno)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\lijevo(b-2 \desno)\lijevo(b+2 \desno)\]

Cijeli brojnik drugog razlomka možemo prepisati na sljedeći način:

\[((\lijevo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2))\]

Sada pogledajmo nazivnik:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\lijevo(b+2 \desno) ))^(2))\]

Prepišimo cijeli racionalni izraz uzimajući u obzir gornje činjenice:

\[\frac(\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(((\lijevo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2 )) \desno))(\lijevo(b-2 \desno)\lijevo(b+2 \desno))\cdot \frac(((\lijevo(b+2 \desno))^(2)))( ((\lijevo(3a \desno))^(2))+3a\cdot 4b+((\lijevo(4b \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(b+2 \desno))(\lijevo(b-2 \desno))\]

Odgovor: $\frac(\lijevo(3a-4b \desno)\lijevo(b+2 \desno))(\lijevo(b-2 \desno))$.

Nijanse rješenja

Kao što smo još jednom vidjeli, nepotpuni kvadrati zbroja ili nepotpuni kvadrati razlike, koji se često nalaze u realnim racionalni izrazi, ali nemojte ih se bojati, jer nakon pretvaranja svakog elementa oni se gotovo uvijek smanjuju. Osim toga, ni u kojem slučaju se ne biste trebali bojati velikih konstrukcija u konačnom odgovoru - sasvim je moguće da to nije vaša pogreška (pogotovo ako je sve faktorizirano), već je autor namjerio takav odgovor.

Zaključno, želio bih razgovarati o još jednom složen primjer, koji se više ne odnosi direktno na racionalne razlomke, ali sadrži sve ono što vas čeka na pravim kolokvijima i ispitima, a to su: rastavljanje na faktore, svođenje na zajednički nazivnik, svođenje sličnih članova. To je upravo ono što ćemo sada učiniti.

Rješavanje složenog problema pojednostavljivanja i transformiranja racionalnih izraza

\[\lijevo(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \desno)\]

Prvo, pogledajmo i otvorimo prvu zagradu: u njoj vidimo tri odvojena razlomka s različitim nazivnicima, tako da prva stvar koju trebamo učiniti je dovesti sva tri razlomka na zajednički nazivnik, a da bismo to učinili, svaki od njih treba biti faktorizirano:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \desno)\]

Prepišimo cijelu našu konstrukciju na sljedeći način:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\lijevo(x -2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\lijevo(x-2 \desno)+((x)^(3))+8-\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \desno))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \desno))=\]

\[=\frac(((\lijevo(x-2 \desno))^(2)))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \desno))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ovo je rezultat izračuna iz prve zagrade.

Pozabavimo se drugom zagradom:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \ pravo)\]

Prepišimo drugu zagradu uzimajući u obzir promjene:

\[\frac(((x)^(2)))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\lijevo(x+2 \desno))(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\lijevo(x-2 \desno)\lijevo(x+2 \desno))\]

Sada zapišimo cijelu originalnu konstrukciju:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\lijevo(x-2) \desno)\lijevo(x+2 \desno))=\frac(1)(x+2)\]

Odgovor: $\frac(1)(x+2)$.

Nijanse rješenja

Kao što vidite, odgovor se pokazao sasvim razumnim. Međutim, imajte na umu: vrlo često tijekom takvih velikih izračuna, kada se jedina varijabla pojavljuje samo u nazivniku, učenici zaborave da je to nazivnik i da bi trebao biti na dnu razlomka i zapišu ovaj izraz u brojnik - ovo je velika greška.

Osim toga, želio bih vam skrenuti posebnu pozornost na to kako su takvi zadaci formalizirani. U svakom složenom izračunu, svi koraci se izvode jedan po jedan: prvo računamo prvu zagradu posebno, zatim drugu posebno, i tek na kraju kombiniramo sve dijelove i izračunavamo rezultat. Na taj se način osiguravamo od glupih pogrešaka, pažljivo zapisujemo sve izračune i pritom ne gubimo dodatno vrijeme, kako se na prvi pogled može činiti.